Table Of Content

В. В. Лосяков, А. К. Погребков, С. М. Хорошкин Прикладные методы анализа Высшaя школа экономики 1-й семестр 2014/2015 гг. 1 Содержание 1. Лекция 1. Преобразование Лапласа 3 1.1. Введение 3 1.2. Основные понятия и методы 4 1.3. Обращение преобразования Лапласа 5 2. Лекция 2 7 2.1. Еще одна формулировка теоремы обращения 7 2.2. Предельные соотношения 8 2.3. Свойства преобразования Лапласа 8 3. Лекция 3. 10 3.1. Свертка функций 10 3.2. Свертка, теорема Бореля и интеграл Дюамеля 10 3.3. Начальные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем. 13 3.4. Граничные задачи и их функции Грина 13 4. Лекция 4 16 4.1. Обобщенные функции: основные определения 16 4.2. Локальные свойства обобщенных функций 17 5. Лекция 5 19 5.1. Мультипликаторы и свертка обобщенных функций с основными. 19 5.2. Дифференцирование обобщенных функций 19 5.3. Сходимость обобщенных функций и δ-образные последовательности 19 5.4. Первообразные обобщенных функций 20 6. Лекция 6 22 6.1. Формулы Сохоцкого–Племеля и предельные значения голоморфных функций 22 6.2. Аналитическое представление обобщенных функций 23 6.3. Прямое произведение обобщенных функций и свертка 24 7. Лекция 7 27 7.1. Регуляризация функций со степенными особенностями посредством аналитическго продолжения 27 7.2. Преобразование Фурье обобщенных функций из S 28 ′ 8. Лекция 8 30 8.1. Обобщенные функции комплексного переменного 30 9. Лекция 9 32 9.1. Периодические обобщенные функции. Основные определения и свойства 32 9.2. Ряд Фурье 33 10. Лекция 10 35 10.1. Обобщенные функции на единичном контуре 35 10.2. Преобразование Фурье обобщенных функций из D 35 ′ 11. Лекция 11 38 11.1. Связь преобразований Фурье и Лапласа 38 11.2. Фундаментальное решение оператора Лапласа в размерности 2 38 11.3. Фундаментальные решения и функции Грина, сведение начальной задачи к задаче с нулевыми начальными данными. 39 11.4. Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. 40 12. Лекция 12 41 12.1. Фундаментальные решения уравнения Штурма–Лиувилля с нулевым потенциалом и волнового уравнения 41 12.2. Сведение начальной задачи к интегральному уравнению. 43 13. Лекция 13. Преобразование Радона 44 13.1. Определение и основные свойства 44 2 13.2. Обращение преобразования Радона 45 3 1. Лекция 1. Преобразование Лапласа 1.1. Введение. Оливер Хевисайд (англ. Oliver Heaviside, 18 мая, 1850 – 3 февраля, 1925) – английский ученый-самоучка, инженер, математик и физик. Впервые применил комплексные числа для изучения электрических цепей, разработал технику применения преобразования Ла- пласа для решения дифференциальных уравнений, переформулировал уравнения Максвелла в терминахтрехмерныхвекторов,напряженностейэлектрического имагнитногополейиэлектри- ческой и магнитной индукций, и, независимо от других математиков,создал векторный анализ. Несмотря на то, что Хевисайд большую часть жизни был не в ладах с научным сообществом, его работы изменили облик математики и физики. В 1874 году он оставляет должность те- леграфиста и занимается исследованиями частным порядком в доме своих родителей. В это время он разработал теорию линий передачи (также известную как “телеграфные уравнения”). Хевисайд математически доказал, что равномерно распределенная емкость телеграфной ли- нии минимизирует одновременно затухание и искажение сигнала. Между 1880 и 1887 годами Оливер Хевисайд разрабатывал