Vorlesungen Über Differentialgeometrie und Geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie: II Affine Differentialgeometrie

269 Pages·1923·12.17 MB·German

by  Wilhelm Blaschke (auth.)

DIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN
IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER
BEROCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE
GEMEINSAM MIT
W. BLASCHKE M. BORN C. RUNGE
HAMBURG GOTTINGEN GOTTINGEN
HERAUSGEGEBEN VON
R. COURANT
GOTTINGEN
BAND VII
VORLESUNGEN DBER
DIFFERENTIALGEOMETRIE II
VON
WILHELM BLASCHKE
BERLIN
VERLAG VON JULIUS SPRINGER
1923
VORLESUNGEN UBER
DIFFERENTIAL
GEOMETRIE
UND GEOMETRISCHE GRUNDLAGEN VON
EINSTEINS RELATIVITATSTHEORIE
VON
WILHELM BLASCHKE
PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER
UNIVERSITAT HAMBURG
II
AFFINE DIFFERENTIALGEOMETRIE
BEARBEITET VON
KURT REIDEMEISTER
PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER
UNIVERSlTAT WlEN
ERSTE UND ZWEITE AUFLAGE
MIT 40 TEXTFIGUREN
BERLIN
VERLAG VON JULIUS SPRINGER
192 3
ALLE RECHTE, INSBESONDERE
DAS DER: OBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEK, VORBEHALTEN.
COPYRIGHT 1923 BY JULIUS SPRINGER IN BERLIN.
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1923
ISBN 978-3-642-47125-4 ISBN 978-3-642-47392-0 (eBook)
DOl 10.1007/978-3-642-47392-0
Vorwort.
Wer fahig ist, schafft, wer unfahig ist, lehrt.
B. Shaw, Mensch und Obermensch.
Erstens, zur Abschrift fiir Besprecher.
Wahrend im ersten Bandchen dieses Lehrbuchs - von kleinen
Seitenspriingen abgesehen - ausgetretene und wohlmarkierte Wege
begangen wurden, wird hier der Versuch gewagt, einen neuen Pfad zu
beschreiten. Es werden soIche Eigenschaften der Figuren untersucht,
die gegeniiber Affinitaten, das heiBt Kollineationen mit Erhaltung des
Parallelismus. invariant sind. Dabei handelt es sich in der Hauptsache
um differentialgeometrische Eigenschaften und urn Aufgaben iiber
Extreme, also Beispiele zur Variationsrechnung. Wir hoffen zeigen zu
konnen: Der klassischen Differentialgeometrie weitgehend ahnlich laBt
sich eine affine Differentialgeometrie aufbauen, die sich, was Buntheit
ihrer Hilfsmittel und Ergebnisse angeht, neb en der klassischen sehen
lassen kann und ein weites Feld lohnender Untersuchungen darbietet.
Zweitens, Winke fiir Leser.
Wir haben versucht, die einzelnen Teile dieses aus Hamburger
Vorlesungen entstandenen Buches moglichst unabhangig zu gestalten.
Man kann sich also darauf beschranken, mittels der ausfiihrlichen
Verzeichnisse einzelne Rosinen herauszuholen. Insbesondere ist die
Flachentheorie ohne Kenntnis der vorausgehenden Untersuchungen
iiber Kurven lesbar, und wer das Allgemeine liebt, kann im fiinften
Kapitel gleich mit den Tensoren beginnen. Der Liebhaber des
Speziellen sei insbesondere auf die Aufgaben verwiesen, die jedem
Kapitel beigegeben sind.
Drittens, Ehrenbezeugungen.
Die erste, ehrfurchtsvollste Verbeugung Herrn F. Klein! Von
ihm stammt die auf dem Begriff der stetigen Transformationsgruppen
beruhende geometrische Denkart, die allem Folgenden zugrunde liegt.
Der nachste, freundschaftlichste GruB dem mathematischen Kranz
chen in Prag! 1916 hat Herr G. Pick gemeinsam mit einem von
uns die erst en Untersuchungen zur affinen Flachentheorie veroffent-
VI Vorwort.
licht, spater haben sich A. Winternitz und L. Berwald dem affinen
Verein beigesellt, und insbesondere Herrn Berwald haben wir beim
Zustandekommen dieses Buches viel zu dank en.
