Preview 175
Н К ТП С С СР ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ АВИАЦИОННОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ Труды Центрального аэро-гидродинамического института ^ С) ^ имени проф. Н. Е. Жуковского л ъг Выпуск 175 //175 С. А. ЧАПЛЫГИН и В. В. ГОЛУБЕВ V К Т Е О Р ИИ П Р О Д У В КИ Ц И Л И Н Д Р ОВ Д В И Г А Т Е Л ЕЙ В Н У Т Р Е Н Н Е ГО С Г О Р А Н ИЯ Ф ОБЪЕДИНЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ЙКТП СССР ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ОБЩЕТЕХНИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И НОМОГРАФИЯ МОСКВА 1934 ЛЕНИНГРАД Н К ТП С С СР ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ АВИАЦИОННОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ Труды Центрального аэро-гидродинамического института . ?• =• ^ Р ,.. ! ,ь . имени проф. Н. Е. Жуковского Выпуск 175 ч С. А. ЧАПЛЫГИН и В. В. ГОЛУБЕВ К Т Е О Р ИИ П Р О Д У В КИ Ц И Л И Н Д Р ОВ Д В И Г А Т Е Л ЕЙ В Н У Т Р Е Н Н Е ГО С Г О Р А Н ИЯ 51 I Ч ч ОБЪЕДИНЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО НКТП СССР ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ОБЩЕТЕХНИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ4 И НОМОГРАФИИ МОСКВА 1934 ЛЕНИНГРАД » А initji: ICA" -»•«»" I f MMtwiaw coc* J T 39-5-4 aw//* A3 U S SR PEOPLE'S COMMISSARIAT OF HEAVY INDUSTRY THE MAIN BOARD OF AIRCRAFT INDUSTRY Transactions of the Central Aero-Hydrodynamical Institute .rt , № 175 v ON T HE THEORY OF F L OW T H R O U GH T HE CYLINDERS OF INTERNAL C O M B U STION ENGINES • by S. A. CHAPLIGIN and V. V. GOLUBEV MOSKOW 1934 LENINGRAD КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ. Гидродинамическая теория течения газов в цилиндрах двигателей внутреннего сгора ния представляет огромные трудности. Настоящая работа ставит своей задачей дать прибли женную теорию при следующих предположения!: 1) круглый цилиндр заменен прямоугольным параллелепипедом, причем впускные и выхлопные окна заменены щелями, параллельными основанию; 2) газ, протекающий через цилиндр, заменен идеальною жидкостью. При сделанных предположениях течение газа в пилипд, е можно рассматривать как плоскопардллельнсе течение идеальной жидкости. В работе рассматривается ряд случаев плоскопараллелыюго течения несжимаемой идеальной жидкости, протекающей через контуры, представляющие собою схематическое изображение осевого сечения цилиндров двигателей внутреннего сгорания. Простейшая задача, рассматриваемая в ргботе, состоит в следующем: изучить плоско параллельное течение идеальной жидкости, протекающей через прямоугольник АВСИ, при чем точка а стороны СХ> является источником (бесконечно узкая щель — впускное окно), а точка Ъ сюроны АВ является стоком (бесконечно узкое выхлопное окно) и стороны АЬ и ВС (поршни) подвижны и движутся со скоростями г>. Для этого случая характеристическая функция тече2ния определяется уравнениями (1), (9) работы. • Подобная же задача решается в предположении, что внутри прямоугольника имеются вихри. В этом случае характеристическая функция течения дается уравнением (15) работы, скорость вихря — уравнениями (21) и (22) и траектория его — урагнением (23). Далее, рассматривается ряд случаев течения в предположении, что впускные и вы хлопные окна конечной ширины. Метод решения состоит в том, что вся область течения отображается на внутренность прямоугольника, в котором и строится соответствующая характеристическая фуникия течения. В § 3 рассматривается течение в предположении, что газ втекает в цилиндр и выте кает из него через каналы бесконечной длины (фиг. 5). Уравнение (23) дает отображение области течения на прямоугольник; уравнение (37) дает характеристическую функцию тече ния в предположении неподвижных поршней и (38) —в случае поршней подвижных. В § 4 рассматривается случай продувки через окно, прорезанное