операционное исчисление (он ввел обозначение D для диффе- ренциального оператора),метод решения дифференциальных уравнений спомощьюсведения к обыкновенным алгебраическим уравнениям, который поначалу вызвал бурную полемику из-за отсутствия строгого обоснования. Тогда он произнёс известную фразу: “Математика есть наука экспериментальная, определения появляются последними”. Это было ответом на критику за использование ещё не вполне определённых операторов. Функция Хевисайда: 1, t > 0 (1.1) θ(t) = , 0, t < 0 (cid:26) дает простейший пример обобщенной функции (неустранимый разрыв первого рода при t = 0). Операционное исчисление Операционный метод Символическое исчисление ≡ ≡ d Набор формальных операций над символом p = , где t – независимая переменная. dt x(t) = x x(n)(t) pnx, n = 0,1,..., ⇔ Lx = a x(n) +a x(n 1) + +a x L(p) = a pn +a pn 1 + +a 0 1 − n 0 1 − n ··· ⇔ ··· 1 1 dtx(t) x ⇔ p · Z0 Областьприменения:решение начальных(краевых) задачдлялинейных дифференциальных (интегральных) уравнений. Пример 1.1. Решить начальную задачу: x(t) x(t) = 1, x(0) = 0. ′ − Решение. px x = 1, − ⇒ 1 1 1 x = 1 1 p 1 · ≡ p · 1 · − 1 − p формально разлагаем в ряд: 1 1 1 x = + +...+ +... 1 p p2 pn · (cid:18) (cid:19) 1 t 1 1 1 t t2 1 dt = t, 1 1 tdt = ,и т.д. p · ⇔ p2 · ≡ p · p · ⇔ 2 Z0 Z0 так что t2 tn x(t) = t+ +...+ +... = et 1, 2! n! − 4 что легко проверить и непосредственно. Обоснование символического (операционного) метода дано Бромвичем и Карсоном в 20-ые годы XX-го столетия. Они связали этот метод с методом интегральных пробразований, точнее преобразования Лапласа (французский математик, физик, астроном, 1749–1827). При этом p оказывается комплексным числом p = p +ip . Re Im Схема операционного метода. Требуется найти функцию x(t) действительного переменного t из некоторого уравнения, содержащего производные и интегралы от нее. 1. Переходим к образу X(p). 2. Уравнение на x переходит в алгебраическое уравнение на X. 3. Решаем это уравнение, находим X(p) 4. Переходим к оригиналу x(t). (аналогия с логарифмированием) 1.2. Основные понятия и методы. Определение 1.1. Оригиналом называетсялюбая комплекснаяфункцияf(t) вещественного аргумента t, удовлетворяющая условиям: (1) f(t) удовлетворяет условию Гельдера всюду, кроме отдельных изолированных точек, где она имеет разрывы 1 рода (причем на каждом конечном интервале таких точек – конечное число), т.е., для каждого t, кроме указанных изолированных точек, найдутся такие положительные константы A, a 1 и h , что выполнено 0 ≤ f(t+h) f(t) < A h a | − | | | для всех h, h < h , где A, вообще говоря, может зависеть от t; 0 | | (2) f(t) = 0 при t < 0; (3) f(t) растет не быстрее некоторой экспоненты, т.е., f(t) < Mes0t для некоторого | | M > 0 и вещественного s , называемого показателем роста f(t) (точнее, inf). 0 Если ϕ(t) удовлетворяет условиям 1 и3,тоf(t) = θ(t)ϕ(t) удовлетворяет всемтрем условиям. Преобразованием Лапласа функции f(t) называется функция комплексного переменного p (изображение) ∞ (1.2) F(p) = f(t)e ptdt. − Z 0 Функция θ(t) – простейший пример оригинала (часто называется единичной функцией). Во- обще ее часто опускают, всегда в этом методе подразумевая выполнение условия 2. Определение 1.2. Изображением функции f(t) (no Лапласу) называют функцию комплекс- ного переменного p = s + iσ, определяемую соотношением (1.2). Фраза “функция f(t) имеет своим