Table Of Content

К И Ж Ы Р . И . В Р Е Н Р Е В . Л . А В О Р Д Н А С К Е Л А Д А. ГЕОМЕТР •Просвещение- О кружа М - эт геом А. Д. АЛЕКСАНДРОВ А.Л.ВЕРНЕР В. И. РЫЖИ К Ш Э М Е Т Р И Я учебник для 10 класса с углубленным изучением математики Реком ендова но Министерством общего и профессионального образования Российской Федерации МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1999 УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я72 А46 Александров А. Д. и др. А46 Геометрия: Учеб. для учащихся 10 кл. с углубл. изуч. математики/А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик.— М.: Просвещение, 1999.— 238 с.: ил.— 13ВЫ 5-09-008530-7. Этот учебник — переработанный вариант учебника А. Д. Александрова, А. Л. Вернера, В. И. Рыжика «Геометрия, 10—11» для углубленного изучения математики (М.: Просвещение, 1988—1995). В результате переработки учебник представлен двумя книгами: «Геометрия, 10»хи «Геометрия, 11», в которых последовательность и большей частью содержание глав сохранены. Изменения коснулись в основном заданного материала: смысловой единицей в этом варианте полагается весь параграф, а не его пункт, что и определило структуру задач в этом издании. (Для лучшей ориентировки в номере каждой задачи указано в скобках, к какому пункту параграфа она отнесена.) Все задачи распределены по рубрикам: «Дополняем теорию», «Дока зываем», «Исследуем», «Рассуждаем», «Планируем», «Разбираемся в реше нии», «Участвуем в олимпиаде» и др. В них оптимально отражены все три составляющие геометрии: логика, наглядное воображение и практика. 13ВЫ 5-09-008530-7 УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я72 © Издательство «Просвещение», 1999 © Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 1999 Все права защищены Оглавление Введение...................................................................................................... 7 Глава I ОСНОВАНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ........................................................ 13 § 1. Аксиомы стереометрии . ................................................................. 14 1.1. Аксиома, плоскости.......................................................... — 1.2. Аксиомы о прямой....................................................................... 15 1.3. Аксиома разбиения пространства плоскостью...................... 17 1.4. Аксиома расстояния................................................................. 18 Дополнение к параграфу 1.0 величинах..................................................... 20 Задачи ................................................................................................ 22 § 2. Способы задания прямых и плоскостейв пространстве................. 28 2.1. Прямая, заданщ# двумя точками........................................... — 2.2. Плоскость, определяемая тремя точками............................... 29 2.3. Плоскости, проходящие через прямую.................................. 30 Задачи............................. 32 § 3. Взаимное расположение прямых в пространстве............................. 35 3.1. Классификация взаимного расположения прямых в прост ранстве. Скрещивающиеся прямые........................................ — 3.2. Параллельные прямые.............................................................. 37 Задачи................................................................................................... 40 . § 4. Параллельное проектирование........................................................... 43 4.1. Определение параллельного проектирования...................... — 4.2. Основные свойства параллельного проектирования............. 44 4.3. Изображение разных фигур в параллельной проекции ... 46 Задачи....................................,............................................... 50 § 5. Существование и единственность. Построения................................. 52 5.1. Существование и единственность........................................... — 5.2. Построения в пространстве как теоремы существования . . 53 5.3. Конструктивные и неконструктивные доказательства ^ существования.......................................................................... 55 5.4. О построении пирамид и„призм.............................................. 56 5.5. Построения на чертежах пространственных фигур и реаль ные построения.......................................................................... 58 Задачи.........................*........................................................................ 59 1* 3 § 6. Об аксиомах......................................................................................... 61 6.1. Определение основных понятий.............................................. — 6.2. Роль аксиом............................. 62 6.3. Условность аксиом................................................................... 63 Дополнение к параграфу 6. Аксиоматика евклидовой планиметрии 65 Задачи к главе I ................................................................................... 67 Итоги главы I ...................................................................................... 69 Глава II ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ И ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ...................................................................................... 71 § 7. Перпендикулярность прямой и плоскости....................................... 72 7.1. Определение перпендикулярности прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная\ .............................................. — 7.2. О значении перпендикуляра.................................................. 73 7.3. Основной признак перпендикулярности прямой и плос кости ....................................... 75 7.4. Построение взаимно перпендикулярных прямой и плос кости ............: ............................................................................ 76 7.5. Связь между' параллельностью прямых и перпендику лярностью прямой и плоскости.............................................. 79 7.6. Прямая, перпендикулярная данной плоскости. Симметрия относительно плоскости .............................................. 81 7.7. Три взаимно перпендикулярные прямые.............................. 83 Задачи ......................................................................................... 84 § 8. Перпендикулярность плоскостей...................................................... 89 8.1. Определение перпендикулярности плоскостей..................... — 8.2. ‘ Свойства взаимно перпендикулярных плоскостей............... 91 8.3. Признак перпендикулярности плоскостей........................... 92 8.4. Две пересекающиеся плоскости, перпендикулярные треть ей плоскости................................................................................ 92 Задачи .................................................................................................. 93 § 9. Параллельные плоскости ..................... 96 9.1. Первый признак параллельности плоскостей..................... — 9.2. Леммы о пересечении прямой или плоскости с парал лельными плоскостями ............................................................. 97 9.3. Основная теорема о параллельных плоскостях.................. 98 9.4. Прямая, перпендикулярная двум параллельным плос костям ........................... 99 Задачи ..................... 100 § 10. Параллельность прямой и плоскости ............................................. 104 10.1. Классификация взаимного расположения прямой и плос кости ............................................................................................ — 10.2. Признак параллельности прямой и плоскости..................... 105 10.3. Второй признак параллельности плоскостей........................ 106 Задачи .................................................................................................. — § II. Ортогональное проектирование ‘......................................... Ш Дополнение к параграфу 11. Метод Монжа и начертательная геометрия......................................................................................................... 