Zahlentheorie für Einsteiger: Eine Einführung für Schüler, Lehrer, Studierende und andere Interessierte

195 Pages·2001·4.66 MB·German

by  Dr. Andreas Bartholomé

Andreas Bartholome
Josef Rung
Hans Kern
Zahlentheorie fOr Einsteiger
Aus dem Programm _______- .......
Mathematik
Albrecht Beutelspacher
.. Daslst o. B. d. A. trivial I"
Tipps und Tricks zur Formulierung
mathematischer Gedanken
Albrecht Beutelspacher
Kiyptologle
Albrecht Beutelspacher
.. In Mathe war Ich Immer schlecht .....
Otto Forster
Algorlthmlache Zahlentheorle
Robert Kanigal
Der das Unendllche kannte
Das Leben des genialen Mathematikers
S. Ramanujan
Jorg Bewersdorff
Gluck, Loglk und Bluff
Mathematik im Spiel
Martin Aigner, Erhard Behrends
Alles Mathematik
Von Pythagoras zum CD-Player
Winfried Scharlau
Schulwlssen Mathematik:
Eln Oberbllck
vieweg ____________ _
Andreas Bartholome
Josef Rung
Hans Kern
Zahlentheorie
fiir Einsteiger
Eine Einfiihrung fiir Schiiler, Lehrer,
Studierende und andere Interessierte
Mit einem Geleitwort von Jiirgen Neukirch
3., verbesserte Auflage
~
vleweg
Dr. Andreas Bartholome und losel Rung unterrichten am Hans-Leinberger
Gymnasium in Landshut.
Anschrift: Jiirgen-Schumann-StraBe 20, 84034 Landshut
Dr. Hans Kem unterrichtet am Schyren-Gymnasium In PfaffenhofeD/Hm.
Anschrift: Niederscheyerer Stra8e 4, 85276 Pfaffenhofen
Dle Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Ein Titeldatensatz fUr diese Publikation Ist bel
Der Deutschen Bibliothek erhiiltIich.
1. Auflage Januar 1995
2., iiberarbeitete Auflage September 1996
3., verbesserte Auflage Mal 2001
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@SpringerFachmedien Wiesbaden 2001
UrsprUnglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH,
mBraunschweigIWiesbaden 2001
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Gedruckt auf siiurefreiem Papier
ISBN 978-3-528-26680-6 ISBN 978-3-322-96945-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-96945-3
v
Geleitwort
"Von der Mathematik habe ich nie etwas verstanden!" Wann immer
wir Mathematiker uns als Mathematiker zu erkennen geben, wird uns
dieses freimiitige Bekenntnis der Ignoranz serviert, meist im Tonfall der
Genugtuung und mit der Gebiirde des Triumphes, so als ob man sich
damit in die Gemeinschaft der normalen Menschen einreiht, denen eine
menschliche Seele innewohnt und ein warmes Herz in der Brust schlagt.
An der Mathematik liegt es nicht, dass sie in so mi61ichem Ansehen
steht. Wer ihr im echten Sinne begegnet ist, wei6, dass sie eine Welt der
Wunder und der Schonheit ist, und wird sich vor dem obigen Ausruf eben
so verwahren wie vor stolzem Bekenntnis, nicht zu wissen, wer Beethoven
ist. So muB es wohl an der Art liegen, wie sie unterrichtet wird, die Ma
thematik.
Das vorliegende Buch von A. Bartholome, J. Rung und H. Kern
setzt diesem Zerrbild unserer Wissenschaft die schone Wahrheit entgegen.
Es ist an die Schiller und - mit gutem Grund - an die Lehrer des Gymna
siums gerichtet. Ihr Gegenstand ist die Zahlentheorie, die "Konigin unter
den mathematischen Wissenschaften". Die Autoren haben fiir die Schule
ein vorbildliches kleines Werk geschaffen. Es lebt von dem Wissen erfahre
ner Lehrer, von der Liebe echter Mathematiker zu ihrem Metier und '.'on
einer heiteren Lebendigkeit der Darstellung. Kluge Auswahl und weise Be
schrankung des Stoffes zeichnet die Autoren als treilliche Lehrmeister aus.
Nirgendwo werden "Klappern" zu billigem Erfolg herangezogen, iiberall
handelt es sich urn echte und wesentliche mathematische Probleme und
Ereignisse, die in verstandlicher Weise dargestellt werden, und von denen
man sicher sein kann, sie auch im Bereich moderner Forschung anzutreffen.
