Table Of Content

ЕОМЕТРИЯ классе М ■ — В. Н. Литвиненко ЕОМЕТРИЯ 10 Учебник для общеобразовательных учреждений класс — М • Мо 2000 ББК 22.151.Оя121 Л 64 Рецензенты: кандидат физико-математических наук, доцент Московского педагогического университета Е.С. Карманова, учитель математики общеобразовательной школы № 42 г. Москвы, Заслуженный учитель РФ Н.В. Карюхина Литвиненко В.Н. Л 64 Геометрия—10. Учебник для общеобразовательных учебных заве дений.— М.: «Вербум-М», 2000.— 144 с. 15ВК 5-8391-0020-Х Содержание учебника «Геометрия— 10» для общеобразовательных заведений соответствует программе средней школы и современным общеобразовательным стандартам. Теоретический материал изложен в 22 параграфах и представлен в новой, рациональной компановке. Одним из принципиальных отличий учебника нового поколения «Гео метрия—10» является включение в него на всех этапах обучения реально выполняемых построений в пространстве. Предлагаемый учебник входит в учебный комплект для учащихся десятых классов, который дополняют «Тетрадь заданий», структура и со держание которой строго связаны с изложенным теоретическим материа лом в учебнике, и «Проверочные и контрольные работы» (в шести вариантах с дифференцированными по сложности заданиями). Для учащихся десятых классов и учителей математики. ББК 22.151.Оя121 15В1* 5-8391-0020-Х © Издательство «Вербум-М», 2000 ВВЕДЕНИЕ Вы начинаете изучение стереометрии. Это раздел геометрии, в ко тором рассматриваются свойства фигур в пространстве. Основными фигурами пространства являются точки, прямые и плоскости. Опре деления этим фигурам не даются. Отношения между ними выража ются в системе аксиом, которая включает в себя уже известные аксио мы планиметрии и новые аксиомы. Новые аксиомы вводятся в связи с пополнением множества точек и прямых, принадлежащих одной плоскости, множеством плоскостей. С новыми аксиомами вам пред стоит познакомиться. С помощью точек, прямых и плоскостей образуются все другие гео метрические фигуры пространства. В частности, различные геометри ческие тела и поверхности. Геометрическое тело будем рассматривать как часть пространства, ограниченную некоторой поверхностью. К знакомым вам геометриче ским телам можно отнести различные пирамиды, призмы, конусы, ци линдры, шар и т.д. (рис. 1). Частным случаем призмы является известный всем многогранник, который называется кубом (рис. 2). Поверхность куба представляет собой совокупность шести равных квадратов. Каждый из квадратов имеет общие стороны с четырьмя другими квадратами. (Например, на рисунке 2 квадрат АВСО имеет общие стороны с квадратами АВВ\А\У ВСС{В{, и А1)1)^А^ Поверхность куба легко изготовить из плотной бумаги. Для этого можно построить, например, фигуру, составленную из шести квадра тов, расположенных на плоскости, как показано на рисунке 3 (сторону квадрата можно увеличить в 2—3 раза). Затем нужно вырезать постро енную фигуру и согнуть ее последовательно по штриховым линиям под прямым углом, например в последовательности, указанной номе рами на рисунке 3. Первое сгибание нужно сделать по штриховой ли нии, отмеченной цифрой ®. Полученная в результате фигура показана на рисунке 4. Эту фигуру следует согнуть по штриховой линии, отме ченной цифрой @. Фигура, полученная после второго сгибания, по казана на рисунке 5. Продолжая далее сгибать получаемые фигуры по следовательно по штриховым линиям, отмеченным цифрами (I), ® и ®, мы получим в результате поверхность, которая является границей куба. (Фигуры, полученные в результате третьего, четвертого и пятого сгибаний, показаны соответственно на рисунках б, 7 и 8). 3 Рис. 2 4 Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8 Плоская фигура, изображенная на рисунке 3, — это развертка поверхности куба. Любые две ее точки можно соединить непрерыв ной линией, целиком принадлежащей этой фигуре. Отделим от фигуры, показанной на рисунке 3, какую-то часть, на пример один квадрат. В результате получим совокупность пяти квад ратов и отделенный квадрат, т.е. всего шесть квадратов. Эти шесть квадратов также представляют собой развертку поверхности куба. Од нако не существует такой непрерывной линии, с помощью которой можно какую-нибудь точку А, принадлежащую отделенному квадрату, 5 соединить с произвольной точкой В, принадлежащей фигуре, состав ленной из пяти квадратов. Фигура называется связной, если любые две ее точки можно соеди нить непрерывной линией, целиком принадлежащей данной фигуре. Так, развертка поверхности куба, изображенная на рисунке 3, — это связная фигура, а развертка, показанная на рисунке 9, не является связной фигурой. Рис. 9 Если фигуру, изображенную на рисунке 3, дополнить специальны ми выступами (склейками), например в форме трапеций, как показано на рисунке 10, то мы получим развертку модели поверхности куба. Сгибая эту развертку по штриховым линиям, как это мы делали с раз верткой, изображенной на рисунке 3, и смазав клеем выступы, можно склеить модель