ebook img

Московские математические олимпиады 1935-1957 PDF

344 Pages·2010·1.616 MB·Russian
Save to my drive
Quick download
Download
Most books are stored in the elastic cloud where traffic is expensive. For this reason, we have a limit on daily download.

Preview Московские математические олимпиады 1935-1957

i i i i В.В.Прасолов Т.И.Голенищева-Кутузова А.Я.Канель-Белов Ю.Г.Кудряшов И.В.Ященко Московские математические олимпиады 1935—1957 г. Москва Издательство МЦНМО 2010 i i i i i i i i УДК 51 ББК 74.200.58:22.1 M82 Авторы: В.В.Прасолов, Т.И.Голенищева-Кутузова, А.Я.Канель-Белов, Ю.Г.Кудряшов, И.В.Ященко Московскиематематическиеолимпиады1935––1957г. M82 /В. В. Прасолов и др.––М.: МЦНМО, 2010.––344 с. ISBN978-5-94057-600-6 ВкнигесобранызадачиМосковскихматематическихолимпиад1935— 1957г.сответами,указаниямииподробнымирешениями.Вдополнениях приведеныосновныефакты,используемыеврешенииолимпиадныхзадач. Всезадачивтомилииномсмысленестандартные.Ихрешениетребует смекалки,сообразительности,аиногдаимногочасовыхразмышлений. Книгапредназначенадляучителейматематики,руководителейкруж- ков,школьниковстаршихклассов,студентовпедагогическихспециаль- ностей. Книга будет интересна всем любителям красивых математиче- ских задач. ББК 74.200.58:22.1 ПрасоловВиктор Васильевич Голенищева-Кутузова Татьяна Игоревна Канель-БеловАлексей Яковлевич КудряшовЮрийГеоргиевич ЯщенкоИван Валериевич МОСКОВСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ 1935—1957 г. КорректорО.А.Васильева ТехническийредакторВ.Ю.Радионов Подписано в печать 10.03.2010г. Формат 60×90 1/16. Бумага офсетная №1. Печатьофсетная. Печ.л.21,5. Тираж2000экз. Заказ№???? ИздательствоМосковскогоцентранепрерывногоматематическогообразования. 119002,Москва,БольшойВласьевскийпер.,11.Тел.(499)241-74-83. ОтпечатаносготовыхдиапозитивоввППП«Типография„Наука“». 121099,Москва,Шубинскийпер.,6. ISBN 978-5-94057-600-6 © МЦНМО, 2010. i i i i i i i i Предисловие В этой книге собраны условия задач, дававшихся на Московских математических олимпиадах, начиная с пер- вой, проходившей весной 1935 года, и кончая двадцатой, состоявшейся в 1957 году. В книге приводятся ответы, даются указания, а в заключение приводятся полные и подробные решения всех задач. Московские математические олимпиады являются ча- стьюнашейотечественнойкультуры,которойвсемывпра- ве гордиться. На протяжении семидесяти пяти лет энтузи- асты, вдохновленные стремлением найти среди школьни- ков тех, кто предрасположен к интеллектуальному твор- честву, и желанием увлечь их красотой нашей науки, организуют кружки, циклы лекций, издают подготови- тельные сборники задач, наконец, проводят сами олим- пиады, которые воистину становятся математическими праздниками. Московским математическим олимпиадам посвящена значительная литература. Первая книга: «Московские ма- тематические олимпиады 1935 и 1936 гг.» была написана Р.Н.Бончковским (1905––1942), талантливым математи- ком и популяризатором науки, основавшим первую серию сборников «Математическое просвещение». Р.Н.Бончков- ский погиб под Сталинградом. В середине шестидесятых, в период расцвета московской математики и интереса к науке среди школьников, вышла тиражом 122 тыс. эк- земпляров книга «Сборник задач московских математи- ческих олимпиад» (составитель, автор указаний и реше- ний А.А.Леман, под редакцией В.Г.Болтянского. М.: Просвещение, 1965). В этой книге есть раздел, посвящен- ный задачам, взятым из подготовительных сборников к олимпиадам; приведены условия задач первых двадца- i i i i i i i i 4 Предисловие ти семи олимпиад и даны указания и решения некото- рых задач олимпиад, начиная 1952 года по 1964. Через два с лишком десятка лет вышла книга Г.А.Гальперина и А.К.Толпыго «Московские математические олимпиа- ды» (под редакцией А.Н.Колмогорова, М.:Просвещение, 1986).Внейприведеныусловиязадач,ответы,указанияи решения всех олимпиад, вплоть до 1985 года. Книга была издана неслыханным тиражом 680000 экземпляров. Об историизарожденияолимпиад,ихразвитии,организации и тех, кто стоял у истоков олимпиадного движения, чита- тель может узнать из замечательного очерка В.Г.Болтян- ского и И.М.Яглома «Школьный математический кру- жок при МГУ и московские математические олимпиа- ды», открывающего сборник А.А.Лемана, из предисло- вия авторов к книге Гальперина и Толпыго, из статьи автора настоящего предисловия «Размышления о первых московских математических олимпиадах», помещенной во втором выпуске третьей серии «Математического про- свещения» (М.:МЦНМО, 1998). Сборник задач Лемана, книга Гальперина и Толпыго и все выпуски третьей серии «Математического просвещения» содержатся в Интерне- те. В библиографии книги Гальперина и Толпыго чита- тель найдет множество книг и статей, так или иначе свя- занных с Московскими математическими олимпиадами. Хочу сказать отдельно о предисловии А.Н.Колмогоро- ваккнигеГальперинаиТолпыго,вышедшейвсветв1986 году. Андрей Николаевич скончался 20 октября 1987 го- да.