Übungsbuch zur Finanzmathematik: Aufgaben, Testklausuren und Lösungen

407 Pages·2008·6.418 MB·German

by  Prof. Dr. Jürgen Tietze (auth.)

Jürgen Tietze
Übungsbuch zur
Finanzmathematik
Aus dem Programm
Mathematik
Analysis, Band 1 und 2
von E. Behrends
Analysis 1 und 2
von O. Forster
Einführung in die Analysis
von Th. Sonar
Lineare Algebra
von A. Beutelspacher
LineareAlgebra
von G. Fischer
Numerische Mathematik für Anfänger
von G. Opfer
Vom Richtigen und Falschen in der elementaren Algebra
von J. Tietze
Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik
von J. Tietze
Übungsbuchzur angewandten Wirtschaftsmathematik
von J. Tietze
Einführung in die Finanzmathematik
von J. Tietze
Übungsbuch zur Finanzmathematik
von J. Tietze
Finanzmathematik für Einsteiger
von M. Adelmeyer und E. Warmuth
Mathematik zum Studienbeginn
von A.Kemnitz
vieweg
Jürgen Tietze
Übungsbuch zur
Finanzmathematik
Aufgaben, Testklausuren und Lösungen
5., aktualisierte Auflage
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Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der
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über <http://dnb.d-nb.de> abrufbar.
Prof. Dr. Jürgen Tietze
Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Fachhochschule Aachen
Eupener Str. 70
52066 Aachen
[email protected]
1. Auflage 2000
2.,erweiterte Auflage 2002
3.,verbesserte Auflage 2004
4.,verbesserte und erweiterte Auflage 2005
5., aktualisierte Auflage 2008
Alle Rechte vorbehalten
© Friedr.Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008
Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Susanne Jahnel
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Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-0442-6
Vorwort zur 5. Auflage
Das vorliegende finanzmathematische hcubsgnub121 dient zweierlei Zielsetzung: Zum
einen soll es (als eigenstandiges Obungsbuch) zur Festigung und Vertiefung des -if
nanzmathematischen Basiswissens und -kOnnens beitragen, zum anderen aber auch
ni( Erg6nzung meines Lehrbuches i zur Finanzmathematik) die Examensvorbereimn-
gen far HOrerinnen und H6rer der Grundvorlesungen in Wirtschafts- und Finanzma-
thematik sowie Investitionen unters~tzen.
Zur Erreichung insbesondere des letztgenannten Ziels enthtilt die gnulmmassgnub121
neben thematisch angeordnetem lairetamsgnub121 zusgtzlich zahlreiche Testklausuren.
eiS sind aus Originalklausuren (Dauer: jeweils 2 Zeitstunden) entstanden und sollen
dem Smdierenden neben Informationen fiber Umfang und Schwierigkeitsgrad die -gOM
lichkeit bieten, im Selbstitnensetr halb begrenzter Zeit seine Kennmisse und Fertigkei-
ten in den klassischen Gebieten der Finanzmathematik zu iiberprfifen (etwa durch
Simulation der Klausursituation zu Hause oder ni einer Lerngruppe).
Viele Aufgaben ari( thematischen Ubungssammlung) tier Teil stammen aus dem Lehr-
buch ,,Einfahrung in die Finanzmathematik" .1 Der L6sungsteil dieses sehcubsgnub121
dient daherg leichzeitig als LOsungsbuch far die im Lehrbuch enthaltenen -fuasgnub121
gaben (und auch /st LOsungsbuch als fftr frfthere Auflagen des Lehrbuches geeignet).
Die hiermit vorliegende .5 Auflage des sehcubsgnub121 wurde wieder sorgfaltig korri-
giert und in vielen Details verbessert und akmalisiert.
Die klassische Finanzmathematik ist- abgesehen von einigen Randproblemen sowie
der notwendigen Beherrschung elementarmathematischen Kalkiils - letzten Endes die
Lehre eines einzigen wesentlichen Grundprinzips, dessen Kennmis und Anwendung
hinreichend far eine erfolgreiche Bewtiltigung der Finanzmathematik ist.
