Математика для студентов радиотехнических специальностей. В 2 ч. Ч. 2

173 Pages·28.24 MB·Russian

by  Сапунцов Н. Е.

Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждения высшего образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Инженерно-технологическая академия

Н. Е. САПУНЦОВ

МАТЕМАТИКА ДЛЯ СТУДЕНТОВ
РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ
СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

Учебное пособие
в двух частях

Часть 2

Ростов-на-Дону ‒ Таганрог
Издательство Южного федерального университета

2021

1
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Содержание
УДК 517.2, 517.3
ББК 22.161
С198
Печатается по решению кафедры высшей математики
Института компьютерных технологий и информационной безопасности
Южного федерального университета (протокол № 8 от 21 апреля 2021 г.)
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор кафедры антенн и радиопередающих
устройств Института радиотехнических систем и управления ЮФУ В. А. Обуховец
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики
Института компьютерных технологий и информационной безопасности ЮФУ
А. Г. Клово
Сапунцов, Н. Е.
С198 Математика для студентов радиотехнических специальностей : учебное
пособие : в 2 ч. / Н. Е. Сапунцов ; Южный федеральный университет. – Ростов-
на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2021.
ISBN 978-5-9275-3838-6
Часть 2. – 171 с.
ISBN 978-5-9275-3914-7 (Ч. 2)
Пособие предназначено для организации самостоятельной работы студентов ра-
диотехнических специальностей при изучении разделов «Интегральное исчисление
функций нескольких переменных», «Элементы теории поля», «Числовые и функцио-
нальные ряды», «Ряды Фурье», изучаемых студентами в третьем семестре обучения.
Изложение теоретического материала, как правило, сопровождается решением
модельных задач, которые содержатся в контрольных работах, индивидуальных зада-
ниях и предлагаются на экзамене.
Материал излагается в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом рекомен-
даций и ПрООП ВО.
Пособие ориентировано на студентов, обучающихся по направлению 11.05.00
«Радиоэлектронные системы и комплексы» и может быть использовано студентами
других технических специальностей, изучающих математику.
УДК 517.2, 517.3
ББК 22.161
ISBN 978-5-9275-3914-7 (Ч. 2)
ISBN 978-5-9275-3838-6

© Южный федеральный университет, 2021
© Сапунцов Н. Е., 2021
© Оформление. Макет. Издательство
Южного федерального университета, 2021

