1. Esercizio sui vettori applicati In una terna cartesiana ortogonale destra Oˆe1ˆe2ˆe3 si considera

17 Pages·2008·0.13 MB·Italian

Universit`a degli studi di Trento Esercizi di Meccanicarazionale
1. Esercizio sui vettori applicati
In una terna cartesiana ortogonale destra Oeˆ eˆ eˆ si considera il sistema S di vettori
1 2 3
applicati:
(P ,(cid:1)v ) (P ,(cid:1)v ) (P ,(cid:1)v ) (P ,(cid:1)v )
1 1 2 2 3 3 4 4
con:
P (0,−1,−1) (cid:1)v = −eˆ +2eˆ −eˆ
1 1 1 2 3
P (−2,1,3) (cid:1)v = 2eˆ −4eˆ +2eˆ
2 2 1 2 3
P (−2,−2,2) (cid:1)v = −3eˆ +6eˆ −3eˆ
3 3 1 2 3
P (3,−5,2) (cid:1)v = eˆ −2eˆ +eˆ .
4 4 1 2 3
Determinare del sistema S:
(a) l’asse centrale, se definito, verificando il risultato;
(b) il centro, se definito;
(c) il momento rispetto all’asse r di equazione parametrica
x = 12ξ +1 , y = 3ξ , z = −4ξ+3 , ξ ∈ R,
orientato secondo le ξ decrescenti.
Soluzione
(a) Asse centrale
Risultante
(cid:1)4
R(cid:1) = (cid:1)v = (−eˆ +2eˆ −eˆ )+(2eˆ −4eˆ +2eˆ )+
i 1 2 3 1 2 3
i=1
+ (−3eˆ +6eˆ −3eˆ )+(eˆ −2eˆ +eˆ ) = −ˆe +2ˆe −ˆe
1 2 3 1 2 3 1 2 3
Poich`e R(cid:1) (cid:2)= 0, `e definito l’asse centrale a del sistema di vettori applicati.
Momento risultante in O
(cid:1)4
M(cid:1) = (P −O)∧(cid:1)v =
O i i
i=1
= (−eˆ −eˆ )∧(−eˆ +2eˆ −eˆ )+
2 3 1 2 3
+ (−2eˆ +eˆ +3eˆ )∧(2eˆ −4eˆ +2eˆ )+
1 2 3 1 2 3
+ (−2eˆ −2eˆ +2eˆ )∧(−3eˆ +6eˆ −3eˆ )+
1 2 3 1 2 3
+ (3eˆ −5eˆ +2eˆ )∧(eˆ −2eˆ +eˆ ) =
1 2 3 1 2 3
(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
(cid:2) eˆ1 eˆ2 eˆ3 (cid:2) (cid:2) eˆ1 eˆ2 eˆ3(cid:2) (cid:2) eˆ1 eˆ2 eˆ3 (cid:2) (cid:2)eˆ1 eˆ2 eˆ3(cid:2)
= (cid:2)(cid:2) 0 −1 −1(cid:2)(cid:2)+(cid:2)(cid:2)−2 1 3 (cid:2)(cid:2)+(cid:2)(cid:2)−2 −2 2 (cid:2)(cid:2)+(cid:2)(cid:2) 3 −5 2 (cid:2)(cid:2) =
(cid:2)−1 2 −1(cid:2) (cid:2) 2 −4 2 (cid:2) (cid:2)−3 6 −3(cid:2) (cid:2) 1 −2 1 (cid:2)
= (3eˆ +eˆ −eˆ )+(14eˆ +10eˆ +6eˆ )+
1 2 3 1 2 3
+ (−6eˆ −12eˆ −18eˆ )+(−eˆ −eˆ −eˆ ) = 10ˆe −2ˆe −14ˆe .