Dennoch gibt es untneirc ht wenigen Smdierenden zumindest anfangs offenbar Schwie-
rigkeiten, dieses einzige Grundprinzip der (klassischen) Finanzmathematik (n~mlich
sala auf dem allgemeinen Verzinsungsvorgang beruhende Aquivalenzprinzip) in sol-
chen F~llen anzuwenden, bei denen die gedankenlose Anwendung formelhafter Rezep-
mren durch eine verbale, auf reale Vorggnge sich beziehende ,,verschleiernde" Pro-
blemformulierung zungchst unm6glich erscheint.
1 Lehrbuch: gnurhiffniE ni eid ,kitamehtamznaniF geweiV ,galreV ,giewhcsnuarB ,nedabseiW
.8 egalfuA 6002
VI oV owr rt
Erfahrungsgem~$ liegen die Hauptprobleme vieler Studierender nicht so sehrin der -eB
herrschung des formal-mathematischen Kalkfils, sondern vielmehr in der passenden
Modellkonstruktion und sicheren Anwendung des fmanzmathematischen Grundprin-
zips aufunterschiedliche odaeurc h nut unterschiedlich dargestellte Realprobleme. Da-
her bietet diese 15bungssammlung vielfach gleichartige Problemstellungen lediglich
unterschiedlich aufl~ereitet oder numerisch ver~ndert - eben um auch ffir Bearbeiter,
die noch nicht den finanzmathematischen ,,Durchblick" besitzen, genfigend lJbungs-
material bereitzustellen nach dem Erfahrungssatz, demzufolge eine Erkennmis auch
dadurch gewonnen werden kann, dass ein und diesselbe Sache mehrfach und m6g-
lichst von verschiedenen Seiten aus betrachtet wird.
Aus demselben Grund wurden die Problemstellungen innerhalb der einzelnen Kapitel
nicht immer streng nach sachlichen Gesichtspunkten geordnet. Eine derartige Aufga-
benanordnung k6nnte schon allein aufgrund der logischen Ablauffolge L6sungsansfit-
ze liefern, die nicht mit dem gestellten Problem zusammenh~ngen und die dem Bear-
beiter m6glicherweise nviocrhhta ndene Eigenerkennmisse vortfiuschen.
Zum Gebrauch des lJbungsbuches:
Die Aufgaben sind kapitelweise durchnummeriert. Zusfitzlich zujeder Aufgabennum-
met ist in kursiver Schrift die entsprechende Aufgabennummer aus dem Lehrbuch -na
gegeben. oS handelt se sich etwa bei,,Aufgabe 5.35 (5.3.56)"um die laufende Aufgabe
53 aus Kapitel 5 dieses lJbungsbuches und zugleich um die entsprechende Aufgabe
5.3.56 des Finanzmathematik-Lehrbuches. Da die Reihenfolgen der Aufgaben von
lJbungs- unLde hrbuch fibereinstimmen, das dfirfte Auffmden der entsprechendenAuf-
gaben/L6sungen des Lehrbuches wenig problematisch sein.
Ein * an einer Aufgabe weist aufeinen etwas erh~hten Schwierigkeitsgrad hin.
Ein ~ an einer numerischen L6sung bedeutet, dass ein in der Aufgabe geforderter
Vorteilhaftigkeitsvergleich zugunsten der ,,lachenden" Alternative ausfallt.
Abkfirzungen in eckigen Klammern, z.B. [Alt2], beziehen sich auf das Literamrver-
zeichnis am Schluss des Buches.
Gelegentlich wird in diesem lJbungsbuch aufentsprechende Passagen (Formeln, Deft-
nitionen, Regeln, Tabellen, Beispiele, Abbildungen, Bemerkungen) des Lehrbuches
verwiesen, gekennzeichnet dutch (z.B.) LB (7.4.7) oderLB Tab. 8.8.19 usw.
