Übungsbuch Analysis II: Klausurrelevante Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

433 Pages·2022·8.072 MB·German

by  Niklas Hebestreit

Niklas Hebestreit
Übungsbuch
Analysis II
Klausurrelevante Aufgaben mit
ausführlichen Lösungen
Übungsbuch Analysis II
Niklas Hebestreit
Übungsbuch Analysis II
Klausurrelevante Aufgaben mit
ausführlichen Lösungen
Niklas Hebestreit
Halle (Saale), Deutschland
ISBN 978-3-662-65831-4 ISBN 978-3-662-65832-1 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-65832-1
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Vorwort
The only way to learn mathematics is to do mathematics.
P. R. Almos
Das vorliegende Buch stellt den zweiten Teil zum Übungsbuch Analysis I [3] dar.
Es enthält rund 450 Teilaufgaben aus verschiedenen Bereichen der Analysis II, die
der Leserin/dem Leser dieses Buches beim Selbststudium, der häuslichen Nach-
arbeit des Vorlesungsstoffes und der Klausurvorbereitung helfen sollen. Zudem
ermöglicht das Buch das Üben und Vertiefen verschiedener Definitionen, Resultate
und mathematischer Begriffe. Die Reihenfolge der Themen orientiert sich dabei
grob an den gängigen Vorlesungen und Standardwerken zur Analysis II.
Dieses Buch ist als ein Begleitwerkzeug zu verstehen, das die eifrige Leserin/
den eifrigen Leser beim eigenständigen Entwickeln von Lösungen durch gezielte
Hinweise und verständliche Lösungen unterstützen soll. Daher besteht das Buch
aus insgesamt vier Teilen: Übungsaufgaben, Lösungshinweisen, Lösungen und
Übungsklausuren. Selbstverständlich sind einige Aufgaben komplizierter oder auf-
wändiger in der Bearbeitung und Lösung als andere Aufgaben. Sollte die Leserin/
der Leser bei der Bearbeitung dieser auf Probleme stoßen, so kann diese/dieser
einen entsprechenden Lösungshinweis im zweiten Kapitel nachschlagen und
damit bestimmt eigenständig eine Lösung entwickeln und so die Aufgabe lösen.
Es versteht sich dabei von selbst, dass man sich zuerst intensiv mit einer Aufgabe
beschäftigen und erst dann den Hinweis oder die Lösung zu Rate ziehen sollte.
Die Hinweise setzen voraus, dass die notwendigen grundlegenden Definitionen
und Begriffe nachgeschlagen wurden. Die Lösungen in diesem Buch, die sich stets
auf den entsprechenden Lösungshinweis beziehen, sind verständlich und detailliert
geschrieben und dienen zum Abgleich mit der eigens entwickelten Lösung der
Leserin/des Lesers.
Das erste Kapitel im Teil Übungsaufgaben enthält verschiedene Aufgaben
zur eindimensionalen Integralrechnung. Die Leserin/der Leser kann sich unter
anderem in der Berechnung verschiedener eindimensionaler Integrale üben
(partielle Integration, Partialbruchzerlegung, Substitutionsmethode und andere)
oder mit Hilfe von Parameterintegralen komplizierte Integrale berechnen
und wichtige Identitäten beweisen. Das nächste Kapitel behandelt metrische
Räume und deren topologischen Eigenschaften. Das Kapitel Banachräume
und Hilberträume enthält Übungsaufgaben zu Normen, vollständigen Räumen
V
VI Vorwort
und Funktionenräumen. Dem Fixpunktsatz von Banach ist dabei ein eigener
Abschnitt mit interessanten Aufgaben gewidmet. Des Weiteren gibt es noch zwei
Abschnitte zu linearen und stetigen Operatoren zwischen normierten Räumen
und Hilberträumen. Im Kapitel Stetigkeit kann sich die Leserin/der Leser im
Nachweis und in der Überprüfung verschiedener Funktionen (ein-, zwei- oder
mehrdimensionale Funktionen, Potenzreihen, Metriken, Normen oder Integral-
operatoren) auf Stetigkeit üben und Eigenschaften gleichmäßig stetiger, Lipschitz-
stetiger und Hölder-stetiger Funktionen beweisen. Das fünfte Kapitel enthält
verschiedene Problemstellungen rund um kompakte, zusammenhängende und
wegzusammenhängende Mengen sowie Eigenschaften dieser. Das Kapitel mehr-
dimensionale Differentialrechnung besteht aus den folgenden Abschnitten:
Differenzierbare Funktionen, partiell differenzierbare Funktionen, Eigenschaften
differenzierbarer Funktionen, Kettenregel, Mittelwertsatz, Taylorpolynome,
lokale und globale Extrema mehrdimensionaler Funktionen, lokale Extrema
unter Nebenbedingungen und implizite Funktionen. Im siebten Kapitel werden
verschiedene Aufgaben zu Kurven, Kurvenintegralen 1. und 2. Art sowie Eigen-
schaften dieser vorgestellt. Der Hauptsatz der Kurventheorie kann dabei anhand
mehrerer Aufgaben geübt und verifiziert werden. Das darauf folgende Kapitel
behandelt einige Aspekte der Lebesgue-Theorie sowie die Integralsätze von Green,
Stokes und Gauß. Dazu gehören Aufgabenstellungen zu Riemann- und Lebesgue-
integrierbaren Funktionen, zum Satz von Fubini, zum Prinzip von Cavalieri sowie
Aufgaben zum Transformationssatz. Im letzten Kapitel des ersten Teils gibt es
mehrere Aufgaben zu Differentialgleichungen und Anfangswertproblemen. Dabei
ist dem Existenzsatz von Picard-Lindelöf ein eigener Abschnitt mit verschiedenen
Fragestellungen gewidmet.
