Zur Theorie linearer Abbildungen II

13 Pages·2013·0.7 MB·German

by  Hans Havlicek

ZUR THEORIE LINEARER ABBILDUNGEN I1
Hans Havlicek
Given an n-dimensional pappian projective space, any linear
mapping in the grassmannian of d-dimensional subspaces induces
a linear mapping in the associated Grassmann-variety which is
the restriction of one and only one linear mapping in the
projective space generated by the variety.
3. RANGKRITERIEN
3.1 Wir verweisen auf Teil I dieser Arbeit und setzen die in
Abschnitt 2 begonnenen Untersuchungen linearer Abbildungen aus
Graßmann-Räumen fort.
Es sei im folgenden 8 = (3),*) ein n-dimensionaler projektiver
Raum, = (d&,d,ß6 ) die d-Geometrie von ( I L- d 4 n-2) , TI =
= ( , ) ein weiterer projektiver Raum und X:4& + eine line-
are Abbildung aus dem Graßmann-Raum d?r in T'.
3.2 Es sei X eine lineare Abbildung mit rgX L 0. Nach Satz 2.2.
Beweisschritt (1) ist X genau dann eine leere Abbildung, wenn
für einen Punkt OP und eine zu OP windschiefe Hyperebene n"l~
die beiden Einschränkungen ldC0 P] und ~ld[n-I~ll eere Abbildungen
sind.
SATZ 3.1. Eine lineare Abbildunq X besitzt Fenau dann den Rang 0,
- - -
wenn Im(;C) nicht leer und jede Einschränkunq von X auf einen
projektiven Höchstraum v-om Rang 0 -oder -vom Rang -1 i-st.
Beweis. (1 ) Gilt rgX = 0, so ist die Behauptung richtig.
(2) Ist X keine leere Abbildung und hat jede Einschränkung
von X auf einen projektiven Höchstraum die angegebene Eigen-
schaft, so gibt es ein aXo mit dxOx = Q1cQ1. Haben 4x0 und d ~ l
die Distanz 1 und ist dxlea1(~),s o gilt ~ x ~ x G ( ~ x ~= ~(QX'! ~w)e-X
gen r g (l~d xOdxl) = 0. Gibt es ein ~X,GD(X) mit 2
Havlicek
2 2, so wählen wir zwei (d-1)-Räume &-'Ti (i=O, m) mit d ~ O n dC~ m
cklTicbxi und einen zu beiden komplementären Unterraum Die
si:
.I +
Perspektivitäten d p lT ~[fi-d~i] nduzieren in T(0[nauJ )
lineare Abbildungen yi := Xi -1 (X \ d[*-' T~]) , welche beide vom Rang 0
&xil
sind, so daß es einen Punkt o~~(yo)r\~(yunmd) d-Räume :=
:= (d-4~ivo(~X))e g~ib t. Wir erhalten nach (2,l) dann dist (&xOl, & Xml)
= m-I. Auf diese Art können wir eine Nachbarfolge {*x~,~x~~,...,
. . .
&xml ,~ X,~CD ( X ) konstruieren und lesen Q ' = dxOX = = dxmX ab.
3.3 Zur Kennzeichnung linearer Abbildungen vom Rang 1 dient
-
HILFSSATZ 3.2. Gilt *XED(X) bzw. dXEA(~)u nd rg(~ld[~+~H~'L] 0
- - - -
(i=1,2 bzw. i=1,2,3) für zwei bzw. drei paarweise verschiedene
,
d-Felder drdMHi1 deren Hüllen einem (d+l ) -Büschel (d+l )[d~,dt2~]
angehören, so gibt es kein d-Feld dLdUH] mit rg(~Id[du~]) 1,
dessen -Hül-l-e i-n (-d+lP )[d.~ ,d.+2l~iIe gt.
Beweis. Wir nehmen indirekt die Existenz eines d-Feldes d[d+'~]
mit den geforderten Eigenschaften an.
( I ) Ist *X€lD(y) erfüllt, so folgt rg(~ld[ d+I~~]) = 0 (i=l ,2),
und es gilt d[dM~iln~(~=) ~ [OA~,~+ImiHt~ ]'A i "X. Auf Grund
der Annahme rg(~d\r 4+4~1) 1 existiert ein d-Büschel *bl =
.
