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´ INTRODUCCION 1. CONCEPTO. El Análisis Funcional es una rama de las Matemáticas que utiliza el lenguaje de la Geometr´ıa en el estudio de ciertas estructuras topológico-algebraicas y de los métodos que pueden aplicarse a problemas anal´ıticos mediante el conocimiento de estas estructuras. As´ı, muchos problemas en Análisis se refieren no sólo a ob- jetosaislados,comofunciones,medidasuoperadores,sinoaclasesoconjuntosde tales objetos. La mayor´ıa de estas clases (en el caso que nos ocupa) son espacios vectoriales, tanto reales como complejos. Como los procesos de l´ımite juegan su papel en todo problema anal´ıtico -concepto que permite hablar de diferenciación e integración y en general de procesos infinitos, que pueden incluso reducirse a la consideración de ciertos procesos finitos,- no debe sorprender que esos espacios estén dotados de métricas, o al menos de topolog´ıas, para poder establecer relaciones naturales entre los objetos de esos espacios y generalizar conceptos familiares, como el de l´ımite de sucesiones, sucesiones de Cauchy, funciones continuas,etc.Unaformasimple,peroqueseráfundamentaleneldesarrollodeeste curso, consiste en introducir una norma, obteniéndose una estructura de espacio normado. La idea crucial en el estudio del espacio vectorial clásico Rn de las n-tuplas de nu´meros reales es la expresada por R. Descartes y consiste en asociar a cada elemento (x ,...,x ) del espacio un punto en un sistema de coordenadas 1 n ortogonales. De esta forma todo punto representa un vector y tiene sentido geométrico la suma de vectores y el producto por un escalar, los planos tienen 1 una expresión anal´ıtica y la distancia entre dos puntos se puede expresar como p d(x,y) = |x −y |2+···+|x −y |2. La distancia de un punto x al origen 1 1 n n p de coordenadas, llamada norma de x, es kxk= |x |2+···+|x |2. Además, se 1 n dice que dos vectores x e y son ortogonales cuando x y +···+x y = 0; de 1 1 n n aqu´ı se define el producto interior de x e y como hx,yi = x y +···+x y . Es 1 1 n n fácil observar que la norma se puede definir a partir del producto escalar como p kxk = hx,xi y que la distancia se define a partir de la norma mediante la fórmula d(x,y) = kx−yk. Todo lo anterior puede generalizarse sin dificultad al espacio Cn si se define el producto interior hx,yi = x y +···+x y . Es- 1 1 n n te tratamiento algebraico para resolver problemas geométricos ha dominado el pensamiento matemático por más de un siglo. Por otra parte, identificando cada punto o vector x = (x ,...,x ) ∈ Cn con la 1 n función x : {1,...,n} → C definida por x(1) = x ,...,x(n) = x , puede tra- 1 n tarse a Cn como el espacio de las funciones complejas con dominio el conjunto {1,...,n}.Eranatural,llegadosaestepunto,extenderestasideasaotrosobjetos matemáticos con estructura similar. Fueron D. Hilbert y su alumno E. Schmidt quienes consideraron el espacio de las sucesiones o funciones con dominio el con- ∞ junto N, donde tiene sentido el producto interior hx,yi= P x y en el caso de n n n=1 que la serie converja; pero esto ocurre cuando las sucesiones (xn)n∈N e (yn)n∈N tienen cuadrado sumable, es decir si P |x |2 < ∞ y P |y |2 < ∞. Esto n∈N n n∈N n originó el espacio ‘2 de dichas sucesiones, que es la generalización inmediata del espacio eucl´ıdeo Cn. Nuevas extensiones corresponden por ejemplo al caso en que las funciones estén definidas en un intervalo [a,b]: identificando ahora funciones que sean iguales en casi todo punto, se define el producto interior de dos funciones f y g como hf,gi=Rbf(t)g(t)dt.Seobtieneas´ıelespacioL2[a,b]delasfuncionescomplejas a f : [a,b] → C de cuadrado integrable en [a,b] con respecto a la medida de Lebesgue. Sin embargo, al pasar a espacios de dimensión