Московские математические олимпиады 1935-1957

344 Pages·2010·1.616 MB·Russian

by  Прасолов В.В., и др.

i i
i i
В.В.Прасолов
Т.И.Голенищева-Кутузова
А.Я.Канель-Белов
Ю.Г.Кудряшов
И.В.Ященко
Московские
математические
олимпиады
1935—1957 г.
Москва
Издательство МЦНМО
2010
i i
i i
i i
i i
УДК 51
ББК 74.200.58:22.1
M82
Авторы:
В.В.Прасолов,
Т.И.Голенищева-Кутузова, А.Я.Канель-Белов,
Ю.Г.Кудряшов, И.В.Ященко
Московскиематематическиеолимпиады1935––1957г.
M82 /В. В. Прасолов и др.––М.: МЦНМО, 2010.––344 с.
ISBN978-5-94057-600-6
ВкнигесобранызадачиМосковскихматематическихолимпиад1935—
1957г.сответами,указаниямииподробнымирешениями.Вдополнениях
приведеныосновныефакты,используемыеврешенииолимпиадныхзадач.
Всезадачивтомилииномсмысленестандартные.Ихрешениетребует
смекалки,сообразительности,аиногдаимногочасовыхразмышлений.
Книгапредназначенадляучителейматематики,руководителейкруж-
ков,школьниковстаршихклассов,студентовпедагогическихспециаль-
ностей. Книга будет интересна всем любителям красивых математиче-
ских задач.
ББК 74.200.58:22.1
ПрасоловВиктор Васильевич
Голенищева-Кутузова Татьяна Игоревна
Канель-БеловАлексей Яковлевич
КудряшовЮрийГеоргиевич
ЯщенкоИван Валериевич
МОСКОВСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ
1935—1957 г.
КорректорО.А.Васильева
ТехническийредакторВ.Ю.Радионов
Подписано в печать 10.03.2010г. Формат 60×90 1/16. Бумага офсетная №1.
Печатьофсетная. Печ.л.21,5. Тираж2000экз. Заказ№????
ИздательствоМосковскогоцентранепрерывногоматематическогообразования.
119002,Москва,БольшойВласьевскийпер.,11.Тел.[phone].
ОтпечатаносготовыхдиапозитивоввППП«Типография„Наука“».
121099,Москва,Шубинскийпер.,6.
ISBN 978-5-94057-600-6 © МЦНМО, 2010.
i i
i i
i i
i i
Предисловие
В этой книге собраны условия задач, дававшихся на
Московских математических олимпиадах, начиная с пер-
вой, проходившей весной 1935 года, и кончая двадцатой,
состоявшейся в 1957 году. В книге приводятся ответы,
даются указания, а в заключение приводятся полные и
подробные решения всех задач.
Московские математические олимпиады являются ча-
стьюнашейотечественнойкультуры,которойвсемывпра-
ве гордиться. На протяжении семидесяти пяти лет энтузи-
асты, вдохновленные стремлением найти среди школьни-
ков тех, кто предрасположен к интеллектуальному твор-
честву, и желанием увлечь их красотой нашей науки,
организуют кружки, циклы лекций, издают подготови-
тельные сборники задач, наконец, проводят сами олим-
пиады, которые воистину становятся математическими
праздниками.
Московским математическим олимпиадам посвящена
значительная литература. Первая книга: «Московские ма-
тематические олимпиады 1935 и 1936 гг.» была написана
Р.Н.Бончковским (1905––1942), талантливым математи-
ком и популяризатором науки, основавшим первую серию
сборников «Математическое просвещение». Р.Н.Бончков-
ский погиб под Сталинградом. В середине шестидесятых,
в период расцвета московской математики и интереса к
науке среди школьников, вышла тиражом 122 тыс. эк-
земпляров книга «Сборник задач московских математи-
ческих олимпиад» (составитель, автор указаний и реше-
ний А.А.Леман, под редакцией В.Г.Болтянского. М.:
Просвещение, 1965). В этой книге есть раздел, посвящен-
ный задачам, взятым из подготовительных сборников к
олимпиадам; приведены условия задач первых двадца-
i i
i i
i i
i i
4 Предисловие
ти семи олимпиад и даны указания и решения некото-
рых задач олимпиад, начиная 1952 года по 1964. Через
два с лишком десятка лет вышла книга Г.А.Гальперина
и А.К.Толпыго «Московские математические олимпиа-
ды» (под редакцией А.Н.Колмогорова, М.:Просвещение,
1986).Внейприведеныусловиязадач,ответы,указанияи
решения всех олимпиад, вплоть до 1985 года. Книга была
издана неслыханным тиражом 680000 экземпляров. Об
историизарожденияолимпиад,ихразвитии,организации
и тех, кто стоял у истоков олимпиадного движения, чита-
тель может узнать из замечательного очерка В.Г.Болтян-
ского и И.М.Яглома «Школьный математический кру-
жок при МГУ и московские математические олимпиа-
ды», открывающего сборник А.А.Лемана, из предисло-
вия авторов к книге Гальперина и Толпыго, из статьи
автора настоящего предисловия «Размышления о первых
московских математических олимпиадах», помещенной
во втором выпуске третьей серии «Математического про-
свещения» (М.:МЦНМО, 1998). Сборник задач Лемана,
книга Гальперина и Толпыго и все выпуски третьей серии
«Математического просвещения» содержатся в Интерне-
те. В библиографии книги Гальперина и Толпыго чита-
тель найдет множество книг и статей, так или иначе свя-
занных с Московскими математическими олимпиадами.
Хочу сказать отдельно о предисловии А.Н.Колмогоро-
ваккнигеГальперинаиТолпыго,вышедшейвсветв1986
году. Андрей Николаевич скончался 20 октября 1987 го-
да.В момент, когда ему надобыло писать предисловие, он
