Олимпиада школьников Ломоносов по математике, 2005-2015

177 Pages·2016·2.148 MB·Russian

by  Бегунц А.В., и др

МОСКОВСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТ
имениМ.В.ЛОМОНОСОВА
А.В.Бегунц, П.А.Бородин, Д.В.Горяшин, А.С.Зеленский,
В.С.Панфёров, И.Н.Сергеев, И.А.Шейпак
ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
«ЛОМОНОСОВ» ПО МАТЕМАТИКЕ
(2005–2015)
Электронноеиздание
Москва
ИздательствоМЦНМО
2016
УДК512
ББК22.141
Б37
БегунцА.В.идр.
Олимпиадашкольников«Ломоносов»поматематике(2005–2015).
Электронноеиздание.
М.:МЦНМО,2016.
176с.
ISBN978-5-4439-3021-3
Вкнигеприведенызаданияолимпиады«Ломоносов»помате-
матике2005–2015гг.,т.е.завсегодыеёпроведения.Всезадачи
снабженыподробнымирешениямиилиответами.Данаполезная
информациябудущимучастникамолимпиады.
Подготовленонаосновекниги:БегунцА.В.идр.Олимпиадашкольни-
ков «Ломоносов» по математике (2005–2015) / А.В.Бегунц, П.А.Бо-
родин, Д.В.Горяшин, А.С.Зеленский, В.С.Панфёров, И.Н.Сергеев,
И.А.Шейпак.—М.:МЦНМО,2016.—176с.ISBN978-5-4439-1021-5.
ИздательствоМосковскогоцентра
непрерывногоматематическогообразования
119002,Москва,БольшойВласьевскийпер.,11
тел.[phone]
http://www.mccme.ru
ffiМеханико-математический
факультетМГУ,2016
ffiФакультетвычислительнойматематики
икибернетикиМГУ,2016
ffiТекстырешений.А.В.Бегунц,П.А.Бородин,
Д.В.Горяшин,А.С.Зеленский,В.С.Панфёров,
И.Н.Сергеев,И.А.Шейпак,2016
ISBN978-5-4439-3021-3 ffiМЦНМО,2016
Содержание
Кчитателю ........................................... 4
Заданиязаключительныхэтапов(10–11классы) ................ 9
2005год .......................................... 9
2006год .......................................... 11
2007год .......................................... 13
2008год .......................................... 16
2009год .......................................... 18
2010год .......................................... 20
2011год .......................................... 23
2012год .......................................... 25
2013год .......................................... 27
2014год .......................................... 29
2015год .......................................... 32
Решениязаключительныхэтапов(10–11классы) ................ 35
2005год .......................................... 35
2006год .......................................... 40
2007год .......................................... 46
2008год .......................................... 51
2009год .......................................... 55
2010год .......................................... 60
2011год .......................................... 67
2012год .......................................... 70
2013год .......................................... 74
2014год .......................................... 79
2015год .......................................... 83
Тренировочныеработы .................................. 89
5–7классы......................................... 89
8–9классы......................................... 93
10–11классы ....................................... 98
Решениятренировочныхработ ............................. 105
5–7классы......................................... 105
8–9классы......................................... 115
10–11классы ....................................... 126
Исследовательскиезадачи ................................ 155
Решенияисследовательскихзадач ........................... 157
Литература ........................................... 175
К читателю
Олимпиадашкольников«Ломоносов»проводитсяс2004/2005учеб-
ного годапо инициативе ректора МГУ имени М.В.Ломоносова ака-
демика РАН В.А.Садовничего. Согласно Положению об олимпиаде
«Ломоносов» её основными целями являются выявление и развитие
у учащихся образовательных учреждений творческих способностей
иинтереса кнаучно-исследовательскойдеятельности,созданиенеоб-
ходимых условий для поддержки одарённых детей и популяризация
научныхзнанийсредимолодёжи.