2
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………………… 6
Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ …………………………………… 7
1.1. Двойной интеграл в декартовых координатах ………………... 7
1.2. Свойства двойного интеграла …………………………………. 9
1.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах... 10
1.4. Оценка двойного интеграла …………………………………… 12
1.5. Теорема о среднем ……………………………………………... 13
1.6. Пример вычисления двойного интеграла …………………….. 14
1.7. Тройной интеграл в декартовых координатах ……………….. 15
1.8. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.. 18
1.9. Пример вычисления тройного интеграла …………………….. 19
1.10. Замена переменных в двойном интеграле …………………… 20
1.11. Двойной интеграл в полярных координатах ………………... 24
1.12. Замена переменных в тройном интеграле …………………… 29
1.13. Тройной интеграл в цилиндрической и сферической систе-
мах координат ……………………………………………………..... 30
1.14. Криволинейные интегралы …………………………………... 35
1.15. Формула Грина ………………………………………………... 44
1.16. Условия независимости криволинейного интеграла второго
рода от формы пути интегрирования ……………………………… 51
1.17. Поверхностные интегралы …………………………………… 55
Контрольные вопросы и задачи ……………………………………… 62
Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ …………………………….. 66
2.1. Скалярные и векторные поля ………………………………...... 66
2.2. Скалярное поле. Поверхности (линии) уровня. Градиент ска-
лярного поля …………………………………………………............ 67
2.3. Векторное поле. Векторные линии ……………………………. 68
2.4. Поток векторного поля ………………………………………… 70
2.5. Дивергенция векторного поля. Её выражение в координатной
форме ………………………………………………………………... 71
3
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
2.6. Теорема Остроградского ‒ Гаусса …………………………...... 75
2.7. Линейный интеграл и циркуляция векторного поля …………. 81
2.8. Формула Стокса ………………………………………………... 85
2.9. Ротор (вихрь) векторного поля ………………………………... 90
2.10. Потенциальные и соленоидальные поля …………………...... 96
2.11. Символика Гамильтона ……………………………………..... 101
2.12. Дифференциальные операции второго порядка в векторном
анализе. Оператор Лапласа …………………………………............ 102
Контрольные вопросы и задачи ……………………………………… 103
Глава 3. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ………….. 105
3.1. Числовые ряды. Основные понятия …………………………... 105
3.2. Некоторые свойства сходящихся и расходящихся рядов ……. 107
3.3. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки
сходимости знакоположительных рядов ………………………….. 110
3.4. Признаки сравнения …………………………………………… 111
3.5. Признак Даламбера …………………………………………….. 114
3.6. Радикальный признак Коши …………………………………... 117
3.7. Интегральный признак сходимости …………………………... 120
3.8. Знакопеременные ряды ………………………………………... 123
3.9. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница ………………. 123
3.10. Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости … 125
3.11. Функциональные ряды ……………………………………….. 131
3.12. Понятие равномерной сходимости функционального ряда ... 134
3.13. Степенные ряды ………………………………………………. 135
3.14. Ряды Тейлора и Маклорена …………………………………... 139
3.15. Разложение функций в степенные ряды ……………………... 140
Контрольные вопросы и задачи ……………………………………… 142
Глава 4. РЯДЫ ФУРЬЕ ………………………………………………. 145
4.1. Тригонометрические ряды. Ряд Фурье ………………………... 147
4.2. Ряды Фурье для четных и нечетных функций ……………….. 151
4.3. Ряд Фурье для функции с произвольным периодом ………….. 152
4.4. Разложение непериодической функции в ряд Фурье ………… 152
4.5. Спектр периодической функции ……………………………… 153
4.6. Комплексная форма ряда Фурье ………………………………. 159
4
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
4.7. Комплексный частотный спектр …………………………… 162
4.8. Интеграл и преобразование Фурье ……………………………. 163
4.9. Интеграл и преобразование Фурье в комплексной форме …… 165
Контрольные вопросы и задачи …………………………………... 167
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………….. 169
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ……………………………………………. 170

5
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
В основу пособия положены лекции, читаемые автором в течение
ряда лет студентам, обучающимся по направлению 11.05.00 «Радиоэлек-
тронные системы и комплексы», всех профилей подготовки в третьем се-
местре обучения.
Назначение пособия ‒ оказать помощь студентам при изучении раз-
делов «Интегральное исчисление функций нескольких переменных», «Эле-
менты теории поля», «Числовые и функциональные ряды» и «Ряды Фурье»,
что особенно актуально при дистанционном обучении.
Пособие состоит из введения, четырех глав и заключения.
Каждая глава содержит теоретический материал из соответствую-
щего раздела математики. При этом предпочтение отдается тем вопросам,
которые необходимы при изучении последующих разделов математики.
Особое внимание уделяется вопросам, находящим применение при изуче-
нии специальных дисциплин. Теоретический материал подкрепляется по-
дробным рассмотрением модельных задач.
В конце каждой главы приводятся контрольные вопросы и задачи
для подготовки к экзамену. Это позволит студентам сконцентрировать свое
внимание на теоретические вопросы и практические задания при подго-
товке к экзамену.
Несмотря на то, что пособие предназначено для студентов радиотех-
нических специальностей, оно может быть использовано студентами дру-
гих технических специальностей, изучающих математику.