поверхности куба. Рис. 10 Куб является примером тела, поверхность которого состоит из ко нечного числа плоских многоугольников. Мы будем изучать различные многогранники, изготавливать моде ли их поверхностей. Изготовление моделей поможет составить нагляд 6 ное представление об этих многогранниках, увидеть их «устройство» и свойства. Отметим еще существенную особенность изображений фигур в школьном курсе стереометрии: каждое из них сопровождается поясни тельным текстом, условием, в котором указывается, что именно изоб ражено на рисунке. (Такие изображения называют условными.) Так, на рисунке 11 изображены прямая р и плоскость а. Без поясне ний неясно, как расположены прямая р и плоскость а друг относитель но друга. Указания к рисунку должны быть сделаны словами или сим волами в тексте, сопровождающем рисунок. Например, рисунок И можно сопроводить такими словами: «прямая р лежит в плоскости а», или с использованием символа принадлежности: р <= а. Рисунок 11 яв ляется иллюстрацией и другого возможного взаимного расположения прямой р и плоскости а. О нем должно быть сказано в условии, со провождающем рисунок. Так, его могут сопровождать слова: «прямая р параллельна плоскости а» (или с помощью символа параллельности: р II а) и т.д. Рисунок 12 можно сопроводить словами: «прямые р и ^ пересекают ся», или «прямая р перпендикулярна прямой ^ (р ± ^)», или «р и ^ — скрещивающиеся прямые» и т.д. Без указания на то, какая фигура изображена на рисунке 13, нельзя ответить на вопрос о взаимном расположении прямых и ДС. Мо жет показаться, что эти прямые параллельны. Если же указать, что на рисунке 13 изображен, например, куб, то в этом случае можно доказать, что прямые В^И и ДС перпендикулярны (В^И ± Х^С). Без пояснительного текста также неясно, какая фигура изображе на на рисунке 14. Фигура, показанная на этом рисунке, может быть изображением прямоугольного, прямого или наклонного параллеле пипеда. Она может быть также изображением «целого» параллелепи педа или параллелепипеда без грани ВВ^С^С (т.е. коробки без одной стенки) и т.д. 7 с, а I В А А Я л Рис. 13 Рис. 14 Условные изображения, которые мы будем использовать при изуче нии стереометрии, должны удовлетворять трем требованиям. Они должны быть: 1) верными; 2) наглядными; 3) легко выполнимыми. Обеспечить выполнение этих требований оказывается проще всего, если строить изображения пространственных фигур по правилам па раллельного проектирования. Представление о параллельном проек тировании пространственных фигур можно получить, освещая каркас какой-нибудь пространственной фигуры параллельными лучами, на пример солнечными. Так, четырехугольник АВМС с его диагоналями является парал лельной проекцией (тенью каркаса), например, пирамиды М0АоВ0С0 на плоскость а (рис. 15). При построении изображений пространственных фигур по правилам параллельного проектирования не требуется выполнять непосредст венно само проектирование. Достаточно лишь, чтобы при построении изображений сохранялись позиционные свойства фигур. Приведем основные из этих свойств: 1°. Сохраняется принадлежность точек, прямых и плоскостей. Так, если в оригинале точка А0 лежит на прямой р0, то на изображе нии точка А лежит на прямой р. Если в оригинале прямые р0 и <70 пере секаются, то и на изображении прямые р и д пересекаются. 2°. Сохраняется параллельность прямых. Так, если в оригинале р0 || <70, то на изображении р || (Обратное утверждение в общем случае места не имеет.) 3°. Сохраняется отношение длин параллельных отрезков. Так, если в оригинале АоВ0 || СоВ0 и АоВ0: СоД = к, то на изображе нии АВ || СВ и АВ : СВ = к. В частности, если в оригинале отрезок АоМ0 является медианой треугольника АоВ0С0, то на изображении отрезок АМ — это медиана треугольника АВС. 8 Рис. 15 Действуя при построении изображений в соответствии с этими пра вилами, мы, таким образом строим изображения фигур, опираясь на основную теорему теории построения изображений по правилам па раллельного проектирования. Теорема (Польке—Шварца). Любой плоский четырехугольник с его диагоналями может быть принят за параллельную проекцию тетраэдра, подобного произвольно заданному. В заключение отметим, что построение изображений пространствен ных фигур по правилам параллельного проектирования не вполне соот ветствует нашим зрительным представлениям. Так, ясно, что тот из двух одинаковых объектов, который удален от нас дальше, должен на изобра жении быть меньшим. Иначе не будет впечатления, что он находится дальше. В подтверждение этих соображений сошлемся на то, как на кар тине изображают рельсы железной дороги, которые в действительности, конечно, параллельны. Дело в том, что изображения, которые мы видим на картинах и на фотографиях, выполняются по правилам центрального (а не параллельного) проектирования. Все точки оригинала проектиру ются при этом на плоскость не параллельными лучами, а лучами, выходя щими из одной точки — центра проектирования. 9