1. Termumformungen

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Terme / Grundlagen Arbeitsanleitung / Theorie

1. Termumformungen
1.1. Zahlen, Terme
1.2. Termauswertungen
1.1.1 Negative Zahlen

a) Zeichen
Vorzeichen

- (- 4 - (+5))

Gegenzahl Operationszeichen

b) Addition und Subtraktion
Diese beiden Operationen stellt man sich am besten bildlich auf dem Zahlenstrahl vor.
1. „+“ bedeutet nach rechts gehen und „–“ bedeutet nach links gehen.
2. Der 1. Summand (oder der Minuend) gibt den Startwert vor. Der 2. Summand (oder
Subtrahend) gibt die Anzahl Einheiten vor, die man zurücklegen muss. Der Endwert entspricht
dem Resultat.
3. Verwenden Sie zum Rechnen immer die vereinfachte Schreibweise ohne Klammern.

(+ 4) - (+ 5)= + 4 - 5 (- 5) + (+ 4)= - 5 + 4

(+ 4) + (- 5)= + 4 - 5 (- 5) - (- 4)= - 5 + 4

- 5
+ 4

-1 0 +1 +2 +3 +4 +5 -5 -4 -3 -2 -1 0
Endwert Anfangswert Anfangswert Endwert

c) Multiplikation und Division

(+5)⋅(−4)=−20

(−5)⋅(+4)=−20 Ungleiche Vorzeichen, Produkt negativ.

(+5)⋅(+4)=+20
Gleiche Vorzeichen, Produkt positiv.
(−5)⋅(−4)=+20

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Kapitel 2: Termumformungen

2.1. Addition, Subtraktion und Multiplikation
2.1.1 Einführung
Algebraische Summen vereinfachen Sie, indem Sie nur gleichartige Glieder zusammenfassen. Bei
Potenzen muss Basis und Hochzahl gleich sein. Sie rechnen nur mit den Koeffizienten (Zahl vor der
Variablen) und schreiben die Variablen ab. Sie dürfen einzelne Glieder vertauschen, wenn Sie die
Zeichen davor mitnehmen. Ordnung alphabetisch, innerhalb Alphabet nach Exponentengrösse.

Beispiel 1
−2x3 +3x3 +3x2 −10x+15xy−10xy = x3 +3x2 −10x+5xy

2.1.2 Klammerregeln der Addition und Subtraktion (Polynome)
1. Pluszeichen vor der Klammer: Klammer und Pluszeichen davor weglassen.
2. Minuszeichen vor der Klammer: Klammern und Minuszeichen davor weglassen, dazu müssen
gleichzeitig die Zeichen innerhalb der Klammer umgekehrt werden.
(Achtung: Steht vor dem ersten Glied in einer Klammer kein Vorzeichen, so ist an dieser Stelle
stets ein Pluszeichen zu denken.)
3. Mehrfachklammern lösen Sie schrittweise von innen nach aussen.

Beispiel 2
5x−3y−(4x−4y+3)=5x−3y−4x+4y−3= x+ y−3
Beispiel 3
3x−[4y−(3z−5x)−(4x−(3y−z))]=3x−[4y−3z+5x−(4x−3y+ z)]=
3x−[4y−3z+5x−4x+3y− z]=3x−[x+7y−4z]=3x− x−7y+4z =
2x−7y+4z

→→→→ Übung S. 4, Nr. 1 bcfgh / 2bc

2.1. Multiplikation
a) Monom mal Monom

Eine Multiplikation ist nichts anderes als eine Kurzschreibweise einer Addition mit dem gleichen
Summanden.

Zeichenregeln

(+5)⋅(−4)= −20

(−5)⋅(+4)= −20 Ungleiche Vorzeichen, Produkt negativ.

