1 Lineare Abbildungen

49 Pages·2007·0.29 MB·German

1 Lineare Abbildungen
Definition 1 Sei K ein K¨orper und V und W K-Vektor¨aume. Eine Abbil-
dung f : V W heisst linear (oder Homomoprhismus), wenn gilt:
→
f(v +v ) = f(v )+f(v ) v ,v V
1 2 1 2 1 2
• ∀ ∈
f(λv) = λf(v) λ K,v V
• ∀ ∈ ∈
Mit Hom(V,W) bezeichnen wir die Menge aller linearen Abbildungen V
→
W.
Beispiele 1 (a) Sei A = (a ) M(m n,K). Setze
i,j
∈ ×
x a ... a x
1 11 1m 1
. . . .
ℓA : Kn Km,x =  ..   .. ..   ..  = A x.
→ 7→ · ·
x a ... a x
n n1 nm n
     
     
ℓ ist eine lineare Abbildung. Wir werden sp¨ater zeigen, dass jede lineare
A
Abbildung Kn Km von dieser Form ist, d.h. fu¨r jedes f Hom(Kn,Km)
→ ∈
gibt es genau ein A M(m n,K) mit f = ℓ .
A
∈ ×
(b) Fu¨r a,b R mit a < b sei C0([a,b]) die Menge aller stetigen Funktionen
∈
[a,b] R und C1([a,b]) die Menge aller stetig diffenzierbaren Funktionen
→
[a,b] R. Die Teilmengen C0([a,b]),C1([a,b]) sind Untervektorr¨aume von
→
Abb([a,b],R). Der Differenzialoperator
d dϕ
: C1([a,b]) C0([a,b]), ϕ = ϕ
′
dx → 7−→ dx
ist linear, denn es gilt ja (ϕ + ϕ ) = ϕ + ϕ und (λϕ) = λϕ) fu¨r alle
1 2 ′ ′1 ′2 ′ ′
ϕ,ϕ ,ϕ C1([a,b]) und λ R.
1 2
∈ ∈
(c) Das Integral b : C0([a,b]) R,ϕ bϕ(x)dx ist linear.
a → 7−→ a
R R
1
(d) Keine lineare Abbildungen sind z.B.:
x 2x+y +1 x sin(x)
f : R2 R2, g : R2 R2,
→ y 7−→ 3x+4y +5 → y 7−→ ey
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
Denn nach Beispiel 1 ist jede lineare Abbildung R2 R2 von der Form
→
x ax+by
R2 R2,
→ y 7−→ cx+dy
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
fu¨r geeignete a,b,c,d R.
∈
Die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung Seien V und W
endlichdimensionale K-Vektorr¨aume und sei f : V W linear. Wir fixieren
→
Basen v = (v ...v ) und w = (w ...w ) von V und W.
1 n 1 n
Fu¨r jedes j 1,...,n gibt es eindeutig bestimmte a ,a ,...,a K so
1j 2j mj
∈ { } ∈
dass
f(v ) = a w +...+a w
j 1j 1 mj n
a ... a
11 1n
. .
Die Matrix Mwv(f) =  .. ..  heisst Darstellungsmatrix von f
a ... a
m1 mn
 
bezu¨glich v und w. Fu¨rj = 1,...,n gilt also: Die j-te Spalte von Mv(f)
w
besteht aus den Koordinaten von f(v ) bzgl. der Basis (w ...w ).
j 1 n
Beispiel 1 Sei R[x] die Menge der Polynome mit Koeffizienten in R vom
n
≤
Grad n, d.h.
≤
R[x] = f(x) = a xn +a xn 1 +...+a x+a a ,...,a R .
n n n 1 − 1 0 0 n
≤ { − | ∈ }
R[x] ist ein n+ 1–dimensionaler Unterraum von Abb(R,R). Z.B. ist das
n
n+1≤–Tupel der Monome (x0 = 1,x1,x2,...,xn) eine Basis von R[x] . Die
n
d ≤
Abbildung D = : R[x] R[x] ,P(x) P (x) ist linear.
n dx ≤n → ≤(n−1) 7−→ ′
WirwollendieDarstellungsmatrixvonD bzgl.derBasenv: = (1,x1,x2,x3)
3
und w: = (1,x1,x2) bestimmen. Da
D (1) = 0 = 0 1+0 x+0 x2, D (x) = 1 = 1 1+0 x+0 x2,
3 3
· · · · · ·
D (x2) = 2x1 = 0x0 +2x1 +0x2, D (x3) = 3x2 = 0x0 +0x1 +3x2
3 3
2
folgt
0 1 0 0
Mv(D ) = 0 0 2 0 .
w 3  
0 0 0 3
 
