Table Of Content

Парадигма развития науки Методологическое обеспечение А.Е. Кононюк ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНАЯ МАТЕМАТИКА Книга 5 Матрицы Часть 1 Киев Освіта України 2011 А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика 2 А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика УДК 51 (075.8) ББК В161.я7 К 213 Рецензенты: М.К.Печурин - д-р техн. наук, проф. (Национальный авиационный университет). Кононюк А.Е. К65 Дискретно-непрерывная математика. Матрицы. К.5.Ч.1. К.4:"Освіта України", 2011. - 612 с. ISBN 978-966-7599-50-8 Многотомная работа содержит систематическое изложение математических дисциплин, исспользуемых при моделировании и исследованиях математических моделей систем. В работе излагаются основы теории множеств, отношений, поверхностей, пространств, алгебраических систем, матриц, графов, математической логики, теории формальных грамматик и автоматов, теории алгоритмов, которые в совокупности образуют единную методолгически взамосвязанную математическую систему «Дискретно- непрерывная математика». Для бакалавров, специалистов, магистров, аспирантов, докторантов и просто ученых и специалистов всех специальностей. ББК В161.я7 ISBN 978-966-7599-50-8 ©А.Е. Кононюк, 2011 3 А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика Оглавление Введение …………………………………………………………...........4 Модуль 1. Типы матриц и действия над ними ...……………......…….5 Микромодуль 1. Введение в матрицы ...……………......………...........5 Микромодуль 2. Алгебра матриц ...………………………...... …….. 35 Микромодуль 3. Квадратные и псевдообратные матрицы.....……….52 Модуль 2. Определители и уравнения ...…………………………. 87 Микромодуль 4. Определители ...……………......……………......... 87 Микромодуль 5. Алгебраические уравнения...…………………… 108 Модуль 3. Матричные многочлены и функции о т матриц............ 171 Микромодуль 6. Матричные многочлены ...………………………. 171 Микромодуль 7. Дифференциальные уравнения...…………………192 Микромодуль 8. Функции от матриц ...…………………………… 223 Микромодуль 9. Матричные преобразования.....………………...... 335 Модуль 4. Инвариантные многочлены и матричные уравнения .... 370 Микромодуль 10. Эквивалентные преобразования многочленных матриц ………………………………….........................370 Микромодуль 11. Матричные уравнения...……………………… ….407 Микромодуль 12. Пространство переменных состояний……….. 436 Модуль 5. Общая теория линий и поверхностей второго порядка.. 459 Микромодуль 13. Общая теория линий второго порядка………….. 459 Микромодуль 14. Общая теория поверхностей второго рорядка…. 487 Модуль 6. Линейные преобразования и матрицы……………………526 Микромодуль 15. Линейные преобразования на плоскости……… 526 Микромодуль 16. Линейные преобразования в пространстве………558 Литература ...…………………………………………...................... 609 4 А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика Введение Сразу отметим, что хотя нет такой задачи, которую нельзя было бы решить без помощи матриц, представление совокупностей чисел и других объектов в виде таблиц оказалось чрезвычайно удобным и эффективным способом упорядочения информации. Это обусловило быстрое развитие матричного аппарата и его широкое применение в науке и технике. Многие выкладки и результаты без использования матриц выглядели бы слишком громоздкими и трудно обозримыми. Работа с матрицами не только экономит время, но и означает более высокий уровень математической культуры и мышление. Теория матриц основана на простых положениях. Однако овладение матричным аппаратом требует значительных усилий и тренировки. Необходимо не только понимать смысл основных матричных соотношений, но и научиться уверенно оперировать с матрицами как объектами больше общего характера по сравнению с числами и функциями. С этих позиций и излагается материал в настоящей работе. Вначале подробно рассматриваются основные действия над матрицами, вычисление определителей и обращение матриц. Излагаемые числовые методы служат не только средством решения этих задач. Они позволяют глубже проникнуть в сущность основных понятий и соотношений теории матриц и определителей. Развитие матричного аппарата связано, прежде всего, с решением систем линейных алгебраических и дифференциальных уравнений. При изложении этих вопросов предполагается, что читатель знаком с основными положениями теории таких систем и методами их решения без применения матриц. Матричный аппарат позволяет представить процессы решения и исследования систем уравнений в удобной и лаконичной форме, а также построить алгоритмы для реализации этих процессов на электронных вычислительных машинах (компьютерах). При рассмотрении дифференциальных уравнений выясняется смысл понятия экспоненциальной функции от матрицы в простейшем случае, когда все корни характеристического уравнения простые. В дальнейшем это понятие распространяется на случай кратных корней и приводится обзор методов определения аналитических функций от матриц в общем виде. Использование матриц для решения многих прикладных задач часто сводится по существу к их преобразованиям. Систематическое рассмотрение этих вопросов позволяет выяснить взаимосвязь между различными типами таких преобразований, установить их особенности и области применения. 