Олимпиада Туймаада. Математика. 1994-2018 г.

88 Pages·2018·1.658 MB·Russian

by  Коллектив

Олимпиада Туймаада
Математика
2 Туймаада-1994
1. В чемпионате мира по футболу в Америке введена новая система
начисления очков. За победу даётся 3 очка, за ничью — 1 очко и за
поражение — 0 очков. В предварительных играх команды разбиты
на группы по 4 команды. В группах команды играют друг с другом
по одному разу,после чего в соответствии с набранными очками 𝑎, 𝑏,
𝑐 и 𝑑 (𝑎 > 𝑏 > 𝑐 > 𝑑) команды занимают первое, второе, третье и чет-
вёртое места в своих группах. Приведите все возможные варианты
распределения очков 𝑎, 𝑏, 𝑐 и 𝑑.
2. Рассматривается множество чисел 𝑀 = {4𝑘 −3|𝑘 ∈ N}. Число из
этого множества называется «простым», если его невозможно пред-
ставить в виде произведения чисел из 𝑀, отличных от 1. Покажите,
что в этом множестве разложение чисел в произведение «простых»
сомножителей неоднозначно.
3. Точка 𝑀 лежит внутри треугольника 𝐴𝐵𝐶. Докажите, что для
любой другой точки 𝑁, лежащей внутри треугольника 𝐴𝐵𝐶, вы-
полняется хотя бы одно из следующих трёх неравенств: 𝐴𝑁 > 𝐴𝑀,
𝐵𝑁 > 𝐵𝑀, 𝐶𝑁 > 𝐶𝑀.
4. Пусть задан выпуклый многогранник с объёмом 𝑉 и полной по-
верхностью 𝑆. Докажите, что внутри многогранника можно распо-
𝑉
ложить шар радиуса .
𝑆
5. Найдите наименьшее натуральное число 𝑛, для которого выпол-
(︂ )︂
1 1
нено неравенство sin < .
𝑛+1934 1994
6. В трёх домах 𝐴, 𝐵 и 𝐶, образующих прямоугольный треугольник
с катетами 𝐴𝐶 = 30 и 𝐶𝐵 = 40, живут три жука 𝑎, 𝑏 и 𝑐, способные
передвигаться со скоростями 2, 3 и 4 соответственно. Предположим,
что вы одновременно отпускаете этих жуков из точки 𝑀 и засекаете
время,через которое жуки достигают своих домов. Найдите на плос-
кости такую точку 𝑀, откуда время достижения дома последним
жуком было бы минимальным.
7. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑢 и 𝑣 с наибольшим общим делителем 1, удовлетворяющих
Туймаада-1994 3
системе равенств
{︃
𝑎+𝑏+𝑐 = 𝑢+𝑣,
𝑎2 +𝑏2 +𝑐2 = 𝑢2 +𝑣2.
8. Докажите, что в пространстве существует шар, содержащий внут-
ри себя ровно 1994 точки с целыми координатами.
4 Туймаада-1995
1. Дайте геометрическое доказательство утверждения о том, что
линия сгиба на листе бумаги имеет форму прямой.
2. Пусть 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑎𝑥1, ..., 𝑥 = 𝑎𝑥𝑛−1, ..., где 𝑎 > 1. Каково
1 2 𝑛
максимальное значение 𝑎, при котором существует lim 𝑥 , и чему
𝑛
𝑛→∞
равен этот предел?
3. Докажите, что уравнение
√ √
( 5+1)2𝑥 +( 5−1)2𝑥 = 2𝑥(𝑦2 +2)
имеет бесконечное множество решений в натуральных числах.