н косой направле нии (фиг. 13). Отображение области течения на прямоугольник дается уравнением (38) и характеристическая функция течения — уравнением (51). В § 5 рассматривается случай течения через цилиндр с широкими окнами и подвиж ным поршнем (фиг. 23). Характеристическая функция течения дается уравнением (64) и отоб ражение области течения на прямоу! ольнике — уравнением ^65). В § 6 рассматривается случай течения через цилиндр с перегородками. В этом случае отображение дается уравнением (73) и характеристическая фуншия — уравнением (77). Фор мула (80) дает секундное количество протекающей через окно А'В' (фиг. 27) жидкости. В § 7 приведены общие соображения о возможности решения задач иным путем, при помощи сведс-ния их к формуле Зсп^агг-СНзтюИеН'я. В § 8 рассматривается задача об определении разности давлений в впускном и вых лопном окнах в случае, разобранном в § 5; эта разность давлений дается формулою (102). В § 9 выведены формулы для определения времени протекания жидкости через ци линдр для случая течения, разобранного в § 2, в предположении, что источник и сток поме щаются в точках а и Ь (фиг. 39). В этом случае время протекания определяется уравне нием (121), причем (122) и (123) дают время протекания вдоль стенок цилиндра. Подобным же образом определяется время протекания для случая цилиндра с широкими окнами, ра¬ . зобранного в § 3. В этом случае время протекания определяется формулою (131). Наконец, в § 10 рассматривается задача об определении полноты очистки цилиндра; она приводится к построению уравнения линии, отделяющей область, из которой за дан ный интервал выйдут сполна продукты сгорания. Уравнения (119)—(124) дают метод для решения этой задачи. 3 § 1. Постановка задачи. Для очистки цилиндров двигателей внутреннего сгорания от продуктов сгора ния после взрыва горючей смеси применяется продувание цилиндров воздухом. Если АВСО представляет собой разрез цилиндра, а я и Ь — отверстия в его стенках (фиг. 1), то воздух, для продувания впускаемый под не большим давлением в отверстие а (окно для впуска воз духа), обегает цилиндр и выходит через Ь (выхлопной клапан). В различных системах продувки отверстия а и Ь располагаются или ка одной стороне цилиндра друг над другом, или на противоположных сторонах и открываются движением поршня; в системе Юнкерса эти отверстия расположены двумя рядами вокруг всего цилиндра и от крываются движением двух поршней. Изучение с точки зрения теоретической аэродинамики течения воздуха в ци линдрах двигателей внутреннего сгорания представляет со бой задачу настоящей работы. Протекание воздухом цилиндра с круглым попереч- Фнг. 1. ным сечением представляет собой весьма сложную про странственную гидродинамическую задачу; но эта задача чрезвычайно упрощается, если цилиндр заменить прямоугольным параллелепипедом, причем расположить а и Ь или на одной, или на противоположных гранях парал лелепипеда и считать их щедями, параллельными основанию. В этом случае течение в цилиндре можно считать плоскопараллельным; такое упрощающее предположение мы и будем делать в дальнейшем. Кроме того, мы будем считать воздух несжи маемым; при тех скоростях, которые имеют место в цилиндре во время его про дувки, это последнее предположение выполняется достаточно точно. • В окончательном виде поставленная задача принимает следующий вид: изучить плоскопараллельное течение несжимаемой жидкости, протекающей через прямоугольник АВСО, причем а является источником, а точкам — стоком; стороны АО и ВСмогут быть или неподвижны, или подвижны (поршни) и иметь скорости и v• . i В дальнейшем изучены такие течения при различных предположениях о раз мерах и расположении отверстий а и Ь. Мы увидим, что задача решается приме нением теории эллиптических функций. В задачах механики теория эллиптические функций находит, как