Der zweite Teil des Buches enthält die Lösungshinweise der Übungsaufgaben.
Zu jeder Aufgabe in diesem Buch gibt es mindestens einen detaillierten Lösungs-
hinweis, der die Leserin/den Leser bei der Bearbeitung der Aufgabe unterstützen
und eine eigens entwickelte Lösung ermöglichen soll. Einige Hinweise sind
dabei sehr direkt, das heißt, sie geben bereits eine konkrete Idee eines möglichen
Beweises an. Andere hingegen sind eher vage formuliert, da andernfalls bereits der
gesamte Beweis preisgegeben wäre.
Im dritten Teil befinden sich die Lösungen zu den Übungsaufgaben. Diese
nehmen stets direkten Bezug auf den entsprechenden Lösungshinweis und sollen
der Leserin/dem Leser zur Verifizierung der eigens entwickelten Lösungen dienen.
Wie üblich gibt es für eine Aufgabe in der Regel mehrere Lösungsmöglichkeiten
– die Lösungen in diesem Buch und deren Alternativen sind daher nicht als allein-
gültige Musterlösungen zu verstehen.
Der vierte und letzte Teil dieses Buches enthält fünf Übungsklausuren zur
Analysis II. Dabei sind der Umfang, der Schwierigkeitsgrad und der Fokus auf
einzelne Resultate und Methoden aus der Analysis II sehr unterschiedlich. Bei
den Klausuren handelt es sich nicht um echte Klausuren – sie sollen lediglich als
Orientierungs- und Vorbereitungsmöglichkeit dienen. Einen Überblick über alle
Klausuren und deren Inhalte findet man auf Seite 388.
Vorwort VII
Da die Vorlesung Analysis II von Universität zu Universität mit teilweise
sehr unterschiedlichen Schwerpunkten gehalten wird, ist es denkbar, dass einige
Themenbereich, die in diesem Buch behandelt werden, eher in die Analysis III
oder in ein anderes Fach eingeordnet werden können. Dieses Buch könnte damit
also auch für Leserinnen und Leser von Interesse sein, die gerade die Vorlesung
Vektoranalysis, Maß- und Integrationstheorie, Funktionalanalysis oder gewöhn-
liche Differentialgleichungen besuchen.
Dieses Buch wurde mehrfach und sorgfältig Korrektur gelesen. Die Erfahrung
zeigt jedoch, dass sich trotzdem Fehler oder Unstimmigkeiten einschleichen.
Sollten Sie solche finden oder Verbesserungsvorschläge für dieses Buch haben, so
teilen Sie mir diese bitte mit ([email protected]).
Ich wünsche Ihnen viel Erfolg und Vergnügen bei der Verwendung dieses
Übungsbuches und hoffe, dass Sie durch die Bearbeitung der verschiedenen Auf-
gaben Ihren mathematischen Horizont und Ihre Kreativität beim Problemlösen
erweitern können.