= d["'T ,d+4~](cX~) , das d~ enthält. Dann gilt db2 .= d Cd-1 T ,d- 'T
vOnIv OA~]CA (X) ; da dbl und dbZ dem zweidimensionalen projektiven
Teilraum R(d[d-l~, a+2~]) angehören, folgt der Widerspruch D (z)nA( X)>
3db1ndb2# @.
,
(2) Für d ~ e ~ e(xi~st)ie rt ein d-Büschel 4bl = d[d-4~,d+q(~X)] ~~
das im zweidimensionalen projektiven Teilraum T(dLd-%s ~ ~mi1t )
,du
d-2s := d-1Tndx liegt. Die pro.jektiven Teilräume (dCd3s ,*+l H J)
(i=1 ,2,3) sind zweidimensional und haben wegen rg (X \ dCd+I.~I ) 4 0
1
mitA(~)m indestens ein d-Büschel gemeinsam.
Gilt d[*-% ,"l~iln~(~=) d [b-tTi,a*(~il (i=1,2,3) und sind die
Träger d-4 Ti paarweise verschieden, so folgt d - 4 ~ i v d 1 ~udnbd ,d ie
drei einelementigen Bildmengen d[d-4~i,d+2~sJi~n d paarweise ver-
schieden. Dann existieren jedoch d-Räume Y' .G~[*-'T ,"H3']n D (2)
d ~ l r I j
(j=1 ,2) mit # dy2x im Widerspruch zu rg (X(d LdMH31 ) 4 0.
In allen anderen Fällen existiert ein Unterraum d-fu mit 4x3
Havlicek 3
3d-4~>d-2~u nd d[d-4~,dH.Ic~ A ( X ) (etwa für j=1 ,2) , was dtd-'u , d t 2 ~ (]X ~) ~
7
,
ergibt. In n[d[do2s $+(H] ) g i l t dann db2 := d [ d - l ~ , * + I ~ J ~w~as( ~w)i e
i n (1) wegen dblndb2 # (d auf einen Widerspruch führt.
SATZ 3.3. U-nte-r de r 2 3 , -daß -die O rdnung N -von
- -
Tmindestens vier ist, g i l t rgX = 1 genau dann, wenn jede Ein-
- - P - -
schränkung von auf einen projektiven Höchstraum vom Rang -1, 0
- -
oder 1 ist und Im(x) mindestens zwei Punkte enthält.
7 P
Beweis. (1) Für rgx = 1 ist die Behauptung unabhängig von der
Zusatzvoraussetzung richtig.
(2) H a t jede Einschränkung von X auf einen projektiven Höchst-
raum die angegebenen Eigenschaften,und g i l t IIm(x)I 5 2, so gibt
.
(X)
es nach Satz 3.1 ein d-Büschel 'bl = ,dtq~lC] D E s sei
.
db2 = dLd-4~, d~t 4 ~ 2 ] C(~X )
Sind (i=1, 2) benachbart, so g i l t dtq~lndb'=~: &C. D i e
2
,d+4~iI
Einschränkung X\ d[*"HiI besitzt einen Teilraum ~ [ I A ~ als
Ausnahmemenge.
Nehmen w i r *SED(X) an, so gibt es einen Unterraum d " ~ 3 ~ dd~er,
*Si
zu 'Ai windschief ist; daher g i l t := d[d-1~3~ t 4 ~ i ] ~(iXD) (i=
.
=1 ,2) und A (X 1 d[d-'~~) ] =: d[d-1 T~ ,n-2A33 Bei der Proj ektivität
-
'A" ' * "-2A3 db2 'k
lbl db, E 'b2 haben zugeordnete d-Räume denselben Bild-
punkt unter X , das heißt d b l ~= d b 2 ~ .
