Table Of Content

Парадигма развития науки Методологическое обеспечение А.Е. Кононюк ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНАЯ МАТЕМАТИКА Книга 5 Матрицы Часть 4 Киев Освіта України 2012 А. Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика 2 А. Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика УДК 51 (075.8) ББК В161.я7 К 213 Рецензенты: М.К.Печурин - д-р техн. наук, проф. (Национальный авиационный университет). Кононюк А.Е. К65 Дискретно-непрерывная математика. Матрицы. К.5.Ч.4. К.4:"Освіта України", 2012. - 508 с. ISBN 978-966-7599-50-8 Многотомная работа содержит систематическое изложение математических дисциплин, исспользуемых при моделировании и исследованиях математических моделей систем. В работе излагаются основы теории множеств, отношений, поверхностей, пространств, алгебраических систем, матриц, графов, математической логики, теории формальных грамматик и автоматов, теории алгоритмов, которые в совокупности образуют единную методолгически взамосвязанную математическую систему «Дискретно- непрерывная математика». Для бакалавров, специалистов, магистров, аспирантов, докторантов и просто ученых и специалистов всех специальностей. ББК В161.я7 ISBN 978-966-7599-50-8 ©А.Е. Кононюк, 2012 3 А. Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика Оглавление Модуль 14. Введение в матричный анализ……………………………4 Микромодуль 43. Векторные пространства, матрицы, определители………………………………………………………….4 Микромодуль 44. Ранг, невырожденность, скалярное произведение, блочные матрицы……………………………………18 Микромодуль 45. Специальные матрицы…………………………..33 Модуль 15. Собственные значения, собственные векторы и подобие………………………………………………………………..45 Микромодуль 46. Собственные значения…………………………..45 Микромодуль 47. Подобие и собственные векторы……………...58 Модуль 16. Унитарная эквивалентность и нормальные матрицы……82 Микродуль 48. Унитарная эквивалентность………………………..82 Микромодуль 49.Нормальные матрицы и QR-разложения………124 Модуль 17. Канонические формы…………………………………….145 Микромодуль 50. Жордановы канонические формы……………...145 Микромодуль 51. Многочлены и матрицы………………………...172 Модуль 18. Эрмитовы и симметричные матрицы…………………...200 Микромодуль 52. Эрмитовы матрицы…………………………….200 Микромодуль 53. Симметричные матрицы………………………243 Модуль 19. Нормы векторов и матриц………………………………..312 Микромодуль 54. Нормы векторов………………………………..312 Микромодуль 55. Нормы матриц………………………………….352 Модуль 20. Локализация и возмущения собственных значений…….412 Микромодуль 56. Локализаци собственных значений……………412 Микромодуль 57. Возмущение собственных значений…………..434 Микромодуль 58. Неравенства для собственных и сингулярных чисел………………………………………………………………….463 Приложения……………………………………………………………...492 Литература……………………………………………………………….502 Указатель обозначений………………………………………………….505 4 А. Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика Модуль 14. Введение в матричный анализ Излагаемый в этой книге материал по матричному анализу базируется на труде известных американских математиков Р.Хорна, Ч.Джонсона «Матричный анализ», представляющий собой исчерпывающее изложение теории матриц, которая находит применение практически в любой области математики и во всех ее приложениях. Она содержит как классический материал, так и последние достижения в этой обширной области, в ней много упражнений и задач разной степени трудности. Книга сопоставима с известной книгой Ф. Р. Гантмахера, но гораздо шире ее в таких разделах, как оценки погрешностей при решении линейных уравнений, локализация собственных значений, теория возмущений. В настоящем модуле приводится (сжато и без доказательств) ряд полезных понятий и фактов, на многие из которых явно или неявно опирается основной материал настоящей книги. Большинство из них в той или иной форме должно входить в элементарный курс линейной алгебры. Однако есть и не столь широко известные; некоторые из них рассматриваются здесь, а не в последующих главах из-за того, что плохо вписываются в их структуру. Таким образом, данный модуль может служить кратким обзором, предваряющим книгу, или справочником, к которому удобно обращаться по мере необходимости. Для дальнейших ссылок здесь даются также основные обозначения и некоторые определения. Мы предполагаем, однако, что читатель уже хорошо знаком с элементарными понятиями линейной алгебры и техникой выполнения таких матричных операций, как умножение и сложение матриц. Микромодуль 43. Векторные пространства, матрицы, определители 14.1. Векторные пространства В нашем изложении понятие векторного пространства будет использоваться, как правило, неявно. Тем не менее оно является фундаментальным для всей теории матриц. 5 А. Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика 14.1.1. Основное поле. Определение векторного пространства базируется на понятии поля, или множества скаляров, на которые можно умножать векторы. В наших построениях это поле почти всегда будет полем R вещественных чисел или полем С комплексных чисел (см. приложение А) с обычными операциями сложения и умножения. Однако это может быть и поле рациональных чисел, поле вычетов по простому модулю или какое-то иное поле. В случае когда не указано, какое именно поле имеется в виду, будем использовать для него символ F. Множество скаляров будет полем, если оно замкнуто относительно двух заданных бинарных операций (называемых сложением и умножением), причем выполняются следующие условия: обе эти операции ассоциативны и коммутативны и каждая обладает нейтральным элементом; обратные элементы относительно операции сложения существуют (и содержатся в том же множестве) для всех элементов, относительно операции умножения - для всех элементов, кроме нейтрального элемента 0 операции сложения; операция умножения дистрибутивна относительно операции сложения. 14.1.2. Векторные пространства. Векторное пространство (Часто используется также термин линейное пространство) V над полем F — это множество объектов (называемых векторами), замкнутое относительно бинарной операции (называемой сложением), которая ассоциативна, коммутативна и обладает нейтральным элементом (0); для каждого элемента существует обратный элемент относительно этой операции, принадлежащий тому же множеству. Это множество замкнуто также относительно операции левого умножения вектора на скаляр из поля F, причем для любых и для любых выполняются следующие соотношения: где — нейтральный элемент относительно умножения. Для заданного поля F и целого положительного числа п множество Fп упорядоченных п-членных наборов с компонентами из F образует векторное пространство над F при очевидном определении операций (наборы складываются покомпонентно). В частных случаях получаем векторные пространства и — основные для данной книги. Другие примеры векторных пространств (над R или С): многочлены с 6 А. Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика вещественными или комплексными коэффициентами (степени не выше заданной или же всевозможных степеней) и непрерывные или про- извольные функции на отрезке с вещественными либо комплексными значениями. Конечно, имеется существенное различие между конечномерным пространством и бесконечномерным векторным пространством непрерывных функций на [0, 1] с вещественными значениями. 14.1.3. Подпространства и линейная оболочка. Подпространство U векторного пространства V — это подмножество в V, которое само является векторным пространством над тем же самым полем. Например, множество есть подпространство в R3. Как правило, подпространство векторного пространства V определяется при помощи некоторых соотношений, выделяющих часть векторов из V таким образом, чтобы обеспечить ее замкнутость относительно сложения элементов в V; например, подпространство составляют векторы из R3 с последней компонентой 0. При этом получающееся множество полезно рассматривать именно как подпространство, а не как самостоятельное векторное пространство. В любом случае пересечение двух подпространств есть снова подпространство. Если S — подмножество векторного пространства V, то его линейной оболочкой называется множество Заметим, что Span S — всегда подпространство, даже если S подпространством не является. Говорят, что S порождает векторное пространство V, если Span S = V. 14.1.4. Линейная зависимость и независимость. Множество векторов в векторном пространстве называется линейно зависимым, если существуют коэффициенты такие, что не все из них равны нулю и Это эквивалентно тому, что один из векторов х выражается в виде і линейной комбинации остальных векторов с коэффициентами из F (эквивалентность имеет место при k≥2.). Например, множество линейно зависимо в R3. 7 А. Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика Подмножество в V, не являющееся линейно зависимым над F, называется линейно независимым. Например, множество линейно независимо в R3. Важно заметить, что оба понятия по сути своей относятся к множествам векторов. Любое подмножество линейно независимого множества также линейно независимо; {0}—линейно зависимое множество и, следовательно, любое множество, содержащее вектор 0, линейно зависимо. Множе- ство векторов может быть линейно зависимым, в то время как любое его собственное подмножество линейно независимо. 