Übungsbuch zur angewandten Wirtschaftsmathematik: Aufgaben, Testklausuren und Lösungen PDF
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Jürgen Tietze Übungsbuch zur angewandten Wirtschaftsmathematik Aus dem Programm---------_____ Mathematik Analysis, Band 1 von E. Behrends Analysis 1 und 2 von O. Forster Einführung in die Analysis von Th. Sonar Lineare Algebra von A. Beutelspacher Lineare Algebra von G. Fischer Numerische Mathematik für Anfänger von G. Opfer Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik von J. Tietze Übungsbuch zur angewandten Wirtschaftsmathematik von J. Tietze Einführung in die Finanzmathematik von J. Tietze Übungsbuch zur Finanzmathematik von J. Tietze Finanzmathematik für Einsteiger von M. Adelmeyer und E. Warmuth Mathematik zum Studienbeginn von A. Kemnitz vieweg ________________ _" Jürgen Tietze •• Ubungsbuch zur angewandten Wirtschafts mathematik Aufgaben, Testklausuren und Lösungen 4., korrigierte Auflage ~ vleweg Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar. Prof. Dr. Jürgen Tietze Fachbereich Wirtschaftswissenschaften Fachhochschule Aachen Eupener Str. 70 52066 Aachen [email protected] 1. Auflage April 2000 2., erweiterte Auflage Juni 2001 3., korrigierte Auflage Oktober 2002 4., korrigierte Auflage November 2003 Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn VerlagjGWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2003 Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich ge schützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheber rechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzun gen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier ISBN 978-3-528-33146-7 ISBN 978-3-322-94268-5 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-94268-5 v Vorwort zur 4.Auflage Das vorliegende wirtschaftsmathematische ÜbWlgsbuch dient zweierlei Zielsetzung: Zum einen soll es (als eigenständiges Übungsbuch) zur FestigWlg Wld Vertiefung des wirtschaftsmathematischen Basiswissens Wld -könnens beitragen, zum anderen aber auch (als Ergänzung meines Lehrbuches 1 zur angewandten Wirtschajismathematik) die Examensvorbereitilllgen für Hörer Wld Hörerinnen der GrundvorlesWlgen in Wirt schaftsmathematik Wlterstützen. Die Aufgaben (erster Teil der Übungssammlung) stammen im wesentlichen aus dem Lehrbuch Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik. Der zweite Teil des ÜbWlgsbuches (Lösungen) dient daher gleichzeitig als LösWlgsbuch für die Aufgaben des Lehrbuches. Die hiermit in 4. Auflage vorliegende ÜbWlgSSammlWlg wurde sorgfaItig durchge sehen Wld verbessert. Sie enthält außer den thematisch angeordneten ÜbWlgen eine Reihe von Test-oder ÜbWlgsklausuren. Sämtliche Testklausuren sind aus zweistündi gen Original-Klausuren entstanden Wld sollen dem Studierenden neben Informationen über Umfang Wld Schwierigkeitsgrad eine Möglichkeit bieten, im Selbsttest innerhalb begrenzter Zeit seine Kenntnisse Wld Fertigkeiten im Bereich Wirtschaftsmathematik zu überprüfen (etwa durch Simulation der Klausursituation zu Hause oder in einer Lerngruppe). BemerkWlgen zu den AnfordefWlgen bei der Bearbeitilllg der Klausur aufgaben fmden sich vor dem Klausurenteil Wld vor den LösWlgshinweisen zu den Testklausuren. Die Aufgaben sind kapitelweise durchnummeriert. Neben der Aufgabennummer ist kursiv die entsprechende Aufgabennummer aus dem Lehrbuch (sofern die Aufgabe dort vorhanden ist) angegeben. So handelt es sich etwa bei "Aufgabe 6.44 (6.3.70 ii)" um die laufende Aufgabe 44 aus Kapitel 6 dieses ÜbWlgsbuches Wld zugleich um die entsprechende Aufgabe 6.3.70 ii) des Lehrbuches. Da die Reihenfolgen der Aufgaben von ÜbWlgS-Wld Lehrbuch übereinstimmen, dürfte das Auffmden der Aufgaben/Lö * sWlgen des Lehrbuches wenig problematisch sein. Ein an einer Aufgabe weist auf einen etwas erhöhten Schwierigkeitsgrad hin. Alle im ÜbWlgsbuch auftretenden Verweise (z.B. Kap. 10.7.1, Beispiel 1 0.1.11 usw.) beziehen sich auf das genannte Lehrbuch, gelegentlich einfach mit Lehrbuch oder ab gekürzt mit LB bezeichnet. Lehrbuch: Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik, Vieweg Verlag, Braunschweig, Wiesbaden, 11. Auflage 2003 VI Vorwort Die hohe Zahl von mehr als 1500 Teil-Aufgaben in über 375 Übungsteilen deutet da rauf hin, dass es zu jedem (wirtschafis-) mathematischen Sachverhalt meist mehrere unterschiedliche Übungsangebote gibt, so dass die Lernenden reichlich Gelegenheit erhalten, die gleiche Sache mehrfach übend zu wiederholen, aus verschiedenen Blick winkeln zu betrachten und somit zunehmend Sicherheit zu gewinnen. Die Lösungshinweise (insbesondere für die Testklausuren) sind zumeist recht knapp gehalten, damit der erst durch intensive Beschäftigung mit den Problemstellungen erreichbare Lern-und Übungseffekt ermöglicht wird. Bei komplexeren Problemstel lungen oder ökonomischen Interpretationen werden Hinweise und Erklärungen auch ausführlicher gestaltet. Einleitend zu den Testklausur-Lösungshinweisen [mden sich einige Ausführungen zum erwarteten Lösungs-Standard fiir den "Ernstfall ". Sollten trotz intensiver eigener Anstrengung Fragen zur Problemlösung übrigbleiben (oder sollten Sie meine - trotz aller Sorgfalt kaum zu vermeidenden - Böcke, Fehler oder Ungereimtheiten aufspüren), bitte ich um kurze Rückmeldung, z.B. per E-Mail: [email protected] - ich werde jeder/jedem von Ihnen antworten und in allen Fäl len um schnelle Antwort bemüht sein. Zum Schluss gebührt mein Dank dem Vieweg-Verlag und hier besonders Frau Ulrike Schmickler-Hirzebruch fiir ihre hilfreiche Unterstützung, der es mit zu verdanken ist, dass mehr als zehn Jahre nach dem erstmaligen Erscheinen des Lehrbuches auch die dazugehörigen Übungen/Lösungen im gleichen Hause erscheinen konnten. Aachen, im Oktober 2003 Jürgen Tietze VII Inhalt Vorwort V Abkürzungen VIII I Aufgaben 1 Grundlagen und Hilfsmittel . ............ 3 2 Funktionen einer unabhängigen Variablen ..... 19 3 Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen. 41 4 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen . . . . . 43 5 Differentialrechnung fiir Funktionen mit einer unabhängigen Variablen (Grundlagen und Technik) . 47 6 Anwendungen der Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen .......... 53 7 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen . 75 8 Einführung in die Integralrechnung . 93 9 Einführung in die lineare Algebra 103 10 Lineare Optimierung 109 11 Testklausuren 1-10 119 11 Lösungen 151 Grundlagen und Hilfsmittel . ............ 153 2 Funktionen einer unabhängigen Variablen . . . . . 171 3 Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen. 195 4 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen . . . . . 197 5 Differentialrechnung fiir Funktionen mit einer unabhängigen Variablen (Grundlagen und Technik) . 