Математика. 11 класс

47 Pages·00.667 MB·Russian

by  коллектив авторов

З.Л. Коропец
А.А. Коропец
Т.А. Алексеева

МАТЕМАТИКА
11 КЛАСС

СБОРНИК ТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ
И ПРОГРАММА ДЛЯ ПОДГОТОВКИ
К ЕДИНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ
ЭКЗАМЕНУ (ЕГЭ)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ – УЧЕБНО-НАУЧНО-
ПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ КОМПЛЕКС»

З.Л. Коропец, А.А. Коропец, Т.А. Алексеева

МАТЕМАТИКА
11 КЛАСС

СБОРНИК ТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ
И ПРОГРАММА ДЛЯ ПОДГОТОВКИ
К ЕДИНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ
ЭКЗАМЕНУ (ЕГЭ)

Рекомендовано ФГОУ ВПО «Госуниверситет – УНПК»
для использования в учебном процессе в качестве сборника учебных
материалов для подготовительных курсов

Орел 2011
1
УДК 51 (075)
ББК 22.1я727
К68

Рецензенты:

кафедра Математики и математических методов в управлении
Орловской региональной академии государственной службы
(доктор экономических наук, профессор, заведующий кафедрой В.Г. Шуметов)

доктор педагогических наук, профессор, директор Института информатики,
заведующий кафедрой информатики и вычислительной математики
АОУ ВПО «Ленинградский государственный университет им. А.С. Пушкина»
Т.А. Бороненко

Коропец, З.Л.
К68 Математика. 11 класс. Сборник тематических заданий и
программа для подготовки Единому Государственному экза-
мену (ЕГЭ): сборник учебных материалов для подготовитель-
ных курсов / З.Л. Коропец, А.А., Коропец, Т.А. Алексеева. –
Орел: ФГОУ ВПО «Госуниверситет – УНПК», 2011. – 46 с. –
(Подготовительные курсы).

ISBN 978-5-93932-325-3

Сборник содержит тематические задания (250 заданий), программу для слушате-
лей подготовительных курсов на базе 11-х классов и является завершающей частью
учебно-методического комплекса для непрерывной математической подготовки
учащихся с 9-го по 11-й класс.
Материал сборника ориентирован на фундаментальный характер математиче-
ской подготовки, что является особенно важным при изучении математических дис-
циплин и их приложений в вузе.
Тематические задания представлены в виде пяти контрольных работ и носят, как
правило, комплексный многоуровневый характер. Они позволяют проверить владе-
ние формально-оперативным алгебраическим аппаратом, способность к интеграции
знаний из различных разделов школьного курса математики, владение исследова-
тельскими навыками, а также умение найти и применить нестандартные приемы
решения задач.
Предназначен для организации и проведения занятий по математике на подгото-
вительных курсах для 11-х классов и подготовки к ЕГЭ. Может быть полезен уча-
щимся старших классов и преподавателям математики.

УДК 51 (075)
ББК 22.1я727

ISBN 978-5-93932-325-3 © ФГОУ ВПО «Госуниверситет – УНПК», 2011
© Коропец З.Л., Коропец А.А.,
Алексеева Т.А., 2011
СОДЕРЖАНИЕ

Введение .................................................................................................. 4
1 Рабочая программа по дисциплине «Математика»
для слушателей подготовительных курсов на базе 11-х классов ........ 5
1.1 Цели и задачи учебной дисциплины ........................................... 5
1.2 Структура рабочей программы и распределение
учебных часов .................................................................................... 6
1.3 Рабочий план аудиторных занятий .............................................. 7
1.4 Требования к уровню подготовки учащихся ............................. 10
2 Тематические задания ........................................................................ 12
Контрольная работа № 1. Диагностическая работа ........................ 12
Контрольная работа № 2. Иррациональные уравнения,
неравенства, системы уравнений ..................................................... 17
Контрольная работа № 3. Показательная и логарифмическая
функции. Показательные, логарифмические
уравнения и неравенства................................................................... 22
Контрольная работа № 4. Элементы математического
анализа ............................................................................................... 27
Контрольная работа № 5. Стереометрия ......................................... 37
Литература ............................................................................................. 44

3
ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемое вниманию школьников и преподавателей ма-
тематики пособие для 11-го класса является заключительной частью
учебно-методического комплекса для непрерывной математической
подготовки учащихся на подготовительных курсах с 9-го по
11-й класс.
Материал сборника ориентирован на фундаментальный характер
математического образования. При этом основное внимание уделяет-
ся узловым, принципиальным вопросам курса элементарной матема-
тики, глубокое и полное понимание которых является особенно важ-
ным при изучении математических дисциплин и их приложений
в вузе.
Рабочая программа имеет модульную структуру, достаточно пол-
но отражает содержание основных разделов курса математики сред-
ней школы и учитывает особенности Единого государственного эк-
замена (ЕГЭ). Каждый модуль представляет собой определенный
раздел математики, содержащий несколько тем, которыми определя-
ется его теоретическая и практическая часть. Завершением каждого
модуля является контрольная работа.
Тематические задания в сборнике представлены в виде пяти кон-
трольных работ (250 заданий). Все задания являются авторскими
и носят, как правило, многоуровневый характер. Наряду со сравни-
тельно простыми задачами, значительную часть вариантов составля-
ют комбинированные задачи, при решении которых необходимо
использовать сведения из различных разделов элементарной
математики.
Содержание тематических заданий предполагает широкое ис-
пользование метода равносильных преобразований, что позволяет
сформулировать алгоритмы решения многих задач в виде экономич-
ных логических схем и, по мнению авторов, должно способствовать
достижению цели алгоритмизации школьного курса математики.
Данный сборник учебно-методических материалов содержит все
необходимые компоненты для организации и проведения занятий по
математике на подготовительных курсах для 11-х классов.