Satz 2 SeienV und W endlichdimensionaleK-Vektorr¨aume mitfestgew¨ahl-
ten Basen v = (v ,...,v ) und w = (w ,...,w ). Die Abbildung
1 n 1 m
(1) Hom(V,W) M(m n,K),f Mv(f)
→ × 7−→ w
ist bijektiv.
Beweis. 1. Injektivit¨at: Seien f,g : V W linear mit
7−→
a ... a
11 1n
. .
Mwv(f) =  .. ..  = Mwv(g).
a ... a
m1 mn
 
 
Folglich gilt
m
f(v ) = a w = g(v ) j 1,...,n
j ij i j
∀ ∈ { }
i=1
X
Sei v V. Wir wollen zeigen f(v) = g(v). Da (v ,...,v ) eine Basis von V
1 n
∈
ist, gibt es eindeutig bestimmte λ ,...,λ K mit v = λ v +...+λ v .
1 n 1 1 n n
∈
f(v) = f(λ v +...+λ v ) = λ f(v )+...+λ f(v )
1 1 n n 1 1 n n
= λ g(v )+...+λ g(v )
1 1 n n
= g(λ v +...+λ v ) = g(v)
1 1 n n
f = g Injektivit¨at.
⇒ ⇒
a ... a
11 1n
. .
2. Surjektivit¨at: Sei A =  .. ..  M(m n,K)
∈ ×
a ... a
m1 mn
 
 
Gesucht: f Hom(V,W) mit Mv(f) = A.
∈ w
Definiere zun¨achst
f(v ) := a w +...+a w j 1,...,n
j 1j 1 mj m
∀ ∈ { }
3
Um f(v) fu¨r einen beliebigen Vektor v V zu definieren, stellen wir v als
∈
Linearkombionation der v ,...,v dar:
1 n
v = λ v +...+λ v .
1 1 n n
Dabei sind λ ,...,λ K eindeutig bestimmt. Wir setzen:
1 n
∈
f(v): = λ f(v )+...+λ f(v )
1 1 n n
Man u¨berpru¨ft leicht, dass die so definierte Abbildung f : V W linear ist
→
und Mv(f) = A gilt. (cid:3)
w
Beispiel 2 SeiV = Kn,W = Km undseiene = (e ,...,e ),e = (e ,...,e )
1 n ′ 1 m
die Standardbasen von Kn und Km, d.h.
1 0 0
0 1 0
     
e = 0 , 0 ,..., 0
 ..   ..   .. 
 .   .   . 
     