5 А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика Последний материал посвящен рассмотрению основных соотношений в пространстве переменных состояний, значение которого сильно возросло в связи с использованием современных средств вычислительной техники для математического моделирования физических систем. Вместе с общими методами представления таких систем, затрагиваются некоторые вопросы их исследования (наблюдательность, управляемость, устойчивость). Модуль 1 Типы матриц и действия над ними Микромодуль 1 Введение в матрицы 1.1. Основные определения Пусть дано некоторое числовое поле K. Под числовым полем понимают любое множество чисел, в пределах которого всегда выполними и однозначны четыре операции: сложение, вычитание, умножение и деление на число, которое отлично от нуля. Примерами числовых полей может служить множество всех рациональных чисел, множество всех действительных чисел или множество всех комплексных чисел. Предполагается, что все встречающиеся в дальнейшем числа принадлежат данному исходному числовому полю. Определение 1. Прямоугольную таблицу чисел из поля K будем называть матрицей Или, другими словами, матрица — это множество чисел или объектов другой природы, расположенных в виде прямоугольной таблицы: 6 А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика Такая таблица, которая состоит из т строк и п столбцов, содержит тп клеток (позиций). При этом говорят, что матрица имеет размер т × п и ее называют (т × п)-матрицей. Позицию на пересечении i-й строки и j-го столбца будем называть ij-клеткой. Числа или любые другие объекты, которые расположены в клетках таблицы, называют элементами матрицы. Положение элементов строго фиксировано: в каждой клетке должен располагаться только один элемент и ни одна клетка не должна оставаться свободной. В общем обозначении элемента а первый индекс i всегда указывает ij номер строки, а второй — номер столбца. Элемент, который расположен в ij-клетке, называют ij-элементом. Матрица обозначается одной буквой (часто буквы, которые обозначают матрицы, набирают жирным шрифтом или обозначают какими-нибудь дополнительными символами). Однако независимо от принятого способа обозначения матрица всегда является совокупностью таблично упорядоченных элементов. Две матрицы равны, если и только если равны их соответствующие элементы, т.е. А=В при условии а =b (i = 1,2, ... , т; j = 1,2, ... , п). Ясно, что ij ij сравнивать можно только матрицы одного и того же размера, между элементами которых определено отношение равенства. Матрицы, элементами которых являются вещественные или комплексные числа, называют соответственно вещественными или комплексными. Пусть А — комплексная (т × n)-матрица с элементами а =α +iβ . Матрица А того же размера с элементами а* =α -iβ ij ij ij ij ij ij называется комплексно-сопряженной с А. Часто для упрощения нулевые элементы в таблицу не записывают, но при этом имеют в виду, что пустые клетки также содержат числа (нули). Кроме приведенной выше клеточной записи, используют и другие способы представления матриц, например: 7 А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика Матрицы впервые появились в середине позапрошлого века в роботах английских математиков А. Кэли и У. Гамильтона. Представление совокупностей элементов в виде матриц и разработанные правила операций над ними оказались довольно плодотворными в математике и нашли широкое применение в физике, технике, экономике. Существенный вклад в разработку общей теории матриц и ее приложений внесли математики И. А. Лаппо- Данилевський, А. Н. Крылов, Ф. Р. Гантмахер, М. Г. Крейн. Типы матриц. Матрица может иметь любое количество строк и столбцов (конечное или бесконечное). В дальнейшем при отсутствии оговорок будут рассматриваться конечные матрицы с числовыми элементами. Если матрица состоит из одного столбца или одной строки, то она соответственно называется столбцевой или строчной (употребляются также названия матрица-столбец и матрица-строка). В таких случаях достаточно отмечать элементы одним индексом: Столбцевую и строчную матрицы называют также векторами и сокращенно обозначают как х = (х х , ..., х ) и у = (y у ,…,у ). Обычно 1, 2 п 1, 2 п из контекста ясно, идет ли речь о векторе-столбце или о векторе- строке. В противном случае используют приведенные высшее обозначения. Матрица, количество строк и столбцов которой одинаково и равно п, называется квадратной матрицей порядка п. Совокупность іі-клеток (i= 1, 2, ..., п) образует главную диагональ квадратной матрицы. Матрица, все элементы которой вне главной диагонали равны нулю, т.е. 8 А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика называется диагональной и кратко записывается D= diag{ d d d }или ||dδ ||n . Здесь δ символ Кронекера: 1, 2,…, n i ik 1 ik 1,(i =k), δik= 0,(i ≠k). Если в диагональной матрице d =d =... =d = 1, то имеем единичную 1 2 n матрицу n-гo порядка которая часто обозначается также через 1 или просто цифрой 1 (не п следует вопринимать это обозначение как число, которое равно единице). Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается цифрой 0. Заметим, что нулевая матрица может иметь любой размер т×п, в то время как единичная матрица — всегда квадратная. Матрица, которая состоит только из одного элемента, обычно отождествляется с этим элементом. Квадратная матрица называется верхней (нижней) треугольной, если равны нулю все элементы, которые расположены под (над) главной диагональю: 9 А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика Диагональная матрица является частным случаем как верхней (А), так и нижней (В) треугольных матриц. 1.2. Действия над матрицами Сложение матриц. Пусть величины у у , ..., у выражаются через величины 1, 2 т х х , …, х с помощью линейного преобразования 1, 2 п (1.1) а величины z z , ..., z — через те же величины х х , …, х с помощью 1, 2 m 1, 2 п преобразования (1.2) Тогда (1.3) В соответствии с этим мы устанавливаем: - сумма двух прямоугольных матриц А и В одинаковых размеров определяется как матрица С тех же размеров, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц, т.е. С=А+В, если c = а + b . ij ij ij 10