Vorlesung Theoretische Physik I Mechanik noch unvollständig,Fehler im Skript mir bitte mitteilen!

81 Pages·2006·0.93 MB·German

Vorlesung Theoretische Physik I
Mechanik
noch unvollständig,Fehler im Skript mir bitte
mitteilen!G.I.
26. Januar 2006
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung 3
1.1 Physikalische Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Einordnung der Theoretischen Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Historisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Raum, Zeit, Bezugssystem 5
2.1 Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Kinematik eines Massenpunktes 7
3.1 Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Das begleitende Dreibein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Bahn- und Zentripetalbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4 ebene Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Relativbewegungen 11
5 Newton’sche Axiome 19
5.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.2 Newton’s Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.3 Bemerkungen zu den Axiomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6 Kräfte 21
6.1 Klassifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.2 Konservative Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.3 Zentralkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1
INHALTSVERZEICHNIS 2
7 Erhaltungssätze 25
7.1 Energiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.2 Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7.3 Drehimpulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.4 Schwerpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8 Einfache Anwendungen 30
8.1 Ungedämpfter linearer harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
8.2 Gedämpfter linearer harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8.3 Erzwungene Schwingungen - Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
9 Das Keplerproblem 44
10 Der Duffing-Oszillator 49
11 Prinzipien der Mechanik 55
11.1 Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
11.2 Prinzip der virtuellen Arbeit (Verrückungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
11.3 Hamilton’sches Prinzip (1834) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
11.4 Ableitung der Lagrange’schen-Gleichungen aus dem Hamilton-Prinzip . . . . 60
11.4.1 Lagrange-Gleichungen in kartesischen Koordinaten ohne Nebenbedin-
gungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
11.4.2 Lagrange-Gleichungen 2. Art (mit Nebenbedingungen) . . . . . . . . 60
11.4.3 Lagrange-Gleichungen 2. Art in verallgemeinerten Koordinaten . . . . 61
11.5 Beispiel für die Lagrange-Gleichungen 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
11.6 Hamilton’sche kanonische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
11.7 Beispiel für die Hamilton’schen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
11.8 Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
12 Mechanik des starren Körpers 65
12.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
12.2 Der Trägheitstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
12.3 Der Drehimpuls des starren Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
12.4 Die Bewegungsgleichungen des starren Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
(cid:126)
12.4.1 Kräftefreier Kreisel (M = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
(cid:126)
12.4.2 Schwerer Kreisel (M (cid:54)= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
12.5 Die Erde als Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1 EINFÜHRUNG 3
1 Einführung
1.1 Physikalische Theorien
• Ordnung vieler experimenteller Ergebnisse;
Erklärung durch wenige Größen und Gesetze;
Isolierung des Problems vom Umwesentlichen, dazu Vernachlässigungen nötig;
Aus wenigen ”gesetzten” (in Übereinklang mit der Erfahrung) Gesetzen Aufbau einer
logisch einwandfreien Theorie mit mathematischen Hilfsmitteln
• Induktion und Deduktion;
Voraussagen möglich auch zu bisher unbekannten Sachverhalten
(Bsp.: 1846 Neptun entdeckt, vorausgesagt aus Störung der Uranusbahn. 1930 Pluto
entdeckt, vorausgesagt aus Störung der Neptunbahn.
Voraussage Neutron, Neutrino)
• ”Prüfstein Praxis”:
Gültigkeit der physikalischen Theorie nicht beweisbar, aber Ungültigkeit beweisbar.
