Universit`a degli studi di Trento Esercizi di Meccanicarazionale 1. Esercizio sui vettori applicati In una terna cartesiana ortogonale destra Oeˆ eˆ eˆ si considera il sistema S di vettori 1 2 3 applicati: (P ,(cid:1)v ) (P ,(cid:1)v ) (P ,(cid:1)v ) (P ,(cid:1)v ) 1 1 2 2 3 3 4 4 con: P (0,−1,−1) (cid:1)v = −eˆ +2eˆ −eˆ 1 1 1 2 3 P (−2,1,3) (cid:1)v = 2eˆ −4eˆ +2eˆ 2 2 1 2 3 P (−2,−2,2) (cid:1)v = −3eˆ +6eˆ −3eˆ 3 3 1 2 3 P (3,−5,2) (cid:1)v = eˆ −2eˆ +eˆ . 4 4 1 2 3 Determinare del sistema S: (a) l’asse centrale, se definito, verificando il risultato; (b) il centro, se definito; (c) il momento rispetto all’asse r di equazione parametrica x = 12ξ +1 , y = 3ξ , z = −4ξ+3 , ξ ∈ R, orientato secondo le ξ decrescenti. Soluzione (a) Asse centrale Risultante (cid:1)4 R(cid:1) = (cid:1)v = (−eˆ +2eˆ −eˆ )+(2eˆ −4eˆ +2eˆ )+ i 1 2 3 1 2 3 i=1 + (−3eˆ +6eˆ −3eˆ )+(eˆ −2eˆ +eˆ ) = −ˆe +2ˆe −ˆe 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Poich`e R(cid:1) (cid:2)= 0, `e definito l’asse centrale a del sistema di vettori applicati. Momento risultante in O (cid:1)4 M(cid:1) = (P −O)∧(cid:1)v = O i i i=1 = (−eˆ −eˆ )∧(−eˆ +2eˆ −eˆ )+ 2 3 1 2 3 + (−2eˆ +eˆ +3eˆ )∧(2eˆ −4eˆ +2eˆ )+ 1 2 3 1 2 3 + (−2eˆ −2eˆ +2eˆ )∧(−3eˆ +6eˆ −3eˆ )+ 1 2 3 1 2 3 + (3eˆ −5eˆ +2eˆ )∧(eˆ −2eˆ +eˆ ) = 1 2 3 1 2 3 (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) eˆ1 eˆ2 eˆ3 (cid:2) (cid:2) eˆ1 eˆ2 eˆ3(cid:2) (cid:2) eˆ1 eˆ2 eˆ3 (cid:2) (cid:2)eˆ1 eˆ2 eˆ3(cid:2) = (cid:2)(cid:2) 0 −1 −1(cid:2)(cid:2)+(cid:2)(cid:2)−2 1 3 (cid:2)(cid:2)+(cid:2)(cid:2)−2 −2 2 (cid:2)(cid:2)+(cid:2)(cid:2) 3 −5 2 (cid:2)(cid:2) = (cid:2)−1 2 −1(cid:2) (cid:2) 2 −4 2 (cid:2) (cid:2)−3 6 −3(cid:2) (cid:2) 1 −2 1 (cid:2) = (3eˆ +eˆ −eˆ )+(14eˆ +10eˆ +6eˆ )+ 1 2 3 1 2 3 + (−6eˆ −12eˆ −18eˆ )+(−eˆ −eˆ −eˆ ) = 10ˆe −2ˆe −14ˆe . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 StefanoSiboni 1 Universit`a degli studi di Trento Esercizi di Meccanicarazionale Prodotto vettoriale R(cid:1) ∧M(cid:1) /|R(cid:1)|2 O Si ha: R(cid:1) ∧M(cid:1) = (−eˆ +2eˆ −eˆ )∧(10eˆ −2eˆ −14eˆ ) = O (cid:2) 1 2 3(cid:2) 1 2 3 (cid:2) (cid:2) (cid:2) eˆ1 eˆ2 eˆ3 (cid:2) = (cid:2)(cid:2)−1 2 −1 (cid:2)(cid:2) = −30ˆe1 −24ˆe2 −18ˆe3, (cid:2) 10 −2 −14(cid:2) per cui: R(cid:1) ∧M(cid:1) −30eˆ −24eˆ −18eˆ −30eˆ −24eˆ −18eˆ O = 1 2 3 = 1 2 3 = −5ˆe −4ˆe −3ˆe |R(cid:1)|2 (−1)2 +22 +(−1)2 6 1 2 3 Asse centrale L’asse centrale `e il luogo dei punti A individuati dai vettori posizione: R(cid:1) ∧M(cid:1) A−O = O +αR(cid:1) ∀α ∈ R. |R(cid:1)|2 Sostituendo le espressioni precedentemente ricavate