4. Известно, что 𝑛 клиентов коммерсанта живут в пунктах, распо-
ложенных вдоль кольцевой дороги. Из них 𝑘 клиентов имеют долги
перед коммерсантом по 𝑎 , 𝑎 , ..., 𝑎 рублей, а коммерсант перед
1 2 𝑘
остальными 𝑛 − 𝑘 клиентами имеет долги 𝑏 , 𝑏 , ..., 𝑏 рублей,
1 2 𝑛−𝑘
причём 𝑎 +𝑎 +...+𝑎 == 𝑏 +𝑏 +...+𝑏 . Докажите, что коммер-
1 2 𝑘 1 2 𝑛−𝑘
сант, не имеющий денег, может рассчитаться по всем своим долгам
и долгам клиентов, начав обход клиентов вдоль дороги с одного из
пунктов и не пропуская ни одного из своих клиентов.
5. Множество, состоящее из 𝑛 точек плоскости, назовём равнобед-
ренным 𝑛-точечником, если любые три его точки расположены в
вершинах равнобедренного треугольника. Найдите все натуральные
числа 𝑛, для которых существуют равнобедренные 𝑛-точечники.
6. Дана окружность радиуса 𝑟 = 1995. Покажите, что вокруг неё
можно описать ровно 16 основных пифагоровых треугольников. Ос-
новным пифагоровым треугольником называется прямоугольный
треугольник, длины сторон которого выражаются взаимно просты-
ми целыми числами.
7. Найдите непрерывную функцию 𝑓(𝑥), удовлетворяющую тожде-
ству 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎𝑥) = 𝑥𝑛 −𝑥𝑚, где 𝑛,𝑚 ∈ N, 0 < 𝑎 < 1.
8. Внутри треугольника 𝐴𝐵𝐶 дана точка 𝑀. Найдите точки 𝑃, 𝑄
и 𝑅, лежащие на сторонах 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 и 𝐴𝐶 соответственно и такие,
чтобы сумма 𝑀𝑃 +𝑃𝑄+𝑄𝑅+𝑅𝑀 была наименьшей.
Туймаада-1996 5
1. Докажите неравенство
𝑥 𝑦 +𝑥 𝑦 +𝑥 𝑦 +2𝑥 𝑦 ≤ 1996,
1 1 2 2 2 1 2 2
если 𝑥2 +2𝑥 𝑥 +2𝑥2 ≤ 998 и 𝑦2 +2𝑦 𝑦 +2𝑦2 ≤ 3992.
1 1 2 2 1 1 2 2
2. Дано конечное множество вещественных чисел 𝐴, не содержащее
0 и 1 и обладающее свойством: если число 𝑎 принадлежит 𝐴, то
1
числа и 1 − 𝑎 также принадлежат 𝐴. Какое количество чисел
𝑎
может быть в множестве 𝐴?
3. Девять точек плоскости, расположенные в вершинах правильного
девятиугольника,попарносоединеныотрезками,каждыйизкоторых
раскрашенлибовкрасный,либовсинийцвет. Известно,чтовлюбом
треугольнике с вершинами в вершинах девятиугольника по крайней
мере одна сторона красная. Докажите, что найдутся четыре точки,
любые две из которых соединены отрезками красного цвета.
√
4. Дан отрезок длины 7 3. Можно ли с помощью только циркуля
√
построить отрезок длины 7?
√︀ √
5. Решите уравнение 1981− 1996+𝑥 = 𝑥+15.
6. Дана последовательность
𝑓 (𝛼) = sin(0,5𝜋𝛼),
1
𝑓 (𝛼) = sin(0,5𝜋(sin(0,5𝜋𝛼))),
2
...,
𝑓 (𝛼) = sin(0,5𝜋(sin(...(sin(0,5𝜋𝛼))...))),
𝑛
где 𝛼 — любое вещественное число. К какому пределу стремятся
члены этой последовательности при 𝑛 → ∞?
7. В множестве всех положительных вещественных чисел введена
операция 𝑎 * 𝑏 = 𝑎𝑏. Найдите все положительные рациональные
числа, для которых 𝑎*𝑏 = 𝑏*𝑎.