 0   0   1 
     
     
Man rechnet leicht nach, dass die beiden Abbildungen
Hom(Kn,Km) M(m n,K),f Me′(f)
→ × 7−→ e
M(m n,K) Hom(Kn,Km),A ℓ
A
× → 7−→
zueinander invers sind. Insbesondere ist die zweite Abbildung A ℓ bijek-
A
7→
tiv.
Bemerkung 3 (a) Da die Spalten der Darstellungsmatrix die Koordina-
ten der Bilder f(v ),...,f(v ) bzgl. der gegebenen Basis von W sind, l¨asst
1 n
sich die Injektivit¨at der Abbildung (1) wie folgt interpretieren: Eine linea-
re Abbildung f : V W ist eindeutig durch die Bilder der Basisvektoren
→
f(v ),...,f(v ) festgelegt. Die Surjektivit¨at von (1) bedeutet: Zu jeder Wahl
1 n
von n Vektoren w ,...,w W gibt es eine lineare Abbildung f : V W
1 n
∈ →
mit f(v ) = w ,...,f(v ) = w . Zusammenfassend erhalten wir: Sei V ein
1 1 n n
endlich-dimensionaler und W ein beliebiger K-Vektorraum. Sei (v ,...,v )
1 n
eine Basis von V und seien w ,...,w beliebige Vektoren in W. Dann gibt
1 n
es genau eine lineare Abbildung f : V W mit f(v ) = w f¨ur i = 1,...,n.
i i
→
4
(b) Sei K ein K¨orper und V und W K-Vektor¨aume. Fu¨r f,g Hom(V,W)
∈
und λ K verifiziert man leicht, dass die Abbildungen
∈
(2) f +g : V W,v (f +g)(v): = f(v)+g(v),
→ 7→
(3) λf : V W,v (λf)(v): = λf(v)
→ 7→
wieder linear sind. Mit dieser Addition und skalaren Multiplikation wird die
Menge Hom (V,W) selbst zu einem K-Vektorraum. Sind V und W endlich-
K
dimensional mit Basen v = (v ,...,v ) und w = (w ,...,w ) so kann man
1 n 1 m
leicht nachrechnen, dass die Abbildung (1) linear ist.
Der n¨achste Satz besagt vereinfacht ausgedru¨ckt, dass die Hintereinander-
schaltung von linearen Abbildungen dem Produkt der Darstellungsmatrizen
entspricht.
Satz 4 Seien U,V und W endlich-dimensionale K-Vektorr¨aume mit Basen
u = (u ,...,u ),v = (v ,...,v ) und w = (w ,...,w ) und seien f : U V
1 n 1 m 1 l
→
und g : V W lineare Abbildungen. Dann ist g f : U W linear und es
→ ◦ →
gilt:
Mu(g f) = Mv(g)Mu(f).
w ◦ w v
Beweis. Sei Mu(f) = (b ), Mv(g) = (a ) und Mu(g f) = (c ), d.h. es gilt:
v jk w ij w ◦ ik
m l
f(u ) = b v , g(v ) = a w , und
k jk j j ij i
j=1 i=1
X X
l
(g f)(u ) = g(f(u )) = c w .
k k ik i
◦
i=1
X
Es folgt:
l m m l
a b w = b a w =
ij jk i jk ij i
! !
i=1 j=1 j=1 i=1
X X X X
m m l
b g(v ) = g b v = g(f(u )) = c w
jk j jk j k ik i
!
j=1 j=1 i=1
X X X
und damit m a b = c fu¨r alle i = 1,...,l und k = 1,...,n. (cid:3)
j=1 ij jk ik
P
5
Transformationsmatrizen SeiV einn-dimensionaler K-Vektorraumund
v = (v ,...,v ), w = (w ,...,w ) zwei Basen von V. DieDarstellungsmatrix
1 n 1 n
der Identit¨at id : V V,v v bzgl. v und w bezeichnen wir mit
V
→ 7→
Tv: = Mv(id ).
w w V
Sie heisst Transformationsmatrix des Basiswechsels. Sei v ein beliebiger Vek-
torinV.Mit HilfevonTv lassen sich dieKoordinaten(x ,...,x )von v bzgl.
w 1 n
(v ,...,v ) in die Koordinaten (y ,...,y ) bzgl. (w ,...,w ) umrechnen:
1 n 1 n 1 n
x y
1 1
. .
Twv ..  =  .. .
x y
n n
   