si ottiene allora: A−O = −5eˆ −4eˆ −3eˆ +α(−eˆ +2eˆ −eˆ ) = 1 2 3 1 2 3 = (−5−α)ˆe +(−4+2α)ˆe +(−3−α)ˆe ∀α ∈ R 1 2 3 e l’equazione parametrica dell’asse centrale a assume la forma: x = −5−α y = −4+2α ∀α ∈ R. z = −3−α Verifica che la retta ottenuta `e effettivamente l’asse centrale Basta verificare, come da definizione, che rispetto ad un punto qualsiasi di a il momento risultante di S risulta parallelo a R(cid:1). Un punto C dell’asse centrale si ottiene ponendo α nella relativa parametrizzazione: C −O = −5eˆ −4eˆ −3eˆ 1 2 3 per cui il momento risultante in C del sistema di vettori applicati diventa: (cid:1)4 M(cid:1) = (P −C)∧(cid:1)v = C i i i=1 = (5eˆ +3eˆ +2eˆ )∧(−eˆ +2eˆ −eˆ )+ 1 2 3 1 2 3 + (3eˆ +5eˆ +6eˆ )∧(2eˆ −4eˆ +2eˆ )+ 1 2 3 1 2 3 + (3eˆ +2eˆ +5eˆ )∧(−3eˆ +6eˆ −3eˆ )+ 1 2 3 1 2 3 + (8eˆ −eˆ +5eˆ )∧(eˆ −2eˆ +eˆ ) = 1 2 3 1 2 3 StefanoSiboni 2 Universit`a degli studi di Trento Esercizi di Meccanicarazionale (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) eˆ1 eˆ2 eˆ3 (cid:2) (cid:2)eˆ1 eˆ2 eˆ3(cid:2) (cid:2) eˆ1 eˆ2 eˆ3 (cid:2) (cid:2)eˆ1 eˆ2 eˆ3(cid:2) = (cid:2)(cid:2) 5 3 2 (cid:2)(cid:2)+(cid:2)(cid:2) 3 5 6 (cid:2)(cid:2)+(cid:2)(cid:2) 3 2 5 (cid:2)(cid:2)+(cid:2)(cid:2) 8 −1 5 (cid:2)(cid:2) = (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) −1 2 −1 2 −4 2 −3 6 −3 1 −2 1 = (−7eˆ +3eˆ +13eˆ )+(34eˆ +6eˆ −22eˆ )+ 1 2 3 1 2 3 + (−36eˆ −6eˆ +24eˆ )+(9eˆ −3eˆ −15eˆ ) = 0 1 2 3 1 2 3 e, in quanto nullo, `e certamente parallelo ad R(cid:1). (b) Centro I vettori applicati di cui si compone il sistema S sono tutti fra loro paralleli: (cid:1)v = −eˆ +2eˆ −eˆ = (cid:1)v = f (cid:1)v 1 1 2 3 1 1 1 (cid:1)v = 2eˆ −4eˆ +2eˆ = −2(cid:1)v = f (cid:1)v 2 1 2 3 1 2 1 (cid:1)v = −3eˆ +6eˆ −3eˆ = 3(cid:1)v = f (cid:1)v 3 1 2 3 1 3 1 (cid:1)v = eˆ −2eˆ +eˆ = −(cid:1)v = f (cid:1)v 4 1 2 3 1 4 1 con R(cid:1) (cid:2)= 0 ed i coefficienti f ,f ,f ,f dati da: 1 2 3 4 f = 1 f = −2 f = 3 f = −1. 1 2 3 4 Il centro C del sistema di vettori applicati paralleli di risultante non nullo `e perci`o indi- viduato da: (cid:6)(cid:1)4 (cid:7)−1(cid:1)4 C−O = f f (P −O) = i i i i=1 i=1 = 1(−eˆ −eˆ )−2(−2eˆ +eˆ +3eˆ )+ 2 3 1 2 3 + 3(−2eˆ −2eˆ +2eˆ )+(−1)(3eˆ −5eˆ +2eˆ ) = 1 2 3 1 2 3 = −eˆ −eˆ +4eˆ −2eˆ −6eˆ + 2 3 1 2 3 −6eˆ −6eˆ +6eˆ −3eˆ +5eˆ −2eˆ = −5ˆe −4ˆe −3ˆe 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Si osservi che l’asse centrale `e esprimibile nella forma A−O = C −O+αR(cid:1) = −5eˆ −4eˆ −3eˆ +α(−eˆ +2eˆ −eˆ ) = 1 2 3 1 2 3 = (−5−α)eˆ +(−4+2α)eˆ +(−3−α)eˆ ∀α ∈ R. 1 2 3 (c) Momento rispetto all’asse r La parametrizzazione dell’asse r `e data da: P(ξ)−O = (12ξ +1)eˆ +3ξeˆ +(−4ξ +3)eˆ ξ ∈ R 1 2 3 con la derivata prima P(cid:1)(ξ) = 12eˆ +3eˆ −4eˆ . 