Turunan-Turunan Dari Fungsi-Fungsi Analitik ABSTRAK PENDAHULUAN PDF
Preview Turunan-Turunan Dari Fungsi-Fungsi Analitik ABSTRAK PENDAHULUAN
Turunan‐Turunan Dari Fungsi‐Fungsi Analitik Budiono Prodi Statistika Terapan Fakultas MIPA Universitas Gajayana Malang ABSTRAK Pada tulisan ini akan ditunjukkan bahwa bila fungsi f analitik pada suatu titik, maka semua turunan − turunan dari f pada titik tersebut ada dan analitik. Suatu fungsi dikatakan analitik pada suatu titik , bila turunan dari fungsi tersebut ada pada titik tersebut dan pada lingkungannya. DERIVATIVES OF ANALYTIC FUNCTIONS ABSTRACT We are new ready to prove that if a function is analytic at a point, its derivations of all orders exist at that point and are themselves analytic there. A function f of the complex variable z is analytic at a point zo if its derivative exists not only at zo but also at each point z in some neighborhood of zo . PENDAHULUAN definisi R, karena titik tadi mempunyai lingkungan. Jadi biasanya Suatu fungsi kompleks f(z) fungsi f terdefinisi pada suatu dikatakan analitik pada z , bila 0 domain, sehingga bila suatu fungsi turunan dari f ada pada z dan juga 0 terdefinisi pada suatu cakram pada lengkungan dari z . Jadi bila f 0 tertutup, ⏐z⏐≤ 1 misalnya, maka yang analitik pada z , maka f analitik pada 0 dimaksud disini adalah bahwa f setiap titik dalam lengkungan tadi. analitik pada suatu domain yang Suatu fungsi dikatakan analitik pada mengandung cakram tersebut (Snider, daerah R, bila f analitik pada setiap 2002). titik dalam R, kadang kadang disebut Pada bagian ini akan holomorphic (Churchill,1984). ditunjukkan bahwa bila fungsi f Bila z analitik pada daerah R, analitik pada suatu titik, maka semua maka setiap titik z dalam R harus turunan‐turunan dari f pada titik merupakan titik dalam dari domain Dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2006 dengan tema “ Trend Penelitian dan Pembelajaran Matematika di Era ICT “ yang diselenggarakan pada tanggal 24 Nopember 2006 Budiono tersebut ada dan analitik. Misal f ⎡ 1 1 ⎤ ∫ - f(s)ds ⎢ ⎥ ⎣(s− z−Δz)(s− z) (s-z)2⎦ analitik dalam dan pada kontour C c f(s)ds =Δz ∫ yang sederhana dan tertutup dan z (s−z−Δz)(s−z)2 titik didalam C. Misal S titik − titik Misalkan M adalah nilai maksimum pada C dan dengan menggunakan dari ⏐f(s)⏐ pada c dan L panjang dari rumus integral cauchy didapat : C. Karena ⏐s‐z⏐≥ d dan ⏐s‐z‐Δz⏐ ≥ ⏐s‐ 1 f(s) ds f(z)= ∫ ........(1) z⏐−⏐Δz⏐≥d−⏐Δz⏐, dapat 2πi s−z ⏐ Δz⏐ ML c Akan dibuktikan bahwa turunan dari f(s) ds (d-⏐ Δz⏐ d2 Δz∫ ⏐ < f pada z ada dan bentuk integralnya: (s-z-Δz)(s−z)2 c 1 f(s) ds f'(z) = ∫ ........(2) dan bentuk terakhir ini akan menuju 2πi (s−z)2 c Disini (2) didapat dengan 0, bila Δz →0. Jadi f(z+Δz) - f(z) 1 f(s)ds lim = ∫ menggunakan integral dari (1) Δz→o Δz 2Πi (s−z)2 c terhadap z. Hal ini dapat dibuktikan dan (2) terbukti. Bila digunakan cara sebagai berikut: yang sama pada (2), maka didapat : f(z+Δz) - f(z) = 1 ∫ ⎜⎛ 1 − 1 ⎟⎞ f''(z) = 1 ∫ f(s)ds ............