Московские математические олимпиады. 1958 - 1967 г.

324 Pages·2016·1.75 MB·russian

by  Прасолов В.В.

В.В.Прасолов
Т.И.Голенищева-Кутузова
А.Я.Канель-Белов
Ю.Г.Кудряшов
А.С.Трепалин
И.В.Ященко
Московские
математические
олимпиады
1958—1967 г.
Москва
Издательство МЦНМО
2013
УДК 51
ББК 74.200.58:22.1
M82
Авторы:
В.В.Прасолов, Т.И.Голенищева-Кутузова,
А.Я.Канель-Белов, Ю.Г.Кудряшов,
А.С.Трепалин, И.В.Ященко
Московские математические олимпиады 1958––1967 г.
M82 /В.В. Прасолов идр.––М.: МЦНМО, 2013.––328 с.
ISBN 978-5-4439-0313-2
ВкнигесобранызадачиМосковскихматематическихолимпиад1958—
1967г.сответами,указаниямииподробнымирешениями.Вдополнени-
яхприведеныосновныефакты,используемыеврешенииолимпиадных
задач.
Всезадачивтомилииномсмысленестандартные.Ихрешениетре-
бует смекалки, сообразительности, а иногда и многочасовых размыш-
лений.
Книгапредназначенадляучителейматематики,руководителейкруж-
ков,школьниковстаршихклассов,студентовпедагогическихспециаль-
ностей. Книга будет интересна всем любителям красивых математиче-
ских задач.
ББК 74.200.58:22.1
ISBN 978-5-4439-0313-2 © МЦНМО, 2013.
Предисловие
В этой книге собраны условия задач десяти Москов-
ских математических олимпиад, начиная с 1958 года и
заканчивая 1967 годом. В книге приводятся также отве-
ты, даются указания, а в заключение приводятся полные
решения всех задач.
Председателями оргкомитетов десяти олимпиад, пред-
ставленных в книге, были:
В.Г.Болтянский (олимпиада 1958 г.),
Е.М.Ландис (1959),
И.Р.Шафаревич (1960 и 1964),
В.А.Ефремович (1961),
Н.В.Ефимов (1962 и 1965),
А.Н.Колмогоров (1963),
А.А.Кронрод (1966),
В.В.Немыцкий (1967).
Это уже третья книга с полными решениями задач Мос-
ковских математических олимпиад, изданная МЦНМО
(Московским центром непрерывного математического
образования). Ранее вышли книги «Московские матема-
тические олимпиады 1993––2005 г.» (авторы Р.М.Федо-
ров, А.Я.Канель-Белов, А.К.Ковальджи, И.В.Ященко,
под редакцией В.М.Тихомирова. М.: МЦНМО, 2006) и
«Московские математические олимпиады 1935––1957 г.»
(В.В.Прасолов, Т.И.Голенищева-Кутузова, А.Я.Канель-
Белов, Ю.Г.Кудряшов, И.В.Ященко. М.: МЦНМО, 2010).
Теперь остаётся издать книги с задачами олимпиад с 1968
по 1992 гг.
В.В.Прасолов