   
Ist Tv = (a ), also
w ij
n
v = id (v ) = a w
j V j ij i
i=1
X
so folgt aus v = x v +...x v = y w +...y w n¨amlich
1 1 n n 1 1 n n
n n n n n n
y w = v = x v = x a w = ( a x )w
i i j j j ij i ij j i
i=1 j=1 j=1 i=1 i=1 j=1
X X X X X X
und damit y = n a x .
i j=1 ij j
P
Lemma 5 Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und seien u =
(u ,...,u ),v = (v ,...,v ) und w = (w ,...,w ) Basen von V. Dann gilt:
1 n 1 n 1 n
(a) Tu = Tv Tu
w w · v
(b) Die Transformationsmatrix Tv ist invertierbar mit Inversem (Tv) 1 =
w w −
Tw.
v
Beweis. (a) folgt sofort aus Satz 4 fu¨r U = W = V und f = g = id .
V
(b) Offenbar gilt Tv = E = Tw. Mit (a) ergibt sich
v n w
Tv Tw = Tw, Tw Tv = Tv.
w · v w v · w v
(cid:3)
6
2 3 1 3
1.0.1 Beispiel: Im R2 seien die Basen v = ( , ),w = ( , )
1 2 0 1
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
und der Vektor
1 2 3
v = = 5 3
1 · 1 − · 2
(cid:18)− (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
gegeben. Wir wollen die Koordinaten von v bzgl. w berechnen. Sei e =
1 0
( , ) die Standardbasis. Fu¨r die Transformationsmatrix Tv gilt nach
0 1 w
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
Lemma 5:
Tv = TeTv = (Tw) 1Tv
w w e e − e
2 3
Ferner gilt Tv = , denn die erste Spalte von Tv besteht aus den
e 1 2 e
(cid:18) (cid:19)
2 3
Koordinaten von und die zweite Spalte aus den Koordinaten von
1 2
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
1 3
bzgl. der Standardbasis e. Ebenso gilt Tw = .
e 0 1
(cid:18) (cid:19)
1
1 3 − 2 3 1 3 2 3 1 3
Tv = = − = − − .
⇒ w 0 1 · 1 2 0 1 · 1 2 1 2
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
1 3 5 4
Wegen − − = gilt also
1 2 3 1
(cid:18) (cid:19)(cid:18)− (cid:19) (cid:18)− (cid:19)
1 3
v = 4 1
· 0 − 1
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
Wir wollen jetzt die Frage untersuchen, wie sich die Darstellungsmatrix
Mv(f) einer linearen Abbildung f : V W ¨andert, wenn man von den
w →
Basen v von V und w von W zu zwei neuen Basen v und w u¨bergeht.
′ ′
Satz 6 Es gilt:
Mv′(f) = Tw Mv(f) Tv′
w′ w′ · w · v
Die Darstellungsmatrizen von f bez¨uglich zweier Basenpaare unterscheidet
sich also durch Links- und Rechtsmultiplikation mit gewissen Transformati-
onsmatrizen.
Beweis. Das folgt wegen f = id f id aus Satz 4. (cid:3)
W V
◦ ◦
7
Determinanten von Endomorphismen Sei V ein K-Vektorraum. Man
nennt eine lineare Abbildung f : V V auch einen Endomorphismus.
→
Lemma und Definition 7 SeiV ein endlich-dimensionalenK-Vektorraum,
f : V V ein Endomorphismus und v eine Basis von V. Der Skalar
→
det(f): = detMv(f) K
v ∈
h¨angt nicht von der Wahl von v ab. Man nennt det(f) die Determinante von
f.
Beweis. Sei w eine weitere Basis von V. Dann ist zu zeigen:
detMv(f) = detMw(f).
v w
Nach Satz 6 und Lemma 5 gilt:
Mw(f) = Tv Mv(f) Tw = (Tw) 1 Mv(f)Tw.
w w · v · v v − · v v
Es folgt:
detMw(f) = det((Tw) 1)detMv(f)detTw
w v − v v
= (det(Tw)) 1detTwdetMv(f)
v − v v
= detMv(f).
v
(cid:3)
Isomorphismen
Definition 8 Seien V und W K-Vektorr¨aume.
(a) Eine bijektive, lineare Abbildung f : V W heisst Isomorphismus (von
→
Vektorr¨aumen).
(b) V heisst isomorph zu W (in Zeichen: V = W), wenn es einen Isomor-
∼