известно, чрезвычайно широкое применение, но в задачах механики эти функции входят обычно в результате интегрирования уравнений ме ханики, причем их основное свойство, как функций комплексного переменного с некоторым параллелограмом периодов, не получает непосредственного механи ческого приложения. В задачах, рассматриваемых в настоящей работе, эллиптические функции находят себе механическое применение во всей комплексной плоскости, и самый характер механической задачи тесно связан с их двойною периодичностью. § 2. Построениё^характеристической функции течения; случай бесконечно узких отверстий. Предполагая стороны АЭ и ВС неподвижными и взяв оси, как на фиг. 2, построим течение, имеющее в а и во всех точках, являющихся изображениями как точки а, так и всех зеркальных изображений а относительно сторон прямоуголь ника АВСО, источники и в точке Ь и во всех ее зеркальных изображениях от носительно сторон АВСО — стоки. Называя длины сторон АО и АВ соответственно через / и /г и обозначив через с некоторый масштаб, положим, что / й . , с с ' » и построим на вспомогательной плоскости комплексного неременного и сеть прямо¬ угольников со сторонами 2<о и -у, как показано на фиг. 3. 4 Получим прямоугольник 00.1^5 и его изображения относительно его ' сторон. Прямоугольник состоит из четырех прямоугольников со сторонами ш и у Л Функция г —си (1) отображает прямоугольник ОМЫР со сторонами ш = ОМ и ~ — ОР на прямо угольник АВСО плоскости г (фиг. 2). Для решения поставленной задачи доста точно построить на плоскости и (фиг. 3) функцию, ко торая имела бы в точках, эквивалентных с а и —а ч № (фиг. 3) относительно сети прямоугольников со сторо- л 2ш' нами 2ш и —, полюсы первого порядка с положитель ными вычетами и в точках, эквивалентных с ¡3 и —¡3, полюсы первого порядка с отрицательными вычетами. Кроме того, так как скорость течения внутри цилиндра у его стенок направлена по стенкам, то искомая функция должна быть действительной на ОМ и РЫ и чисто мни мой на ОР и МЫ и равной нулю в точках О, М, N и Р; при выполнении всех этих условий получим производную D характеристической функции течения. Фиг. 2. Для построения такой функции заметим, что функ ция р(и) — где $> («) = р (и; 2т, 2о>'), имеет нули первого порядка в точках а и —а и во всех точках, им эквивалентных, и полюс Р'а второго порядка в точке и = 0. Ее логарифмическая производная ^ _ ^ имеет ц а в ы = а и и = — а полюсы первого порядка с вычетом -¡-1 и в и — 0 полюс пер вого порядка с вычетом — 2. а'и Аналогично функция — ?—— имеет полюсы первого порядка с вычетом-)-1 в точках гг = + [3 и полюс первого порядка с вычетом — 2 в и = 0. Следовательно, функция ! 1 S 1* Р в Из' i /D /V S й имеет полюсы первого порядка с вычетом -}- 1 о M в точках, эквивалентных с + а, и полюсы пер * s Q. вого порядка с вычетом •— 1 в точках, эквива 0 лентных с + р. -а- Легко видеть, что уравнение 1 dw Фиг. 3. (2) v dz •pa p где г —си, определяет характеристическую функцию ни искомого течения. В самом деле, при действительных значениях ш и у функции $х и <@'х дей ствительны при действительном х; $>у1 действительной р'_уг— чисто мнимое при дей ствительном у; *р{®-\-у!) и ¡¡3(ш' -|-х) действительны при действительных х и у; р(о)-|-гу) — чисто мнимое и -\-х) — действительное1). i) См., например, Р. А р р е 11, Е. L а с о u r, Principes de 1а théorie des fonctions ellip tiques, p. 69—75. Подставляя все эти значения в (2), получим, что действительно на АО и ВС и чисто мнимое на АВ и СО, откуда следует, что в течении, определяемом характеристической функцией чш, скорость течения направлена по сторонам прямо угольника АВСО (фиг. 2). В точках а и Ь мы имеем соответственно источник и сток. Наконец, в точках О, Р, М, N и им соответствующих в АВСО = О, так как рЧ.