113 Задачи ....................................................................................... 115 Задачи к главе II.................................................................................... 117 Итоги главы II.............................. 120 Глава III РАССТОЯНИЯ И УГЛЫ.................. ............................................... 122 § 12. Расстояние между фигурами ............................................................... — 12.1. Расстояние от точки до фигуры.............................................. — 12.2. Теорема о ближайшей точке..................................................... 124 12.3. Расстояние между фигурами.................................................. 126 12.4. Расстояние между прямыми и плоскостями. Общие перпендикуляры. ..................... 127 12.5. Расстояние и параллельность.................................................. 129 > Задачи.................................................... 130 § 13. Пространственная теорема Пифагора.....................................................136 13.1. Три формулировки теоремы Пифагора.................................. — 13.2. Пространственная теорема Пифагора для проекций . ... 137 13.3. О значении теоремы Пифагора.............................................. 138 Задачи.......................................................... 1*0 § 14. Углы .................................. . . . . . . . . . ’. .................................. 143 14.1. Угол между лучами.................................................................... — 14.2. Угол между прямыми.............................................................. 145 14.3. Угол между прямой и плоскостью ............................... 146 14,4.,, Двугранный угол . . . ........................................................... 147 14.5. Угол между плоскостями........................................................... 148 Дополнение к параграфу 14. Трехгранные углы . . . . *............................. 149 Задачи................................................................................................... 133 Задачи к главе III............................................................................. 159 Итоги главы III.................................................................................... 162 Глава IV ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА...................................... 163 § 15. Сфера и шар.......................................................................................... — 15.1. Понятия сферы и шара . — 15.2. Пересечение шара и сферы с плоскостью................................. 165 15.3. Касание шара и сферы с плоскостью................................. . 167 15.4. Вид и изображение шара.............................................................. 168 15.5. Симметрия сферы и шара........................................................ — 15.6. Шар и расстояние от точки до фигуры...................................... 170 Дополнение к параграфу 15. Сферические треугольники......................... 171 Задачи................................................................................................... 173 5 § 16. Опорная плоскость................................................................................ 178 16.1. Опорная' прямая............................................. — 16.2. Опорная плоскость...................................................... 179 16.3. Ограниченные фигуры. Диаметр фигуры................................... 180 Дополнение к параграфу 16. Опорные плоскости в концах диаметра . . 181 Задачи...................................................................................................... 182 § 17. Выпуклые фигуры.................................................................................... 183 Задачи...................................................................................................... 185 § 18. Цилиндры.......................................................................... 186 18.1. Определение и свойства цилиндра . — 18.2. Прямой круговой цилиндр....................................................... 188 18.3. Симметрия цилиндра вращения.................................................. 189 18.;4.* Выпуклые цилиндры.................. — Дополнение к параграфу 18. Эллипс как сечение цилиндра вра щения .................................................................... 190 1Задачи...................................................................................................... 192 § 19. Конусы. Усеченные конусы . .............................................................. 195 19.1. Определение конуса. Конус вращения.................................. — 19.2. Сечение конуса плоскостью, параллельной плоскости его основания........................... 197 19.3.* Выпуклые конусы . .....................' ......................................... 198 19.4. Усеченный конус . . . . . . . . ^........................................... 199 19.5. Изображения конусов и усечённых конусов вращения . . . 200 Дополнение к параграфу 19.......................................................................... — I. Центральное проектирование................................................................ — II. Конические сечения................................................................................... 205 Задачи....................................................................'............................ 207 § 20. Тела...........................................• • • .................................................... 211 20.1. Наглядное представление о теле............................................... — 20.2. Граница й внутренность фигуры в пространстве...................... 212 20.3. Определение тела...............1. . . . 1..................................... 213 20.4. Граничные и внутренние точки плоских фигур. Замкнутая область • • ; ................................................ 2*4 Дополнение к параграфу 20 . ....................................................................... 216 I. Свойства границы...................................................................................... — II. Выпуклые тела............................................................................................. 218 Задачи...................................................................................................... 222 Задачи к главе IV ................................................................................ 224 Итоги главы IV........................................................ 228 Введение I. О стереометрии В предыдущих классах мы изучали главным об разом геометрию на плоскости — планиметрию, а теперь будем заниматься геометрией в пространстве. Ее называют стереометрией (от греческих слов «сте- реос» — телесный, пространственный, «метрео» — измеряю). Обращаясь к геометрии в пространстве — к стет реометрии, будем предполагать, что геометрия на плоскости — планиметрия — нам известна. Каждый представляет наглядно плоскость или по крайней мере конечный кусок Плоскости, например плоскость стола, доски и т. п. В планиметрии плос кость рассматривается сама по себе, независимо от окружающего пространства. Однако, занимаясь геометрией на плоскости, мы все же помним, что плоскость расположена в пространстве и что в нем много плоскостей. На каждой из них выполняется планиметрия. Таким образом, в стереометрии плоскость — это фигура, на которой выполняется планиметрия, т. е. справедливы аксиомы планиметрии, а вместе с ними и их следствия — теоремы планиметрии. Можно не помнить всех аксиом планиметрии, надо только понимать/что плоскость — это фигура, в которой есть точки, прямые, отрезки, углы с их основными свойствами, а за ними и другие известные фигуры: треугольники, окружности и т. д. Свойствами этих плоских фигур, теоремами о них^ доказанными в планиметрии, мы постоянно будем, пользоваться. При этом надо иметь в виду, что хотя в основу планиметрии могут быть положены различные сис темы аксиом (подробнее об этом сказано в § 6) 7