8. Дан тетраэдр 𝐴𝐵𝐶𝐷, в котором 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 13, 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 =
14 и 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 = 15. Покажите, что центры вписанного в него и
описанного около него шаров совпадают, и найдите радиусы этих
шаров.
6 Туймаада-1997
1. Произведение любых трёх из данных четырёх натуральных чисел
—точныйквадрат.Докажите,чтосамиэтичисла—точныеквадраты.
2. Решите в натуральных числах систему уравнений
{︃
3𝑥2 +6𝑦2 +5𝑧2 = 1997,
3𝑥+6𝑦 +5𝑧 = 161.
3. Можно ли раскрасить в 6 цветов все натуральные числа так,
чтобы каждый цвет был использован и сумма любых пяти чисел
разного цвета была окрашена в шестой цвет?
𝜋
4. Пользуясь только угольником с углом и линейкой, постройте
7
𝜋
угол .
14
5. Докажите неравенство
(︂ )︂(︂ )︂ (︂ )︂
1 1 1 𝑞 −1
1+ 1+ ... 1+ <
𝑞 𝑞2 𝑞𝑛 𝑞 −2
где 𝑛 ∈ N, 𝑞 > 2.
6. Существуют ли 14 последовательных натуральных чисел, каждое
из которых имеет делитель, отличный от 1 и не превосходящий 11?
7. Известно, что каждый ученик класса в течение воскресенья один
раз побывал на катке, причём каждый мальчик встречался там с
каждой девочкой. Докажите, что был момент времени, когда либо
все мальчики, либо все девочки класса одновременно находились на
катке.
8. Найдите прямоугольный треугольник, который можно разрезать
на 365 одинаковых треугольников.
Туймаада-1998 7
1997
1.Представьтечисло ввидесуммыразличныхчисел,обратных
1998
к натуральным.
2. Решите уравнение (𝑥3 −1000)1/2 = (𝑥2 +100)1/3.
3. Отрезок длины ℓ с концами на границе треугольника делит пло-
√
щадь этого треугольника пополам. Докажите, что ℓ > 𝑟 2, где 𝑟 —
радиус вписанной окружности треугольника.
4. Дан тетраэдр 𝐴𝐵𝐶𝐷, у которого противоположные рёбра равны,
т. е. 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷, 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 и 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷. Докажите, что существуют
ровно 6 плоскостей, пересекающих трёхгранные углы тетраэдра и
делящих полную поверхность и объём данного тетраэдра пополам.
5.Прямоугольныйтреугольниквписанвпараболу𝑦 = 𝑥2.Докажите,
что его гипотенуза не меньше 2.
6.Докажите,чтопоследовательностьпервыхцифрчиселвида2𝑛+3𝑛
непериодична.
7. Рассматриваются всевозможные последовательности из чисел −1
и +1 длины 100. Для каждой из них вычисляется квадрат суммы
членов. Найдите среднее арифметическое получившихся величин.
8. Дана пирамида 𝐴𝐵𝐶𝐷. Пусть 𝑂 — середина ребра 𝐴𝐶. Известно,
что 𝐷𝑂 — высота пирамиды, 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 2𝐷𝑂 и угол 𝐴𝐵𝐶 прямой.
Разрежьте эту пирамиду на 8 равных и подобных ей пирамид.
8 Туймаада-1999
1. В пространстве даны 1999 различных плоскостей. Докажите, что
найдётся сфера, пересекающая ровно 100 из них.
2.Найдитевсетакиемногочлены𝑃(𝑥),что𝑃(𝑥3+1) = 𝑃(𝑥3)+𝑃(𝑥2).
3. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из чисел 1,
2, 3, ..., 100 так, чтобы сумма никаких трёх различных выбранных
чисел не была равна выбранному числу?