1 2 3 StefanoSiboni 3 Universit`a degli studi di Trento Esercizi di Meccanicarazionale Ricordando che l’asse deve intendersi orientato nel senso delle ξ decrescenti, il versore direttore di r risulta allora P(cid:1)(ξ) 12eˆ +3eˆ −4eˆ 12eˆ +3eˆ −4eˆ 12eˆ +3eˆ −4eˆ τˆ = − = − 1 2 3 = −(cid:8) 1 2 3 = − 1 2 3 |P(cid:1)(ξ)| |12eˆ1 +3eˆ2 −4eˆ3| 122 +32 +(−4)2 13 Un punto B della retta orientata si ricava dalla parametrizzazione ponendo per esempio ξ = 0 — la scelta piu` semplice — B −O = P(0)−O = eˆ +3eˆ 1 3 (cid:1) Il momento risultante rispetto a B `e immediatamente deducibile da M , gia` calcolato, per O mezzo della formula del cambiamento del polo: M(cid:1) = M(cid:1) +(O −B)∧R(cid:1) = M(cid:1) +R(cid:1) ∧(B −O) = B O O (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) eˆ1 eˆ2 eˆ3 (cid:2) (cid:2) (cid:2) = 10eˆ1 −2eˆ2 −14eˆ3 +(cid:2)−1 2 −1(cid:2) = (cid:2) (cid:2) 1 0 3 = 10eˆ −2eˆ −14eˆ +6eˆ +2eˆ −2eˆ = 16eˆ −16eˆ . 1 2 3 1 2 3 1 3 Il momento risultante rispetto all’asse r vale pertanto: −12eˆ −3eˆ +4eˆ M = M = M(cid:1) ·τˆ = (16eˆ −16eˆ )· 1 2 3 = r Bτˆ B 1 3 13 16(−12)+(−16)4 256 = = − 13 13 StefanoSiboni 4 Universit`a degli studi di Trento Esercizi di Meccanicarazionale 2. Esercizio sull’oscillatore armonico smorzato Un punto materiale P di massa m = 5 `e vincolato a scorrere senza attrito lungo l’asse orizzontale Ox = Oeˆ di una terna inerziale Oeˆ eˆ eˆ . Una molla ideale di costante elastica 1 1 2 3 k = 2 congiunge P con l’origine O. Sul punto agisce inoltre una forza F(cid:1) = 2βeˆ ∧P˙ −βP˙, 2 con β costante positiva. Determinare del sistema: (a) le equazioni pure del moto; (b) i valori della costante β per i quali i moti sono oscillatori smorzati; (c) per β = 2, la posizione e la velocita` di P all’istante t = 15π/4 qualora si abbia P(0)−O = 3eˆ e P˙(0) = 0 all’istante t = 0. 1 Soluzione (a) Equazioni pure del moto L’assenza di attrito assicura che l’equazione pura del moto si ottiene proiettando lungo la direzione tangente eˆ l’equazione tratta dal postulato delle reazioni vincolari: 1 mP¨ = −k(P −O)+2βeˆ ∧P˙ −βP˙ +m(cid:1)g+Φ(cid:1) 2 essendom(cid:1)g il peso e Φ(cid:1) lareazione vincolare. Moltiplicandoscalarmentemembroa membro l’equazione per il versore direttore eˆ dell’asse orizzontale Ox si ottiene allora: 1 mP¨ ·eˆ = −k(P −O)·eˆ +2βeˆ ∧P˙ ·eˆ −βP˙ ·eˆ +m(cid:1)g ·eˆ +Φ(cid:1) ·eˆ 1 1 2 1 1 1 1 e poich`e P −O = xeˆ P˙ = x˙ eˆ P¨ = x¨eˆ m(cid:1)g·eˆ = 0 Φ(cid:1) ·eˆ = 0 1 1 1 1 1 l’equazione pura del moto si riduce a mx¨ = −kx−βx˙ ossia a 5x¨+βx˙ +2x = 0, (2.1) che `e l’equazione differenziale del moto di un oscillatore armonico smorzato unidimensio- nale con costante di frizione β > 0. (b) Valori di β corrispondenti ai moti oscillatori smorzati La condizione necessaria e sufficiente per i moti oscillatori smorzati `e che il discriminante dell’equazione caratteristica associata alla (2.1) 5λ2 +βλ+2 = 0 sia negativo. Nella fattispecie, si ha ∆ = β2 −4·5·2 = β2 −40 < 0 e quindi i valori richiesti della costante β sono: √ 0 < β < 40. StefanoSiboni 5 Universit`a degli studi di Trento Esercizi di Meccanicarazionale (c) Posizione e velocit`a di P all’istante t = 15π/4 per assegnate condizioni iniziali Per β = 2 l’equazione pura del moto (2.1) diventa 5x¨+2x˙ +2x = 0 con l’equazione caratteristica 5λ2 +2λ+2 = 0 di radici complesse coniugate: √ √ −2± 4−4·5·2 −2± −36 −2±6i 1 3 λ ,λ = = = = − ± i. 1 2 2·5 10 10 5 5 La soluzione generale dell’equazione del moto si scrive dunque: (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) 3 3 x(t) = c e−t/5cos t +c e−t/5sin t ∀t ∈ R 1 2 5 5 con la derivata prima (cid:9) (cid:10) (cid:9) (cid:10) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) 1 3 3 3 1 3 3 3 x˙(t) = c e−t/5 − cos t − sin t +c e−t/5 − sin t + cos t ∀t ∈ R 1 2 5 5 5 5 5 5 5 5 in termini delle costanti reali arbitrarie c e c , che vanno determinate sulla base delle 1 2 condizioni iniziali. In questo caso l’ipotesi P(0)−O = 3eˆ P˙(0) = 0 1 implica che debba aversi x(0) = 3 x˙(0) = 0 per cui: 1 3 3 = x(0) = c 0 = x˙(0) = − c + c 1 1 2 5 5 e quindi: c = 3 c = 1. 1 2 La soluzione del problema di Cauchy `e dunque (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) 3 3 x(t) = 3e−t/5cos t +e−t/5sin t ∀t ∈ R 5 5 con la derivata prima (cid:9) (cid:10) (cid:9) (cid:10) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) 1 3 3 3 1 3 3 3 x˙(t) = 3e−t/5 − cos t − sin t +e−t/5 − sin t + cos t ∀t ∈ R. 5 5 5 5 5 5 5 5 All’istante t = 15π/4 si ha infine: (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) 15π 315 315 x = 3e−3π/4cos π +e−3π/4sin π = 4 5 4 5 4 (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) 9 9 1 1 4 = 3e−3π/4cos π +e−3π/4sin π = 3e−3π/4√ +e−3π/4√ = √ e−3π/4 4 4 2 2 2 e (cid:9) (cid:10) (cid:9) (cid:10) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) 15π 1 9 3 9 1 9 3 9 x˙ = 3e−3π/4 − cos π − sin π +e−3π/4 − sin π + cos π = 4 5 4 5 4 5 4 5 4 (cid:9) (cid:10) (cid:9) (cid:10) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) √ 1 3 1 3 1 3 9 1 3 1 = e−3π/4 3 − − + − + √ = e−3π/4 − − − + √ = − 2e−3π/4. 