Несмотря на свою относительно недолгую историю, олимпиада
«Ломоносов» уже приобрела широкую известность и ежегодно при-
влекает к себе тысячи школьников. Так, в 2014/2015 учебном го-
ду количество участников олимпиады по одной только математике
превысило 10500 человек (более половины из которых—учащиеся
невыпускныхклассов),ачислопобедителейипризёровзаключитель-
ногоэтапасоставило259.Заданияолимпиадывыполнялишкольники
почтиизвсехрегионовнашейстраны,приэтомвчислопобедителей
и призёров заключительного этапа вошли представители 33 субъек-
товРоссийскойФедерации.
Популярностьолимпиады«Ломоносов»объясняетсяпреждевсего
оригинальным стилем задач, отчётливо выделяющим её из перечня
всех олимпиад и отличающим её от традиционных вступительных
испытаний. В ней, как правило, даётся большое количество задач,
самыхразнообразных—ипотрудности, ипотематике,и попредна-
значению. Остановимся более подробно на заданиях для учащихся
выпускныхклассов.
Сначалаучастникампредлагаютсяотносительнолёгкиезадачи,под-
часдажерешаемыепочти«вуме».Этизадачиразвиваютспособность
школьниковстроитьматематическиемоделивжизненныхситуациях,
вдумчивоотноситьсякматематическимпонятиямиформулам,грамот-
ноихприменятьсцельюполученияответанапоставленныйвопрос.
Далее, некоторая часть задач олимпиады совершенно типична
для проводившихся в прежние годы вступительных экзаменов на те
факультетыМГУ,гдематематиканеявляетсяпрофильнымпредметом,
но нужна для изучения других дисциплин. Эти задачи, как правило,
Кчитателю 5
просты,однакоионитакжесодержатнекоторыеизюминки,призван-
ныеотличитьабитуриента,болееподготовленногокучёбе,отпросто
натренированногонаопределённыестандартныетипызадач.
Следующий класс задач по своим формулировкам также напоми-
нает задачи вступительных экзаменов, но они, во-первых, довольно
сложны,аво-вторых,требуютотучастниковолимпиадыновыхидей
илиметодов,непривычныхдляшкольникаинестандартныхдляаби-
туриента.Безтакихподходоврешениестановитсяилислишкомизну-
рительнымвтехническомплане,иливообщеневыполнимым.
Наконец, среди заданий олимпиады присутствуют и настоящие,
собственноолимпиадныезадачи,причёмдовольновысокогоуровня.
Несмотрянаэто,онирешаютсябезстандартныхолимпиадныхтрюков
инетребуютспециальнойолимпиаднойподготовки.Поэтомуитакие
задания вполне посильны для вдумчивого, сообразительного старше-
классника,уверенновладеющегошкольнойпрограммойпоматематике.
Многиезадачиолимпиады«Ломоносов»оригинальныипридума-
нысотрудникамимеханико-математическогофакультетаифакульте-
тавычислительнойматематикиикибернетикиМГУ.Подчеркнём,что
окончательныеформулировкизадач,предлагавшихсянаолимпиаде,
рождались в результате их длительного и напряжённого обсуждения
целымколлективомматематиков.
Очёмполезнознатьучастникуолимпиады
Официальный портал олимпиады школьников «Ломоносов» рас-
положенвсетиИнтернетпоадресу http://olymp.msu.ru.Напортале
своевременно обновляется вся основная информация для школьни-
ков,связаннаясорганизациейипроведениемолимпиады,созданфо-
рум,поддерживаетсястраница«Вопросыиответы»,доступнызадания
прошлыхлетимногоедругое.
СогласноПорядкупроведенияолимпиадшкольниковолимпиада
«Ломоносов»проводитсявдваэтапа:отборочный(заочный)изаклю-
чительный(очный).