-
G i l t ~SCA(X),S O existiert ein d-Raum *S~C"H~, für den d ~ l n d$~ Z
3) i ~ (ii= 1,2) gilt. Dann ist * S ~ G ~(%)) , und nach Hilfssatz 3.2 gibt
d ~ 1 ~ d + ' ~ 3 ~ U k l ~ d + 1 ~ 2
es mindestens ein d-Feld d[dH~3] m i t und
.
r g h i dCdHH31 ) 1. Nach Konstruktion folgt d**~2na13~ =: S2eD ( X )
Mittels eines d-Büschels db3~d[d+l~31na)e(r~k)e nnen w i r wie vor-
hin d b l ~= d b 3 =~ d b 2 ~
Sind die Hüllen jedoch nicht benachbart, so wählen w i r in
Hi
einen d-Raum a ~ ~ 3 und~ Pun~kte ~ ~ nwin~dsch'ief ~zu 'X~i.
O~i~ '+'~i
d+2~iy1~i
W i r erhalten *Vi := d ~ i v On2 m i t und dt2v1 # d+2~2.
PYIvi]
Die Mengen (d+1 )[d Xi (i=1, 2) sind perspektiv zum Teilraum
'T.
o[O Q ~ OVn2 ] von Da dieser nach der Zusatzvoraussetzung mindestens
fünf Elemente besitzt, folgt m i t Hilfssatz 3.2, angewendet auf
(X\
d [ d ~ f t 2 ~ddi e Existenz eines Punktes O ~ ~ ~ [OQ2O] ~m iltv rg d[dXiv
.
"1) -
V = 1 (i=1,2) E s g i l t dist ( d ~ 1 ~ 0 ~ , ~ ~= 2divsOt (&~+(H)1 $+(H2)
-
1 : wiederholte Anwendung liefert eine Nachbarfolge von "H1
Havlicek 4
nach **H~, und es folgt *bl% = db2~.
Ist ~X~ED(X)un d gehört dx0 keinem ausnahmefreien d-Büschel an,
so erhalten wir mit Hilfe einer geeigneten Projektion Xi: P8 + fdxOXZ
eine lineare Abbildung x(Ci vom Rang 0, für die d~~~ (ynl) mit
dZ~dbld ~ X# d ~ gOilt.~ D ie Ausnahmemenge W (X) ist in W (X%' ) ent-
halten. Nach Satz 3.1, Beweisschritt (2) gibt es eine Nachbarfolge
. . .
i&Xj 1 j=O, ,l] von a ~ noac h dx1 := dz, deren Elemente in D (X%' )
liegen. Durchlaufen wir die Folge der d-Büschel d~jd~j+vlo n d ~ o d ~ l
beginnend, so sei dXkdxkCl das erste d-Büschel, welches ein Eie-
ment d~ besitzt, das einem unter X ausnahmefreien d-Büschel an-
gehört. (Spätestens in d~l-lZ~hla t d~ diese Eigenschaft. ) Gilt
d~ka~k+iDl (cX ), so folgt dxOx = dxkX ab,%, und für "kkd~k+l#~(T )
ergibt sich dxOX = dxkX = d ~ ~ c ~ b ~ ~ .
Aus dem letzten Beweis folgt der für N 4 3 triviale
SATZ 3.4. Gilt rgX = -so -ist für -je -zwe i d-Büschel ,
dbl d b gD~ (X )
-
die Abbildung 6 := (xIdbl) (XldbF1 eine Projektivität.
-
3.4 Für lineare Abbildungen mit nicht kollinearen Bildpunkten zeigen
wir
SATZ 3.5. Gilt rgX 2, i-st -für- je- zw ei d--Bü schel dbl,d b2c D (X)
und für jede Projektivität 6' :dbl + db2 a-uch -die Abbildung 6:=
- - P
:= ( ~ () 6~' (bXld~b2 )-1 eine Projektivitat.
Beweis. Für N 6 3 ist das trivial. Gilt N 4, so gibt es nach
d f k l ~ ~ (xldUl
Satz 3.3 einen projektiven Teilraum (X) mit rg ) = 2.