5 5 5 5 2 5 5 5 5 2 StefanoSiboni 6 Universit`a degli studi di Trento Esercizi di Meccanicarazionale 3. Esercizio sul punto vincolato ad una curva piana Un punto materiale pesante P, di massa m, `e vincolato a scorrere lungo la curva di equazione: 1 y = +4x ∀x ∈ (1/4,1), x posta nel piano coordinato Oxy il cui asse Oy `e diretto verticalmente verso l’alto. Deter- minare: (a) l’equazione pura del moto e le relative configurazionidi equilibrio nell’ipotesi di curva liscia; (b) gli equilibri supponendo che la curva abbia un coefficiente di attrito radente statico µ = 0.3. s Soluzione (a) Equazione del moto ed equilibri in assenza di attrito La parametrizzazione del punto P si esprime naturalmente in termini dell’ascissa x: (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) 1 1 P(x)−O = xeˆ + +4x eˆ ∀x ∈ ,1 1 2 x 4 con derivate prima e seconda: (cid:6) (cid:7) 1 2 P(cid:1)(x) = eˆ + − +4 eˆ P(cid:1)(cid:1)(x) = eˆ (3.1) 1 2 2 x2 x3 definite nello stesso intervallo di x. L’equazione pura del moto si ricava proiettando lungo (cid:1) la direzione tangente P (x) il postulato delle reazioni vincolari: mP¨ = −mgeˆ +Φ(cid:1) 2 ossia mx¨P(cid:1)(x) +mx˙2P(cid:1)(cid:1)(x) = −mgeˆ +Φ(cid:1) . 2 Si ha allora: mx¨P(cid:1)(x) ·P(cid:1)(x) +mx˙2P(cid:1)(cid:1)(x) ·P(cid:1)(x) = −mgeˆ ·P(cid:1)(x)+Φ(cid:1) ·P(cid:1)(x) 2 e quindi, per l’ipotesi di vincolo liscio, mx¨|P(cid:1)(x)|2 +mx˙2P(cid:1)(cid:1)(x)·P(cid:1)(x) = −mgeˆ ·P(cid:1)(x) 2 vale a dire, in virtu` delle (3.1), (cid:9) (cid:10) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) 1 2 2 1 1 1 mx¨ 1+ − +4 +mx˙2 − +4 = −mg − +4 ∀x ∈ ,1 . x2 x3 x2 x2 4 Gli equilibri corrispondono alle soluzioni statiche, costanti, della precedente equazione pura: (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) 1 1 0 = −mg − +4 x ∈ ,1 x2 4 e si riducono alla sola posizione x = 1/2 — l’altra radice x = −1/2 `e esterna all’intervallo di definizione dell’ascissa. StefanoSiboni 7 Universit`a degli studi di Trento Esercizi di Meccanicarazionale (b) Equilibri in presenza di attrito Se la curva vincolare presenta un coefficiente di attrito radente statico µ , la condizione di s equilibrio per il punto pesante vincolato al grafico di una funzione y = f(x), essendo Oy l’asse verticale, assume la forma ben nota |f(cid:1)(x)| ≤ µ ; s la pendenza della retta tangente al grafico della curva vincolare nel punto di equilibrio non deve deve discostarsida 0 per piu` di µ . Nella fattispecie si