4. Докажите неравенство
𝑥 𝑦 𝑧
+ + > 1,
𝑦2 −𝑧 𝑧2 −𝑥 𝑥2 −𝑦
где 2 < 𝑥,𝑦,𝑧 < 4.
5. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 = 100∘, ∠𝐴𝐶𝐵 = 65∘, 𝑀 ∈ 𝐴𝐵,
𝑁 ∈ 𝐴𝐶, причём ∠𝑀𝐶𝐵 = 55∘, ∠𝑁𝐵𝐶 = 80∘. Найдите ∠𝑁𝑀𝐶.
1
6. Могут ли графики многочлена 20-й степени и функции 𝑦 =
𝑥40
пересекаться ровно в 30 точках?
7. Последовательность целых чисел 𝑎 , 𝑎 , ..., 𝑎 , ... задана следу-
0 1 𝑛
ющими правилами: 𝑎 = 0, 𝑎 = 1, 𝑎 > 𝑎 для любого 𝑛 ∈ N,
0 1 𝑛+1 𝑛
причём 𝑎 является наименьшим числом, для которого никакие
𝑛+1
три из чисел 𝑎 , 𝑎 , ..., 𝑎 не образуют арифметическую прогрес-
0 1 𝑛+1
сию. Докажите, что 𝑎 = 3𝑛 для любого 𝑛 ∈ N.
2𝑛
8.Впространстверасположенпрямойпараллелепипед(т. е. паралле-
лепипед, одно из рёбер которого перпендикулярно грани), вершины
которого имеют целые координаты, а других точек с целыми коор-
динатами на его гранях и рёбрах нет. Докажите, что объём этого
параллелепипеда — сумма трёх точных квадратов.
Туймаада-2000 9
Старшая лига, Первый день
1. Обозначим для натурального 𝑛 𝑑(𝑛) – число натуральных дели-
[︂ ]︂
2000
телей 𝑛 и 𝑒(𝑛) = . Докажите, что
𝑛
𝑑(1)+𝑑(2)+···+𝑑(2000) = 𝑒(1)+𝑒(2)+···+𝑒(2000).
2. Вписанная в ромб окружность касается его сторон 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 в
точках 𝐸′ и 𝐹′. Касательная 𝑙 пересекает 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 в точках 𝐸
и 𝐹. Докажите, что произведение 𝐴𝐸 · 𝐶𝐹 не зависит от выбора
касательной 𝑙.
3. Можно ли сложить из кусков проволоки с дли-
нами 1, 2, 3, ...(каждая натуральная длина встре-
чается ровно один раз) изображенную на рисун-
ке бесконечную во всех направлениях “кирпичную
стену”? (Проволоку можно сгибать; размер “кирпича” – 1×2).
1
4. Докажите для действительных чисел 𝑥 , 𝑥 , ..., 𝑥 , 0 < 𝑥 ≤ ,
1 2 𝑛 𝑘
2
неравенство
(︂ 𝑛 )︂𝑛 (︂ 1 )︂ (︂ 1 )︂
−1 ≤ −1 ... −1 .
𝑥 +···+𝑥 𝑥 𝑥
1 𝑛 1 𝑛
10 Туймаада-2000
Старшая лига, Второй день
5. Можно ли раскрасить плоскость в 2000 цветов так, чтобы внутри
любого круга были точки всех 2000 цветов?
6. В стране Графландии 2000 городов, некоторые из которых со-
единены дорогами. Для каждого из городов посчитали количество
выходящих из него дорог. Оказалось, что среди полученных чисел
ровно два одинаковых. Чему они могут быть равны?
7. Многочлен 𝑃(𝑡) таков, что при всех действительных 𝑥
𝑃(sin𝑥)+𝑃(cos𝑥) = 1.
Какова может быть степень этого многочлена?
8.Докажите,чтоникакоечисловида10−𝑛,𝑛 ≥ 1,нельзяпредставить
в виде суммы чисел, обратных факториалам разных натуральных
чисел.