1 2 3 1 2 3 1 2 3
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Prodotto vettoriale R(cid:1) ∧M(cid:1) /|R(cid:1)|2
O
Si ha:
R(cid:1) ∧M(cid:1) = (−eˆ +2eˆ −eˆ )∧(10eˆ −2eˆ −14eˆ ) =
O (cid:2) 1 2 3(cid:2) 1 2 3
(cid:2) (cid:2)
(cid:2) eˆ1 eˆ2 eˆ3 (cid:2)
= (cid:2)(cid:2)−1 2 −1 (cid:2)(cid:2) = −30ˆe1 −24ˆe2 −18ˆe3,
(cid:2) 10 −2 −14(cid:2)
per cui:
R(cid:1) ∧M(cid:1) −30eˆ −24eˆ −18eˆ −30eˆ −24eˆ −18eˆ
O = 1 2 3 = 1 2 3 = −5ˆe −4ˆe −3ˆe
|R(cid:1)|2 (−1)2 +22 +(−1)2 6 1 2 3
Asse centrale
L’asse centrale `e il luogo dei punti A individuati dai vettori posizione:
R(cid:1) ∧M(cid:1)
A−O = O +αR(cid:1) ∀α ∈ R.
|R(cid:1)|2
Sostituendo le espressioni precedentemente ricavate si ottiene allora:
A−O = −5eˆ −4eˆ −3eˆ +α(−eˆ +2eˆ −eˆ ) =
1 2 3 1 2 3
= (−5−α)ˆe +(−4+2α)ˆe +(−3−α)ˆe ∀α ∈ R
1 2 3
e l’equazione parametrica dell’asse centrale a assume la forma:

x = −5−α
y = −4+2α ∀α ∈ R.

z = −3−α
Verifica che la retta ottenuta `e effettivamente l’asse centrale
Basta verificare, come da definizione, che rispetto ad un punto qualsiasi di a il momento
risultante di S risulta parallelo a R(cid:1).
Un punto C dell’asse centrale si ottiene ponendo α nella relativa parametrizzazione:
C −O = −5eˆ −4eˆ −3eˆ
1 2 3
per cui il momento risultante in C del sistema di vettori applicati diventa:
(cid:1)4
M(cid:1) = (P −C)∧(cid:1)v =
C i i
i=1
= (5eˆ +3eˆ +2eˆ )∧(−eˆ +2eˆ −eˆ )+
1 2 3 1 2 3
+ (3eˆ +5eˆ +6eˆ )∧(2eˆ −4eˆ +2eˆ )+
1 2 3 1 2 3
+ (3eˆ +2eˆ +5eˆ )∧(−3eˆ +6eˆ −3eˆ )+
1 2 3 1 2 3
+ (8eˆ −eˆ +5eˆ )∧(eˆ −2eˆ +eˆ ) =
1 2 3 1 2 3
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(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
(cid:2) eˆ1 eˆ2 eˆ3 (cid:2) (cid:2)eˆ1 eˆ2 eˆ3(cid:2) (cid:2) eˆ1 eˆ2 eˆ3 (cid:2) (cid:2)eˆ1 eˆ2 eˆ3(cid:2)
= (cid:2)(cid:2) 5 3 2 (cid:2)(cid:2)+(cid:2)(cid:2) 3 5 6 (cid:2)(cid:2)+(cid:2)(cid:2) 3 2 5 (cid:2)(cid:2)+(cid:2)(cid:2) 8 −1 5 (cid:2)(cid:2) =
(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
−1 2 −1 2 −4 2 −3 6 −3 1 −2 1
= (−7eˆ +3eˆ +13eˆ )+(34eˆ +6eˆ −22eˆ )+
1 2 3 1 2 3
+ (−36eˆ −6eˆ +24eˆ )+(9eˆ −3eˆ −15eˆ ) = 0
1 2 3 1 2 3
e, in quanto nullo, `e certamente parallelo ad R(cid:1).