4
1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«МАТЕМАТИКА» ДЛЯ СЛУШАТЕЛЕЙ
ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫХ КУРСОВ
НА БАЗЕ 11-х КЛАССОВ

Рабочая программа по математике для слушателей подготовитель-
ных курсов на базе 11-х классов разработана на основе федерального
компонента государственного стандарта среднего (полного) общего
образования на профильном уровне с учетом содержания и структуры
контрольно-измерительных материалов (ЕГЭ), используемых для ито-
говой аттестации учащихся в 11 классе.
Данная программа систематизирует и конкретизирует содержание
предметных тем образовательного стандарта и дает примерное рас-
пределение учебных часов по разделам курса в соответствии с теми
целями и задачами, которые ставятся и решаются на подготовитель-
ных курсах.
В программе представлены цели и задачи учебной дисциплины
«Математика», структура и содержание учебного материала с рас-
пределением учебных часов, тематика и содержание контрольных ра-
бот, требования к уровню подготовки учащихся, список рекомендуе-
мой литературы.

1.1 Цели и задачи учебной дисциплины

Целью изучения дисциплины «Математика» в рамках подготови-
тельных курсов на базе 11-х классов является: систематизация и уг-
лубление знаний, полученных учащимися в 9 – 10 классах, диагно-
стика пробелов в изученных ранее разделах школьного курса матема-
тики, развитие знаний по вопросам, представляющим затруднения
у школьников и недостаточно полно отраженным в школьном курсе
математики, овладение знаниями и умениями, необходимыми для сда-
чи Единого государственного экзамена и продолжения математиче-
ского образования в вузе.
Задачи преподавания математики состоят в том, чтобы на приме-
рах математических понятий и методов развивать логику математи-
ческих рассуждений, алгоритмическое мышление, умение анализиро-
вать различные способы решения задач и выбирать из них наиболее
рациональные, точно и сжато выражать свою мысль, правильно ис-
пользовать символику, применять теоретические знания к решению
практических задач, прививать учащимся навыки самостоятельного
изучения математической литературы.
5
1.2 Структура рабочей программы и распределение учебных
часов

Рабочая программа имеет модульную структуру. Каждый модуль
представляет собой соответствующий раздел математики, содержа-
щий несколько тем, которыми определяются его теоретическая
и практическая части.
Основное внимание в программе уделяется узловым, принципи-
альным вопросам курса элементарной математики, глубокое и полное
понимание которых является особенно важным при подготовке
к сдаче Единого государственного экзамена.
Таковыми являются: рациональные приемы числовых вычисле-
ний, построение простейших математических моделей на примере
текстовых задач, тождественные преобразования алгебраических
и тригонометрических, показательных и логарифмических выраже-
ний, решение рациональных и иррациональных, показательных, лога-
рифмических и тригонометрических уравнений, неравенств и их сис-
тем, решение уравнений и неравенств с двумя переменными, исполь-
зование свойств функций и их графиков при решении практических
задач, решение задач стереометрии и задач с параметрами.
Такое построение рабочей программы продиктовано логикой
предмета, требованиями государственного стандарта среднего (пол-
ного) общего образования на профильном уровне и необходимостью
такой систематизации материала, чтобы можно было эффективно
подготовиться к государственной Итоговой аттестации и поступле-
нию в вуз.

Распределение часов учебной нагрузки
Всего: 100 часов (80 учебных часов + 20 часов на проведение
5 контрольных работ)
Номер учеб- Всего
1 2 3 4 5 6
ного модуля часов
Количество
аудиторных 12 12 24 8 12 12 80
часов
Контрольные Контроль- Контроль- Контроль- Контроль- Контроль-
работы ная работа ная работа ная работа ная работа ная работа
20
(количество № 1 № 2 № 3 № 4 № 5
часов) 4 4 4 4 4

Темы контрольных работ
Контрольная работа № 1. Диагностическая контрольная работа.
Контрольная работа № 2. Иррациональные уравнения, неравенст-
ва, системы уравнений.
Контрольная работа № 3. Показательная и логарифмическая
функции. Показательные, логарифмические уравнения и неравенства.
Контрольная работа № 4. Элементы математического анализа.
Контрольная работа № 5. Стереометрия.
6
1.3 Рабочий план аудиторных занятий
Количе- Рекомендуе-
№
Содержание разделов и тем курса ство ча- мая литера-
п/п
сов тура
1 2 3 4
Модуль 1. Повторение учебного материала за
1 12
9–10 классы
Преобразование числовых, алгебраических [1, 2, 3, 4, 6,
и тригонометрических выражений. 7, 8, 11, 12,
Рациональные уравнения, неравенства и систе- 13, 14]
мы.
Уравнения и неравенства с модулем.
Тригонометрические уравнения, неравенства
и системы.

