1. Permutasi, Kombinasi dan Peluang PDF
Preview 1. Permutasi, Kombinasi dan Peluang
BAB VI PELUANG DAN STATISTIKA DASAR A. Konsep Peluang dan Pengelolaan Data Peluang seringkali diperlukan oleh seseorang untuk melihat besarnya kemungkinan atau kesempatan untuk terjadinya sesuatu. Sebagai contoh, coba anda perhatikan tabel berikut ini. Tabel 6.1 Data Peminat dan Daya Tampung Suatu Program Studi Daya Daya Peminat Peminat Tahun Akademik tampung tampung SPMB PMDK SPMB PMDK 2000/2001 307 35 84 10 2001/2002 289 35 78 10 2002/2003 379 45 100 10 2003/2004 324 45 77 17 2004/2005 420 45 61 17 Tabel tersebut berisikan data tentang jumlah peminat dan daya tampung pada suatu program studi di sebuah universitas negeri, baik yang melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB) maupun Penelusuran Minat dan Kemampuan (PMDK). Data ini akan sangat bermanfaat bagi seorang peserta seleksi untuk mengetahui seberapa besar kemungkinannya untuk dapat diterima di program studi tersebut. Pada tahun akademik 2004/2005 misalnya, 420 orang peserta harus bersaing untuk memperebutkan 45 kursi yang tersedia pada jalur SPMB dan 61 peserta harus bersaing memperebutkan 17 kursi yang disediakan pada jalur PMDK. Hal ini berarti peluang seorang peserta SPMB untuk diterima 223 224 adalah antara 1 : 10 sampai 1 : 9, sedangkan seorang peserta PMDK memiliki peluang lebih besar untuk diterima yakni antara 1 : 4 sampai 1 : 3. Tabel di atas juga memperlihatkan fluktuasi jumlah peminat dan perkembangan daya tampung dari tahun ke tahun. Hal ini semakin jelas terlihat bila data tersebut disajikan dalam bentuk grafik, sebagaimana yang tertera dalam gambar berikut ini. 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 00/01 01/02 02/03 03/04 04/05 Peminat SPMB Daya tampung SPMB Peminat PMDK Daya tampung PMDK Gambar 6.1 Grafik Peminat dan Daya Tampung suatu Program Studi Grafik tersebut dengan jelas memvisualisasikan fluktuasi peminat dan perkembangan daya tampung dari tahun ke tahun serta perbandingan antara peminat dan daya tampung per tahun akademik. Dengan data yang cukup, maka pola yang ditunjukkan oleh grafik bisa juga digunakan untuk memprediksikan kondisi yang akan terjadi pada tahun-tahun selanjutnya. Selain memberikan visualisasi secara jelas tentang keadaan peminat dan daya tampung, maka dari sumber data yang sama juga dapat dihitung rata-rata jumlah peminat dan daya tampung selama 5 tahun terakhir serta rata-rata besarnya 225 peluang seorang peserta seleksi untuk diterima selama 5 tahun terakhir. Hasil- hasil perhitungan tersebut sangat penting, selain untuk memperkirakan kondisi yang akan terjadi pada tahun-tahun selanjutnya, juga dapat menjadi sumber informasi bagi lembaga universitas yang bersangkutan dalam mengambil suatu kebijakan atau merencanakan suatu tindakan. Contoh di atas memberikan gambaran pentingnya pengetahuan tentang peluang, penyajian dan pengelolaan data. Konsep-konsep dasar berkaitan dengan ketiga hal tersebut akan disajikan dalam uraian berikut ini. 1. Permutasi, Kombinasi dan Peluang Konsep peluang merupakan sebuah kajian matematis yang digunakan sebagai landasan dalam pembahasan statistika. Sementara itu untuk dapat memahami konsep peluang diperlukan suatu pemahaman terhadap konsep permutasi dan kombinasi. a. Permutasi Sebuah panitia ditugasi untuk menentukan warna kostum baru bagi sebuah tim sepak bola. Pihak manajer menyediakan 4 pilihan warna: merah (M), putih (P), hijau (H) dan biru (B), baik untuk celana maupun kaosnya, dengan catatan warna celana tidak boleh sama dengan warna kaos. Panitia tersebut harus menentukan satu pasang warna dari semua pasang warna yang mungkin. Oleh karenanya pada tahap pertama, panitia menyusun daftar semua kemungkinan tersebut. 