Inhaltliche Erweiterungen seit der .5 Auflage des Lehrbuches (und .2 Auflage dieses
Ubungsbuches) haben zu Umstrukturierungen (und damit Umnummerierungen) -eg
.trh~if Falls daher dieses lJbungsbuch als L6sungsbuch r~if die Aufgaben der .4 (oder
einer noch fr~heren) Auflage des Lehrbuchs [Tie3] dienen soll, sind folgende )knde-
rungen in der Aufgaben-Nummerierung des akmellen Lehrbuchesz u beachten:
- Die bisherigenAufg. 5.2.74 5.2.93 - sind nunmehr die Aufg. 9.3.22- 9.3.41.
- DiebisherigenAufg. 5.5.13-5.5.17 sindnunmehrdieAufg. 6.1.13-6.1.17.
- Die bisherigenAufg. 5.5.31 - 5.5.37 sind nunmehr die Aufg. 6.3.8-6.3.14.
oV t r rwo VII
In einigen wenigen Fallen weicht die Aufgabenstellung einer Aufgabe dieses Obungs-
buches vonder entsprechenden Aufgabe des Lehrbuches geringffigig .ba Vor einer
zeitraubenden Fehlersuche sollten daher zuvor die Aufgabentexte verglichen werden.
Als ,,LOsungen" sind in buntem Wechsel ausNhrliche Herleitungen, knapp gefasste
L6sungshinweise oder auch nut die numerischen Endresultate aufgeffihrt.
Nahezu s~mtliche Effektivzinsermittlungen (insbesondere in Kap. 5 und 6 sowie in
den Testklausuren) erfordern numerische Iterationsverfahren (etwa die Regula falsi)
zur L6sung der entsprechenden, teils recht komplexen Aquivalenzgleichungen. Ich
habe die angegebenen LOsungen stets auf mehr als sechs Nachkommastellen genau
ermittelt und anschlieBend aufvier bis zwei Nachkommastellen gerundet.
Numerische Resultate wurden mit einem herkOmmlichen elektronischen Taschenrech-
ner (Genauigkeit: 9-10 Nachkommastellen) ermittelt. Dabei wurdenin allerRegel Zwi-
schenergebnisse mit voller Stellenzahl gespeichert und ungerundet weiterverarbeitet.
Lediglich das Endresultat wurde auf i.a. zwei bis vier Nachkommastellen gerundet.
Diese Vorgehensweise (sowie die Verwendung ungerundeter Effektivzinssi~tze) kann
dazu ffihren, dass innerhalb von Tilgungsplgnen oder Vergleichskontostaffelrechnun-
gen gelegentlich geringffigige Abweichungen (in der letzten Dezimale) durch Runde-
fehlerausgleich auftreten. Dies ist der Preis ffr exakt,,aufgehende"Vergleichskonten.
Je nach Baujahr und Genauigkeit der vom Leser verwendeten Rechengergte sowie
abhgngig von der Anzahl bzw. Komplexitgt der Rechenschritte oder von der Rundung
von Zwischenresultaten k6nnenb eim Bearbeiten leichte Abweichungen yon den hier
angeffhrten numerischen Endergebnissen auftreten.
Sollten eiS grObere Ungenauigkeiten, Ungereimtheiten oder schlicht den einen oder
anderen Fehler entdecken, so w~rde ich mich sehr fiber Ihre diesbezfgliche Rfckmel-
dufnrge uen, z.B. via E-mail: tietze@fh-aachen, de - ich werdejeder/jedem von Ihnen
antworten und in allen Fallen auch um eine schnelle Antwort bemfht sein.
Zum Schluss gebfhrt mein Dank dem Vieweg-Verlag und hier besondere Frau Ulrike
Schmickler-Hirzebruch ffir ihre stets hilfreiche Unters~tzung in den nun schon vielen
Jahren erfolgreicher Zusammenarbeit.