Комбинированные уравнения, неравенства
и системы. Применение математических мето-
дов для решения содержательных задач из раз-
личных областей науки и практики. Построение
и исследование простейших математических
моделей. Интерпретация полученных результа-
тов и учет реальных ограничений
Контрольная работа № 1. Диагностическая
4
работа
Модуль 2. Иррациональные уравнения, нера- 12
2
венства, системы уравнений
Корень n-й степени, его свойства. Преобразова- [1, 2, 3, 4, 6,
ние иррациональных выражений. 11, 12, 14,
Иррациональные уравнения и неравенства с од- 15, 18, 19]
ним радикалом и схемы их решения.
Иррациональные уравнения и неравенства с не-
сколькими радикалами и методы их решения:
а) метод уединения радикала;
б) уравнения и неравенства, содержащие полные

квадраты под знаком радикала четной степени;
в) метод замены переменной.
Комбинированные уравнения и неравенства.
Метод расщепления.
Системы иррациональных уравнений и методы
их решения.
Иррациональные уравнения и неравенства с па-
раметрами
Контрольная работа № 2
4

7
1 2 3 4
Модуль 3. Показательная и логарифмическая
3 функции. Методы решения показательных 24
и логарифмических уравнений и неравенств
Тема 1. Тождественные преобразования пока- [1, 2, 3, 4, 6,
зательных и логарифмических выражений. 9, 11, 12, 16,
Показательная функция, ее свойства и график. 17, 18, 19,
Понятие логарифма. Десятичные и натуральные 22, 23]
логарифмы. Свойства логарифмов.
Логарифмическая функция, ее свойства и гра-

фик.
Тождественные преобразования алгебраических
выражений, содержащих показательные функ-
ции и логарифмы.
Производная показательной и логарифмической
функций
Тема 2. Показательные и логарифмические
уравнения.
Принцип монотонности для уравнений.
Типы показательных уравнений и методы их
решения:
 
а) уравнения вида f ax  0;
б) однородные уравнения относительно a fx
и b fx;
в) уравнения с взаимно обратными величинами
 
F a fx; afx  0;
г) уравнения, при решении которых использует-
ся свойство монотонности показательных функ-
ций; теорема о корне.
Типы логарифмических уравнений и методы их
решения:
 
а) уравнения вида f log x  0;
a
   
б) уравнения вида log f x  log g x ;
a a
 
в) уравнения вида log f x  b;
gx
   
г) уравнения вида log g x  log h x ;
fx fx
   
д) уравнения вида log g x  log g x ;
fx px
Показательно-степенные уравнения.
Системы показательных и логарифмических
уравнений. Задачи с параметрами

8
1 2 3 4
Тема 3. Показательные и логарифмические не-
равенства.
Принцип монотонности для неравенств.
Показательные и логарифмические неравенства

с постоянным основанием.
Показательные и логарифмические неравенства
с переменным основанием.
Задачи с параметрами
Контрольная работа № 3 4
4 Модуль 4. Производная и ее приложения 8
Определение производной функции одной пе- [1, 2, 3, 5, 6,
ременной. Геометрический смысл производной. 9, 19, 24, 25]
Уравнение касательной к графику функции.
Физический смысл производной.
Вычисление производной. Таблица производных
основных элементарных функций. Правила диф-
ференцирования.
Производная сложной функции.

Монотонность и экстремумы функции.
Условия возрастания и убывания функции на
промежутке (а, b).
Определение экстремума функции. Необходи-
мое условие экстремума. Теорема Ферма. Кри-
тические точки.
Достаточное условие экстремума. Наибольшее
и наименьшее значения функции на отрезке
Текстовые задачи с алгебраическим, физиче-
ским или геометрическим содержанием, связан-
ные с экстремальными свойствами функции
Контрольная работа № 4 4
5 Модуль 5. Стереометрия 12
Тема 1. Прямые и плоскости в пространстве. [7, 8, 22, 23,
Взаимное расположение прямых и плоскостей 24, 25]
в пространстве.
Пересекающиеся, параллельные и скрещиваю-
щиеся прямые; перпендикулярность прямых.
Параллельность прямой и плоскости. Парал-

лельность плоскостей.
Угол между двумя плоскостями. Перпендику-
лярность прямой и плоскости. Угол между пря-
мой и плоскостью. Перпендикуляр и наклонная
к плоскости. Теорема о трех перпендикулярах.
Перпендикулярность плоскостей
9