ЗФТШ математика 10(факультативное) Комплексные числа 2016-2017

31 Pages·00.99 MB·Russian

by  Городецкий Сергей Е.

Министерство образования и науки Российской Федерации
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
Заочная физико-техническая школа

МАТЕМАТИКА

Комплексные числа

Задание для 10-х классов

(2016 – 2017 учебный год)
(факультативное задание)

г. Долгопрудный, 2017
2016-2017 уч. год, 10 кл. Математика. Комплексные числа

Составитель: С.Е. Городецкий, доцент кафедры высшей математики МФТИ.

Математика: задание для 10-х классов (2016 – 2017 учебный год), 2017, 31 с.

Внимание! Данное задание является факультативным, т. е. присы-
лать его в ЗФТШ на проверку не обязательно, но мы настоятельно ре-
комендуем Вам внимательно проработать его. По желанию можете
прислать тетрадь с решёнными задачами на проверку.

Составитель:
Городецкий Сергей Евгеньевич

Заочная физико-техническая школа
Московского физико-технического института
(государственного университета)
ООО «Печатный салон ШАНС»

Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Московская обл., 141700.
ЗФТШ, тел/факс (495) 408-5145 – заочное отделение,
тел./факс [phone] – очно-заочное отделение.
тел. [phone] – очное отделение.

e-mail: [email protected]

Наш сайт: www.school.mipt.ru

© ЗФТШ, 2017
Все права защищены. Воспроизведение учебно-методических материалов и
материалов сайта ЗФТШ в любом виде, полностью или частично, допускается
только с письменного разрешения правообладателей.
 2017, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич
2
2016-2017 уч. год, 10 кл. Математика. Комплексные числа
В элементарной математике изучаются действительные числа. Сна-
чала в процессе счёта возникает так называемый натуральный ряд чи-
сел 1, 2, ... п, ... В арифметике вводятся действия сложения и умноже-
ния над натуральными числами. Что же касается операций вычитания и
деления, то они уже оказываются не всегда возможными на множестве
натуральных чисел. Поэтому вводятся множества целых и рациональ-
ных чисел.
Та же потребность измерения величин и проведения таких опера-
ций, как извлечение корня, решение алгебраических уравнений, приво-
дит к дальнейшему расширению запаса рассматриваемых чисел. Здесь,
например, при извлечении корня из положительного числа вводятся
иррациональные числа. Однако, решение алгебраических уравнений
второй степени и выше привело к необходимости извлекать корень из
любого действительного числа: так появились комплексные числа.
§1. Определение комплексных чисел.
Операции над комплексными числами
1. Алгебраическая форма комплексного числа. Для того, чтобы из-
влекать квадратный корень из отрицательного действительного числа,
множество действительных чисел было расширено: к нему добавили
новое число i, такое что i2 1. Операции умножения этого числа на
любое действительное число и сложения его с действительным числом
привели к понятию комплексного числа. Комплексными числами назы-
вают выражения вида abi, в которых а и b – любые действительные
числа, и для которых следующим образом вводится понятие равенства
и операции сложения и умножения:
а) два комплексных числа abi и cdi равны тогда и только тогда,
когда ac и bd; (пишут abicdi)
б) суммой чисел abi и cdi называется число
ac(bd)i;
в) произведением чисел abi и cdi называется число
acbd (ad bc)i.
Таким образом, сложение и умножение комплексных чисел произ-
водится согласно формулам:
(abi)(cdi)ac(bd)i, (1)
(abi)(cdi)acbd (ad bc)i. (2)
Комплексные числа принято обозначать одной буквой (чаще всего
буквой z или w). Равенство z abi означает, что комплексное чис-
ло abi обозначено буквой z, при этом действительное число a
называется действительной частью комплексного числа z abi и
 