изображением F(p)” записывается как f(t) + F(p) или F(p) + f(t). (Преобразование Хевисайда содержит лишний множитель p.) Теорема1.1. Для всякого оригиналаf(t) изображениеF(p) определеновполуплоскости Rep = s > s , где s – показатель роста f(t), и является в этой полуплоскости аналитической функ- 0 0 цией p. Доказательство следует из оценки по свойству 3: ∞ ∞ M dtf(t)e pt M dte (s s0)t = , − − − (cid:12) (cid:12) ≤ s s (cid:12)Z (cid:12) Z − 0 (cid:12)0 (cid:12) 0 (cid:12) (cid:12) так что в указанной области интеграл абсолютно сходится. Кроме того в любой полуплоскости (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Rep s > s 1 0 ≥ ∞ ∞ M dttf(t)e pt M dtte (s s0)t = . − − − (cid:12) (cid:12) ≤ (s s )2 (cid:12)Z (cid:12) Z 1 − 0 (cid:12)0 (cid:12) 0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 5 Поэтому в любой полуплоскости Rep > s интеграл, получающийся дифференцированием по p, 0 сходится равномерно, ибо он также мажорируется сходящимся интегралом, не зависящим от p. Итак, функция F(p) в любой точке полуплоскости Rep > s обладает производной. Часто мы 0 будем рассматривать аналитическое продолжение изображений левее прямой Rep = s . Если 0 точка p стремится к бесконечности так, что Rep неограниченно возрастает, то F(p) стремится к нулю в силу первой оценки. Отсюда следует, что F(p) 0, если p , оставаясь внутри → → ∞ любого угла π/2 +δ < argp < π/2+δ, где δ > 0 сколь угодно мало, причем эта сходимость − равномерна относительно argp. Если, в частности, F(p) аналитична в бесконечно удаленной точке, то F(p) 0 при p по любому пути; следовательно, в этом случае F(p) имеет нуль → → ∞ в бесконечности. 1.3. Обращение преобразования Лапласа. Теорема 1.2. Если функция f(t) является оригиналом и F(p) служит ее изображением, то в любой точке t, где f(t) удовлетворяет условию Гельдера, справедливо равенство a+i 1 ∞ (1.3) f(t) = dpeptF(p), 2πi Z a i −∞ где интеграл берется вдоль любой прямой Rep = a > s и понимается в смысле главного 0 значения на бесконечности. Здесь потребуется лемма Жордана. Лемма Жордана. Пусть g(z) – функция комплексного переменного z. Обозначим через C Rn некоторую последовательность дуг окружностей: C = z : z = R ,Imz > a , где a фик- Rn { | | n } сировано. Если на такой последовательности дуг функция g(z) стремится к нулю при n → ∞ равномерно относительно argz, то для любого α > 0 (1.4) lim g(z)eiαzdz = 0 R →∞Z CR Мы приведем здесь, фактически, набросок доказательства Теоремы 1.2, опуская некоторые детали. Математическое строгое и полное доказательство изложено, например, в § 1, п. 79 книги: М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат “Методы теории функций комплексного переменного”, гл. VI. Рассмотрим интеграл a+i 1 ∞ ept J(t) = dp , 2πi p Z a i −∞ взятый вдоль прямой Rep = a > 0, проходимой снизу вверх. Обозначим еще через C и C R R′ части окружности p = R, лежащие соответственно слева и справа от прямой Rep = a, а через | | a ib и a+ib – концы дуг C и C , т.е. точки пересечения окружности с прямой p = a (нужно − R R′ сделать рисунок). Пусть t > 0; так как 1/p 0 при R равномерно относительно argp, то по лемме → → ∞ Жордана имеем: ept lim dp = 0. R p →∞Z CR Но по теореме Коши о вычетах: a+ib ept ept dp + dp = 2πi, p p Z Z a ib CR − 6 поэтому в пределе при R получаем, что → ∞ a+ib 1 ept (1.5) J(t) = lim dp = 1 2πi b p →∞ Z a ib − при t > 0. Аналогично получаем J(t) = 0 при t < 0, т.