infinita, se presentan diferencias fundamentales en algunas propiedades, como son: Mientras que en el caso finito toda aplicación lineal es continua, en el caso infinito existen aplicaciones lineales que no son continuas. En el caso finito toda sucesión de Cauchy es convergente pero en el caso infinito no siempre es cierto. Donde esta propiedad es cierta tenemos los llamadosespacioscompletos;dondenoescierta,todav´ıapuedecompletarse el espacio para que valga la propiedad. En el caso finito toda bola cerrada es compacta (teorema de Bolzano- 2 Weierstrass) pero en el caso infinito nunca es cierto. Por esta razón es importante el estudio de los operadores compactos que son la generaliza- ción directa de los operadores en espacios de dimensión finita. La necesidad de considerar espacios de dimensión infinita, originada por su re- lación con las teor´ıas clásicas de momentos, de las ecuaciones integrales, etc., permitió dar un gran impulso al desarrollo del Análisis Funcional, impulso que ya no ha cesado al sumarse con la influencia que parte de sus aplicaciones e in- terrelación con otras ramas del Análisis, como la Mecánica Cuántica, Análisis Armónico y Teor´ıa de Aproximación e Interpolación, entre otras. 2. EVOLUCIOŃ. El análisis funcional nace en la resolución de ecuaciones donde las incógnitas son funciones. A las ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales estu- diadas en el siglo XVIII se unen las ecuaciones integrales a partir del siglo XIX; luego las ecuaciones integro-diferenciales y demás ecuaciones funcionales. A lo largo de los siglos XVIII y XIX se daban soluciones formales de ecuaciones diferenciales resolviendo sistemas infinitos de ecuaciones por el método de coe- ficientes indeterminados. Por supuesto en esa época no importaba demasiado la convergencia de las series asociadas a tales problemas. Hacia 1800 comienza el estudio de tres tipos de ecuaciones fundamentales en la F´ısica Matemática: ∂2u ∂2u ∂2u ∆u≡ + + =0 : ecuación de Laplace ∂x2 ∂y2 ∂z2 ∂2u −∆u=0 : ecuación de ondas ∂t2 ∂u −∆u=0 : ecuación del calor ∂t que dan lugar al Análisis Lineal, a la teor´ıa de series e integrales de Fourier, a la teor´ıadeSturm-Liouvilleyafinalesdesigloaparecieronlosprimerosejemplosde espacios de Hilbert y algunos resultados de la teor´ıa espectral de operadores en tales espacios. También hacia el final del siglo XIX se impone la distinción entre diversos tipos de convergencia de sucesiones de funciones lo que conducirá a la idea general de topolog´ıa sobre un conjunto de funciones. 3 A principios del presente siglo se empezó a desarrollar la teor´ıa abstracta gracias a los trabajos de muchos investigadores, entre los que podemos citar a V. Vol- terra, I. Fredholm, D. Hilbert, M. Fréchet, F. y M. Riesz, E. Schmidt, H. Weyl, H. Hahn, T. Carleman, J. von Neumann, E. Hellinger, S. Banach, M. Stone, etc., quienes estudiaron las ecuaciones integrales, problemas de valores propios, descomposiciones espectrales de operadores lineales, etc., y fueron descubrien- do el correcto encuadre conceptual de los resultados. Ya no se trata de reducir cuestiones referentes a espacios infinito-dimensionales a la geometr´ıa del espacio finito-dimensional sino de desarrollar la geometr´ıa de los objetos a analizar desde un punto de vista intr´ınseco, sin estar sujeto a la elección de coordenadas ni a la adopción de bases espec´ıficas, y usando la geometr´ıa eucl´ıdea sólo como analog´ıa. Los avances experimentados durante esa época fueron presentados de forma sis- temática en los famosos libros “Théorie des Opérations Linéaires”, de Banach y “Linear Transformations in Hilbert Spaces”de Stone, ambos publicados en 1932. Ambostratados ejercieronunagraninfluencia posteriorytodav´ıasirvendebase para un tratamiento básico