Dann der vielseitigste Knicks all den Herren, die mit uns zusammen
die lange Schlange von Arbeiten "Uber affine Geometrie" in den
Leipziger Berichten, der Mathematischen Zeitschrift und den Ham
burger Abhandlungen geschrieben haben! Hoffentlirh sind aIle mit
unsrer zusammenfassenden Darstellung und der Fiille der Zitate
zufrieden.
Bei der Korrektur haben uns insbesondere die Herren E. Artin,
L. Berwald, A. Duschek, G. Thomsen unterstiitzt.
Ganz besondern Dank schulden wir dem Verleger, der die Tat
kraft nicht eingebiiBt hat, wahrend der Vetter des beriihmten fran
-zosischen Geometers auf dem Leichnam des Deutschen Reiches seine
Kriegstanze auffiihrt.
Hamburg und Wien, 1m Vorfriihling 1923.
W. Blaschke, K. Reidemeister.
Inhaltsverzeichnis.
1. KapiteI.
Ebene Kurven im Kleinen.
Seite
§ L Affine Abbildung . 1
§ 2. Recbenregeln . 4
§ 3. Affinabstand • . 6
§ 4. Affinllinge eines Kurvenbogens 8
§ 5. AffinkrUmmung . . . . . . . 12
§ 6. Geometriscbe Deutung der Affinnormalen 15
§ 7. Nattirliche Gleicbung. . . . . . • . . • 16
§ 8. Die Kegelscbnitte als W-Kurven 19
§ 9. Bestimmung der eingliedrigen Gruppen fllicbentreuer Affinitliten . 21
§ 10. W-Kurven • . . • . 24
§ 1 L Schmiegkegelschnitte. . . . . . . 26
§ 12. Die Affinevolute • . . . . . . . . 28
§ 13. Tangentenbild und KrUmmungsbild 29
§ 14. Zusammenhang mit Bewegungsinvarianten 31
§ 15. Aufgaben • . . • • . . . . . . • • . 33
2. Kapitel.
Ebene Kurven im GroBen.
§ 16. Erste Variation der Affinllinge . . . . . . . 37
§ 17. Ein Satz von Liebmann Uber Paare von Kegelschnitten 40
§ 18. Eilinien . . . . . • . . . . . . . . . . . . • • . . 42
§ 19. Die Mindestzahl der sextaktischen Punkte einer Eilinie 43
§ 20. Folgerungen • . • . • • . • • . • . . . . . • . • • 46
§ 21. Ein Satz von Minkowski und Bohmer tiber elliptisch gekrUmmte Eilinien 47
§ 22. Eine Kleinsteigenschaft der Ellipse 49
§ 23. Eine Extremeigenschaft des Dreiecks 54
§ 24. Dreipunktproblem von Sylvester • . . 55
§ 25. Grofiteigenschaft des Dreiecks. • • . 57
§ 26. Eine isoperimetrische Eigenschaft der Ellipse 60
§ 27. Aufgaben und Lehrslitze . • • • • 63
3. Kapitel.
Raumkurven.
§ 28. Vektoren im Raum. • . . • . • • • . 69
§ 29. Der ausgezeichnete Kurven-Parameter • 72
§ 30. Das begleitende Dreibein vierter Ordnung 76
§ 31. Die Kurven mit festen AffinkrUmmungen . 79
VIII Inhaltsverzeichnis.
Seite
§ 32. Kennzeichnende Eigenschaften der Kurven mit fest en Affinkrlimmungen 81
§ 33. Gewindekurven . . . . . . • . . 83
§ 34. Weitere besondere Kurven. . • 85
§ 35. Kurven mit geraden Schwerlinien 88
§ 36. Das Variationsproblem der Affinlange 89
§ 37. Kurven mit gemeinsamer Sehnenmittenflache 94
§ 38. Aufgaben . . . • • ... . . • . • . . 99
4. Kapitel.
Flachentheorie, niederer Teil.
§ 39. Die quadratische Grundform • 102
§ 40. Die Affinnormale . . . . . . 105
§ 41. Kanonische Flachendarstellung 107
§ 42. Schmieg-lY2 • . . • • . . • . 111
§ 43. Geometrische Deutungen der Affinnormalen 114
§ 44. Bestimmung der Flachen mit zentrischen ebenen Schnitten 116
§ 45. Flachen mit ebenen Schattengrenzen . . . . . 119
§ 46. Die kubische Grundform von Fubini und Pick • 121
§ 47. Die Affinoberflache . . . 1~5
§ 48. Aufgaben und Lehrsiitze. . . . . . . 1~8
5. Kapitel.
Allgemeine Flachentheorie.