,
Sind dbl d b 2 ~ ~ (ge~ge)b en, so w3hlen wir ein d-Büschel <<b3cd'Ü,
und setzen dbj = d[d-l~j,dM~j] (j=1 ,2,3). Wie in Beweisschritt (2)
I~+'Y. . . . , 3
von Satz 3.3 konstruieren wir Nachbarfolgen .Ji. =O, 1
, 13 1
von d H ~ .na ch d H ~ 3( j=1 ,2) wobei alle d-Felder dP4yil ein aus-
3
nahmefreies d-Büschel besitzen; das ist möglich, da A(x) Teilmenge
der Ausnahmemenge einer linearen Abbildung vom Rang 1 ist. Zu
zwei ausnahmefreien d-Büscheln mit benachbarten Hüllen können wir
wie im Beweis von Satz 3.3 ein Produkt von Perspektivitäten so
angeben, daß alle beteiligten d-Büschel D(x) angehören. Diese
Kette von Perspektivitäten induziert in T' eine Kette von Per-
spektivitäten oder Identitäten der entsprechenden Bildpunktreihen.
Havlicek 5
Insgesamt erhalten wir Pro jektivitaten bj : + db3 (j=1,2) so,
daß auch 6: := (X[dbj)-16'j3(x\db3) projektiv sind.
J 3
+
Jede Projektivität b' zdblx d b 2 ~lä ßt sich dann in der Ge-
-1
stalt 6' = 6' 6'6' darstellen, wobei 6'; eine projektive
13 3 23
Selbstabbildung von db3 ist. Da X 1dS1 eine Kollineation ist,
e3
folgt unter Benützung des Verkürzungssatzes C1 ,C. 1431 daß :=
:= (*Pb3) 6; (X1db3)-1 projektiv ist. Nach kurzer Rechnung ergibt
-1
sich dann b = Sl3 6'3623 als Projektivität.
Damit sind wir nun in der Lage zu zeigen, daß es gewisse lineare
Abbildungen nur aus der d-Geometrie eines Pappos-Raumes geben kann.
SATZ 3.6. I-st X :dUV l(T) + q' eine lineare Abbildung aus dem Graß-
- - -
mann-Raum dli in T', und existiert sowohl ein d-Bündel als auch ein
- - -
d-Feld derart, daß die Einschränkungen von X -auf -dies e beiden
- --
projektiven Höchsträume beide mindestens vom Rang 2 sind, so sind
-
T und T' notwendig projektive Pappos-Räume.
Beweis. Wir können in den angesprochenen projektiven Höchst-
eilr räume"'$
räumen zweidimensionale projektive , d62cD (X) wählen.
Eine projektive Kollineation :d$,X + dUC 2;1 induziert nach Satz
-'.
P'
3.5 eine projektive Kollineation := (llldU1l) (X1d~2) Es gibt
Perspektivitäten SI :*G1+ 012 U] bzw. S2: dU2 + ("-1 auf
.
zweidimensionale projektive Teilräume von bzw. ""71 Die pro je k-
tive Kollineation ?( := 51-11252k ann nach Satz 1 .2 zu einer Kol-
*T ,
lineation von auf ""'T' also einer projektiven Korrelation
von T fortgesetzt werden. Daher [2,~.481 ist ein Pappos-Raum.
,
Gleiches gilt für da und TI'' isomorphe projektive Ebenen
besitzen.
3.5 Ist eine reguläre lineare Abbildung ausdT, so können wir
2o.B.d.A. als Pappos-Raum voraussetzen. Das zeigt uns
SATZ 3.7. Jede requläre lineare Abbildunq $:%(T) + ist
alobal und iniektiv. Aus der Existenz einer reaulären linearen
Abbi- ldung 2 folgt Pn otwendig, d-aß e-in projektiver Pappos-Raum
-
ist.
Beweis. Ist *X # 4~ und = d ~ so~ wä,hle n wir einen Punkt
Havlicek 6
OPC~X, OP&~Y und eine zu OP windschiefe Hyperebene " " B ~ ~ Y .N ach
*ai
(2,3) erklären w i r die Mengen (i=1 ,2,3) und es g i l t dann
.
dxy = dY T €d a10ndP2g, also rgg<n(+d 1+ l)- 1 i m Widerspruch zu (2,5)
Nehmen w i r ferner die Existenz eines d-Raumes d ~ e an~, s(o m~uß
(r)
jeder d-Raum &X m i t 4~-dX ebenfalls A angehören, da rldAdX
Y
injektiv ist. Da es von d~ zu jedem Element vonCIUe ine Nachbar-
folge gibt, erhalten w i r den Widerspruch rgg = -1. Nach Satz 3.6
ist T daher notwendig ein Pappos-Raum.