Die Darstellung ist in einer schwungvollen, verfiihrerischen Sprache ge
faBt, die im jugendlichen Leser eigene Vorstellung und eigene Phanta
sie hervorzurufen vermag. Die vielen Aufgaben sind so gestellt, dass sie
dem erfolgreichen Bearbeiter zum echten mathematischen Erlebnis wer
den konnen. Er wird spater mit Freude berichten: "Ich habe einmal die
Mathematik verstanden".
vi Geleitwort
Das Buch ist als ein Addendum zum gewohnlichen mathematischen Un
terricht am Gymnasium zu verstehen. Wiirde dieser Unterricht von sei
ner qualenden Uberladenheit befreit und auf allen Stufen in dieser Weise
gefiihrt, so konnte sich das Bild der Mathematik in der Gesellschaft zum
Besseren wenden.
Regensburg, Dezember 1994 Prof. Dr. Jiirgen Neukirch
vii
Vorwort
» ••• Wai3 Sie mir von Ihrer Seite wie im Auftrag von Herrn Euler sagen, ist
zweifellos viel gliinzender. Ich meine dai3 schone Theorem von Herrn Euler iiber
Primzahlen und seine Methode, zu testen, ob eine gegebene Zahl, wie groB
auch immer sie sein moge, eine Primzahl ist oder nicht. Wai3 Sie sich bemiihten,
mir iiber den Gegenstand zu berichten, erscheint mir sehr scharfsinnig und Ihres
groBen Meisters wiirdig. Aber finden Sie nicht, dai3s es fiir die Primzahlen beina
he zuviel Ehre ist, soviel Gedanken iiber sie zu verbreiten, und sollte man nicht
Riicksicht auf den verwohnten Geschmack unserer Zeit nehmen? Ich unterlai3se
es nicht, aHem, Wai3 aus Ihrer Feder kommt, Gerechtigkeit widerfahren zu lai3sen,
und bewundere Ihre groBen Geisteskrii.fte, um die miBlichsten Schwierigkeiten
zu iiberwindenj aber meine Bewunderung verstarkt sich, wenn dai3 Thema zu
niitzlichen Erkenntnissen fiihren kann. Ich schlieBe hierin die griindlichen Un
tersuchungen tiber die Starke von Balken ein, von denen Sie sprechen ... "
soweit Daniel Bernoulli in einem Antwortbrief an Nicolaus FuB, den Assi
stenten Eulers (nach A. Weill.
Wir werden dennoch nicht uber die Starke von Balken berichten, son
dern den Primzahlen die Ehre antun. Dazu wollen wir die Leser dieses
Buches im Klassenzimmer abholen und ins so helle und doch geheimnis
volle Reich der Zahlen fuhren. Dieses Buch handelt von dem, was schon
die kleinen Kinder konnen und kennen: vom Zahlen und den naturlichen
Zahlen 1,2,3 und so weiter. Das Buch wurde fUr die Schulbank geschrie
ben: fUr Pluskurse oder Freiwillige Arbeitsgemeinschaften in Mathematik
und Informatik, als Anregung fur Jugend - forscht - Arbeiten oder als
Hilfe fur das Losen von Aufgaben aus dem Bundeswettbewerb Mathema
tik. (Es wurde in den Schuljahren 1991/92 und 92/93 in einem Pluskurs
am Hans-Leinberger-Gymnasium in Landshut verwendet. Teile von ihm
dienten bei der DurchfUhrung eines Proseminars an der Universitat Re
gensburg.) Dieses Buch mochte etwas von dem spielerischen und experi
mentellen Charakter der Zahlentheorie vermitteln, es wird zeigen, wie man
den Computer sinnvoll einsetzen kann- und es soll verdeutlichen, welche
Grenzen diesem Rechenknecht gesetzt sind. Auch der Lehrer und Liebha
ber wird sicher einiges Spannendes in dem Buch entdecken. In der Schule
bleiben ja leider das Rechnen und die Algebra meist im rein Formalen.
Dagegen ist die bescheidenste Geometrieaufgabe oft mit einer kleinen Er-
viii Vorwort
kenntnis verbunden. Auch im Algebraunterricht kannte das so sein. Es ist
ein Unterschied, ob man urn des Rechnens willen rechnet, oder ob man
rechnet, weil man einer aufregenden Entdeckung auf der Spur ist. Es ist
etwas anderes, die binomischen Formeln zu fiben urn des Ubens willen,
oder ob man mit ihrer Hilfe Erkenntnisse fiber die Zahlen sammelt. Wir
hoffen, der Leser wird hier einiges finden.