(b) Centro
I vettori applicati di cui si compone il sistema S sono tutti fra loro paralleli:
(cid:1)v = −eˆ +2eˆ −eˆ = (cid:1)v = f (cid:1)v
1 1 2 3 1 1 1
(cid:1)v = 2eˆ −4eˆ +2eˆ = −2(cid:1)v = f (cid:1)v
2 1 2 3 1 2 1
(cid:1)v = −3eˆ +6eˆ −3eˆ = 3(cid:1)v = f (cid:1)v
3 1 2 3 1 3 1
(cid:1)v = eˆ −2eˆ +eˆ = −(cid:1)v = f (cid:1)v
4 1 2 3 1 4 1
con R(cid:1) (cid:2)= 0 ed i coefficienti f ,f ,f ,f dati da:
1 2 3 4
f = 1 f = −2 f = 3 f = −1.
1 2 3 4
Il centro C del sistema di vettori applicati paralleli di risultante non nullo `e perci`o indi-
viduato da:
(cid:6)(cid:1)4 (cid:7)−1(cid:1)4
C−O = f f (P −O) =
i i i
i=1 i=1
= 1(−eˆ −eˆ )−2(−2eˆ +eˆ +3eˆ )+
2 3 1 2 3
+ 3(−2eˆ −2eˆ +2eˆ )+(−1)(3eˆ −5eˆ +2eˆ ) =
1 2 3 1 2 3
= −eˆ −eˆ +4eˆ −2eˆ −6eˆ +
2 3 1 2 3
−6eˆ −6eˆ +6eˆ −3eˆ +5eˆ −2eˆ = −5ˆe −4ˆe −3ˆe
1 2 3 1 2 3 1 2 3
Si osservi che l’asse centrale `e esprimibile nella forma
A−O = C −O+αR(cid:1) = −5eˆ −4eˆ −3eˆ +α(−eˆ +2eˆ −eˆ ) =
1 2 3 1 2 3
= (−5−α)eˆ +(−4+2α)eˆ +(−3−α)eˆ ∀α ∈ R.
1 2 3
(c) Momento rispetto all’asse r
La parametrizzazione dell’asse r `e data da:
P(ξ)−O = (12ξ +1)eˆ +3ξeˆ +(−4ξ +3)eˆ ξ ∈ R
1 2 3
con la derivata prima
P(cid:1)(ξ) = 12eˆ +3eˆ −4eˆ .
1 2 3
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Ricordando che l’asse deve intendersi orientato nel senso delle ξ decrescenti, il versore
direttore di r risulta allora
P(cid:1)(ξ) 12eˆ +3eˆ −4eˆ 12eˆ +3eˆ −4eˆ 12eˆ +3eˆ −4eˆ
τˆ = − = − 1 2 3 = −(cid:8) 1 2 3 = − 1 2 3
|P(cid:1)(ξ)| |12eˆ1 +3eˆ2 −4eˆ3| 122 +32 +(−4)2 13
Un punto B della retta orientata si ricava dalla parametrizzazione ponendo per esempio
ξ = 0 — la scelta piu` semplice —
B −O = P(0)−O = eˆ +3eˆ
1 3
(cid:1)
Il momento risultante rispetto a B `e immediatamente deducibile da M , gia` calcolato, per
O
mezzo della formula del cambiamento del polo:
M(cid:1) = M(cid:1) +(O −B)∧R(cid:1) = M(cid:1) +R(cid:1) ∧(B −O) =
B O O (cid:2) (cid:2)
(cid:2) (cid:2)
(cid:2) eˆ1 eˆ2 eˆ3 (cid:2)
(cid:2) (cid:2)
= 10eˆ1 −2eˆ2 −14eˆ3 +(cid:2)−1 2 −1(cid:2) =
(cid:2) (cid:2)
1 0 3
= 10eˆ −2eˆ −14eˆ +6eˆ +2eˆ −2eˆ = 16eˆ −16eˆ .