(äußerste Asymmetrie: ein einziges Experiment, das die Verletzung des Energiesatzes
zeigt, verwirft den Energiesatz)
physikalische Theorie weniger ”richtig oder falsch”, eher ”brauchbar oder nicht brauch-
bar”
1.2 Einordnung der Theoretischen Mechanik
• ”Theorie vom Gleichgewicht und der Bewegung von Körpern unter dem Einfluss von
Kräften”
• historische Bedeutung
Muster einer Theorie
Techniken übertragbar
Laplace’scher Dämon
Zusammenhang mit anderen Gebieten der theoretischen Physik
• Grenzen der klassischen theoretischen Physik
Grenzfall allgemeinerer Theorien:
spezielle Relativitätstheorie
allgemeine Relativitätstheorie
Quantenmechanik
Teilchen-Welle-Dualismus
1.3 Historisches
Auswahl einiger Höhepunkte:
1 EINFÜHRUNG 4
Altertum:
Archimedes (-287 bis -212):
Hebelgesetz, Auftrieb, Flaschenzug
Mittelalter:
geprägt durch Überlieferungen der Werke des Aristoteles
14. Jahrhundert:
Entwicklung der Statik
Bsp.: Leonardo-da-Vinci-Kräfteparallelogramm
Kepler (1571 - 1630):
Kepler’sche Gesetze, verbindet die Planetenbewegung mit physikalischen Ursachen
(Sonne, Sitz der Kraft, Annahme F ∼ 1)
r
Galilei (1564 - 1642):
Fallgesetz,Trägheitsprinzip,schiefeEbene,schieferWurf,F∼ a,aufPlanetenbewegung
nicht angewendet
Huygens (1629 - 1695):
krummlinige Bewegung (Zentripetalkraft, Fliehkraft), Pendeluhr, Impulssatz
Toricelli (1608 - 1647):
Barometer, Hydro-, Aeromechanik
v. Guericke (1602 - 1686):
Vakuum, Luftpumpe, Barometer
Newton (1643 - 1727):
”philosophiae naturalis principia mathematica” 1686/87:
in sich geschlossene Theorie, systematische Verknüpfung der Begriffe Masse, Kraft,
Impuls, Gravitationsgesetz (F ∼ 1 ) umfasst irdische und Himmelsbewegungen
r2
Euler (1707 - 1783):
Mechanik des starren Körpers, Kreisel, Hydromechanik
D. Bernoulli (1700 - 1782):
Hydromechanik
Maupertuis (1698 - 1759):
1747 Prinzip der kleinsten Wirkung
Lagrange (1736 - 1813):
1788 ”Mechanique Analytique”
Hamilton (1805 - 1865):
2 RAUM, ZEIT, BEZUGSSYSTEM 5
Einstein (1879 - 1955):
1905 spezielle Relativitätstheorie
1916 allgemeine Relativitätstheorie
Heisenberg (1901 - 1975):
1925 Quantenmechanik
Schrödinger (1887 - 1961):
1926 Quantenmechanik, Schrödingergleichung
2 Raum, Zeit, Bezugssystem
2.1 Raum
Vorstellungen vom Raum:
• Inbegriff des Nebeneinanders der Dinge, der örtlichen Relation der Dinge
Bsp.: Aristoteles, Descartes, Huygens
• Raum ist ”leere Schachtel”, existiert unabhängig von den darin befindlichen Körpern
homogen und isotrop
Bsp.: Newtons absoluter Raum
euklidische Geometrie: Winkelsumme im Dreieck gleich 180 Grad
(dl)2 = (dx)2 +(dy)2 +(dz)2
• Raum hat Struktur, abhängig von den enthaltenen Massen,
nichteuklidische Geometrie: Winkelsumme im Dreieck ungleich 180 Grad
(cid:80)3
(dl)2 = g dx dx ,
ij i j
i,j=1
die g beschreiben die Metrik
ij
Bsp.: Einstein, allgemeine Relativitätstheorie
2.2 Zeit
Vorstellungen von der Zeit:
• Newton’s absolute Zeit
• Relativität der Zeit, Relativitätstheorie
eindimensionale Zeit und eindimensionaler Raum: verschiedene Orte bei gleicher Zeit
unmöglich
ideale Mechanik: Zeitrichtung umkehrbar
Bsp.: Mondfinsternis für Vergangenheit berechnen
2 RAUM, ZEIT, BEZUGSSYSTEM 6
2.3 Bezugssystem
• fester Verbund von Messgeräten
• in unterschiedlichen Bezugssystemen i. allg. verschiedene Messergebnisse
Bsp. Labor, fahrender Zug, ”Fixsternsystem”
• Inertialsystem ist ein spezielles Bezugssystem, in dem das Galilei’sche Trägheitsprinzip
gilt.