§ 49. Die Ableitungsgleichungen fiir Asymptotenparameter • . . . . • . 131
§ 50. Ein Hilfssatz flir ein vollstiindig integrierbares System von linear en
total en Differentialg1eichungen. • • . . . 133
§ 51. Bestimmung einer Fliiche durch die Grundformen 137
§ 52. Die Formeln von Lelieuvre •......•..• 139
§ 53. Tensoren . • • . . . . . • . . . . . . . • . • 141
§ 54. Die Differentialgleichung der geodatischen Linien 144
§ 55. Der Parallelismus von Lev~-Civita. . • . . . . 146
§ 56. Christof/els invariante Ableitungen eines Tensors 149
§ 57. Riemanns Kriimmungstensor ......•. 150
§ 58. Die Grundformen der affinen Fliichentheorie 152
§ 59. Die Ableitungsgleichungen . . • 154
§ 60. Die Integrierbarkeitsbedingungen 156
§ 61. Die affinen Hauptkriimmungen 158
§ 62. Das Krlimmungsbild. . . . . . 160
§ 63. Formeltafeln . . . . . . . . . 161
§ 64. Zusammenhang mit Bewegungsinvarianten • 164
§ 65. Affine Differentialgeometrie der Hyperfliichen im R,.+l 167
§ 66. Die Identitat von Padova und Bianchi 171
§ 67. Aufgaben. . . • • • . . . . . • . . 173
6. Kapitel.
Extreme bei Flachen.
§ 68. Affinminimalfliichen . • . . . • • . . . . . • . . . . . . . 175
§ 69. Einige kennzeichnende Eigenschaften der Affinminimalfliichen 180
§ 70. Gegenstiick zum Problem von Bjorling • . • • • • • . • • • 183
§ 71. Flachen, die zugleich gewohnliche und Affinminimalfliichen sind 187
Inhaltsverzeichnis. IX
Seite
§ 72. Eine Kleinsteigenschaft des Ellipsoids . 191
§ 73. Isoperimetrie der Ellipsoide 198
§ 74. Eifllichen mit festem H • . 201
§ 75. Bemerkungen und Aufgaben 204
7. Kapitel.
Besondere Flachen.
§ 76. Eigentliche Affinsphliren . • . . . • 209
§ 77. Eifllichen mit geraden Schwerlinien 212
§ 78. Uneigentliche Affinsphliren. • . . • 216
§ 79. Eine Kennzeichnung der Affinsphliren . 216
§ 80. Windschiefe Fllichen . . . . . • 217
§ 81. Lies ~2 • • • • • • • • • • • • • • 221
§ 82. Uber die Einhiillenden der Lie-'J2' . 224
§ 83. Die Lie-'Jg bei windschiefen Fllichen 226
§ 84. Die 'Jg Lies und der Satz M aschkes • 228
§ 85. Schiebfllichen • . . • . . . . . . • 229
§ 86. Bestimmung der windschiefen Schiebfllichen . 233
§ 87. Die affinsphlirischen Schiebfliichen • . . • . 236
§ 88. Neue Kennzeichnung der eigentlichen Affinsphliren 239
§ 89. W-Fliichen • • . . • . . . . . • . . . . • • • • 240
§ 90. Ein affines Gegenstiick zur Unverbiegbarkeit der Kugel 243
§ 91. Aufgaben und Bemerkungen . . . . . 247
Namen und Stichwortverzeichnis 251
Anmerkungen und Formeln sind innerhalb eines jeden Kapitels durchnumeriert.
1. Kapitel.
Ebene Kurven im Kleinen.
§ 1. Affine Abbildung.
Wir wollen damit beginnen, an einige bekannte Tatsachen der
analytischell Geometrie zu erinnern.
Es wird fUr unsere Zwecke meist niitzlich sein, die Punkte einer
Ebene durch sogenannte Parallelkoordinaten darzustellen. Wir wahlen
in der Ebene zwei sich schneidende Geraden, auf denen wir einen
Durchlaufungssinn als den positiven auszeichnen
und nennen sie die xI- und x2-Achse. Durch
einen beliebigen Punkt der Ebene legen wir die
Parallel en zu den beiden Achsen, ordnen den J
dadurch bestimmten Achsenabschnitten in be
kannter Weise die MaBzahlen Xl und x2 zu und
erreichen so, daB die Punkte der Ebene ein- 0 xt
eindeutig den Paaren ree1ler Zahlen Xl' X2' ihren Fig. 1.