1 2 3 1 2 3 1 3
Il momento risultante rispetto all’asse r vale pertanto:
−12eˆ −3eˆ +4eˆ
M = M = M(cid:1) ·τˆ = (16eˆ −16eˆ )· 1 2 3 =
r Bτˆ B 1 3
13
16(−12)+(−16)4 256
= = −
13 13
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2. Esercizio sull’oscillatore armonico smorzato
Un punto materiale P di massa m = 5 `e vincolato a scorrere senza attrito lungo l’asse
orizzontale Ox = Oeˆ di una terna inerziale Oeˆ eˆ eˆ . Una molla ideale di costante elastica
1 1 2 3
k = 2 congiunge P con l’origine O. Sul punto agisce inoltre una forza F(cid:1) = 2βeˆ ∧P˙ −βP˙,
2
con β costante positiva. Determinare del sistema:
(a) le equazioni pure del moto;
(b) i valori della costante β per i quali i moti sono oscillatori smorzati;
(c) per β = 2, la posizione e la velocita` di P all’istante t = 15π/4 qualora si abbia
P(0)−O = 3eˆ e P˙(0) = 0 all’istante t = 0.
1
Soluzione
(a) Equazioni pure del moto
L’assenza di attrito assicura che l’equazione pura del moto si ottiene proiettando lungo la
direzione tangente eˆ l’equazione tratta dal postulato delle reazioni vincolari:
1
mP¨ = −k(P −O)+2βeˆ ∧P˙ −βP˙ +m(cid:1)g+Φ(cid:1)
2
essendom(cid:1)g il peso e Φ(cid:1) lareazione vincolare. Moltiplicandoscalarmentemembroa membro
l’equazione per il versore direttore eˆ dell’asse orizzontale Ox si ottiene allora:
1
mP¨ ·eˆ = −k(P −O)·eˆ +2βeˆ ∧P˙ ·eˆ −βP˙ ·eˆ +m(cid:1)g ·eˆ +Φ(cid:1) ·eˆ
1 1 2 1 1 1 1
e poich`e
P −O = xeˆ P˙ = x˙ eˆ P¨ = x¨eˆ m(cid:1)g·eˆ = 0 Φ(cid:1) ·eˆ = 0
1 1 1 1 1
l’equazione pura del moto si riduce a
mx¨ = −kx−βx˙
ossia a
5x¨+βx˙ +2x = 0, (2.1)
che `e l’equazione differenziale del moto di un oscillatore armonico smorzato unidimensio-
nale con costante di frizione β > 0.
(b) Valori di β corrispondenti ai moti oscillatori smorzati
La condizione necessaria e sufficiente per i moti oscillatori smorzati `e che il discriminante
dell’equazione caratteristica associata alla (2.1)
5λ2 +βλ+2 = 0
sia negativo. Nella fattispecie, si ha
∆ = β2 −4·5·2 = β2 −40 < 0
e quindi i valori richiesti della costante β sono:
√
0 < β < 40.
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(c) Posizione e velocit`a di P all’istante t = 15π/4 per assegnate condizioni iniziali
Per β = 2 l’equazione pura del moto (2.1) diventa
5x¨+2x˙ +2x = 0
con l’equazione caratteristica
5λ2 +2λ+2 = 0
di radici complesse coniugate:
√ √
−2± 4−4·5·2 −2± −36 −2±6i 1 3
λ ,λ = = = = − ± i.
1 2 2·5 10 10 5 5
La soluzione generale dell’equazione del moto si scrive dunque:
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
3 3
x(t) = c e−t/5cos t +c e−t/5sin t ∀t ∈ R
1 2
5 5
con la derivata prima
(cid:9) (cid:10) (cid:9) (cid:10)
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
1 3 3 3 1 3 3 3
x˙(t) = c e−t/5 − cos t − sin t +c e−t/5 − sin t + cos t ∀t ∈ R
1 2
5 5 5 5 5 5 5 5
in termini delle costanti reali arbitrarie c e c , che vanno determinate sulla base delle
1 2
condizioni iniziali. In questo caso l’ipotesi
P(0)−O = 3eˆ P˙(0) = 0
1
implica che debba aversi
x(0) = 3 x˙(0) = 0
per cui:
1 3
3 = x(0) = c 0 = x˙(0) = − c + c
1 1 2
5 5
e quindi:
c = 3 c = 1.