Отборочный этап проводится в заочной форме с применением
дистанционных образовательных технологий. Задания отборочного
этапа,требованиякоформлениюрешенийирезультатыотборочного
этапаразмещаютсянапорталеолимпиады.Дляучастиявотборочном
этапенеобходимопройтирегистрациюнапорталеолимпиады.
Кучастиювзаключительном(очном)этапеолимпиадыдопуска-
ются только победители и призёры отборочного этапа олимпиады
текущегогода,атакжепобедителиипризёрыолимпиадыпрошлого
6 Кчитателю
годаподанномупредмету,которыепродолжаютосвоениеобщеобра-
зовательныхпрограммсреднего(полного)общегообразования.
Заключительныйэтапможетбыть организованнарегиональной
площадке: в вузе, заключившем соглашение с Московским государ-
ственнымуниверситетом,адляучащихсяклассовдо9включительно
такжеивсреднемобщеобразовательномзаведениипорешениюорг-
комитета.
Перед заключительным этапом все участники обязаны пройти оч-
нуюрегистрацию,котораяосуществляетсяучастникомличновспеци-
альноустановленныедниичасы.Прирегистрациикаждомуучастнику
выдаётся памятка, в которой содержится вся основная информация
одате,временииместепроведениязаключительногоэтапаолимпиады,
алгоритмепроходаучастниковкместупроведенияолимпиадыиправи-
лахповедениявовремянаписанияработы,атакжеосрокахобъявления
результатовиоборганизациипоказаработиподачиапелляций.
Продолжительность олимпиады для учащихся выпускных клас-
сов—4часа(астрономических)безперерыва.Времяотсчитывается
смоментаобъявлениязаданий.Опоздавшиеучастникиваудитории
не допускаются, поэтому целесообразно приехать на олимпиаду за-
благовременно.
Вденьпроведенияолимпиадыродителиисопровождающиелица
вздания,задействованныедляеёпроведения,недопускаются.Участ-
никиолимпиады сдают верхнююодежду,сумки,мобильные телефо-
ныидругиесредствасвязивгардероб.
Работа,включаячертежиирисунки,должнавыполнятьсяручкой
спастойсинегоиличёрногоцвета.Запрещаетсяпользоватьсякаран-
дашами, фломастерами, специальными ручками, чернила которых
стираютсяилиисчезают,атакжелезвиями,ластиками,корректирую-
щейжидкостьюит.п.Всеисправлениявработепроизводятсятолько
ручкой.Черновикичистовикдолжныбытьотмеченыиразделены.
Комиссия по проверке решений задач состоит из квалифициро-
ванныхспециалистов,имеющихбольшойопытпроведенияолимпиад
и экзаменов (зачастую члены комиссии и сами в прошлом, будучи
школьниками,участвоваливолимпиадах).
Работы проверяются в зашифрованном виде, так что проверяю-
щие не знают имён и фамилий их авторов. Черновики не проверя-
ются вовсе. В результате проверки за каждую задачу ставится одна
изследующихоценок:
• оценка«+»или«+.»ставится,еслизадачарешенаправильноили
спростительныминедочётами;
Кчитателю 7
• оценка«±»означает,чтозадачарешенаснедостатками(нанеко-
торыхолимпиадахэтаоценкаприравниваетсяк«+»);
• оценка «∓» означает, что задача не решена, но получено суще-
ственноепродвижениеврешении;
• оценки«−.»и«−»ставятся,еслизадачанерешенаилинерешалась.
Покаждойзадачеметодическаякомиссияразрабатываетконкрет-
ные критерии её проверки, определяя, что´ именно в решении этой
задачи следует считать простительнымнедочётом, недостаткоми су-
щественнымпродвижением.
Результатыолимпиадыобъявляютсявустановленноевремянапор-
тале олимпиады, там же дополнительно сообщается время и место
проведенияпоказаработ,накоторомкаждыйучастникимеетвозмож-
ностьличноознакомитьсясрезультатамипроверкисвоейработы.