е.: J(t) = θ(t), см. (1.1). Далее, мы имеем: a+i 1 ∞ ep(t τ) 0, t < τ − θ(t τ) dp = − ≡ 2πi p 1, t > τ Z (cid:26) a i −∞ а тогда для “ступеньки” a+i 0, t < τ 1 ∞ e pτ1 e pτ2 1 θ(t τ ) θ(t τ ) dpept − − − = 1, τ < t < τ , 1 2 1 2 − − − ≡ 2πi p  a Zi  0, τ2 < t −∞ гдеτ < τ .Прeдпoлoжим,что произвольныйоригиналf(t) имеет конечный носитель.Разобьем 1 2  его на интервалы n точками τ ,...,τ и приблизим f(t) ступенчатой функцией: 1 n n 1 − f(t) = f(τ )[θ(τ ) θ(τ )]. ∼ k k k+1 − k=1 X В силу предыдущего равенства тогда a+i f(t) = 1 ∞dpeptn−1f(τ )e−pτk −e−pτk+1 = ∼ k 2πi p Z k=0 a i X −∞ a+i 1 ∞ n−1 = dpept f(τ )e pτk∆τ , k − ′ k 2πi ! Z k=0 a i X −∞ где 1 ep(τk τk+1) − ∆τ = − . ′ k p Такимобразом,впределе, когда точкиτ заполняютвесь интерваливсе ∆τ 0,мыполучаем k ′ k → искомое выражение оригинала через его изображение a+i 1 ∞ ∞ f(t) = dpept dτ f(τ)e pτ . − 2πi   Z Z a i 0 −∞   Случай произвольного оригинала может быть доказан посредством предельного перехода. Литература к лекции 1: М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат “Методы теории функций комплексного переменного”, гл. VI. 7 2. Лекция 2 2.1. Еще одна формулировка теоремы обращения. Мыдоказали,чтооригиналf(t)впол- не определяется своим изображением F(p) с точностью до значений в точках разрыва f(t). В самом деле, по доказанному значение оригинала в точке его непрерывности выражается через изображение F(p), а значения оригинала в точках разрыва, очевидно, не влияют на изображе- ние. Теорема 2.1. Если функция F(p) аналитична в полуплоскости Rep > s , стремится к нулю 0 при p в любой полуплоскости Rep a > s равномерно относительно argp, и интеграл 0 | | → ∞ ≥ a+i ∞dpF(p) абсолютно сходится, то F(p) является изображением функции f(t), данной в a i (1−.3∞). R Доказательство. Фиксируем некоторое число p , Rep > a, тогда из (1.3) следует: 0 0 a+i ∞ 1 ∞ ∞ dte p0tf(t) = dte p0t dpeptF(p) . − − 2πi   Z Z Z 0 0 a i −∞   Так как во внутреннем интеграле p = a+iσ, dp = idσ, то можно вынести за его знак множитель eat. Далее, справедлива оценка a+i + ∞ ∞ dpe(p p0)tF(p) e(a Rep0)t dσ F(a+iσ) − − (cid:12) (cid:12) ≤ | | (cid:12) Z (cid:12) Z (cid:12)a i (cid:12) −∞ −∞ (cid:12) (cid:12) Таким образом этот инт(cid:12)еграл сходится рав(cid:12)номерно относительно t, и, следовательно, в преды- (cid:12) (cid:12) дущей формуле можно изменить порядок интегрирования. Мы получим: a+i ∞ 1 ∞ ∞ dte p0tf(t) = dpF(p) dte(p p0)t = − − 2πi Z Z Z 0 a i 0 −∞ a+i 1 ∞ F(p) = − dp . 2πi p p 0 Z − a i −∞ По условию теоремы на дуге окружности C : p = R, Rep > a, имеем max F(p) 0 при R′ | | | | → R , следовательно, → ∞ F(p) dp 0 (cid:12) (cid:12) p p → (cid:12) 0(cid:12) (cid:12)(cid:12)CZR′ − (cid:12)(cid:12) (cid:12) (cid:12) в этом пределе. Следовательно (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ∞ dte p0tf(t) = F(p ), − 0 Z 0 что и требовалось доказать. Заметим теперь, что при t < 0 по лемме Жордана мы получим f(t) = 0. Далее, из (1.3) + eat ∞ f(t) dσ F(a+iσ) = Meat, | | ≤ 2π | | Z −∞ так что и условие 3 также выполняется. На проверке условия 1 мы не будем останавливаться. 