В момент, когда ему надобыло писать предисловие, он был смертельно болен. В ту пору он фактически лишился зрения и возможности говорить. Свои тексты Андрей Ни- колаевич диктовал, и на произнесение одного слова у него уходило несколько мучительных секунд. Прочтите его по- разительное предисловие, в котором великий ученый бла- гословляет своих читателей к творческим свершениям. Представляя книгу, посвященную первым двадцати олимпиадам, мне хочется вспомнить всех председателей i i i i i i i i Предисловие 5 оргкомитетов этих творческих состязаний. Каждый из них сыграл выдающуюся роль и в олимпиадном движе- нии, и в самом формировании московской математики, и в жизни механико-математического факультета Москов- ского университета. Председателями оргкомитетов пер- вых двадцати Московских математических олимпиад бы- ли: П.С.Александров (олимпиада 1935 г.), Н.А.Глаго- лев (1936), А.Н.Колмогоров (1937), А.Г.Курош (1938), Л.А.Люстерник (1939), Л.С.Понтрягин (1940), А.О.Гель- фонд (1941), И.М.Гельфанд (1945), С.А.Гальперн (1946), И.Г.Петровский (1947), В.В.Немыцкий (1948), А.И.Мар- кушевич (1949), М.А.Крейнес (1950),Б.Н.Делоне(1951), П.К.Рашевский (1952), Д.Е.Меньшов (1953), С.В.Ба- хвалов (1954), В.В.Немыцкий (1955), Е.Б.Дынкин (1956), О.А.Олейник (1957). Несколько лет тому назад в МЦНМО (Московском цен- тре непрерывного математическогообразования) родилась идея привести условия задач, сопроводить ответами, ука- заниями и подробными решениями задачи всех Москов- ских математических олимпиад от самой первой и до на- ших дней. В осуществление этой идеисделаны первые два шага: вышла книга «Московские математические олим- пиады 1993––2005» (авторы Р.М.Федоров, А.Я.Канель- Белов, А.К.Ковальджи, И.В.Ященко, под редакцией В.М.Тихомирова. М.:МЦНМО, 2006) и книга, которая сейчас находится в руках читателя. Остается сделать два шага, чтобы покрыть расстояние от 1958 до 1992 гг. В заключение хочу пожелать новому поколению готовиться к встрече столетнего юбилея Московских математических олимпиад. А там, как говорится, посмотрим. В.М.Тихомиров i i i i i i i i i i i i i i i i Условия задач i i i i i i i i i i i i i i i i 1935 год (I олимпиада) Первый тур 1-й вариант 1. Определить отношение двух чисел, если отношение их среднего арифметического к среднему геометрическо- му равно 25:24. 2. Построить треугольник по данным двум сторонам a и b и биссектрисе m угла между ними. 3. Пирамида, все боковые рёбра которой наклонены к плоскости основания под углом , имеет в основании рав- f нобедренный треугольник с углом , заключённым меж- a ду равными сторонами. Определить двугранный угол при ребре, соединяющем вершину пирамиды с вершиной уг- ла . a 2-й вариант 1. Железнодорожный поезд проходит мимо наблюдате- ля в течение t секунд, при той же скорости он проходит 1 через мост длиной в a метров в течение t секунд. Найти 2 длину и скорость поезда. 2. Построить квадрат, три вершины которого лежали бы на трёх данных параллельных прямых. 3. Найти объём правильной четырёхугольной пирами- ды, стороны основания которой равны a, а плоские углы при вершине равны углам наклона боковых рёбер к плос- кости основания. 3-й вариант 1. Составить две прогрессии: арифметическую и гео- метрическую, каждую из четырёх членов; при этом если сложить одноимённые члены обеих прогрессий, то долж- ны получиться следующие числа: 27, 27, 39, 87. i i i i i i i i 10 Условия задач. 1935 год 2. Доказать, что если стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, то радиус вписанного круга 1 равен одной из высот. 3 3. Высота усечённого конуса равна радиусу его боль- шего основания; периметр правильного шестиугольника, описанного около меньшего основания, равен периметру равностороннего треугольника, вписанного в большее ос- нование. Определить угол наклона образующей конуса к плоскости основания. 4-й вариант 1. Решить систему уравнений: x2+y2 2z2 =2a2, − x+y+2z =4(a2+1),   z2 xy =a2. − 2. В треугольнике ABC из произвольной точки D на  стороне AB проведены две прямые, параллельные сторо- нам AC и BC, пересекающие BC и AC соответственно в точках F и G. Доказать, что сумма длин окружностей, описанных около треугольников ADG и BDF, равна длине окружности, описанной около треугольника ABC. 3. Развёртка боковой поверхности конуса представля- ет собой сектор с углом в 120 ; в конус вписана треуголь- ◦ ная пирамида, углы основания которой составляют ариф- метическую прогрессию с разностью 15 . Определить угол ◦ наклона к плоскости основания наименьшей из боковых граней. Второй тур Серия A 1. Дана окружность и на ней три точки M, N, P, в которых пересекаются с окружностью (при продолжении) высота, биссектриса и медиана, выходящие из одной вер- шины вписанного треугольника. Построить этот треуголь- ник. i i i i

See more

The list of books you might like

Most books are stored in the elastic cloud where traffic is expensive. For this reason, we have a limit on daily download.