(+5)⋅(+4)= +20
Gleiche Vorzeichen, Produkt positiv.
(−5)⋅(−4)= +20

Bei der Multiplikation gelten die gleichen Vorzeichenregeln wie bei den negativen Zahlen.
Ein Produkt mit gerader Anzahl negativer Faktoren wird immer positiv.
Ein Produkt mit ungerader Anzahl negativer Faktoren wird immer negativ.
Es können auch verschiedene Glieder miteinander multipliziert werden.
Das Operationszeichen der Multiplikation kann weggelassen werden: 4ab = 4⋅a⋅b

Beispiel 1
−10ab⋅2c = −10⋅2⋅a⋅b⋅c = −20abc
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Beispiel 2
−4x⋅(−2xy) = −4⋅(−2)⋅x⋅x⋅y =8x2y
Beispiel 3
4a⋅2b⋅(−3c)=−4⋅2⋅3⋅a⋅b⋅c=−24abc

b) Monom mal Polynom
Ausmultiplizieren: Multiplikation von Klammerausdrücken (Polynome) Distributivgesetz
Jedes Glied in der Klammer muss mit dem Ausdruck vor der Klammer multipliziert werden.
Vorzeichenregeln der Multiplikation beachten !

Beispiel 4
−2x(3x2 − x+4) = −6x3 +2x2 −8x

c) Polynom mal Polynom
Jeder Summand der ersten Klammer muss mit jedem Summanden der zweiten Klammer
multipliziert werden, gleiche Glieder falls möglich zusammenfassen.
Die Vorzeichen der Glieder ergeben sich aus den Vorzeichenregeln der Multiplikation.

Beispiel 5
(2x+3)(2−3x+ y) = 4x−6x2 +2xy+6−9+3y = −6x3 +2x2 −8x

d) Binomische Formeln
(a+b)2 = a2 +2ab+b2
(a−b)2 = a2 −2ab+b2
(a+b)(a−b) = a2 −b2

Beispiele 6
(2x+3)2 = 4x2 +12x+9
Beispiele 7
(2x−3)2 = 4x2 −12x+9
Beispiele 8
(2x+3)(2x−3) = 4x2 −9

e) Vermischte Aufgaben

Potenz vor Punkt vor Strich!
Ausmultiplizieren von Klammern nach Minuszeichen: erneut Klammern setzen.

Beispiel 9
n(2n−1)2 −(4n−1)(n2 +4) = n(4n2 −4n+1)−(4n3 +16n−n2 −4) =

4n3 −4n2 +n−4n3 −16n+n2 +4 = −3n2 −15n+4

→→→→ Übung S. 5, Nr. 3 / 4abcdf / abcfgjklmopqtwy

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2.2 Faktorzerlegung
Beim Ausmultiplizieren in 2.1 verwandeln wir Produkte in Summen (Klammern werden aufgelöst). Das
Faktorisieren ist die Umkehrung: Summen werden in Produkte verwandelt (Klammern werden gesetzt).

Ausmultiplizieren

Produkt x⋅(a+b) = a⋅x+b⋅x Summe

Ausklammern, faktorisieren

a) Ausklammern mit Distributivgesetz
Kommt ein Ausdruck in jedem Summanden vor, so kann er vor eine Klammer gezogen werden.
Beispiel 1
ad +bd −cd =d(a+b−c)

Beispiel 2 (Ausklammern von Teilsummen, Klammern ausklammern)
au+av−bu−bv = a(u+v)−b(u+v)= (u+v)(a−b)

Beispiel 3 (Ausklammern von Teilsummen, Klammern ausklammern)
(x− y)(v+w)−v(y− x) = (x− y)(v+w)−v⋅(−1)(x− y)
(x− y)(v+w)+v⋅(x− y) = (x− y)((v+w)+v) =(x− y)(2v+w)

→→→→ Übung S. 6, Nr. 6abcdeghilnoqtu, Nr. 9abc

b) Ausklammern mit Binomischen Formeln
Beispiel 4
4x2 +4x+1= (2x+1)2

Beispiel 5 (Ausklammern —> Binomische Formeln
( )
4x2 −8xy +4y2 = 4x2 −2xy +y2 = 4(x −y)2

→→→→ Übung S. 6, Nr. 7 abcdghijk

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c) Mittelgliedzerlegung (Zweiklammermethode)
Beispiel 6
x2 −6x−16 =???? ⇒ (x...?)(x....?)