Wer unser Buch studiert, solI dabei viel Handwerkliches mitbekommen,
auch Anwendungen des doch etwas trockenen Algebrastoffes lernen (viele
der fiber 300 Aufgaben sind Routine, aber so manche sind sehr schwer
und fordern aIle Kraft und Phantasie!). Sie oder er solI aber auch ein
wenig Theorie mitbekommen-denn nur eine gute Theorie zeigt uns, "was
dahintersteckt" .
SchlieBlich - und vielleicht ist dies das wichtigste-mage das Buch allen
zur Erbauung und zum Trost dienen!
Inhaltlich haben wir uns als Ziel gesteckt, einen wichtigen Primzahltest
zu verstehen, wie er von fertigen Computerprogrammen zur Zahlentheorie
verwendet wird. Dabei gehen wir nicht immer geradlinig auf das Ziel zu,
sondern verweilen gerne am Wegrand, ja nehmen auch Umwege auf uns,
wenn wir dort eine bunte Blume zu entdecken meinen. An viel Schanem
mussten wir vorfibereilen und manch Wichtiges (Uberlegungen zur Re
chenzeit etwa) achtlos liegen lassen. Aber der Leser weiB ja, der Mensch
ist endlich (besonders die Autoren) und muss sich mit dem Unvollkom
menen zufriedengeben. Dennoch hoffen wir, der Leser wird sich auf dieser
Reise fiber die vielen schanen Kostbarkeiten von Herzen freuen.
Den einzelnen Abschnitten dieser "Reise" haben wir Zitate aus Son
ja Kowalewskajas Jugenderinnerungen vorausgestellt und wir wfirden uns
sehr freuen, machte unsere Leserin (Leser) am Ende doch mit Sonja aus
rufen: " ... ungeachtet all der Klagen und des Jammers (ob der Fehler der
Verfasser) war die Fahrt doch herrlich"([Kow68]). Wer sich zu sehr fiber
die Fehler argert, mage an das Gebet der heiligen Theresia von Avila
denken: "Herr! Lehre mich die wunderbare Weisheit, dass ich mich irren
kann".
Viel Vergnfigen bei der Arbeit mit diesem Buch wfinschen die Verfasser.
Andreas Bartholome, Josef Rung, Hans Kern
ix
Zur zweiten und dritten Auflage
" ... mathematics, from kindergarten onwards should be built around a
core that is
• interesting at all levels
• capable of unlimited development
• strongly connected to all parts of mathematics
... Number theory meets these requirements, ....... number theory is the
best basis for mathematical education ... " (J. Stillwell: Number Theory as
a Core Mathematical Discipline, in: Proceedings of the ICM, Birkhauser
1995, p.1559 - 1567).
In diesem Sinne wiinschen wir viel Freude bei der Arbeit mit unserm
Buch.
Landshut im Marz 2001, die Autoren.
x
Inhaltsverzeichnis
1 Vollstandige Induktion 1
1.1 Das kleinste Element 1
1.2 Das Prinzip vom Maximum 7
1.3 Das Induktionsprinzip 8
1.4 Zusammenfassung.... 21
2 Euklidischer Algorithmus 24
2.1 Teilen mit Rest . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Zahlen benennen. Stellenwertsysteme 28
2.3 Rechnen mit langen Zahlen .. 36
2.4 Der groBte gemeinsame Teiler . 46
2.5 Das Rechnen mit Kongruenzen 55
2.6 Ein wenig Geheimniskramerei . 62
2.7 Primzahlen ........... 68
2.8 Ein kleiner Spaziergang zum Primzahlsatz 82
2.9 Der chinesische Restsatz 84
2.10 Die Euler-Funktion . . . . . . . . . . . . . 103
3 Der kleine Fermatsche Satz 109
3.1 Kleiner Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.2 Die Ordnung einer Zahl modulo einer Primzahl 116
3.3 Primitivwurzeln.................. 118
3.4 S. Germains Beitrag zum Problem von Fermat 131
3.5 VerschHisseln mit dem Kleinen Fermat 136
3.6 Logarithmieren modulo p. . . . 138
3.7 Einheiten in Primpotenzmoduln 142
4 Die Jagd nach groBen Primzahlen 148
4.1 Der negative Fermat-Test ................ 148
4.2 Pseudoprimzahlen..................... 156
4.3 Pseudoprimzahlen zur Basis a und Carmichael-Zahlen . 163
4.4 Ein probabilistischer Primzahltest . . . . . . . . . . . . 165