Im(r)
Besitzt eine Gerade g' m i t drei gemeinsame paarweise ver-
schiedene Punkte X; ( i=1 ,2,3 ) , und ist X{ f 1 m i t benachbart,
.
,
so folgt ( X ) X ) ) = g also g1cIm(8) Nehmen w i r hin-
gegen indirekt an, daß die Urbilder Xir-' paarweise nicht benach-
X;r -1
bart sind, so gibt es einen Punkt O P C X ~ ~ -d~er, zu aun1d
,
windschief liegt und eine Hyperebene n"1~3~;li-1w elche X; und
nicht umfaßt. Nach (2,3) und (2,4) seiend%i (i=1,2,3) und
die Abbi-ld ungen El , a2 erklärt. Dann g i l t X jg-1~433un, d x jo.-' c1
1
bzw. X i 2 e2 sind die Fußpunkte der eindeutig bestimmten Treff-
*-'
X i al .
geraden aus an bzw. [ &a28] Das ergibt m i t X! =
- I
Xi* 1
= E (j=1 ,2) den Widerspruch, daß xir-I (i=1 ,2,3) paarweise
j
benachbart sind.
Bezeichnen w i r m i t q&, Cq' die Menge aller Geraden glcIm($), so
r(~m(r)
wird diT durch \6 isomorph auf den Graßmann-Raum ) :=
:= (Im( g), .().;,E) abgebildet.
Sind d ~ d,Y nicht benachbart, so schneidet die Gerade ( d ~ r ) ( d ~ g )
die Bildmenge Im@) i n genau zwei Punkten. Eine reguläre lineare
Abbildung ist daher nicht surjektiv.
D i e graßmannschen Koordinaten der Unterräume liefern ein Bei-
spiel für eine reguläre lineare Abbildung )f. Die Bildmenge Im(g)
ist dann eine Graßmann-Varietät [4 ,S. 2871, 16 ,S.255].
4. DER FORTSETZUNGSSATZ
(p,?)
4.1 I m folgenden sei = ein n-dimensionaler projektiver
Pappos-Raum, dT' = (&aIdb,ed)i e d-Geometrie von li (1 4 d L n-2)
hf':
sowie +$ eine reguläre lineare Abbildung i n die Punktmenge
Havlicek
-
1)-dimensionalen projektiven Pappos-Raumes =
.-
= (1),.(a3 ~e;ner sei T' = (Q', q')e in projektiver Raum.
Ist qJ:* + iL' eine lineare Abbildung , so erhalten wir mit
g
eine lineare Abbildung aus *B in H' , und für eine Basis Im (Y)
C
F
von folgt nach (1,1) rgy = dimTf(cSy]) 4 rgty, wegen Im(8~)c
C Im(ifr) also
V + /ei
Geben wir andererseits eine lineare Abbildung X:dUI vor, so
.
liefert gJIX eine lineare Abbildung aus dem Graßmann-Raum r(Im (8))
Es gilt der folgende Fortsetzungssatz:
SATZ 4.1 . -Ist 4 $' eine lineare Abbildung -und 8:'vJ *@ei ne
reguläre lineare Abbildung, so gibt es genau eine lineare Fort-
- -
- -7 .
setzung y, :$ -t 0' der Abbildunq g X :I m(r) + Q1
Beweis. Wir verwenden das in 2.3 besprochene Induktionsver-
fahren. Für lineare Abbildungen aus (endlichdimensionalen) projek-
tiven Räumen ist das Fortsetzungsproblem trivial. Als Induktions-
voraussetzung dient daher im folgenden, daß es für jeden echten
Teilraum d$$cdfi genau eine lineare Fortsetzung von (X[dtl)
gibt also genau eine lineare Abbildung aus dem Unterraum y]
.