был смертельно болен. В ту пору он фактически лишился
зрения и возможности говорить. Свои тексты Андрей Ни-
колаевич диктовал, и на произнесение одного слова у него
уходило несколько мучительных секунд. Прочтите его по-
разительное предисловие, в котором великий ученый бла-
гословляет своих читателей к творческим свершениям.
Представляя книгу, посвященную первым двадцати
олимпиадам, мне хочется вспомнить всех председателей
i i
i i
i i
i i
Предисловие 5
оргкомитетов этих творческих состязаний. Каждый из
них сыграл выдающуюся роль и в олимпиадном движе-
нии, и в самом формировании московской математики, и
в жизни механико-математического факультета Москов-
ского университета. Председателями оргкомитетов пер-
вых двадцати Московских математических олимпиад бы-
ли: П.С.Александров (олимпиада 1935 г.), Н.А.Глаго-
лев (1936), А.Н.Колмогоров (1937), А.Г.Курош (1938),
Л.А.Люстерник (1939), Л.С.Понтрягин (1940), А.О.Гель-
фонд (1941), И.М.Гельфанд (1945), С.А.Гальперн (1946),
И.Г.Петровский (1947), В.В.Немыцкий (1948), А.И.Мар-
кушевич (1949), М.А.Крейнес (1950),Б.Н.Делоне(1951),
П.К.Рашевский (1952), Д.Е.Меньшов (1953), С.В.Ба-
хвалов (1954), В.В.Немыцкий (1955), Е.Б.Дынкин (1956),
О.А.Олейник (1957).
Несколько лет тому назад в МЦНМО (Московском цен-
тре непрерывного математическогообразования) родилась
идея привести условия задач, сопроводить ответами, ука-
заниями и подробными решениями задачи всех Москов-
ских математических олимпиад от самой первой и до на-
ших дней. В осуществление этой идеисделаны первые два
шага: вышла книга «Московские математические олим-
пиады 1993––2005» (авторы Р.М.Федоров, А.Я.Канель-
Белов, А.К.Ковальджи, И.В.Ященко, под редакцией
В.М.Тихомирова. М.:МЦНМО, 2006) и книга, которая
сейчас находится в руках читателя. Остается сделать два
шага, чтобы покрыть расстояние от 1958 до 1992 гг. В
заключение хочу пожелать новому поколению готовиться
к встрече столетнего юбилея Московских математических
олимпиад. А там, как говорится, посмотрим.
В.М.Тихомиров
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
Условия задач
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
1935 год (I олимпиада)
Первый тур
1-й вариант
1. Определить отношение двух чисел, если отношение
их среднего арифметического к среднему геометрическо-
му равно 25:24.
2. Построить треугольник по данным двум сторонам a
и b и биссектрисе m угла между ними.
3. Пирамида, все боковые рёбра которой наклонены к
плоскости основания под углом , имеет в основании рав-
f
нобедренный треугольник с углом , заключённым меж-
a
ду равными сторонами. Определить двугранный угол при
ребре, соединяющем вершину пирамиды с вершиной уг-
ла .
a
2-й вариант
1. Железнодорожный поезд проходит мимо наблюдате-
ля в течение t секунд, при той же скорости он проходит
1
через мост длиной в a метров в течение t секунд. Найти
2
длину и скорость поезда.
2. Построить квадрат, три вершины которого лежали
бы на трёх данных параллельных прямых.
3. Найти объём правильной четырёхугольной пирами-
ды, стороны основания которой равны a, а плоские углы
при вершине равны углам наклона боковых рёбер к плос-
кости основания.
3-й вариант
1. Составить две прогрессии: арифметическую и гео-
метрическую, каждую из четырёх членов; при этом если
сложить одноимённые члены обеих прогрессий, то долж-
ны получиться следующие числа: 27, 27, 39, 87.
i i
i i
i i
i i
10 Условия задач. 1935 год
2. Доказать, что если стороны треугольника образуют
арифметическую прогрессию, то радиус вписанного круга
1
равен одной из высот.
3
3. Высота усечённого конуса равна радиусу его боль-
шего основания; периметр правильного шестиугольника,
описанного около меньшего основания, равен периметру
равностороннего треугольника, вписанного в большее ос-
нование. Определить угол наклона образующей конуса к
плоскости основания.
4-й вариант
1. Решить систему уравнений:
x2+y2 2z2 =2a2,
−
x+y+2z =4(a2+1),

 z2 xy =a2.
−
2. В треугольнике ABC из произвольной точки D на

стороне AB проведены две прямые, параллельные сторо-
нам AC и BC, пересекающие BC и AC соответственно в
точках F и G. Доказать, что сумма длин окружностей,
описанных около треугольников ADG и BDF, равна длине
окружности, описанной около треугольника ABC.
3. Развёртка боковой поверхности конуса представля-
ет собой сектор с углом в 120 ; в конус вписана треуголь-
◦
ная пирамида, углы основания которой составляют ариф-
метическую прогрессию с разностью 15 . Определить угол
◦
наклона к плоскости основания наименьшей из боковых
граней.
Второй тур
Серия A
1. Дана окружность и на ней три точки M, N, P, в
которых пересекаются с окружностью (при продолжении)
высота, биссектриса и медиана, выходящие из одной вер-
шины вписанного треугольника. Построить этот треуголь-
ник.
i i
i i