8 2.2. Предельные соотношения. Если f(t) и f (t) – оригиналы, f(t) + F(p), то ′ lim pF(p) = f(0), p →∞ где p внутри угла argp < π/2 δ, при некоторм δ > 0 и f(0) – предел справа. Если таже → ∞ | | − существует lim f(t) = f( ), то t →∞ ∞ limpF(p) = f( ), p 0 ∞ → где p 0 внутри того же угла. → Доказательство. Пусть f(t) дифференцируема. Тогда первый предел следует из следующих равенств: ∂e pt (2.1) pF(p) = p ∞dte ptf(t) = ∞dt − f(t) = f(0)+ ∞dte ptf (t), − − ′ − ∂t Z0 Z0 Z0 и последний интеграл исчезает при p . Если функция f(t) не дифференцируема, то ее → ∞ сколько угодно точно можно приблизить дифференцируемой, после чего проходит тоже дока- зательство. Для доказательства второго предела заметим, что существование lim f(t) вле- t →∞ чет ограниченность функции f(t). Поэтому s = 0 и последний интеграл в (2.1) существует 0 при любом p, Rep > 0 и существует при p = 0. В указанном в условии углу он сходит- ся равномерно по p, так что в (2.1) можно перейти к пределу p 0 в этом углу, что дает → 0∞dtf′(t) = limp→0pF(p)−f(0). RЗамечание 2.1. Полученное асимптотическое поведение показывает, что при доказатель- стве того, что pF(p) f(0) имеет своим оригиналом f (t) по формуле ′ − a+i 1 ∞ dpept(pF(p) f(0)) 2πi − Z a i −∞ последний интеграл нельзя разбивать на два, а следует записывать как a+i a+i 1 ∞ f(0) d 1 ∞ f(0) dppept F(p) = dpept F(p) = 2πi − p dt2πi − p Z (cid:18) (cid:19) Z (cid:18) (cid:19) a i a i −∞ −∞ (в предположении, что можно дифференцировать под знаком интеграла) d = (f(t) f(0)θ(t)) = f (t) при t > 0. ′ dt − 2.3. Свойства преобразования Лапласа. Простейшие преобразования: 1 1 (2.2) 1 + преобразование θ(t); ep0t + . p p p 0 − Далее обозначаем: f(t) + F(p), g(t) + G(p) и т.д. I Линейность: αf(t)+βg(t) + αF(p)+βG(p). II Подобие: для любого постоянного α > 0 имеем: f(αt) + 1F p . α α III Если функция f(t) напрерывна при t > 0 и f (t) (или f(n)(t)) является оригиналом, то ′ (cid:0) (cid:1) f (t) + pF(p) f(0), ′ − f(n)(t) + pnF(p) pn 1f(0) pn 2f (0) ... fn 1(0), − − ′ − − − − − где f(k)(0) = lim f(k)(t). t +0 IV Дифференцииров→ание изображения: F(n)(p) + ( t)nf(t). − V Интегрирование оригинала: tf(τ)dτ + F(p). 0 p t Еслиf(t)–оригинал,толегковидеть,чтоg(t) = dtf(t)такжеявляетсяоригиналом. R 0 Тогда по III f(t) = g (t) + pG(p) (учли, что g(0) = 0). Откуда, f(t) + F(p) = pG(p), ′ R откуда следует результат. 9 VI Интегрирование изображения. Если интеграл ∞dpF(p) сходится, то он служит изоб- p ражением функции f(t)/t: R f(t) + ∞dpF(p), t Zp т.е. интегрирование изображения равносильно делению оригинала на t. Доказательство. Имеем: p∞dpF(p) = p∞dp 0∞dte−ptf(t). Пусть путь интегрирова- ния (p, ) весь лежит в полуплоскости Rep a > s . Тогда ∞ R R ≥ R 0 0∞dte−ptf(t) ≤ M 0∞dte−(a−s0)t, что доказывает равномерную сходимость этого инте- грала относительно p. Поэтому мы можем изменить порядок интегрирования: (cid:12)R (cid:12) R (cid:12) (cid:12) f(t) ∞dpF(p) = ∞dte pt , − t Zp Z0 откуда следует утверждение. Отсюда же следует сходимость последнего интеграла. VII Теорема запаздывания. Для любого τ > 0: f(t τ) + e pτF(p). − − VIII Теорема смещения. Для любого комплексного p : ep0tf(t) + F(p p ). 0 0 − Решим в качестве примера начальную задачу: x(t) x(t) = 1, t > 0, ′ − x(0) = x . 0 Переходя к изображениям, имеем: 1 1 x 1+x 1 0 0 (2.3) (p 1)X(p) x = , т.е. X(p) = + , или X(p) = . 0 − − p p(p 1) p 1 p 1 − p − − − Возвращаясь к оригиналам по (2.2), получаем: (2.4) x(t) = (1+x )et 1, t > 0, 0 − что обобщает результат, который мы имели по методу Хевисайда. ЛитературакЛекции2:М.А.Лаврентьев,Б.В.Шабат“Методытеориифункцийкомплексного переменного”, гл. VI.