Условия задач

1958 год (XXI олимпиада)
Первый тур
7 класс
1. Имеется система уравнений
*x+*y+*z = 0,
*x+*y+*z = 0,
*x+*y+*z = 0.
Два человека поочерёдно вписывают вместо звёздочек чис-
ла. Доказать, что начинающий всегда может добиться то-
го, чтобы система имела ненулевое решение.
2. В круге проведены два диаметра AB и CD. Доказать,
что если M––произвольная точка окружности, а P и Q––
её проекции на диаметры AB и CD, то длина отрезка PQ
не зависит от выбора точки M.
3. Сколько существует четырёхзначных номеров (от
0001 до 9999), у которых сумма двух первых цифр рав-
на сумме двух последних цифр?
4. На плоскости даны точки A и B. Построить такой
квадрат, чтобы точки A и B лежали на его границе и сум-
ма расстояний от точки A до вершин квадрата была наи-
меньшей.
5. Дана следующая треугольная таблица чисел:
0 1 2 ... 1957 1958
1 3 ... ... ... 3915
... ... ... ... ...
... ... ...
Каждое число (кроме чисел верхней строчки) равно сумме
двух ближайших чисел предыдущей строчки. Доказать,
что число, стоящее в самой нижней строчке, делится на
1958.
8 Условия задач. 1958 год
8 класс
1. Внутри треугольника ABC взята точка O. На лучах
OA, OB и OC построены векторы единичной длины. Дока-
зать, что сумма этих векторов имеет длину меньшую еди-
ницы.
2. Доказать, что если уравнения с целыми коэффици-
ентами
x2+p x+q = 0,
1 1
x2+p x+q = 0
2 2
имеют общий нецелый корень, то p =p и q =q .
1 2 1 2
3. На круглой поляне радиуса R растут три круглые
сосны одинакового диаметра. Центры их стволов находят-
R
ся на расстоянии от центра поляны в вершинах равно-
2
стороннего треугольника. Два человека, выйдя одновре-
менно из диаметрально противоположных точек поляны,
обходят поляну по краю с одинаковой скоростью и в од-
ном направлении и всё время не видят друг друга. Увидят
ли друг друга три человека, если они так же будут обхо-
дить поляну, выйдя из точек, находящихся в вершинах
вписанного в поляну правильного треугольника?
4. Решить в целых положительных числах уравнение
1 1
1 = .
− 1 1
2+ x +
1
3+ ...+ 1 x2+ ...+ 1
1958 x
1958
5. Проекции многоугольника на ось OX, биссектрису
1-го и 3-го координатных углов, ось OY и биссектрису
2-го и 4-го координатных углов равны соответственно 4,
3√2, 5, 4√2. Площадь многоугольника––S. Доказать, что
S617,5.
9 класс
1. Бесконечная плоская ломаная A A ...A ..., все уг-
0 1 n
лы которой прямые, начинается в точке A с координа-
0
Условия задач. 1958 год 9
тами x=0, y=1 и обходит начало координат O по часо-
вой стрелке. Первое звено ломаной имеет длину 2 и па-
раллельно биссектрисе 4-го координатного угла. Каждое
из следующих звеньев пересекает одну из координатных
осей и имеет наименьшую возможную при этом целочис-
ленную длину. Расстояние OA =l . Сумма длин первых n
n n
звеньев ломаной равна s . Доказать, что найдётся n, для
n
s
которого n >1958.
l
n
2. Доказать, что если ax2 bx+c <1 при любом x,
| − |
x 61, то и (a+b)x2+c <1 при x 61.
| | | | | |
3. Какоенаибольшее числоосейсимметрии можетиметь
пространственная фигура, состоящая из трёх прямых, из
которых никакие две не параллельны и не совпадают?
4. Решить в целых положительных числах уравнение
1 1
1 = .
− 1 1
2+ x +
1
3+ ...+1 x2+ ...+ 1
n x
n
5. Отрезок длиной 3n разбивается на три равные части.
Первая и третья из них называются отмеченными. Каж-
дый из отмеченных отрезков разбивается на три части, из
которых первая и третья снова называются отмеченными
и т.д. до тех пор, пока не получатся отрезки длиной 1.
Концы всех отмеченных отрезков называются отмеченны-
ми точками. Доказать, чтодля любого целогоk (16k63n)
можно найти две отмеченные точки, расстояние между
которыми равно k.
10 класс
1. Проекции плоского выпуклого многоугольника на
ось OX, биссектрису 1-го и 3-го координатных углов, ось
OY и биссектрису 2-го и 4-го координатных углов соответ-
ственно равны 4, 3√2, 5, 4√2. Площадь многоугольника
равна S. Доказать, что S>10.
2. Доказать, что 11551958+341958=n2, где n––целое.
6
10 Условия задач. 1958 год
3. См. задачу 3 для 9 класса.
4. На стол кладут1 правильный 100-угольник, в вер-
шинах которого написаны числа 1, 2, ..., 100. Затем эти
числа переписывают в порядке удаления от переднего
края стола. Если две вершины находятся на равном рас-
стоянии от края, сначала выписывается левое число, за-
тем правое. Выписаны всевозможные наборы чисел, соот-
ветствующие разным положениям 100-угольника. Вычис-
лить сумму чисел, стоящих в этих наборах на 13-х местах
слева.
5. Из четырёх прямых на плоскости никакие две не па-
раллельны, никакие три не пересекаются в одной точке.
По каждой прямой с постоянной скоростью идёт пешеход.
Известно, что 1-й встречается со 2-м, с 3-м и с 4-м, а 2-й
встречается с 3-м ис 4-м.Доказать, что3-йпешеход встре-
тится с 4-м.
Второй тур
7 класс
1. Доказать, что на плоскости нельзя расположить боль-
ше четырёх выпуклых многоугольников так, чтобы каж-
дые два из них имели общую сторону.
2. Имеются два набора из +1 и 1, в каждом по 1958
−
чисел. Доказать, что за некоторое число шагов можно пре-
вратить первый набор во второй, если на каждом шагу
разрешается одновременно изменить знак у любых 11 чи-
сел первого набора. (Два набора считаются одинаковыми,
если у них на одинаковых местах стоят одинаковые чис-
ла).
3. Каждая грань куба заклеивается двумя равными
прямоугольными треугольниками с общей гипотенузой,
один из которых белый, другой––чёрный. Можно ли эти
треугольники расположить так, чтобы при каждой вер-
1 Предполагается, что 100-угольник нельзя переворачивать, пото-
му что он непрозрачный и числа написаны только на одной его сто-
роне.––Прим.ред.