Alle Produkte mit Ergebnis 16 aufschreiben Die Faktoren auswählen, die addiert −6ergeben

(-1)(+16) = -16 (-1)+(+16) = 15
(+1)(-16) = -16 (+1)+(-16) = -15
(-2)(+8) = -16 (-2)+(+8) = 6 ⇒ (+2)(-8) = -16
(+2)(-8) = -16 (+2)+(-8) = -6
(+4)(-4) = -16 (+4)+(-4) = 0

⇒ ⇒ x2 −6x−16 = (x + 2)(x − 8)

Beispiel 7 (Ausklammern —> Mittelgliedzerlegung)
( )
2x4 −2x3 −12x2 = 2x2 x2 −x−6 = 2x2(x+2)(x −3)

→→→→ Übung S. 6, Nr. 8 abcdefg

d) Mehrere Verfahren in einer Aufgabe (Reihenfolge einhalten!)
1. Soviel wie möglich ausklammern.
2. Zwei-, dreigliedrige Restsummen mit den Binomischen Formeln weiter zerlegen oder...
3. Dreigliedrige Restsummen mit der Mittelgliedzerlegung weiter zerlegen.
4. Kontrolle durch Ausmultiplizieren.
Achtung: es gibt Summen, die nicht in Faktoren zerlegt werden können!

→→→→ Übung S. 6, Nr. 10 acdejk (fakultativ)
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3. Bruchterme

3.1. Zahlbegriff
p
Als Bruch bezeichnen wir eine Zahl in der Form , mit p, q ∈R, q≠ 0. (p heisst Zähler, q Nenner)
q

3.2. Vorzeichen
a −a a −a a
− = = =
b b −b −b b

3.3. Kürzen
Bruchterme werden gekürzt, indem Zähler und Nenner durch den gleichen (von 0
verschiedenen ) Term dividiert werden.

Achtung: Summen dürfen nie gekürzt werden !

205 200+5 1+5 6
(1,00985 =) = ≠ = (= 1.5)
203 200+3 1+3 4

Lösungshilfen

Beispiel 1 Faktorisieren mit Ausklammern

360z2 −90z 90z⋅(4z−1) 2(4z−1) 8z−2
= = =
45z2 45z2 z z

Beispiel 2 Faktorisieren mit Ausklammern, ganze Klammerausdrücke kürzen

w3 +w2 w2⋅(w+1)
= = w
w2 +w w⋅(w+1)

Beispiel 3 Faktorisieren mit Binomischer Formel

4r−2 2⋅(2r −1) 2
= =
4r2 −1 (2r +1)⋅(2r −1) 2r +1

Beispiel 4 Teilsummen ausklammern (ganze Klammern ausklammern)

kp−5p+k −5 p(k −5)+(k −5) (k −5)⋅(p+1) k −5
= = =
kp+k k⋅(p+1) k⋅(p+1) k

Beispiel 5 Faktorisieren mit Mittelgliedzerlegung, -1 ausklammern

k2 −13k +42 (k −6)⋅(k −7) (k −6)⋅(−1)⋅(7−k) 6−k
= = =
14−2k 2⋅(7−k) 2⋅(7−k) 2

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→→→→ Übung S. 7, Nr. 14 abcdefgij / 15abcdef / 16 ab