226 Kaos M M M P P P H H H B B B Celana P H B M H B M P B M P H Dari daftar tersebut jelas bahwa pasangan-pasangan yang muncul merupakan pasangan terurut, yang berarti pasangan (M,P) misalnya, berbeda dengan pasangan (P,M). Pasangan (M,P) berarti kaos merah dan celana putih, sedangkan pasangan (P,M) berarti kaos putih dan celana merah. Penyusunan unsur-unsur semacam ini disebut dengan permutasi. Permutasi r dari n unsur dengan r n adalah susunan terurut terdiri dari r unsur berbeda yang diambil dari n unsur berbeda. Pada contoh di atas, susunan terurut dari warna kaos dan celana menghasilkan 12 kemungkinan susunan. Banyaknya kemungkinan tersebut dapat dijelaskan dalam chart berikut ini. Warna kaos Warna celana P M H B M P H B M H P B M B P H 227 Untuk warna kaos terdapat 4 kemungkinan dan untuk setiap warna kaos dapat dipasangkan 3 warna celana, sehingga banyaknya kemungkinan pasangan warna kaos dan celana adalah 4.3.2.1 4! 4! 124.3 2.1 2! (42)! Rumusan tersebut merupakan banyaknya permutasi 2 unsur yang diambil dari 4 unsur yang berbeda. Secara umum banyaknya permutasi r unsur berbeda yang diambil dari n unsur adalah n! P dengan (1 r n) n,r (nr)! Selanjutnya jika r = n maka notasi P dapat disingkat P . Banyaknya permutasi n,n n dari n unsur berbeda adalah P n! n Sekarang bagaimana jika dari n unsur tadi terdapat k kelompok unsur yang sama? Misalnya, berapa banyaknya permutasi huruf-huruf dari kata “MATA”. Jika kedua huruf “A” tersebut dipandang sebagai dua unsur yang berbeda, sehingga kumpulan huruf tersebut menjadi “M A T A ”, maka berdasarkan 1 2 formula di atas akan dihasilkan 4!24permutasi: MA TA MA TA MA A T MA A T A MA T A MA T 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 A A MT A A MT A MTA A MTA MTA A MTA A 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 TA MA TA MA TA A M TA A M A TA M A TA M 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 A A TM A A TM A TMA A TMA TMA A TMA A 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 Tetapi jika kedua “A” tersebut dipandang sebagai unsur yang sama, maka dari permutasi-permutasi tersebut terdapat 12 pasang permutasi yang sama, sehingga permutasi-permutasi berbeda yang terjadi tinggal 12 permutasi saja. Kedua belas permutasi tersebut dapat ditelusuri melalui chart berikut ini. 228 T A A M A T T A A A T M T A M A A T A M T M A M T M A A T A M M A A Sehingga didapat: MATA MAAT MTAA AMAT AMTA ATMA ATAM AATM AAMT TAMA TAAM TMAA Pada contoh di atas permutasi MA TA dan MA TA , misalnya, dipandang 1 2 2 1 sebagai satu permutasi saja yakni MATA. Permutasi MA A T dan MA A T 1 2 2 1 dipandang sebagai satu permutasi yakni MAAT, demikian seterusnya karena setiap kali kita menemukan kelompok-kelompok dengan 2 permutasi yang sama maka banyaknya permutasi yang berbeda didapat dari banyaknya seluruh kemungkinan permutasi, yakni 4!, dibagi 2. Bilangan 2 ini didapat dari 2!, yakni banyaknya permutasi dari “A A ”. 1 2 Contoh lain misalnya permutasi untuk kata “ARAYA”. Jika ketiga huruf “A” yang ada dianggap berbeda, maka ada 5! = 120 permutasi. Tetapi jika ketiga huruf “A” dipandang sama maka setiap kali kita akan mendapatkan kelompok permutasi sama yang terdiri dari 3! = 6 permutasi. Misalnya untuk permutasi ARAYA, kita memiliki A RA YA , A RA YA , A RA YA , A RA YA , 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 229 A RA YA , dan A RA YA . Untuk permutasi RAAAY, kita memiliki 3 1 2 3 2 1 RA A A Y, RA A A Y, RA A A Y, RA A A Y, RA A A Y, dan RA A A Y. 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 Demikian seterusnya, sehingga banyaknya permutasi yang berbeda dari kelompok 5! 120 huruf “ARAYA” adalah 20 permutasi. 3! 6 Sekarang pehatikan kata “GAGASAN”. Pada kata tersebut terdapat dua kelompok unsur yang sama, yakni huruf “G” ada 2 dan huruf “A” ada 3. Analog dengan dua contoh sebelumnya maka seluruh kemungkinan permutasi terbagi ke dalam kelompok-kelompok yang terdiri dari 2!3! = 12 permutasi yang sama. Dengan demikian banyaknya permutasi yang berbeda untuk kata “GAGASAN 7! 5040 adalah 420 permutasi. 2!3! 12 Secara umum, jika dalam suatu himpunan n unsur terdapat k kelompok yang setiap kelompok ke i, (1 i k), terdiri atas n anggota yang sama, maka i seluruh kemungkinan permutasi dari himpunan tersebut akan terbagi ke dalam kelompok-kelompok yang terdiri dari n !n !n !n ! permutasi yang sama. Oleh 1 2 3 k karena itu banyaknya permutasi yang berbeda dari himpunan tersebut adalah n! P n,n n !n !n !...n ! 