phsmus f : V W gibt.
→
Bemerkungen 9 (a)Seif : V W einIsomorphismusvonK-Vektorr¨aum-
→
en. Man kann leicht sehen, dass die Umkehrabbildung f 1 : W V wieder
−
→
linear ist. Also gilt: V = W W = V.
∼ ∼
⇔
(b) Man kann leicht nachrechnen, dass die Abbildung (1) auch linear ist, d.h.
(1) ist ein Isomorphismus.
8
Lemma 10 Seien V und W endlich-dimensionale K-Vektorr¨aume. Seien
v und w Basen von V und W. Eine lineare Abbildung f : V W ist
→
genau dann ein Isomorphismus, wenn gilt dim(V) = dim(W) und wenn die
Darstellungsmatrix Mv(f) invertierbar ist.
w
Beweis. Sei n = dim(V) und m = dim(W). Ist f : V W ein Isomorphis-
→
mus, so gilt fu¨r die Darstellungsmatrizen A: = Mv(f), B =: = Mw(f 1):
w v −
Mv(f) Mw(f 1) = Mv(f f 1) = Mv(id ) = E
w · v − v ◦ − v V m
undebensoMw(f 1) Mv(f) = E .Alsoistm = nundMv(f)istinvertierbar
v − · w n w
mit Inverser Mw(f 1).
v −
Ist umgekehrt m = n und A = Mv(f) invertierbar mit Inversem B, so gibt
w
es aufgrund der Surjektivit¨at von (1) eine lineare Abbildung g : W V mit
→
Darstellungsmatrix Mw(g) = B. Wegen
v
Mv(g f) = Mw(g) Mv(f) = B A = E = Mv(id )
v ◦ v · w · n v V
folgt g f = id (da die Abbildung (1) injektiv ist). Analog zeigt man
V
◦
f g = id . Also ist f ein Isomorphismus mit Umkehrabbildung g. (cid:3)
W
◦
Satz 11 Seien V und W zwei endlich-dimensionale K-Vektorr¨aume. Dann
gilt:
dimV = dimW V = W
∼
⇐⇒
Beweis. “ ” folgt aus Lemma 10.
⇒
“ ”: Sei n = dimV = dimW. Wir w¨ahlen Basen v = (v ,...,v ) und
1 n
⇐
w = (w ,...,w ) von V und W. Nach Bemerkung 3 gibt es eine lineare
1 n
Abbildung f : V W mit f(v ) = w fu¨r i = 1,...,n, d.h. Mv(f) = E .
→ i i v n
Explizit ist f gegeben durch
f(λ v +...+λ v ) = λ w +...+λ w
1 1 n n 1 1 n n
Nach Lemma 10 ist f ein Isomorphismus. (cid:3)
Folgerung 12 Seien V und W endlich-dimensionaleK-Vektorr¨aume. Dann
ist Hom(V,W) ebenfalls endlich-dimensional und es gilt:
dimHom(V,W) = dim(V)dim(W)
3
9
Dimensionsformel fu¨r lineare Abbildungen
Definition 13 Sei f : V W eine lineare Abbildung.
→
Kern(f): = f 1( 0 ) = v V f(v) = 0
−
{ } { ∈ | }
heisst der Kern von f und
Bild(f): = f(V) = w W v V : f(v) = w
{ ∈ ∃ ∈ }
(cid:12)
heisst das Bild von f. Ist Bild(f) endlich-dimensional, so heisst Rang(f): =
(cid:12)
dimBild(f) der Rang von f.
Lemma 14 Sei f : V W eine lineare Abbildung. (a) Kern(f) ist ein
→
Untervektorraum von V. Es gilt:
Kern(f) = 0 f ist injektiv
{ } ⇔
(b) Bild(f) ist ein Untervektorraum von W.
Beweis. (a) Fu¨r v,w Kern(f) und λ K gilt
∈ ∈
f(v+w) = f(v)+f(w) = 0+0 = 0, f(λv) = λf(v) = 0
also v +w,λv Kernf.
∈
Ist Kern(f) = 0 und sind v ,v V so gilt
1 2
{ } ∈
f(v ) = f(v ) f(v v ) = f(v ) f(v ) = 0 v v = 0 v = v .
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
⇒ − − ⇒ − ⇒
Also ist f injektiv. (cid:3)
Satz 15 (Dimensionsformel f¨ur lineare Abbildungen) Sei f : V W eine
→
lineare Abbildung zwischen K-Vektorr¨aumen. Ist V endlich-dimensional, so
gilt:
dim(V) = dimKern(f)+Rang(f).
Beweis. Sei r: = dimKernf n: = dimV, und sei (v ,...,v ) eine Basis
1 r
≤
von Kernf, die wir zu einer Basis (v ,...,v ) von V erg¨anzen. Sei v =
1 n
λ v +...+λ v V. Wegen
1 1 n n
∈
f(v) = λ f(v )+...+λ f(v ) = λ f(v )+...+λ f(v )
1 1 n n r+1 r+1 n n
10