ha la condizione, da soddisfare s in x ∈ (1/4,1), (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)(cid:2)− 1 +4(cid:2)(cid:2) ≤ µs x2 ossia la doppia diseguaglianza 1 −µ ≤ − +4 ≤ µ s s x2 che moltiplicata per la quantita` positiva x2 si riduce a −µ x2 ≤ 4x2 −1 ≤ µ x2 s s ed equivale al sistema di disequazioni: −µ x2 ≤ 4x2 −1 s 4x2 −1 ≤ µ x2 s ovvero a 1 ≤ (4+µ )x2 s (3.2) (4−µ )x2 ≤ 1. s Ricordando che nel caso considerato `e µ < 1 — come avviene tipicamente — il sistema s (3.2) si puo` esprimere nella forma equivalente 1 ≤ x2 4+µ s 1 x2 ≤ 4−µ s dalla quale si deduce, escludendo i valori negativi di x, 1 √ ≤ x 4+µ s 1 x ≤ √ . 4−µ s StefanoSiboni 8 Universit`a degli studi di Trento Esercizi di Meccanicarazionale Le ascisse dei punti di equlibrio sono percio` tutte e sole quelle che soddisfano la doppia diseguaglianza 1 1 √ ≤ x ≤ √ 4+µ 4−µ s s purch`e ricomprese nell’intervallo 1/4 < x < 1. Per µ = 0.3 si ha s 1 1 √ ≤ x ≤ √ 4.3 3.7 ossia, approssimativamente, 0.48224282 ≤ x ≤ 0.51987524 . Siosserviche le soluzionisonotutte accettabili, in quantocontenutenell’intervallo(1/4,1). Gli equilibri costituiscono un intorno dell’equilibrio x = 0.5 gia` calcolato in assenza di attrito, come evidenziato nella figura seguente StefanoSiboni 9 Universit`a degli studi di Trento Esercizi di Meccanicarazionale 4. Esercizio sul punto materiale vincolato a una curva non piana In una terna cartesiana ortogonale Oxyz, con l’asse Oz diretto verticalmente verso l’alto, un punto materiale pesante P di massa m `e vincolato a scorrere lungo la curva E di equazione parametrica: h x = Rcosξ y = Rsinξ z = ξ ∀ξ ∈ R 2π dove R e h sono due lunghezze caratteristiche—`e facile verificareche la curva in questione `e un’elica cilindrica con asse di simmetria Oz, raggio R e passo h. Una molla ideale di costante elastica k congiunge P con l’origine O della terna di riferimento. Si chiede di determinare: (a) l’equazione pura del moto nell’ipotesi che la curva sia liscia; (b) gli equilibrie la soluzione generaledell’equazione del moto semprenell’ipotesidi curva liscia; (c) gli equilibriin presenzadi attrito, ipotizzando un coefficiente di attrito radente statico costante µ lungo l’intera curva; s (d) l’ascissa curvilinea della curva a partire dal punto ξ = 0 e il triedro di Frenet della curva vincolare. Soluzione (a) Equazione pura del moto nel caso di vincolo liscio La curva vincolare E `e descritta dalla parametrizzazione h P(ξ)−O = Rcosξeˆ +R sinξeˆ + ξeˆ ∀ξ ∈ R 1 2 3 2π StefanoSiboni 10
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