PI , ,
in Ist d&l = dCO dLw4B ] U. s. W. speziell ein Hyperbündel
oder ein Hyperfeld, so bezeichnen wir diese lineare Fortsetzung
im folgenden mit ypry B, U.S.W. -
Jede Einschränkung von X auf einen projektiven Höchstraum ist
wieder eine lineare Abbildung. Es gibt einen projektiven Höchst-
d<e60
raum derart, daß r := rg (xldt0) rg(~(d%) für alle projek-
trven Höchsträume " 5 c dg~il t. In Abhängigkeit von r wählen wir
einen Punkt @P und eine zu OP windschiefe Hyperebene und ge-
gebenenfalls einen d-Raum &W derart, daß die linearen Abbildungen
yp und yB genau eine lineare Fortsetzung V:$ + 9' besitzen, ge-
gebenenfalls unter der Zusatzvoraussetzung {~w]x= fd~)Op. Ferner
dai
benützen wir die Mengen (i=1, 2,3) sowie die Abbildungen ,
E2 aus (2,3) bzw. (2,4).
(1) Gilt r = -II so ergibt sich ohne Induktionsbeweis, daß nur
die leere lineare Abbildung aus in T'' die gesuchte lineare
Havlicek 8
Fortsetzung ist. Der Fall r = -1 wird im folgenden ausgeschlossen.
(2) Gilt r = 0, so gibt es ein d-Büschel d[d-l~,d#~I,w elches ge-
nau ein Ausnahmeelement *W besitzt. Wir wählen eine Hyperebene ""B
so, daß dwnngqB= d-4 T gilt und einen Punkt OPC~*H, der weder in d~
noch in dd~nno'e~n thalten ist. Dann gilt d ~ e l= *PvblT und &Ws2 =
n-lBnd*(~.A US r = 0 folgt mit Satz 3.1 rgX = 0, und wegen 4 ~ e i(cX~)
(i=1,2) liefert (4,l) auch rgyp = rgyB = 0. Da yp und yB gemäß
(VI) verträglich sind, gibt es nach Satz 1.6 genau eine lineare
.
Fortsetzung von iy und % mit *Wen
P
.
(3) Gilt r = 1, so gibt es ein d-Büschel d[&-'T ,d+IH]c D (X)
Wegen n 4 d-2, können wir einen Unterraum d+%~3&4H wählen; für
einen beliebigen d-Raum ~WPD( X ) mit.d w2cd+1H gibt es nach Hilfs-
satz 3.2 mindestens noch einen von d+lH verschiedenen Unterraum
~Ae(d+l)[*W2,*2~I so, daß das d-Feld d[d+lB3 ein aus-
nahmefreies d-Büschel enthält. Dann hat d[d+41f] einen Teilraum
d[* A ,d+'HI als Ausnahmemenge. Der Punkt OPc d+'E sei weder in d ~ n2oc h
in IA enthalten; die Hyperebene B' '" wählen wir komplementär zu OP
durch *+'H.
Für 4°F mit *PC+I?!C~+'E~ ist d[del? ,d+4gl(2~)~, in ~[MBIgi lt
.
~[*-IT , d + ' ~(]X~) ~G reifen wir aus dCd-1 ,di4?!l einen d-Raum d~ mit
1
P d ~ 2h eraus, so gibt es in dwldW2 einen d-Raum dw # d ~ i
d ~ l
(i=I,2 ) und es gilt dwri = &Wi.
Aus r = 1 können wir nur rgX 1 schließen. Für rgX = 1 gilt
vp
auch rgy = rgvB = 1 nach (4, I ) , und , sind gemäß (V3) ver-
P '+'B
träglich, wie mittels der Geraden ?jl := d[dd?,d+*Ela und G2 :=
:= d[*-d~,d*r~]s~ow ie den Sätzen 3.4 und 3.5 folgt. Die gesuchte
lineare Fortsetzung ist dann durch den bezüglich yp, yB wesent-
lichen Punkt 'Wa und die zulässige Bildmenge {dwrI eindeutig fest-
-
gelegt. Für rgX 2 und rg% = rgyB = 1 gilt nach Satz 3.3 not-
wendig N 4 3. Wie am Ende von 1.3 gezeigt wurde, existiert zur
obigen Angabe genau eine lineare Fortsetzung. Ist jedoch etwa
rg& 5 2 und rg% 1, so sind yp und yB nach (V4) verträglich,
GI,
was wieder mittels der Geraden ?j2 und Satz 3.5 gezeigt werden
kann; Vist wie oben eindeutig festzulegen.