Halle (Saale) Dr. Niklas Hebestreit
2022
Inhaltsverzeichnis
Teil I Aufgaben
1 Eindimensionale Integralrechnung ............................ 3
1.1 Integrationstechniken und Konvergenzkriterien. . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Parameterintegrale ...................................... 5
2 Metrische Räume .......................................... 9
2.1 Metriken und Vollständigkeit .............................. 9
2.2 Topologische Eigenschaften metrischer Räume ............... 11
3 Banachräume und Hilberträume ............................. 15
3.1 Normen und Vollständigkeit ............................... 15
3.2 Fixpunktsatz von Banach ................................. 17
3.3 Lineare und stetige Operatoren zwischen normierten Räumen .... 18
3.4 Hilberträume .......................................... 19
4 Stetigkeit ................................................. 21
4.1 Stetige Funktionen ...................................... 21
4.2 Eigenschaften stetiger Funktionen .......................... 23
4.3 Gleichmäßig stetige Funktionen ........................... 25
4.4 Lipschitz-stetige Funktionen .............................. 25
4.5 Hölder-stetige Funktionen ................................ 26
5 Kompaktheit und Zusammenhang ............................ 29
5.1 Kompakte Mengen ...................................... 29
5.2 Eigenschaften kompakter Mengen .......................... 31
5.3 Zusammenhängende und wegzusammenhängende Mengen ...... 32
5.4 Eigenschaften zusammenhängender und
wegzusammenhängender Mengen .......................... 33
6 Mehrdimensionale Differentialrechnung ....................... 35
6.1 Differenzierbare Funktionen .............................. 35
6.2 Partiell differenzierbare Funktionen ......................... 36
6.3 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen .................. 38
6.4 Mehrdimensionale Kettenregel ............................ 40
6.5 Mehrdimensionaler Mittelwertsatz ......................... 42
IX
X Inhaltsverzeichnis
6.6 Mehrdimensionale Taylorpolynome ........................ 42
6.7 Lokale und globale Extrema .............................. 44
6.8 Lokale Extrema unter Nebenbedingungen .................... 45
6.9 Implizite Funktionen .................................... 46
7 Kurventheorie ............................................. 49
7.1 Kurven ............................................... 49
7.2 Eigenschafen von Kurven ................................ 51
7.3 Kurvenintegrale 1. und 2. Art .............................. 51
8 Integrationstheorie und Integralsätze .......................... 55
8.1 Riemann-integrierbare Funktionen ......................... 55
8.2 Lebesgue-integrierbare Funktionen ......................... 56
8.3 Satz von Fubini ........................................ 57
8.4 Prinzip von Cavalieri .................................... 58
8.5 Transformationssatz ..................................... 59
8.6 Satz von Green ......................................... 61
8.7 Rotationssatz von Stokes ................................. 62
8.8 Gaußscher Divergenzsatz ................................. 63
9 Gewöhnliche Differentialgleichungen .......................... 65
9.1 Klassische Lösungsmethoden ............................. 65
9.2 Satz von Picard-Lindelöf ................................. 68
Teil II Lösungshinweise
10 Lösungshinweise Eindimensionale Integralrechnung ............. 71
11 Lösungshinweise Metrische Räume ........................... 79
12 Lösungshinweise Banachräume und Hilberträume .............. 85
13 Lösungshinweise Stetigkeit .................................. 95
14 Lösungshinweise Kompaktheit und Zusammenhang ............. 105
15 Lösungshinweise Mehrdimensionale Differentialrechnung ........ 113
16 Lösungshinweise Kurventheorie .............................. 131
17 Lösungshinweise Integrationstheorie und Integralsätze ........... 137
18 Lösungshinweise Gewöhnliche Differentialgleichungen ........... 151
Teil III Lösungen
19 Lösungen Eindimensionale Integralrechnung ................... 157
20 Lösungen Metrische Räume .................................. 181
21 Lösungen Banachräume und Hilberträume ..................... 199
Inhaltsverzeichnis XI
22 Lösungen Stetigkeit ......................................... 223
23 Lösungen Kompaktheit und Zusammenhang ................... 247
24 Lösungen Mehrdimensionale Differentialrechnung .............. 265
25 Lösungen Kurventheorie .................................... 309
26 Lösungen Integrationstheorie und Integralsätze ................. 323
27 Lösungen Gewöhnliche Differentialgleichungen ................. 369
Teil IV Übungsklausuren
28 Übungsklausuren Übersicht .................................. 387
29 Übungsklausur Analysis II (A) ............................... 389
30 Lösung Übungsklausur Analysis II (A) ......................... 391
31 Übungsklausur Analysis II (B) ................................ 397
32 Lösung Übungsklausur Analysis II (B) ......................... 399
33 Übungsklausur Analysis II (C) ............................... 405
34 Lösung Übungsklausur Analysis II (C) ......................... 409
35 Übungsklausur Analysis II (D) ............................... 417
36 Lösung Übungsklausur Analysis II (D) ......................... 421
37 Übungsklausur Analysis II (E) ................................ 429
38 Lösung Übungsklausur Analysis II (E) ......................... 431
Literatur ...................................................... 435
Stichwortverzeichnis ............................................ 437