1 2
La soluzione del problema di Cauchy `e dunque
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
3 3
x(t) = 3e−t/5cos t +e−t/5sin t ∀t ∈ R
5 5
con la derivata prima
(cid:9) (cid:10) (cid:9) (cid:10)
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
1 3 3 3 1 3 3 3
x˙(t) = 3e−t/5 − cos t − sin t +e−t/5 − sin t + cos t ∀t ∈ R.
5 5 5 5 5 5 5 5
All’istante t = 15π/4 si ha infine:
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
15π 315 315
x = 3e−3π/4cos π +e−3π/4sin π =
4 5 4 5 4
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
9 9 1 1 4
= 3e−3π/4cos π +e−3π/4sin π = 3e−3π/4√ +e−3π/4√ = √ e−3π/4
4 4 2 2 2
e
(cid:9) (cid:10) (cid:9) (cid:10)
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
15π 1 9 3 9 1 9 3 9
x˙ = 3e−3π/4 − cos π − sin π +e−3π/4 − sin π + cos π =
4 5 4 5 4 5 4 5 4
(cid:9) (cid:10) (cid:9) (cid:10)
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) √
1 3 1 3 1 3 9 1 3 1
= e−3π/4 3 − − + − + √ = e−3π/4 − − − + √ = − 2e−3π/4.
5 5 5 5 2 5 5 5 5 2
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3. Esercizio sul punto vincolato ad una curva piana
Un punto materiale pesante P, di massa m, `e vincolato a scorrere lungo la curva di
equazione:
1
y = +4x ∀x ∈ (1/4,1),
x
posta nel piano coordinato Oxy il cui asse Oy `e diretto verticalmente verso l’alto. Deter-
minare:
(a) l’equazione pura del moto e le relative configurazionidi equilibrio nell’ipotesi di curva
liscia;
(b) gli equilibri supponendo che la curva abbia un coefficiente di attrito radente statico
µ = 0.3.
s
Soluzione
(a) Equazione del moto ed equilibri in assenza di attrito
La parametrizzazione del punto P si esprime naturalmente in termini dell’ascissa x:
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
1 1
P(x)−O = xeˆ + +4x eˆ ∀x ∈ ,1
1 2
x 4
con derivate prima e seconda:
(cid:6) (cid:7)
1 2
P(cid:1)(x) = eˆ + − +4 eˆ P(cid:1)(cid:1)(x) = eˆ (3.1)
1 2 2
x2 x3
definite nello stesso intervallo di x. L’equazione pura del moto si ricava proiettando lungo
(cid:1)
la direzione tangente P (x) il postulato delle reazioni vincolari:
mP¨ = −mgeˆ +Φ(cid:1)
2
ossia
mx¨P(cid:1)(x) +mx˙2P(cid:1)(cid:1)(x) = −mgeˆ +Φ(cid:1) .
2
Si ha allora:
mx¨P(cid:1)(x) ·P(cid:1)(x) +mx˙2P(cid:1)(cid:1)(x) ·P(cid:1)(x) = −mgeˆ ·P(cid:1)(x)+Φ(cid:1) ·P(cid:1)(x)
2
e quindi, per l’ipotesi di vincolo liscio,
mx¨|P(cid:1)(x)|2 +mx˙2P(cid:1)(cid:1)(x)·P(cid:1)(x) = −mgeˆ ·P(cid:1)(x)
2
vale a dire, in virtu` delle (3.1),
(cid:9) (cid:10)
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
1 2 2 1 1 1
mx¨ 1+ − +4 +mx˙2 − +4 = −mg − +4 ∀x ∈ ,1 .
x2 x3 x2 x2 4
Gli equilibri corrispondono alle soluzioni statiche, costanti, della precedente equazione
pura:
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
1 1
0 = −mg − +4 x ∈ ,1
x2 4
e si riducono alla sola posizione x = 1/2 — l’altra radice x = −1/2 `e esterna all’intervallo
di definizione dell’ascissa.