Вслучаенесогласиясрезультатомпроверкиработыучастникимеет
право подать заявление на апелляцию. Все поступившие заявления
рассматриваютсяспециальнойкомиссией.Апелляциипроводятсявсо-
ответствии с Положением об апелляции, размещённым на портале
олимпиады.
Какготовитьсякучастиюволимпиадах
Впервуюочередь,каждомушкольникулучшеначинатьсвой«олим-
пиадныйпуть»неввыпускномклассе,аповозможностираньше.Так,
наолимпиаде«Ломоносов»поматематикепредлагаютсязаданиядля
учащихся всех классов начиная с 5-го. Задания составляются в том
числе и из тех соображений, чтобы заранее подтолкнуть школьни-
ков к решению нестандартных задач и тем самым способствовать
их успешному участию в будущих олимпиадах. Разумеется, в наши
дни существует множество разнообразных олимпиад и иных интел-
лектуальных состязаний для школьников. Перед участием в любом
такоммероприятииполезноознакомитьсясзаданиямипрошлыхлет
(а хорошо бы их и порешать!), порядком проведения мероприятия
и всем тем, что может помочь не растеряться и должным образом
настроитьсянауспешноевыступление.
При подготовке к участию в математических олимпиадах школь-
никамполезноучитьсямыслитьнестандартноиработатьнадрасши-
рениемкругозора.Дляэтогоможноизучатьнаучно-популярнуюлите-
ратуру,посещать математические кружки,а также выбратьподходя-
щуюшколуикласс,вкоторомсущественноевниманиеуделяетсяраз-
витиюуучащихсяматематическихспособностей.Оказавшисьвсреде
увлечённых ровесников, погрузившись в атмосферу интеллектуаль-
ного творчества, школьник получает новые возможности для фор-
8 Кчитателю
мирования исследовательских навыков и самостоятельного мышле-
ния.ВМосквеработаетмножествокружков,десяткиматематических
и физико-математических школ и классов. Актуальная информация
о ведущих математических школах и классах, обучение в которых
бесплатно,размещаетсянасайтеhttp://schools.mccme.ru.
Структуракниги
Порядокпроведенияолимпиады«Ломоносов»поматематикенеод-
нократноменялся:впервыегодыпомимописьменноготурабылещё
и устный, затем в течение нескольких лет олимпиада проводилась
в один письменный тур, потом добавился отборочный этап, формат
проведения которого также не оставался неизменным. Кроме того,
с 2010/2011 учебного года учащимся 5–9 классов стали предлагать
отдельно разработанные задания, что позволило привлечь широкий
кругшкольниковипомочьимзаблаговременноподготовитьсякуча-
стиюволимпиадедлявыпускныхклассов.
Всвязисэтимданнаякнигапостроенаследующимобразом.Впер-
вой её части приведены задания заключительного этапа олимпиады
для учащихся выпускных классов за все учебные годы с 2004/2005
по2014/2015.Первыевариантыкаждогоучебногогодасопровожда-
ютсяполнымирешениямииответами,аковторымприведенытолько
ответы.Вовторойчастикнигисобранызадачи,предлагавшиесявраз-
ные годы на отборочных этапах олимпиады «Ломоносов» по матема-
тикедляучащихся5–11классов,атакженаеёзаключительномэтапе
дляучащихся5–9классов.Посколькусложностьэтихзадачварьирует-
ся от совсем невысокой до превосходящей уровень заключительного
этапа,втораячастькнигиможетсодействоватьподготовкешкольни-
ковкучастиюволимпиаде.Сэтойцельюизэтихзадачсформирова-
нытренировочныеработы,причёмтекстыусловийотредактированы,
некоторыезадачиобъединеныводнузадачусподпунктами,авряде
случаевшкольникампредлагаетсядоказатьболееобщееутверждение,
чембыловоригинале.Наконец,наиболеесложныезадачиотборочных
этапов прошлых лет собраны в разделе «Исследовательские задачи».