Koordinaten, zugeordnet sind (Fig. 1).
Dabei 5011 es sich im allgemeinen nur um "reelle" Punkte und
Geraden handeln und auch darin wollen wir uns auf den elementaren
Standpunkt stellen, daB wir nur die Punkte und Geraden in Betracht
ziehen, die man unter dem umfassenderen Gesichtspunkt der projektiven
Geometrie als "eigentliche" bezeichnet, zum Unterschied von den "un
eigentlichen" oder unendlich fern en Elementen. - Statt des Zahlen
paares Xl' X2 schreiben wir kiirzer das Vektorsymbol ~ und sprechen
schlechtweg vom Punkt ~.
Es sei eine Zuordnung ~ ---+ ~* zwischen den Punkten einer Ebene
durch ein System von linearen Beziehungen zwischen ihren Koordinaten
* + +
(1) Xl = clO Cll Xl C12 X2'
+ +
*
X2 = C20 C21 Xl C22 X2
gegeben. Dieses Gleichungssystem soIl nach den X auflosbar sein,
d. h. wir setzen seine Determinante
(2)
Blaschke, Differentialgeometrie. II. Bd. 1
2 Ebene Kurven im Kleinen.
als von Null verschieden (=l= 0) voraus. Dann entspricht auch jedem
~* riickwarts ein und nur ein ~. Eine derartige Zuordnung nennt
man nach L. Euler1) und A: F. Mobius'J) eine "affine Abbildung" oder
"affine Transformation", auch kuri eine "Affinitiit".
Die "inverse" Abbildung, die man durch Auflosung der GleichlJ.ngen
(1) gewinnt, hat ~ieder dieselbe Form
Xl = c~o + C~l Xl* + C~'J X'J *,
(3) + * + *.
X2 = C:o C:1 Xl C:2X2
Darin ist
(4)
* _ + * __ +
c20- C10C21 -dC20Cl'l (22 - iClfl '
Die Determinante
(5)
ist von Null verschieden und die inverse Abbildung so mit ebenfalls eine
Affinitat.
Die Punkte ~ einer Geraden g gehen durch eine Affinitat wieder
in die Punkte ~* einer Geraden g* uber. In der Tat: eine Gerade g
wird durch eine lineare Gleichung (gl' g2 nicht beide = 0)
+ +
(6) go glx1 g2X'.! = 0
dargestellt. Fuhrt man hierin durch (3) die neuen Koordinaten x*
ein, so ergibt sich auch fUr diese eine lineare Gleichung, die wegen
der vorausgesetzten Umkehrbarkeit der Abbildung nicht identisch er
fullt sein kann, also wieder eine Gerade als Ort fur ~*.
Aus der Form der Gleichungen (1) folgt ferner sofort, daB die
Affinitaten stetige Abbildungen sind. Das heiBt, ruckt ein Punkt ~ in
einen Punkt ~o hinein, so ruckt auch immer der entsprechende Punkt
~* in den entsprechenden Punkt ~o * hinein.
Mit Hilfe der [Mobiusschen Netze3) kann man zeigen, daB die
beiden letzten Eigenschaften, deren Abhangigkeit oder Unabhangigkeit
dahingestellt sei, die Affinitaten kennzeichnen: Die affinen Abbildungen
sind die einzigen Punkttransformationen (in der Ebene), die ausnahmslos
eineindeutig und stetig sind und Gerade wieder in Gerade iiberfiihren.
Bei Affinitaten bleibt der Parallelismus erhalten. Denn parallele
Geraden einer Ebene sind dadurch gekennzeichnet, daB sie keinen
1) L. Euler: Introductio in analysin infinitorum (1748), Bd. 2, Kap. XVlII,
§ 442.
2) A. F. Mobius: Der baryzentrische Calcul (Leipzig 1827), Abschn. II,
Kap. 3; Werke I, S.177.
3) A.F. Mobius: Der baryzentrische Calcul, Abschn. II, Kap. 6u. 7; Werke I,
S.237.