'
(4) Gilt r 2, so umfaßt B (X) einen zweidimensionalen projek-
tiven Teilraum; wir nehmen 0.B.d.A. an, daß dieser in einem d-
Feld enthalten ist, sonst wird dual vorgegangen. Insbesondere
Havlicek 9
besitzt dieses d-Feld ein d-Büschel d[d-l~,d*~ilD~( y), und es gibt
.
einen d-Raum 4 wl€ (dcd"~]\d[04i~)Q3 D( X ) AUS d[d.(~,~+~Hw]ä hlen w i r
,
einen d-Raum dw2 m i t dw2 # dwl dann g i l t *wldw2c D(x). Nun sei
-
,
OPcdwl * P ~ * ~ ~fTer, n er *'B~*+~H zu OP windschief und schließlich
~ w G ~ w ~d~ ~ #w d~~, i1 ,2 , also d ~ 6 =i d ~ i .N ach Konstruktion
vp
g i l t rgYB 2 2, also sind yB und gemäß (V4) bzw. (V2) verträg-
lich, je nachdem rgyp 1 bzw. r g b = 0 g i l t . Das ergibt sich,
ebenso wie die eindeutige Festlegung von T, wie i n den vorher-
gehenden Fällen.
Falls es also für r 2 0 überhaupt eine lineare Fortsetzung von
fly> gibt, so ist es die Abbildung 9, welche i n der Menge dCOP]u
ud[h4Bly (dwt dasselbe w i e leistet, aber auch i m d-Büschel
dWeldWr2 m i t übereinstimmt. Für ~w@(x) ist das trivial.
G i l t *WED (X), so ist * w E ~ ~ w & ~ c ( D ((xf)y~)D) , und X , yv leisten
nach Konstruktion auf mindestens einem d-Büschel dasselbe. Daher
-'
ist 6 := (XI ( ~ w G ,) (dwe2) ) (gyl( ~ w )E ( ~d ~ ~) 2 ) n ach Satz 3.4 oder
nach Satz 3.5 eine Projektivität m i t den drei Fixelementen *W,
,
~ W Ed W~~ 2 also die Identität.
Gemäß 2.3 genügt es, den Satz für n 4 2d+l zu zeigen. W i r
schließen den Beweis i n 4.2 für n 4 2d-1, i n 4.3 für n = 2d und
i n 4.4 für n = 2d+l ab.
4.2 Für jeden Punkt existiert nach Induktionsannahme
OQC~W~""'B
genau eine lineare Fortsetzung Y> von (71 ~ C O Q I ); daher stirn-
Q
men y und y auf den windschiefen Unterräumen := [ ~ [ O P V ~ Q ~ ~ J C
Q
g2
C { dCoP3y] und := [d ~ ' Q , ~ - ~ B ~[d~dlf]igC'B ]gI überein, deren Ver-
bindungsraum [dCo Qly] ist. Da ferner idw)yy = idWIryQ g i l t , sind
r)r und nach Satz 1.4 (Fußnote (3)) fasergleich und leisten
Q
wegen ( d ~ e) (l d ~ ~ =2 )T ~ ~ ( *)w ( c4 ~~ 6 d~a)ss elbe ; das ergibt
Q
t d x t ~
( d ~ ) r y= für alle d~ed[OQ].
'
Ist speziell n 2d-1, so besitzt jeder d-Raum einen nicht-
leeren Durchschnitt m i t d ~ n * l ~s,o daß i n diesem Fall tp eine
lineare Fortsetzung von ist.
4.3 W i r setzen n = 2d voraus. M i t 4.2 und auf Grund der Konstruk-
tion von y ist idxf#y= 14~Jnnu r noch für solche 4xod& nachzuwei-
sen, welche zu d ~ n t i - t ~un d 'P windschief sind. Wegen n = 2d er-
halten w i r dann Schnittpunkte OS := d ~ l i *un~d Os1 := d ~ n d ~ . gmli t
Havlicek I 0
,
OS, OS OP nicht kollinear.