<и)==Р'(со')==Р'(СЙ_Ьш') = 0> и в точке и = 0 функция . , | 1 1 1 Р ^ ф о - Р» 0 ц » |р«- р а р и - рН (р Н - ра) (р и - рэ) имеет нуль, так какр'и имеет там полюс третьего порядка, а (рв— р«)(ри — рр)— полюс четвертого порядка. Таким образом функция да, определяемая уравнением (2), дает искомую характеристическую функцию. Общий характер течения, определяе мого характеристическою функцией но, указан на фиг. 4. Так как имеет место уравнение р'и _ = С («--}-а) + С (и —а) —2Са, рв-ро то (2) можно переписать в виде: ^ ^ = С (" + «)+Л (« - «) ~ С (« + Р) - С (и - Р). (3) Тот же прием построения характеристической функции может быть применен и в случае подвижных поршней. Рассмотрим течение, определяемое характеристическою функцией и) причем 1} 1^ ;( _1_С( _а) + С( + Р)4-С( _Р)= Фиг. 4. = ! ц + а) ц И а = \ 1 1 1+4Си. (4) = Р' Известно, что С" действительно при действительном и и чисто мнимое при мнимом ц *) и, кроме того, 1 Р'ы С(в + ш) = и - Н - 1- 2 р в -р (5) 1 р'и 2 р в—рш'' Подставляя все эти значения в (4), получим: 1) На поршне АО: равно действительному числу (скорость направлена по поршню). 2) На стенке АВ: — чисто мнимое (скорость направлена по стенке). 3) На стенке СО: -^-^ — чисто мнимое-)-4т) (гдет| = С«>—действительное) 4) На поршне ВС: -—^^—действительное число —|— 4г]' (где г /= Сев' — чисто мнимое). Отсюда легко построить течение, направленное на стенках АВ и СО по стен кам и на поршне АО по поршню и имеющее на поршне ВС постоянную слагаю щую скорости, перпендикулярную к поршню. В самом деле, пусть ? = р'«| ?-МСи — (6) V (1г а ( р в — р а. 1 р в —: рр \ 1 <о 1) Это видно, например, из соотношения С'в = —р«. Сравнивая (6) и (4), имеем 1) На поршне АО: равно действительному числу (скорость направлена по поршню). 2) На стенке АВ: -^-^ — чисто мнимое (скорость направлена по стенке). 3) На стенке СО: — чисто мнимое -}-4т| — ^(ю-{-гу)— чисто мнимое (скорость направлена по стенке). 4) На поршне ВС: равно действ, числу +4?! ! (т -\-х) = действ, число !—-—! ~^х — 2-м = действ, число ш (т. е. в точках поршня ВС имеем слагающую скорости, нормальную к поршню и 2тс равную во всех точках поршня -^-и) 1)- Следовательно, гш есть характеристическая функция течения, имеющего источ г ники в а и й, причем нижний поршень неподвижен, а верхний движется со 2-х •скоростью — V. Наконец, если взять характеристическую функцию и) , определяемую уравнением й 1*Ь = «| '„Г_1— + — 1— 1 4с«-^«1 + 2 ^ -. (7> Р + V (1г у [рц—ра 1 р« — р|3 1 о) Г со 4 ' то получим течение с источниками а и д, у которого скорости на нижнем и верх нем поршнях соответственно равны: •а^—^ч/р и 9 — ^<о(п — р). (8) Л В течениях, определяемых функциями да^, да> ^з» н ет с т о к ой в цилиндрах, так 2 как точки а ир являются источниками [в формуле (7) при положительном я]. Чгобы получить течение с источником в а со стоком в Ь и с движущимися с постоянною скоростью г> и 1> поршнями, достаточно взять функцию ты±, опре 1 2 деляемую уравнением: —~ т Ч? и — { - > + ий» и) — И - V аг г | р « - р« Р в—рр[ ' г | Р и - р а 1 Р в - р р/ { _ Л . } 2 р ^. (9) + 4 я С в в + В (9) член —5—— определяет секундное количество жидкости, втекающей р р в цилиндр через источник а; оно равно см(т-\-п); точно так же член —- (от— я) дает количество жидкости, вытекающей через сток о; оно равно «сэ(/м—я). Выражение 4я^Си— и. | определяет секундное количество жидкости, протекающей через верхнее сечение цилиндра; как это было выше показано, оно равно 27С ТС — V (я — р) о) = 2-кУс(п—р). Наконец, 2р'1 — дает секундное количество жид¬ кости, вытекающей из цилиндра через нижнее сечение; оно равно — чзрж = 2те урс. Так как имеет место равенство: спи (от -(- и) — с^{т — я)' — 2ъж (л — р) — 2-к-врс = О, 1) При этом пользуемся соотношением: •»)«)' —= y' (см-> например, P. Appel 1, Е. L а с о u г, Principes de la théorie des fonctions elliptiques, стр. 26).
The list of books you might like