del Análisis Funcional y la Teor´ıa de Operadores. La axiomática de los espacios de Hilbert fue dada por von Neumann en un art´ıculo de 1930, fundamental en la teor´ıa de operadores no acotados pues establece para ellos el teorema espectral, generalizando lo hecho por Hilbert veinte anõs antes paraoperadoresacotados.ElinterésdevonNeumannenlateor´ıadeoperadores, que arrancó de la Mecánica Cuántica, le condujo a un estudio sistemático de las álgebras de operadores; estudio profundizado por I. Gelfand (1941) al descubrir el importante papel que representan los ideales maximales de un álgebra conmu- tativayconstruiras´ılahoyllamadatransformadadeGelfand.Laaxiomatización y discusión de estos espacios es la que permite un tratamiento unificado de los elementos de análisis, geometr´ıa y matemática aplicada ya citados además de la teor´ıa de operadores, series de Fourier abstractas, geometr´ıa de subespacios, topolog´ıa débil, fuerte y uniforme, teor´ıa de espectros y muchos otros. A partir de los anõs 40 se desplazó el interés en los espacios normados por el de los espacios localmente convexos motivado por la construcción de L. Schwartz de la teor´ıa de distribuciones, la cual ha resultado tener muchas aplicaciones, en particular a las ecuaciones en derivadas parciales. El desarrollo de la teor´ıa de distribuciones también ha originado la aparición de la teor´ıa de operadores pseudo-diferenciales y el Análisis sobre variedades diferenciales. 4 3. CONTENIDO DEL CURSO. Conrespectoalordendepresentacióndelostemas,elcursosedesarrollapartien- do de los conceptos generales de espacio métrico y de aplicación entre espacios métricos para, consecutivamente, ir anãdiendo restricciones que motiven por un lado la idea de norma y de producto escalar definidas en clases adecuadas de espacios métricos, y por otro la introducción de los operadores lineales que actuén sobre dichos espacios. Conesteesquemaseconsigue,enprimerlugar,presentaralprincipiolanotación y terminolog´ıa a seguir a lo largo del curso y conseguir una paulatina toma de contactoconlosrecursost´ıpicosenlosqueseincidiráposteriormente.Ensegundo lugar, se aprovechan las propiedades y ejemplos más generales y se refinan para proporcionar modelos simples y ejemplos concretos. De particular interés son los espacios clásicos de sucesiones y de funciones los cuales, introducidos desde un principio, permitirán comprobar sobre ellos las propiedades que caracterizarán losnuevosespaciosqueseirándefiniendoalolargodelcurso.Elc´ırculosecierra cuando se muestra que los espacios de Hilbert separables son la generalización inmediatadelosespacioseucl´ıdeosyquelosoperadoreslinealesyacotadosjuegan elpapeldematricesasociadasahomomorfismos(especialmenteilustrativoeneste aspecto es el texto de I. Gohberg y S. Goldberg [GG]). Elesquemadelapáginasiguientemuestraladependenciaentreloscap´ıtulosque componen el programa propuesto. Al final de cada cap´ıtulo se presenta una colección de problemas resueltos en su totalidad, completando as´ı la información básica desarrollada a lo largo del cap´ıtulo.Seproponentambiénunaseriedetemascomplementariosconreferencia a los textos en donde pueden consultarse. Una extensa, aunque no exhaustiva, lista de publicaciones relativas al tema se proporcionaenlabibliograf´ıafinal,listaqueincluyetantotratadosgenerales,co- motextosintroductorios,as´ıcomotextosqueaportaninformaciónsuplementaria a los objetivos de este curso básico. 5 INTERDEPENDENCIA LOGICA 6 I. NOCIONES GENERALES SOBRE ESPACIOS ´ METRICOS En este primer cap´ıtulo se recuerdan los conceptos topológi- cos básicos y se adopta la terminolog´ıa y notación que se mane- jarán a lo largo del curso; se introducen además los ejemplos que servirán de modelo para las aplicaciones esenciales de la teor´ıa a desarrollar. SECCIONES 1. Definiciones previas y primeros ejemplos. 