6
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.1. Двойной интеграл в декартовых координатах
Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
В этой главе будут рассмотрены вопросы, связанные с понятиями
двойных, тройных, криволинейных (первого и второго рода) и поверхност-
ных интегралов (первого и второго рода), а также вопросы, связанные с
практическим вычислением этих интегралов.
Как уже отмечалось ранее, в разделе «Интегральное исчисление функ-
ции одного аргумента» схема построения всех интегралов, одинаковая [1]:
а) на заданном множестве (на плоскости или в пространстве) рас-
сматривается функция нескольких переменных;
б) рассматриваемое множество разбивается на непересекающиеся эле-
ментарные части, и внутри каждой элементарной части выбирается точка;
в) составляется интегральная сумма, соответствующая заданному
множеству и заданной функции;
г) предел этой интегральной суммы при стягивании наибольшей эле-
ментарной части множества в точку, если он существует, не зависит от спо-
соба разбиения множества на элементарные части, выбора точки в каждой
элементарной части приводит к понятию соответствующего интеграла.
1.1. Двойной интеграл в декартовых координатах
К понятию двойного интеграла приводит рассмотрение ряда геомет-
рических задач, например, вычисление объема цилиндрического тела, пло-
щади плоской пластины и физических задач, например, массы плоской пла-
стины, статистических моментов пластины относительно координатных
осей, моментов инерции плоской пластины, координаты центра масс плос-
кой пластины.
Рассмотрим задачу о нахождении объема тела, ограниченного ци-
линдрической поверхностью φ(x, y) = 0, плоскостью xoy и поверхностью
z = f(x,y) > 0.
Приближенное значение объема тела естественно определить как
сумму объемов прямоугольных параллелепипедов с основаниями ∆S и вы-
i
n
сотами hi = z = f(x,i yi), т.е. V  f (x, y )S (рис. 1).
i i i
i=1
7
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 1. Интегральное исчисление функций нескольких переменных
z

y

D

x

Рис. 1. Нахождение объема тела
Очевидно, что объем тела будет тем точнее определен, чем меньше
max diam S . Переходя к пределу при max diam S →0, получим точ-
i i
ное значение объема тела и понятие двойного интеграла
n
lim  f (x, y )S = f (x, y)dxdy
i i i
max diam S→0
i i=1 D .
В приведенном примере на функцию z = f(x,y) было наложено огра-
ничение f(x,y) > 0.
Формальное определение.
Пусть D ‒ некоторая замкнутая ограниченная область плоскости xoy,
а z = f(x,y) ‒ произвольная функция, непрерывная и ограниченная в этой
области.
Предположим, что граница области D состоит из конечного числа
кривых, заданных уравнениями типа y = f(x) или x = ψ(y).
Разобьем область D произвольным образом на n непересекающихся
частичных областей D с площадями S . В каждой частичной области D
i i
i
выберем произвольную точку (x, y ) и составим сумму
i i i
8
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.2. Свойства двойного интеграла
=n f (x, y )S , которая называется интегральной суммой для функ-
i i i
i=1
ции z = f(x,y) в области D.
max diam S →0
Если интегральная сумма имеет предел при i и
этот предел не зависит от способа разбиения области D на частичные обла-
(x , y )
сти Di и от выбора точек i i i , то он (предел) называется двойным
интегралом от функции z = f(x,y) по области D и обозначается символом
n
lim  f (x, y )S = f (x, y)dxdy
i i i
max diam S→0
i i=1 D .
Если предел существует (существует двойной интеграл), то:
− Функцию z = f(x,y) называют интегрируемой в области D;
− D называют областью интегрирования;
− dxdy = dS называют элементом площади;
− x и y называют переменными интегрирования;
− функцию f(x,y) называют подынтегральной функцией;
− выражение f(x,y)dxdy называют подынтегральным выражением.
Геометрический смысл двойного интеграла:
− объем цилиндрического тела, ограниченного цилиндрической по-
верхностью φ(x,y) = 0, плоскостью xoy и поверхностью z = f(x,y), если z =
= f(x,y) > 0;
− площадь области D, если f(x,y) = 1 всюду в области D.
1.2. Свойства двойного интеграла
Естественно, что свойства двойного интеграла аналогичны свой-
ствам определенного интеграла. Это обусловлено тем что, так же, как и
определенный интеграл, двойной интеграл представляет собой предел ин-
тегральной суммы, а свойства предела функции двух переменных совпа-
дают со свойствами предела функции одного аргумента (отличие состоит
только в том, что предел функции двух переменных должен существовать
и иметь одно и тоже значение по любому направлению).
9