обозначается Rez; пишут Rez a или Re abi a. Число b назы-
вается мнимой частью числа zabi и обозначается Imz; пишут
Imzb или Imabib. Символ i называется мнимой единицей.
 2017, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич
3
2016-2017 уч. год, 10 кл. Математика. Комплексные числа
Заметим, что операции сложения и умножения над числами вида
a0i проводятся так же, как над действительными числами. В самом
деле, на основании формул (1) и (2) имеем:
(a0i)(c0i)ac0i,
(a0i)(c0i)ac0i.
Таким образом, отождествив число a0i с действительным числом
a, получим, что каждое действительное число содержится во множе-
стве комплексных чисел и a a0i. В частности, число 000i бу-
дем, как обычно, называть нулём, а число 110i – единицей.
Числа вида 0bi называют чисто мнимыми и обозначаются bi:
05i 5i, 02i2i.
На основании формулы (2) найдём значение выражения i2 ii:
i2 (01i)(01i)10i1.
Т. е.,
i2 1. (3)
Заметим, что формулу (2) запоминать не нужно, т. к. она получается
автоматически, если перемножить двучлены abi и cdi, а затем на
основании формулы (3) заменить i2 на –1.
Пример 1. Найдите сумму и произведение комплексных чисел
z 83i и z 52i. По формуле (1) находим
1 2
z z 85i(32)35i.
1 2
Формально перемножая двучлены (83i) и (52i) и учитывая
соотношение (3), имеем
z z (83i)(52i)4015i16i6i2 40i646i.
1 2
2. Свойства операций над комплексными числами. Операции сло-
жения (1) и умножения (2) обладают следующими свойствами:
1. Коммутативность сложения: z +z =z +z для любых ком-
1 2 2 1
плексных чисел z , z .
1 2
2. Ассоциативность сложения: (z z )z z (z z ) для лю-
1 2 3 1 2 3
бых комплексных чисел z , z , z .
1 2 3
3. z0z для любого комплексного числа z.
4. Для любых комплексных чисел z и z существует число z такое,
1 2
что z zz . Это число называется разностью чисел z и z и обо-
1 2 2 1
значается z z.
2 1
5. Коммутативность умножения: z z z z для любых z , z .
1 2 2 1 1 2
6. Ассоциативность умножения: (z z )z z (z z ) для любых z ,
1 2 3 1 2 3 1
z , z .
2 3
7. Дистрибутивный закон: z (z z )z z z z для z , z , z .
1 2 3 1 2 1 3 1 2 3
 2017, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич
4
2016-2017 уч. год, 10 кл. Математика. Комплексные числа
8. 1zz для любого комплексного числа z.
9. Для любых двух комплексных чисел z и z , где z 0, суще-
1 2 2
ствует число z, такое, что z zz . Это число называется частным
2 1
z
комплексных чисел z и z и обозначается 1. Деление на 0 невозможно.
1 2 z
2
Все перечисленные свойства операций следуют из определения. До-
кажем свойства 4 и 9; остальные докажите самостоятельно.
Свойство 4. Пусть z abi, z cdi, zxуi. Тогда равенство
1 2
z zz запишется в виде cdiabixyiaxb yi.
1 2
Отсюда следует, что x и y удовлетворяют системе уравнений
axc
 , откуда xca, ydb и
b yd
z z cadbi (4а)
2 1
Свойство 9. Пусть опять z abi, zxyi, z cdi, и хотя бы
1 2
одно из чисел c и d отлично от нуля. Тогда равенство zz z запишет-
2 1
ся так: abixyicdixcydxdyci. Отсюда x и y удо-
cxdya,
влетворяют системе уравнений: 
dxcyb.
Эта система имеет единственное решение
acbd bcad
x , y , т. е.
c2 d2 c2 d2
z acbd bcad
1  i . (4б)
z c2 d2 c2 d2
2
z
Пример 2. Найдите разность z z и частное 1 комплексных чи-
1 2 z
2
сел
z 13i и z 52i.
1 2
По формуле (4а) находим разность
z z (13i)(52i)1532i65i.
1 2
По формуле (4б) находим частное:
z 1532 3512 11 13
1  i   i.
z 52 22 52 22 29 29
2
В §2 будет указан более простой способ деления комплексных чи-
сел, не требующий запоминания формулы (4б).
 2017, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич
5
2016-2017 уч. год, 10 кл. Математика. Комплексные числа
Заметим, что понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел
не определены; записи вида z3i и им подобные лишены всякого
смысла. Невозможно перенести понятия «больше» и «меньше» на мно-
жество комплексных чисел, так, чтобы при этом сохранились все свой-