Aachen, im Januar 2008 Jftrgen Tietze
IX
Inhalt
Vorwort .................................. V
Abkiirzungen, Variablennamen ...................... X
I II
Aufgaben L6sungen
1 191
Voraussetzungen und Hilfsmittel ................ 3 193
1.1 Prozentrechnung ...................... 3 193
1.2 Lineare Verzinsung und)kquivalenzprinzip ........ 11 195
1.3 Diskontrechnung ...................... 18 203
Exponentielle Verzinsung (Zinseszinsrechnung) ........ 23 207
2.1 Reine Zinseszinsrechnung und)kquivalenzprinzip .... 23 207
2.2 Gemischte, unterj/~hrige, stetige Verzinsung ....... 27 212
2.3 Abschreibungen ...................... 33 217
2.4 Inflation und Verzinsung .................. 8 3 220
Rentenrechnung ......................... 41 223
3.1 Standardprobleme (Rentenperiode = Zinsperiode) .... 41 223
3.2 Auseinanderfallen von Renten- und Zinsperiode ..... 54 234
3.3 Renten mit vergnderlichen Raten ............. 62 242
4 Tilgungsrechnung ........................ 69 249
4.1 Standardprobleme der Tilgungsrechnung ......... 69 249
4.2 Tilgungsrechnung bei unterj~hrigen Zahlungen ..... 77 261
5 Die Ermittlung des Effektivzinssatzes
in der Finanzmathematik .................... 81 277
5.1 Grundlagen, Standardprobleme .............. 81 277
5.2 Effektivzinsermittlung bei unterj~hrigen Leistungen... 90 290
6 Kurs- und Renditeberechnung
bei festverzinslichen Wertpapieren ............... 101 323
7 Aspekte der Risikoanalyse - das Duration-Konzept ...... 107 331
8 Derivative Finanzinsmmaente - Futures und Optionen .... 111 337
9 Investitionen ........................... 119 355
10 Testklausuren 1-18 ....................... 131 365
Formelanhang ............................. 401
Literaturhinweise ........................... 409
X
Abkiirzungen, Variablennamen
entspricht DM Deutsche Mark
%,%o Prozent, Promille 360TM 360-Tage-Methode
1 +i Zuwachsfaktor $ Dollar
- i 1 Abnahmefaktor
360TM 360-Tage-Methode e Eulersche Zahl (~ ,2 71828183)
96/7/1 Kreditkonditionen (Bsp.) :~ Euro
elf. effektiv
A (~iquivaleme) Annuit~it EG Europfiische Gemeinschaft )ILE(
A+,A - Aktie long, Aktie short t e Investitionseinzahlung zum Ende
a.H. aufHundert der Periode t
Abb. Abbildung etc. et cetera (und so weiter)
AG Aktiengesellschaft, Amtsgericht IVE Endverm6gen bei Investition
t a Investitionsauszahlung zum EVu Endverm6gen bei Unteflassung
Ende der Periode t evtl. eventuell
t A Annuit~it am Ende der Periode t
G Gewinn
BEP Break Even Point Gc + Gewinn der Long-Call-Position
Bsp. Beispiel (analog: Gc-, ,+pG ,-pG ,+AG )-AG
bzw. beziehungsweise gem. gem~
ggf. gegebenenfalls
Dynamik-Faktor 1=( idv,); + Quo- GL Gegenleistung
tient zweier aufeinanderTolgender GmbH Gesellschaft mit beschr~inkter
Glieder einer geometrischen Folge Haftung
C+, C-- long call, short call
oC (Emissions-) Kurs eines fest- H.J. Halbjahr
verzinslichen Wertpapiers
C0 Kapitalwert einer Investition i Prozentsatz, Zinssatz