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(b) Equilibri in presenza di attrito
Se la curva vincolare presenta un coefficiente di attrito radente statico µ , la condizione di
s
equilibrio per il punto pesante vincolato al grafico di una funzione y = f(x), essendo Oy
l’asse verticale, assume la forma ben nota
|f(cid:1)(x)| ≤ µ ;
s
la pendenza della retta tangente al grafico della curva vincolare nel punto di equilibrio non
deve deve discostarsida 0 per piu` di µ . Nella fattispecie si ha la condizione, da soddisfare
s
in x ∈ (1/4,1), (cid:2) (cid:2)
(cid:2) (cid:2)
(cid:2)(cid:2)− 1 +4(cid:2)(cid:2) ≤ µs
x2
ossia la doppia diseguaglianza
1
−µ ≤ − +4 ≤ µ
s s
x2
che moltiplicata per la quantita` positiva x2 si riduce a
−µ x2 ≤ 4x2 −1 ≤ µ x2
s s
ed equivale al sistema di disequazioni:

−µ x2 ≤ 4x2 −1
s

4x2 −1 ≤ µ x2
s
ovvero a 
1 ≤ (4+µ )x2
s
(3.2)

(4−µ )x2 ≤ 1.
s
Ricordando che nel caso considerato `e µ < 1 — come avviene tipicamente — il sistema
s
(3.2) si puo` esprimere nella forma equivalente

 1
 ≤ x2
4+µ
s
 1
x2 ≤
4−µ
s
dalla quale si deduce, escludendo i valori negativi di x,

1
 √ ≤ x
4+µ
s
 1
x ≤ √ .
4−µ
s
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Le ascisse dei punti di equlibrio sono percio` tutte e sole quelle che soddisfano la doppia
diseguaglianza
1 1
√ ≤ x ≤ √
4+µ 4−µ
s s
purch`e ricomprese nell’intervallo 1/4 < x < 1.
Per µ = 0.3 si ha
s
1 1
√ ≤ x ≤ √
4.3 3.7
ossia, approssimativamente,
0.48224282 ≤ x ≤ 0.51987524 .
Siosserviche le soluzionisonotutte accettabili, in quantocontenutenell’intervallo(1/4,1).
Gli equilibri costituiscono un intorno dell’equilibrio x = 0.5 gia` calcolato in assenza di
attrito, come evidenziato nella figura seguente
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4. Esercizio sul punto materiale vincolato a una curva non piana
In una terna cartesiana ortogonale Oxyz, con l’asse Oz diretto verticalmente verso l’alto,
un punto materiale pesante P di massa m `e vincolato a scorrere lungo la curva E di
equazione parametrica:
h
x = Rcosξ y = Rsinξ z = ξ ∀ξ ∈ R
2π
dove R e h sono due lunghezze caratteristiche—`e facile verificareche la curva in questione
`e un’elica cilindrica con asse di simmetria Oz, raggio R e passo h. Una molla ideale di
costante elastica k congiunge P con l’origine O della terna di riferimento.
Si chiede di determinare:
(a) l’equazione pura del moto nell’ipotesi che la curva sia liscia;
(b) gli equilibrie la soluzione generaledell’equazione del moto semprenell’ipotesidi curva
liscia;
(c) gli equilibriin presenzadi attrito, ipotizzando un coefficiente di attrito radente statico
costante µ lungo l’intera curva;
s
(d) l’ascissa curvilinea della curva a partire dal punto ξ = 0 e il triedro di Frenet della
curva vincolare.
Soluzione
(a) Equazione pura del moto nel caso di vincolo liscio
La curva vincolare E `e descritta dalla parametrizzazione
h
P(ξ)−O = Rcosξeˆ +R sinξeˆ + ξeˆ ∀ξ ∈ R
1 2 3
2π
StefanoSiboni 10