3.4. Erweitern / gleichnamig machen

Ist eine Zahl(Term) v sowohl Vielfaches einer Zahl (eines Terms) a als auch Vielfaches einer
Zahl (eines Terms) b, so heisst v gemeinsames Vielfaches von a und b. Das kleinste
gemeinsame Vielfache wird mit kgV bezeichnet.
Das kgV zweier Zahlen (Terme) erhält man durch die Faktorzerlegung in Primfaktoren. Man
wählt jeden Primfaktor dort aus, wo er am häufigsten vorkommt und multipliziert alle
ausgewählten Primfaktoren miteinander.
18= 2⋅3⋅3
60 =2⋅2⋅3⋅5
kgV =2⋅2⋅3⋅3⋅5=180

Lösungshilfen

Beispiel 1

15m2=3⋅5⋅m2
−8mq = (−1)⋅23 ⋅m⋅q
kgV = (−1)⋅23 ⋅3⋅5⋅m2 ⋅q =-120m2q

Beispiel 2 Faktorisieren, kgV bestimmen

n3+2n2=n2 ⋅(n+2)
n3–4n=n⋅(n+2)⋅(n-2)
kgV = n2(n+2)(n−2)

→→→→ Übung S. 8, Nr. 17 abcdeghi

3.5. Addition und Subtraktion

Gleichnamige Brüche (gleicher Nenner) werden addiert(subtrahiert) indem man die Zähler addiert und
den Nenner beibehält.
Ungleichnamige Brüche werden addiert(subtrahiert) indem man die Brüche gleichnamig macht und

diese gleichnamigen Brüche dann addiert(subtrahiert).

a b ad bc ad ±bc
± = ± =
c d cd cd cd
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Lösungshilfen

Beispiel 1 Gleichnamig machen, alles auf einen Bruchstrich, ausmultiplizieren, zusammenfassen

( )
a+b a−b a(a+b) b(a−b) a2 +ab− ab−b2 a2 +ab−ab+b2 a2 +b2
− = − = = =
b a ab ab ab ab ab

Beispiel 2 Eins als Nenner, gleichnamig machen, alles auf einen Bruchstrich, Vorzeichen
(Achtung: Bruch wirkt wie eine Klammer), zusammenfassen

k2 −k +1 2 k2 −k +1 2k2 k2 −k +1 2k2 −k2 +k −1 k2 +k −1
2− = − = − = =
k2 1 k2 k2 k2 k2 k2

Beispiel 3 Faktorisieren, gleichnamig machen, alles auf einen Bruchstrich, ausmultiplizieren (Vorzeichen
Achtung: Bruch wirkt wie eine Klammer), zusammenfassen, kürzen

n 2n+1 n2 +5n n 2n+1 n2 +5n
− + = − + =
n+1 n−1 n2 −1 n+1 n−1 (n+1)(n−1)
n(n−1) (2n+1)(n+1) n2 +5n
− + =
(n+1)(n−1) (n+1)(n−1) (n+1)(n−1)
n2 −n−2n2 −3n−1+n2 +5n n−1 1
= =
(n+1)(n−1) (n+1)(n−1) n+1

Beispiel 4 Faktorisieren, gleichnamig machen (2. Bruch mit -1 erweitern), alles auf einen Bruchstrich,
ausmultiplizieren (Achtung Vorzeichen...), zusammenfassen, ausklammern, kürzen

m2 −8m m m2 −8m m ⋅(-1) m2 −8m −m
− = − = − =
2m2 +m−15 5−2m (2m−5)(m+3) 5−2m⋅(−1) (2m−5)(m+3) 2m−5
m2 −8m −m(m+3) m2 −8m+m2 +3m 2m2 −5m
− = = =
(2m−5)(m+3) (2m−5)(m+3) (2m−5)(m+3) (2m−5)(m+3)
m(2m−5) m
=
(2m−5)(m+3) m+3

→→→→ Übung S. 8, Nr. 19 abcdefghimno / 20 abcdefgh

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3.6. Multiplikation

Zähler⋅Zähler
Faktorisieren, alles auf einen Bruchstrich, kürzen!
Nenner⋅Nenner

Lösungshilfen (Klammern setzen, nicht auflösen!)