203 6 Anwendungen der Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen .......... 211 7 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen . 239 8 Einführung in die Integralrechnung . 263 9 Einführung in die lineare Algebra 271 10 Lineare Optimierung 279 11 Testklausuren 1-10 ........ 309 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 323 VIII Abkürzungen, Variablennamen Abkürzungen BL Basislösung ME Mengeneinheit BV Basisvariable Mio. Millionen (106) bzgl. bezüglich Mrd. Milliarden (109) c.p. ceteris paribus NB Nebenbedingung DB Deckungsbeitrag NBV Nichtbasisvariable DM Deutsche Mark NNB Nichtnegativitätsbe- € Euro dingung f falsch p.a. pro Jahr EE Energieeinheit q.e.d. quod erat demo n- FE Faktoreinkommen strandum (~ W.z. b. w.) GE Geldeinheit s. siehe LE Leistungseinheit TDM tausend DM LGS Lineares Gleichungs- T€ Tausend Euro system w wahr LO Lineare Optimierung w.z.b.w. was zu beweisen war LB Lehrbuch (siehe Vorwort) ZE Zeiteinheit Häufig verwendete Variablennamen at, a(t) Auszahlung d. Periode t Ko Barwert (eines Kapitals) A, A(t) Annuität; Arbeitsinput (in t) Kt Zeitwert (eines Kapitals B Bestand; (zulässiger) Bereich im Zeitpunkt t) C Konsum, Konsumsumme kv stückvariable Kosten Co Kapitalwert Kv variable Kosten e Eulersche Zahl L Lösungsmenge; Lagrange- et, e(t) Einzahlung d. Periode t Funktion; Liquidationserlös E Erlös, Umsatz, Ausgaben; ..1. Lagrange-Multiplikator Einheitsmatrix p Preis; Zinsfuß f: Elastizität q Zinsfaktor (= 1 +i) g Stückgewinn r Input; Homogenitätsgrad; (ste- gD Stückdeckungsbeitrag tiger)Zinssatz; Matrix-Rang G Gewinn R Rate; Zahlungs strom GD Deckungsbeitrag Rn Renten-Endwert h Stunde(n) S Sparen, Sparsumme i Zinssatz (= p/IOO) t Zeit I, I(t) Investition (im Zeitpunkt t) T Laufzeit k Stückkosten U Nutzen(index); Umsatz K Kosten; Kapital(input) x Nachfrage; Angebot; kr stückfixe Kosten Output; Menge Kr Fixkosten Y Einkommen; Sozialprodukt Kn Endwert (eines Kapitals) Z Zielfunktion Teil I Aufgaben 1 Grundlagen und Hilfsmittel 3 1 Grundlagen und Hilfsmittel Aufgabe 1.1 (1.1.11)2: Geben Sie die Elemente der folgenden Mengen in aufzählender Form an: i) A = Die Menge der Buchstaben des Namens "OTTO" ii) B = {x E Z I x < 3} iii) C = {x E lN I 2 < x < 3 } iv) D={XER.lx2=2} v) E={xElNlx+4=3} vi) F= {z E R.I z2 + 36=25} vii) G= {y E R.I yLy=6} Aufgabe 1.2 (1.1.12): Zu welcher der Mengen lN, Z, Q, R. gehören die folgenden Zahlen? 1; i) V4 ii) 0,333... iii) iv) R v) 0 vi) 0,125 vii) v;+e Aufgabe 1.3 (1.1. 33): i) In welchen Fällen handelt es sich um Aussagen, in welchen Fällen um Aussage formen? a) x2 + 1 = 1 + x2 b) A + B = 1 c) 4+1=0 d) os02+V4-1 e) x+y=4 f) y=x2 + 1 1 g) '0=0 h) 2 ist Lösung von x > 4 i) a2 + b2 ii) Man gebe die Lösungsmengen folgender Aussageformen an. Welche Aussage formen sind allgemeingültig, welche unerfüUbar? (Grundmenge: IR) a) x2=49 b) p2~0 c) Ox=5x d) (y+l)(y+2)=0 e) 0+x=5+x f) 2z+1=1+2z g) P ist eine gerade Primzahl; pE lN 2 Die geklammerte Nummerierung bezieht sich auf die entsprechende Aufgabe im Lehrbuch"Einfüh rung in die angewandte Wirtschaftsrnathernatik", siehe Erläuterungen im Vorwort. J. Tietze, Übungsbuch zur angewandten Wirtschaftsmathematik © Friedr. Vieweg & Sohn Verlag/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2003
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