1 2 3 k Sebagai latihan tentang permutasi, kerjakan contoh soal berikut ini. 1. Buatlah suatu diagram untuk menentukan banyaknya kemungkinan bilangan 3 angka yang dapat disusun dari angka-angka 3, 4, 5, 9, dengan syarat bahwa angka yang menempati ratusan, puluhan dan satuan pada suatu bilangan tidak boleh sama. 230 2. Seorang ketua koperasi terpilih diberi kewenangan untuk menentukan sendiri susunan tim pengurusnya yang terdiri dari wakil ketua, sekretaris, bendahara. Sang ketua melihat ada 5 orang yang memenuhi criteria untuk menduduki jabatan-jabatan tersebut. Ada berapa macam susunan pengurus yang mungkin dibentuk? 3. Tentukan banyaknya permutasi dari huruf-huruf yang diambil dari kata “M A T E M A T I K A”! b. Kombinasi Cara penyusunan unsur-unsur selain permutasi adalah kombinasi. Bedanya, jika pada permutasi, urutan unsur diperhatikan, yakni misalnya "a,d,i" tidak sama dengan "i,d,a", maka pada kombinasi urutan unsur tersebut diabaikan. Fokus permutasi adalah pada susunan terurut, sedangkan fokus dari kombinasi adalah himpunan, sehingga {a,d,i} = {a,i,d} = {d,i,a} = {d,a,i} = {i,d,a} = {i,a,d}. Contoh persoalan yang penyelesaiannya menggunakan kombinasi adalah memprediksikan 2 dari 5 besar ”Indonesian Idol” yang akan maju ke babak grand-final. Misal inisial kelima finalis adalah A, B, C, D dan E, maka ada 10 kemungkinan pasang finalis yang bisa tampil di babak grand-final, yakni A-B, A-C, A-D, A-E, B-C, B-D, B-E, C-D, C-E, dan D-E. Hasil 10 kombinasi ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Banyaknya permutasi dari 2 unsur yang diambil dari 5 5! unsur yang berbeda adalah 20. Karena setiap permutasi ada 2 unsur, (52)! 231 maka setiap dua permutasi akan memiliki unsur yang sama, sehingga banyaknya kombinasi yang terjadi adalah 20 5! 10 2 (52)!2! Secara umum rumus banyaknya kombinasi r unsur dari n unsur yang berbeda dapat diturunkan dari rumus permutasi. Sebagaimana telah kita ketahui n! bahwa permutasi r unsur dari n unsur yang berbeda adalah P . Karena n,r (nr)! kombinasi tidak memperhatikan urutan, maka permutasi-permutasi yang memiliki unsur yang sama dipandang sebagai 1 kombinasi. Dalam hal ini setiap permutasi terdiri dari r unsur, sehingga setiap r! permutasi memiliki unsur yang sama. Oleh karena itu banyaknya kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda P adalah C n,r atau n,r r! n! C dengan 1 r n n,r (nr)!r! Sebagai latihan pada kombinasi, kerjakan soal latihan berikut. 1. Ada 10 mahasiswa yang memenuhi syarat untuk memperoleh suatu bea siswa. Ada berapa cara untuk memilih mereka jika bea siswa hanya diperuntukkan 5 orang saja? 3 orang saja? 1 orang saja? 2. Ada empat kelompok pemain dalam sebuah tim sepak bola, yakni penjaga gawang, pemain belakang, pemain tengah dan pemain depan. Susunan kelompok inilah yang dipergunakan untuk menamai pola yang dimainkan oleh suatu tim. Pada saat menghadapi timnas Thailand, timnas Indonesia 232 menerapkan pola 1 – 3 – 5 – 2. Jika timnas Indonesia terdiri dari 3 penjaga gawang, 7 pemain belakang, 8 pemain tengah dan 5 pemain depan, ada berapa kemungkinan susunan pemain utama yang dapat dibentuk? 3. Satu kantong berisi 4 kelereng merah dan 7 kelereng putih. Secara acak diambil 5 buah kelereng. Tentukan banyaknya semua kemungkinan susunan 5 kelereng tersebut! c. Peluang Peluang dimaksudkan sebagai nilai kemungkinan munculnya sebuah kejadian sebagai hasil dari suatu percobaan. Percobaan adalah proses pengamatan atau pengukuran yang hasilnya mengandung ketidaktentuan. Ini berarti bahwa kita tidak bisa memastikan hasilnya sebelum proses pengamatan atau pengukuran tersebut dilakukan. Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB) sebagaimana yang di contohkan di awal bab ini, dapat dipandang sebagai sebuah percobaan, karena hasilnya tidak bisa dipastikan sebelum proses tersebut dilakukan. Kapasitas peluang dalam hal ini hanya untuk menentukan seberapa besar kemungkinan seorang peserta lulus seleksi, dan bukan untuk memastikan apakah seseorang lulus atau tidak lulus. Oleh karena hasil sebuah percobaan mengandung ketidaktentuan, maka peluangpun juga bersifat tak tentu. Contoh lain dari percobaan adalah Percobaan melambungkan mata uang logam; hasil yang mungkin adalah muncul angka (A) atau gambar (G);
Description:The list of books you might like