(Körper in Ruhe oder gleichförmiger geradliniger Bewegung, wenn keine Kraft auf ihn
einwirkt)
3 KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES 7
3 Kinematik eines Massenpunktes
3.1 Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung
z Ort: wird durch den Ortsvektor (cid:126)r beschrieben
(cid:0)r(t) d(cid:0)r
d(cid:126)r
˙
Geschwindigkeit: (cid:126)v(t) = =(cid:126)r
(cid:0)r(t+dt) dt
d2(cid:126)r d(cid:126)v
y Beschleunigung: (cid:126)a(t) =(cid:126)r˙ = =(cid:126)v˙ =
dt2 dt
x
Abb. 3.1 : Ortsvektor
in kartesischen Koordinaten:
(cid:126)r(t) = xe(cid:126) +ye(cid:126) +ze(cid:126)
1 2 3
e(cid:126) : Einheitsvektoren :
i
0 i (cid:54)= j
„Kronecker−Symbol“ e(cid:126) ·e(cid:126) = δ =
i j ij 1 i = j
(cid:126)v(t) = x˙ ·e(cid:126) +y˙ ·e(cid:126) +z˙ ·e(cid:126)
1 2 3
(cid:126)a(t) = x¨·e(cid:126) +y¨·e(cid:126) +z¨·e(cid:126)
1 2 3
3.2 Das begleitende Dreibein
(cid:1) (cid:1)
s(t)
z dr
• T
(cid:1)
r(t)
s(0) • (cid:1)
r(t+dt)
Anpassung des Koordinatensystems
an die Bahnkurve
y
x
Abb. 3.2 : Tangenteneinheitsvektor
Bogenlänge s
(cid:113)
ds = (dx)2 +(dy)2 +(dz)2 = |d(cid:126)r|,
(cid:113)
ds
mit v = → ds = x˙2 +y˙2 +z˙2 dt = vdt
dt
d(cid:126)r
(cid:126)
T =
ds
Tangenteneinheitsvektor
3 KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES 8
(cid:126) (cid:126)
T und dT sind zueinander ⊥
T(cid:1)dT(cid:0)
ds T(cid:0) +dT(cid:0)
(cid:2)
(cid:2) 90°dj |dT(cid:126)| = dϕ|T(cid:126)| = dϕ
(cid:1)r
N(cid:0) ds = ρdϕ = ρ|dT(cid:126)|
r Krümmungs-
•
mittelpunkt
(cid:126)
dT dϕ 1
| | = = = κ Krümmung
ds ρdϕ ρ
Abb. 3.3 : Hauptnormalen-
einheitsvektor ρ = Krümmungsradius
dT(cid:126) dT(cid:126)
N(cid:126) = ds = ρ
|dT(cid:126)| ds
ds
Hauptnormaleneinheitsvektor
Dritter Vektor des begleitenden Dreibeins ist der Binormaleneinheitsvektor:
(cid:126) (cid:126) (cid:126)
B = T ×N
Binormaleneinheitsvektor
(cid:126)
dB 1
τ = | | ist die Windung, ρ = ist der Windungsradius.
τ
ds τ
3.3 Bahn- und Zentripetalbeschleunigung
(ausgedrückt im mitbewegtem Koordinatensystem)
d(cid:126)r d(cid:126)rds
(cid:126)
(cid:126)v = = = vT
dt ds dt
d(cid:126)v d ˙
(cid:126) (cid:126) (cid:126)
(cid:126)a = = (vT) = v˙T +vT
dt dt
(cid:126) (cid:126) (cid:126)
˙ dT dT ds N
(cid:126)
T = = = v
dt ds dt ρ
v2
(cid:126) (cid:126)
⇒(cid:126)a = v˙T + N,
ρ
3 KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES 9
der erste Teil der Summe steht dabei für die Tangentialbeschleunigung, der zweite für die
Zentripetalbeschleunigung.
3 KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES 10
3.4 ebene Polarkoordinaten
(cid:1)
v
y (cid:1)
x = rcosϕ
(cid:1) r
(cid:1) e y = rsinϕ
e r √
(cid:1) y |(cid:126)r| = r = x2 +y2
e
j j ϕ = arccos x = arcsin y
(cid:1) r r
e
x
x
Abb. 3.4 : ebene Polarkoordinaten
e(cid:126) = e(cid:126) cosϕ+e(cid:126) sinϕ
r x y
e(cid:126) = −e(cid:126) sinϕ+e(cid:126) cosϕ
ϕ x y
˙
e(cid:126) = −e(cid:126) sinϕ·ϕ˙ +e(cid:126) cosϕ·ϕ˙ = ϕ˙ ·e(cid:126)
r x y ϕ
˙
e(cid:126) = −e(cid:126) cosϕ·ϕ˙ −e(cid:126) sinϕ·ϕ˙ = −ϕ˙ ·e(cid:126)
ϕ x y r
(cid:126)r = re(cid:126)
r
˙
(cid:126)v = (cid:126)r = r˙e(cid:126) + ϕ˙e(cid:126)
(cid:124)(cid:123)(cid:122)r(cid:125) (cid:124)(cid:123)(cid:122)ϕ(cid:125)
Radialgeschwindigkeit Azimutgeschwindigkeit
˙ ¨ ˙ ˙
(cid:126)a = (cid:126)v =(cid:126)r = r¨e(cid:126) +r˙e(cid:126) +r˙ϕ˙e(cid:126) +rϕ¨e(cid:126) +rϕ˙e(cid:126)
r r ϕ ϕ ϕ
= r¨e(cid:126) +2r˙ϕ˙e(cid:126) +rϕ¨e(cid:126) −rϕ˙2e(cid:126)
r ϕ ϕ r
= (r¨−rϕ˙2)e(cid:126) + (2r˙ϕ˙ +rϕ¨)e(cid:126)
r ϕ
(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
Radialbeschleunigung Azimutalbeschleunigung