Знакомствосними(исихрешениями),безусловно,расшириткруго-
зорчитателей,которыевстретятсясновымипримерамиматематиче-
скихисследований,доступныхстаршеклассникам.Всезадачиснабже-
нырешениямииответами.Списоклитературы,котораятакжеможет
бытьполезнадляподготовкиколимпиаде,приведёнвконцекниги.
Желаемуспехов!
Задания заключительных этапов
(10–11 классы)
2005 год
Вариант1
1. Вычислите
(x−y)(x4−y4) 2xy(x3−y3)
−
x2−y2 x2+xy+y2
при
x=1,2...22, y=−2,7...78.
(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) (cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125)
46 45
2. Решитенеравенство
3·21−𝑥+1 (cid:190) 1 .
2𝑥−1 1−2−𝑥
3. Найдитеплощадьтрапеции ABCD сбоковойсторонойBC=5,если
расстоянияотвершин AиDдопрямойBC равны3и7соответственно.
4. Решитеуравнение
log (4sin22x)=2−log (−2tgx).
4 2
5. На окружности взята точка A, на её диаметре BC—точки D и E,
анаегопродолжениизаточкуB—точкаF.НайдитеBC,если∠BAD=
=∠ACD,∠BAF =∠CAE, BD=2, BE=5и BF =4.
6. Решитенеравенство
5|x|(cid:182)x(cid:0)3x+2−2(cid:112)8−2x−x2(cid:1).
7. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 5, 12
и13,аеёвысотаобразуетсвысотамибоковыхграней(опущенными
◦
из той же вершины) одинаковые углы, не меньшие 30 . Какой наи-
большийобъёмможетиметьтакаяпирамида?
8. Найдитевсезначения a,прикаждомизкоторыхуравнение
4x−|3x−|x+a||=9|x−1|
имеетхотябыодинкорень.
10 Заданиязаключительныхэтапов(10–11классы)
9. Группа отдыхающих в течение 2 ч 40 мин каталась на моторной
лодке по реке с постоянной скоростью (относительно воды) попе-
ременно то по течению, то против: в каждую сторону—в общей
сложности не менее чем по 1 ч. В итоге лодка прошла путь в 40 км
(относительноберега)и,отчаливотпристани A,причалилакприста-
ни B нарасстоянии10кмот A.Вкакуюсторонутекларека?Какова
приэтихусловияхмаксимальнаяскоростьеётечения?
10. ПрикаждомнатуральномnтелоΦ вкоординатномпространстве
𝑛
заданонеравенством
3|x|𝑛+|8y|𝑛+|z|𝑛<1,
ателоΦ—объединениевсехтелΦ .НайдитеобъёмтелаΦ.
𝑛
Вариант2
1. Вычислите
2xy(x3+y3) (x+y)(x4−y4)
+
x2−xy+y2 x2−y2
при
x=−1,6...67, y=−1,3...33.
(cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125) (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
44 45
2. Решитенеравенство
1 (cid:190) 2−3·51−𝑥.
5−𝑥−1 5𝑥−1
3. Найдитеплощадьтрапеции ABCDсбоковойсторонойCD=3,если
расстоянияотвершин AиBдопрямойCDравны5и7соответственно.
4. Решитеуравнение
log (4ctg2x)−log (−2sin2x)=1.
4 2
5. На диаметре AB окружности взяты точки C и D, на его продол-
жении за точку B—точка E, а на окружности—точка F, причём
∠AFC=∠BFE,∠DAF =∠BFD, AB=8, CB=6и DB=5.Найдите BE.
6. Решитенеравенство
x(cid:0)3x+2−2(cid:112)3−2x−x2(cid:1) (cid:190)3|x|.
7. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 9, 12
и15,аеёвысотаобразуетсвысотамибоковыхграней(опущенными
◦
из той же вершины) одинаковые углы, не меньшие 60 . Какой наи-
большийобъёмможетиметьтакаяпирамида?