2. Nociones topológicas en espacios métricos. 3. Aplicaciones entre espacios métricos. 4. Completitud en espacios métricos. 5. Compacidad en espacios métricos. 6. Ejercicios. 1 1. DEFINICIONES PREVIAS Y PRIMEROS EJEMPLOS. La estructura más importante del análisis funcional es el espacio vectorial. Un conjunto X 6= ∅ se llama espacio vectorial (y sus elementos se llamarán vectores) respecto al cuerpo E (a cuyos elementos llamaremos escalares) si en X se definen dos operaciones, suma y multiplicación por escalar, con las propiedades algebraicas siguientes: (a) X es un grupo abeliano respecto a la suma, es decir: a.1) ∀x ∈ X : x+y = y+x. a.2) ∀x,y,z ∈ X : (x+y)+z = x+(y+z). a.3) Existe un uńico 0 ∈ X tal que x + 0 = 0 + x, ∀x ∈ X (no confundirlo con el neutro de E). a.4) ∀x ∈ X, ∃−x ∈ X : x+(−x) = 0. (b) La multiplicación por escalar verifica: b.1) ∀x ∈ X, ∀α,β ∈ E : α(β·x) = (αβ)·x. b.2) ∀x ∈ X, 1·x = x (1 es la identidad en E). b.3) ∀x ∈ X, ∀α,β ∈ E : (α+β)·x = α·x+β·x. b.4) ∀x,y ∈ X, ∀α ∈ E : α·(x+y) = α·x+α·y. Un espacio vectorial real es aquél donde E = R y un espacio vectorial com- plejo es aquél donde E = C. Siempre que no se especifique el cuerpo E, entenderemos que se trata de R ó C. Notación: Si X es un espacio vectorial, A ⊂ X, B ⊂ X, λ ∈ E, escribire- mos A+B = {x+y : x ∈ A,y ∈ B}, A−B = {x−y : x ∈ A,y ∈ B}, A\B = {x : x ∈ A,x 6∈ B} (en particular Ac = X \A), λA = {λx : x ∈ A} (obsérvese que 2A 6= A+A), A×B = {(x,y) : x ∈ A,y ∈ B}. Una familia finita de vectores {x ,...,x } ⊂ X se dice linealmente inde- 1 n pendiente cuando α x +···+α x = 0 =⇒ α = ··· = α = 0. 1 1 n n 1 n 2 Análogamente, una colección arbitraria de vectores es linealmente independiente si cualquier subconjunto finito de ella es linealmente independiente. Se dice que un conjunto A ⊂ X linealmente independiente es base de Ha- mel de X si todo vector x ∈ X puede expresarse como combinación lineal de elementos de A, es decir si existen escalares α ,...,α ∈ E y vectores 1 n x ,...,x ∈ A tales que x = α x +···+α x . Entenderemos siempre las 1 n 1 1 n n combinaciones lineales finitas, aunque haya un nu´mero infinito de elementos en la base. Se puede probar (como una aplicación del lema de Zorn) que todo espacio vectorial posee una base de Hamel. Además todas las bases tienen el mismo nu´mero de elementos, llamado dimensión (algebraica) del espacio. Un conjunto Y ⊂ X es subespacio de X si Y es también espacio vectorial (con las mismas operaciones, por supuesto). Esto ocurre si y sólo si 0 ∈ Y y αY +βY ⊂ Y, ∀α,β ∈ E. Dada una familia U ⊂ X, el menor subespacio de X que contiene a U se llama subespacio generado por U, y lo denotaremos por hUi. Se dice que X es suma directa de los subconjuntos M ,...,M , lo cual 1 n denotaremos por X = M ⊕···⊕M , si 1 n X X = M +···+M y M ∩ M = {0}, i = 1,...,n. 1 n i j j6=i Si esto es cierto, todo vector en X se puede escribir en forma uńica como sumax = m +···+m conm ∈ M , i = 1,...n.Adiferenciadeloanterior, 1 n i i se define la suma directa externa de dos espacios X e Y al producto X×Y con las operaciones usuales. En un conjunto arbitrario (no necesariamente con estructura algebraica) se puede definir el concepto de métrica. Si además posee estructura de espacio vectorial, ciertas métricas darán lugar a la noción de norma, como veremos en el cap´ıtulo II. 1.1.- Definición. Un espacio métrico es un par (X,d), donde X es un conjunto arbitrario no vac´ıo y d : X × X → R una aplicación, llamada distancia o métrica, tal que, para cualesquiera x,y,z ∈ X, se verifica: (1) d(x,y) ≥ 0. (2) d(x,y) = 0 ⇐⇒ x = y. (3) d(x,y) = d(y,x). (4) d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z). De la definición son evidentes las siguientes propiedades: 3