14.1.5. Базис. Подмножество S векторного пространства V порождает V, если любой элемент из V можно представить как линейную комбинацию элементов из S (с коэффициентами из соответствующего основного поля). Например, множество порождает R3 над R (или С3 над С). Линейно независимое множество, порождающее векторное пространство V, называется его базисом. Существует много различных базисов. Однако все они обладают следующим замечательным свойством: любой элемент из V можно разложить по базису единственным способом, но это утверждение становится неверным как при пополнении базиса каким-либо элементом, так и при исключении любого из элементов. Линейно независимое множество элементов из V составляет базис в том и только в том случае, если при любом его пополнении оно становится линейно зависимым. Для того чтобы множество, порождающее V, являлось базисом, необходимо и достаточно, чтобы ни одно из его собственных подмножеств не порождало V. Любое векторное пространство имеет базис. 14.1.6. Дополнение до базиса. Любое линейно независимое множество векторов в векторном пространстве V можно дополнить до базиса; другими словами, для любого линейно независимого множества всегда найдутся дополнительные векторы такие, что множество есть базис в V. Дополнительные векторы, конечно, определяются неоднозначно (например, линейно независимое множество дополняется до базиса в R3 любым вектором с ненулевой третьей компонентой). Пример 8 А. Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика вещественного векторного пространства С [0, 1] непрерывных вещественнозначных функций на [0, 1] показывает, что базис в общем случае может не быть конечным. Бесконечное множество одночленов линейно независимо в С [0, 1] 14.1.7. Размерность. Если один из базисов векторного пространства V состоит из конечного числа элементов, то и любой базис содержит такое же число элементов, и это число называется размерностью векторного пространства V. В этом случае V называется конечномерным, а в противном — бесконечномерным. Между любыми двумя базисами в бесконечномерном пространстве (например, в С [0,1]) существует взаимно однозначное соответствие. Размерность вещественного векторного пространства Rп равна п. Векторное пространство Сп имеет размерность п над полем С и 2п над полем R. Базис в котором і-я компонента вектора e равна 1, а остальные равны нулю, і называется иногда стандартным или естественным базисом в Rп или Сп. 14.1.8. Изоморфизм. Пусть U и V — векторные пространства над одним и тем же полем F и — обратимая функция, такая, что для всех и для всех В этом случае f называется изоморфизмом, a U и V называются изоморфными («одинаково устроенными»). Два конечномерных векторных пространства над одним и тем же полем изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность. Таким образом, любое «-мерное векторное пространство над полем F изоморфно F". Всякое п-мерное вещественное или комплексное векторное пространство, следовательно, изоморфно соответственно Rп или Сп. Конкретно: если V есть п-мерное векторное пространство над полем F и — его базис, то, поскольку любой элемент однозначно записывается в виде где мы можем вектору х поставить в соответствие столбец и отображение является изоморфизмом между V и Fп, отвечающим базису 9 А. Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика 14.2. Матрицы При изучении матриц важно иметь в виду следующие два подхода к их определению: с одной стороны, матрица рассматривается как прямоугольный массив скаляров; с другой стороны, она представляет линейное отображение одного векторного пространства в другое, когда в каждом из них фиксирован базис. 14.2.1. Прямоугольный массив. Матрица — это массив размера т×п, заполненный скалярами из поля F. В случае т = п матрица называется квадратной. Множество всех т×п-матриц, или матриц размера т×п, над F обозначается через М , (F) или M (F),если т = п (при т = п говорят о матрице порядка п). тп n В наиболее распространенном случае, когда F=С, вместо будем писать М и М , . Как правило, матрицы п тп обозначаются заглавными буквами. Например, матрица принадлежит Подматрица какой-либо матрицы — это прямоугольный массив, расположенный в выделенных строках и столбцах исходной матрицы. Для матрицы А, приведенной выше, в качестве подматрицы можно рассмотреть, например, — это подматрица, расположенная во второй строке и во втором и третьем столбцах матрицы А. 14.2.2. Линейные отображения. Пусть U есть п-мерное, а V есть m-мерное векторные пространства над одним и тем же полем F. Базисы в U и в V обозначим соответственно через и С помощью изоморфизмов и векторы из U и V представим как столбцы соответственно с п и m компонентами, принадлежащими F. Линейное отображение — это функция удовлетворяющая соотношению для любых скаляров a , a и люоых векторов х , х . (Если U=V, то такое 1 2 1 2 отображение называется линейным преобразованием.) Всякому линейному отображению отвечает матрица 10