ства неравенств, выполняющиеся для действительных чисел (например,
сохранение знака неравенства при умножении обеих его частей на по-
ложительное число и т. п.). Покажем, например, что числа i и 0 срав-
нить невозможно.
Предположим, что i>0. Тогда умножая обе части неравенства на i
(по предположению i>0, поэтому знак неравенства не меняем), полу-
чаем i2>0, т. е. 1>0, что неверно. Предположим, что i0. Тогда,
умножая обе части неравенства на i0, снова получим, что i2>0.
Таким образом, сравнить числа i и 0 невозможно.
Пример 3. Найдите сумму, разность и произведение комплексных
чисел z abi и z abi. Находим по формулам (1) и (4а):
1 2
z z abiabi2a,z z 2bi.
1 2 1 2
Находим по формуле (2) или формально перемножая двучлены:
z z abiabia2 abiabib2i2 a2 b2.
1 2
Пусть zabi. Тогда число abi называется комплексно сопряжён-
ным числу zabi и обозначается z. 12i12i. Пример 3 показы-
вает, что сумма двух комплексно сопряжённых чисел zz является
всегда числом действительным, а их разность является чисто мнимым
числом; произведение zz также всегда число действительное и более
того, неотрицательное. Ясно также что число, сопряжённое числу z
равно z: z abiabiz; если zдействительное число za, то
z az. Кроме того, справедливы следующие утверждения о ком-
плексно сопряжённых числах:
z z z z (5а)
1 2 1 2
z z z z (5б)
1 2 1 2
z z z z (5в)
1 2 1 2
z
z /z  1 , если z 0 (5г)
1 2 z 2
2
Докажем, например (5в). Пусть z abi, z cdi. Тогда
1 2
z z abicdiacbdadbciacbdadbci.
1 2
z z abicdiacbdadbciacbdadbci.
1 2
Из (5в) при zz z следует: z2 z2 и аналогично для любой нату-
1 2
ральной степени n:zn zn. (5д)
 2017, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич
6
2016-2017 уч. год, 10 кл. Математика. Комплексные числа
§2. Геометрическое изображение комплексных чисел.
Модуль и аргументы комплексного числа
1. Комплексная плоскость. Рассмотрим прямоугольную систему
координат на плоскости. Каждое комплексное число zaib задаётся
парой действительных чисел (a;b). Эта же пара чисел может рассмат-
риваться в качестве координат точки М (a,b) на координатной плоско-
сти. Поэтому каждому комплексному числу zaib поставим в соот-
ветствие точку М (a,b) координатной плоскости, т. е. точку, абсцисса
которой равна Reza, а ордината равна Imzb. Обратно, каждой
точке плоскости с координатами (a,b) поставим в соответствие ком-
плексное число zabi.
Так построено взаимно однозначное соответствие между множе-
ством комплексных чисел и точками плоскости, на которой выбрана
система координат. Сама координатная плоскость называется при этом
комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной
осью, т. к. на ней расположены точки, соответствующие комплексным
числам ai0, т. е. действительным числам. Ось ординат называется
мнимой осью – на ней лежат точки, соответствующие чисто мнимым
комплексным числам 0bi.
Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного
числа abi как вектора OM с началом в точке O(0,0) и концом в
точке M(a,b) (см. рис. 1). Так каждому вектору плоскости с началом в
точке O(0,0) концом в точке M(a,b) соответствует комплексное число
abi и наоборот. При этом нулевому вектору соответствует ком-
плексное число 00i.
2. Модуль комплексного числа.
Определение. Модулем комплексного числа
y
zabi называется длина вектора, соответ-
M(a,b)
ствующего этому числу. Модуль обозначается b
z=a+ib
z или буквой r. Применяя теорему Пифагора,
получим, что
ОМ  z  a2 b2 (см. рис. 1).
O a x
Если za0i, то z  a2 0 a, т. е. для дей-
ствительного числа модуль совпадает с абсолют- Рис. 1
ной величиной этого числа.
Очевидно, что z 0 для всех z0; z 0 тогда и только тогда, ко-
гда z00i0.
 2017, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич
7
2016-2017 уч. год, 10 кл. Математика. Комплексные числа
Перечислим основные свойства модуля комплексного числа:
z  z  a2 b2. (См. рис. 2). (6.1)
zz a2b2  z2  z 2 (из примера 3) (6.2)
z z  z  z (6.3)
1 2 1 2
z z
1  1 , если z 0 (6.4)
z z 2
2 2
Докажем, например, (6.3). Пусть z abi, z cdi. Тогда
1 2
z z acbdadbci,
1 2
z z  acbd2 adbc2 
1 2
 ac2 bd2 2acbdad2 bc2 2adbc 
 c2a2 b2d2a2 b2  a2 b2c2 d2  z  z .
1 2
Используя свойства модуля, можно получить y
M(a,b)
более простую формулу для деления комплекс-
b
z=a+ib
1
ных чисел, чем (4б). Число запишем в виде:
z
O a x
1 z z
  .
z zz z2 -b M(a,-b)
1
Тогда z=a-ib
z  1  z z
1 z   1 2 , при z 0. (7) Рис. 2
z 1z  z 2 2
2 2 2
Формула (7) сводит операцию деления комплексных чисел z и z к
1 2
умножению чисел z и z и делению этого произведения на действи-
1 2
тельное число z 2.
2
23i
Пример 4. Найдите частное .
15i
По формуле (7) имеем:
23i 23i15i 215i23i10i 17 7
    i.
15i 15i2 1252 26 26
 2017, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич
8
2016-2017 уч. год, 10 кл. Математика. Комплексные числа
3. Геометрический смысл сложения, вычитания и модуля разно-
сти двух комплексных чисел. Изображение комплексных чисел с по-
мощью векторов удобно тем, что при этом операции сложения и вычи-
тания чисел получают простое геометрическое толкование. Так, при
сложении комплексных чисел отдельно складываются их действитель-
ные и мнимые части: zz z abicdiacbdi. Так же
1 2
выполняется и операция сложения векторов OM a,b и
1
OM c,d:OPOM OM ac,bd. Иначе: если числу z соот-
2 1 2 1
ветствует вектор ОМ , а числу z вектор ОМ , то числу z z соот-
1 2 2 1 2
ветствует вектор ОМ ОМ (см. рис. 3). Это же относится и к разно-
1 2
сти комплексных чисел z и z :zz z acbd и
1 2 1 2
M M OM OM ac,bd, т. е. числу z z соответствует
2 1 1 2 1 2
вектор M M OM OM . При этом число z z есть, по определе-
2 1 1 2 1 2
нию модуля, длина вектора z z . (На рис. 3
1 2 y
z z есть длина вектора M M ). Таким b+d P
1 2 2 1
M
образом, модуль разности двух комплексных b 1
чисел есть расстояние между точками ком-
плексной плоскости, которые соответству- d M
2
ют этим числам. Теперь, используя геомет-
O a c a+c x
рический смысл операций с комплексными
числами, решим следующие задачи. Рис. 3
Пример 5. Найдите множество точек комплексной плоскости, удовле-
творяющих условию: а) zi 1;
y
б) 1 z3i 3; в) z2i  z34i; 2i
г) z2 6z6z0; д) z1 2 z2.
i
а) Условию zi 1 удовлетворяют те точки
комплексной плоскости, которые удалены от
O x
точки i на расстояние, равное 1. Такие точки ле-
жат на окружности радиуса 1 с центром в точке i Рис. 4
(см. рис. 4).
 2017, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич
9
2016-2017 уч. год, 10 кл. Математика. Комплексные числа
б) Здесь z3i  z3i. Условию
y
1 z3i 3 удовлетворяют те точки
комплексной плоскости, которые удалены от -3 O
точки (–3, – i) на расстояние, большее 1, но x
меньшее 3. Такие точки расположены внут- R=1 -i
1
ри кольца, образованного двумя концентри-
ческими окружностями с центром в точке
(–3, – 1) и радиусами R 1, R 3 (рис. 5).
1 2
Рис. 5
Искомое множество заштриховано.
в) Рассмотрим сначала равенство
M y
z2i  z34i . Перепишем его в виде 2 4i l
z2i  z34i, т. е. расстояние от
точки z до точки z 2i равно расстоянию
1
от точки z до точки z 34i. Из геомет- 2
2
рии известно, что это серединный перпенди- -3 O x
-i
куляр к отрезку, соединяющему точки M
1
M 2;1 и M 3;4. На рис. 6 это прямая
Рис. 6
1 2
l. Тогда точки, удовлетворяющие неравенству z2i  z34i ,
лежат на плоскости ближе к точке М , чем к точке М , т. е. на прямой
2 1
l или выше неё.
г) Пусть zxiy. Тогда равенство z2 6z6z0 примет вид
x2 y2 6xiy6xiy0. Отсюда y
x2 y2 12x0, или x62  y2 36. Это 6i
уравнение окружности с центром в точке
М6;0 и радиусом R6 (см. рис. 7). 6 12
д) Пусть zxiy. Тогда O M x
x1iy 2 x2iy 
 x12  y2 2 x22  y2  -6i
x2 2x1 y2 4x2 4x4 y2 Рис. 7
3x218x3y2150x26xy250x32y2 4.
 2017, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич
10