Beispiel 1 Faktorisieren mit Mittelgliedzerlegung

d d ⋅(d −5) d
⋅(d −5)= =
d2 −8d +15 (d −5)⋅(d −3) d −3

Beispiel 2 Faktorisieren mit Ausklammern / -1 ausklammern oder mit -1 erweitern

4f +4g 3⋅(g − f )⋅4⋅(f + g) 3⋅(−1)⋅(f −g)⋅4⋅(f + g) 12⋅(f + g)
(3g −3f )⋅ = = = −
5f −5g 5⋅(f − g) −5⋅(f −g) 5

Beispiel 3 Faktorisieren mit Binomischer Formel, Mittelgliedzerlegung

v2 +4v+4 9t −9 (v+2)2 ⋅9⋅(t −1) 3⋅(v+2)
⋅ = =
3t −3 v2 +5v+6 3⋅(t −1)⋅(v+2)⋅(v+3) v+3

3.7. Division

Bruchterme werden miteinander dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten
Bruches multipliziert.

Lösungshilfen

Beispiel 1 Kehrwert mit Nenner 1 bilden, ausklammern, kürzen.

6hs−9h 6hs−9h 18hs 3h⋅(2s−3)⋅1 2s−3
:18hs = : = =
10s 10s 1 10s⋅18hs 60s2
Beispiel 2 Kehrwert, Vorzeichenüberlegung, alles auf einen Bruchstrich, kürzen

78f  48f 2  78f ⋅85h3 13
− :−  = + =
85h3  85h3  85h3 ⋅48f 2 8f

Beispiel 3 Kehrwert, alles auf einen Bruchstrich, Faktorisieren (ausklammern, Binomische Formel),
kürzen.

m2 −m m2 −1 m(m−1)⋅4(m+2) 4m
: = =
m+2 4m+8 (m+2)⋅(m+1)(m−1) m+1

Beispiel 4 Kehrwert, alles auf einen Bruchstrich, -1 ausklammern, kürzen.

k −7 (7−k) (−k −7) (−1)⋅(k −7)⋅(−k −7)
(7−k): = ⋅ = =(−1)⋅(−k −7)= k +7
−k −7 1 k −7 k −7

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3.8. Doppelbrüche

Doppelbrüche werden weggeschafft, indem man den Hauptbruchstrich durch ein Divisionszeichen
ersetzt und dann die beiden Brüche dividiert:

a
b a c ad
= : =
c b d bc
d

→→→→ Übung Aufgabenblatt unten / S. 9 Nr. 22 abef / 23 ac

Aufgabenblatt Multiplikation / Division

9a 7m2 −3n2
1. 6ab⋅ 2. ⋅
4b −12n3 14m

4f +4g m−n 5m
3. (3g −3f)⋅ 4. ⋅
5f −5g 3m 2m−2n

d −1 12d2 v2 +4v+4 9t −9
5. ⋅ 6. ⋅
18d 1−d 3t −3 v2 +5v+6

t 3u2 −3v2 15de
7. ⋅ 8. :6de
4u+4v t2 +t 4e

2a+2b n2 −19n+90 n−9
9. :(a+b) 10. :
ab n+9 n+9

4x2 2x z z
11. : 12. :
2x3 −2x2 −12x x2 +4x+4 3z−3 2−2z

m2 −m m2 −1 c2 −d2 c+d
13. : 14. :
m+2 4m+8 c−1 1−c

Lösungen

27a2 m 12(f + g) 5 2d 3(v+2) 3(u−v)
1. / 2. / 3. − / 4. / 5. − / 6. / 7.
2 8n 5 6 3 v+3 4(t +1)
5 2 x+2 2 4m
8. / 9. / 10. n−10 / 11. / 12. − / 13. / 14. d −c
8e ab x−3 3 m+1

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