Die Einschränkung von X auf den projektiven Teilraum ~[oP,
dwvOP ist wegen *w&~~D(x)ke ine leere Abbildung, so daß ihre
dftl
Ausnahmemenge in einer Hyperebene = ~CIA,~WVOPdJe s Teilrau-
mes enthalten ist. Auch d&2 = d@yo~l ,~WV~Pi]s t eine Hyperebene
dieses Teilraumes, und es gibt in ihm einen d-Raum aY$d&,va% ,
das heißt d ~ n=l d~~ n ( " ~ v) o=~ OlP. Dann existiert OQ := ~ Y A
.
I \ ( ~ s) ~= ~dsyn~* ~;n ach Konstruktion gilt ~ Y DG ( X )
Da 4~ und damit auch OQ zu ~ W O ~ ' ~wiBn dschief ist, können wir
dz
:= (~w~~~-(Bb)ivlodeQn . Nehmen wir indidre~kt/d2d = Yd ~.& l an, so
folgt mit OS1 = OQC~Y ein Widerspruch zu Wegen d z a ( d ~ 6) ~
(dwg2) ist ~z~A(xn)ur für r = 0 und d~ = dw, also OQ = OS
möglich.
(I ) Gilt ~ZE(QX ), und sind 2d4~i3d(i~= 1,2) verschiedene
Hyperebenen mit OPCM-IC~ , o~g5an,~ s2o leisten iy und y in[d['Q,
Q
U - ~ C ~ ~ ~ I
dasselbe, da auf Grund des Dimensionssatzes jeder in
26-(ci enthaltene d-Raum d~n2d-(Bs chneidet. Die Teilräume- dCoQ,
24-4Ci'] haben d ~ ~ ~ g(em&ei)ns am, so daß nach Satz 1.3 in :=
yig1 yQ~$l.
:=[~[oQ,"-~c,J~]v [d[o~.2d-1~,3g]c[dS0~JygIi lt = Fex-
g2 [ ~ C O P V Q Q ~ ~ ~
ner leisten 4 undy in := dasselbe. Mit 2d-'~13
Q
3d2v0p = dWvOPjdY erkennen wir ~YE~(OQ , 2 d - + ~ ~ ~ n d [ ~al~svo ~dQ ~~ ,a
Egln%. Wegen ~ Y ~ D ( xfo)l gt dYxcID (Y) und Satz 1.3 liefert Y V
"G2 yQ\glv@2.
= Setzen wir 4x1 := ( d ~ n 2 d - 4 ~u~n)d vd~~~ 2:=
:= ( ~ X V ~ P ) ~SO~ g~i-lt~ dC~~~,d ~, laldso~ d2X8 ~@,vG2, was tdxfgy =
YX{X
= ergibt.
(2) Gilt d ~ € ~ ( ~s)o ,wä hlen wir einen zu dY komplementären
Unterraum d - i m~i t OS l ~ d - i ~ ~Dads~ d.- Büschel db := d[d-(~,dxvO~J
ist zum Geradenbüschel 1 [OS ,OS 1~ OPVOQI perspektiv. Für dXedB :=
OS^ +
db\ldxj giit051 := dNx ndwcl = , SO daß dyndx =: 05 OQ folgt.
Erklären wir 42 := ( ~ w ~ ~ ~ - ~ Bs)o viostG d,z # *?EID(%) und nach
tdxf~. xy~dbo
(I idjtft* = AUS = X~dbf olgt xyidb = ~ldb,a lso
Pxlsy Idxf~*
=
4.4 Ist n = 2d+l, so erhalten wir beim Dualisieren von Sätzen
der d-Geometrie wieder Sätze der d-Geometrie. Insbesondere gilt
dual zu 4.2 für alle Hyperebenen e d ~ 3 ddahe~r ~q~l~[d[ 2d~Iä1 =
vD.
idxtX
= Wir müssen also idxf$~= nur noch fiir solche d-Räume
AX nachweisen, die sowohl zu ßP als auch zu dWn2d~w indschief