Co(i) Kapitalwertfunktion i* nomineller Zinssatz eines fest-
ca. circa, ungef~r verzinslichen Wertpapiers
c.p. ceteris paribus 1.a. im allgemeinen
Cn Rticknahmekurs eines festverzins- .H.1 im Hundert
lichen Wertpapiers uqifl fiquivalemer Zinssatz
Ct aktueller fmanzmathematischer ld Tageszinssatz
Kurs (Preis) eines Wertpapiers nya.~ Steigerungsrate, Dynamikrate
Ct* aktueller BOrsenkurs eines fest- left Effektivzinssatz
verzinslichen Wel~apiers H1 Halbjahreszinssatz
lfnil Inflationsrate
d Differenz zweier aufeinander nokl konformer Zinssatz
folgender Glieder einer arithme- Mi Monatszinssatz
tischen Folge incl. inklusive (einschlieNich)
D Duration moni nomineller Zinssatz
oCd (kleine) Kursfinderung lnsg. insgesamt
d.h. das heiBt !p Periodenzinssatz
di (kleine) Zinssatz~inderung Q1 Quartalszinssatz
A bkftrzungen, Variablennamen XI
ireal Realzinssatz o.a. oben angefiihrt, oben angegeben
ire1 relativer Zinssatz O.~.. oder )se(hcilnh.~
s i stetiger Zinssatz; oHG offene Handelsgesellschaft
Zinssatz nach Steuern
ISMA International Securities Market P Prozentfug, Zinsfug
Association ,+p p- long put, short put
T i Tilgungssatz p.a. pro anno (pro Jahr)
,cP PP Callwert, Putwert
.J Jahr p.d. pro Tag
p.H. pro Halbjahr
K Grundwert, Bezugsgr66e p.M. pro Monat
K Convexity, Konvexit/it p.Q. pro Quartal
oK (Anfangs-)Kapital, Barwert, p* nomineller ZinsfuB eines fest-
Kreditsumme verzinslichen Wel~apiers
K; o Barwert einer ewigen Rente PAngV Preisangabenverordnung
Kap. Kapitel Per. Periode
KG Kommanditge sellschaft
Km Kontostand, Restschuld q Aufzinsungsfaktor (= 1+ O
q-n
nK Endkapital, Endwert Abzinsungsfaktor
~q
n~K Endkapital nach Steuern Aufzinsungsfaktor
kon. konform .uQ Quartal
tK Zeitwert einer Zahlung(sreihe)
Restschuld am Ende der Periode t interner Zinssatz einer Investition;
..... Kt-1 Restschuld zu Beginn .d Per. t (steti ge r) Marktzinssatz
y,xK Realwert eines im Jahr verfiig- x r egirhi~jretnu Rate, z.B. Monatsrate
baren Kapitals aufPreisniveau- R Rate(nh6he)
basis des Jahres y RI Menge der reellen Zahlen
R* etnelaviuqi~ Ersatzrate,
1 Liter Kontoendstand
L Leistung oR Barwert einer (nachschiissigen)
LB Lehrbuch ,,Einfiihrung in die Rente
Finanzmathematik" (siehe Vorwor 0 Ro Barwert einer ewigen Rente
lfd. Nr. laufende Nummer rel. relativ
log, In Logarithmus an Gesamtwert einer Rente am Tag
der letzten (n-ten) Rate, Endwert
M~ Monat einer (nachsschiissigen) Rente
m.a.W. mit anderen Worten Einzahlungst~berschuss (- et-at)
MD modifizierte Duration zum Ende der Periode t
ME Mengeneinheit
min Minute S Skontosatz
Mio. Millionen ( 01 )6 S stock price, (aktueller) Aktienkurs
Mon. Monat .meS Semester, Halbjahr
Mrd. Milliarden (10 )9 S.O. siehe oben
MWSt. Mehrwertsteuer S.U. siehe unten
sog. sogenannte
n Laufzeit, Terminzahl 7( ti~tilitaloV
)d(N Funktionswert der Standard-
Normalverteilung Laufzeit in Tagen, laufende Num-
nom. nominell mer einer (Tilgungs-) Periode