(3) Δz 2Πic ⎝s−z−Δz s−z⎠ Πi (s−z)3 c f(s) ds Δz Lebih tepatnya bila 0<⏐Δz ⏐<d 1 f(s)ds = ∫ f1(z+Δz) - f1(z) 2Πi (s−z−Δz)(s−z) = c Δz bila 0<⏐Δz⏐<d, d adalah jarak terdekat 1 ∫ ⎡ 1 1 ⎤f(s) − ds dari z pada titik s pada c. Untuk itu 2Πi ⎢ ⎥ c ⎣(s−z−Δz)2 (s−z)2⎦ Δz digunakan sifat f adalah kontinu pada 1 2(s−z)−Δz = ∫ f(s)ds c untuk menunjukkan bahwa nilai 2Πi (s−z−Δ z)2 (s-z)2 c integral dikarenakan menuju ke dan karena f kontinu pada c, nilai dari 1 f(s) ∫ dz, bila Δz →0 integral 2Πi (s−z)2 Hal ini ditunjukkan sebagai berikut: ⎡ 2(s−z)−Δz 2 ⎤ ∫ − f(s)ds ⎢ ⎥ ⎣(s−z−Δz)2(s−z)2 (s−z)2⎦ c 3(s−z)Δz 2(Δz)2 = ∫ f(s)ds (s−z−Δz)2(s−z)3 c 252 SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2006 M – 9 : Turunan-Turunan dari Fungsi-Fungsi Periodik akan menuju 0, bila Δz menuju 0 Bila f analitik pada D, maka Persamaan (3) menunjukkan adanya turunan parsial yang pertamanya turunan kedua dari f pada setiap titik akan memenuhi persamaan Conechs z didalam c. Jadi bila f analitik pada Riemann : suatu titik, maka f1 juga analitik para U =V U = ‐ V ……………. (2) x y y x titik tersebut. Misal w= f(z) = (1+z)(1‐ Bila kedua persamaan diturunkan z)‐1 , maka f’(z) = [(1‐z)(1)‐(1+z)(‐1)](1‐ terhadap variabel x, didapat : z)‐2 = 2(1‐z)‐2, fungsi tersebut analitik U =V U =‐V ………. (3) xx yx yx xx dimana‐mana kecuali di z=1, dimana Demikian pula penurunan terhadap turunan tersebut tidak ada ; yakni variabel y memberikan fungsi tersebut tidak analitik di z=1. U = V U = ‐ V xy yy yy xy Didalam aerodinamika dan mekanika Menurut teorema‐teorema pada fluida, fungsi U(x,y) dan V(x,y) kalkulus lanjutan, bila turunan‐ didalam f(z)=U(x,y) + iV(x,y) , dimana turunan parsial kontinu, maka hal ini f(z) analitik , berturut –turut akan menjamin U = U dan V =V . yx xy yx xy dinamakan potensial kecepatan dan Jadi dari persamaan (3) dan (4) fungsi arus. didapat : Fungsi analitik lain adalah fungsi U (x,y)+U (x,y)=0 dan xx yy harmonik .Suatu fungsi riil h(x,y) V (x,y) + V (x,y) =0 xx yy disebut harmonik pada domain pada Jadi bila fungsi f(z)=U(x,y)+ i V(x,y) bidang xy, bila pada setiap titik (x,y) analitik pada domain D, fungsi‐fungsi pada domain tersebut h mempunyai komponen U dan V adalah harmonik turunan parsial yang kontinu untuk pada D (Kaplan, 1984) tingkat pertama dan kedua serta memenuhi persamaan deferensial parsial Laplace. H (x,y) + h (x,y) = 0 ………. (1) xx yy Matematika 253 Budiono TEOREMA‐ TEOREMA seperti pada saat (2) bentuk menjadi (3) dan seterusnya. Teorema A. (Churchill, 1984) Bila fungsi f analitik pada suatu titik, Teorema B. maka semua turunan − turunannya Misal C adalah kontour sederhana untuk tiap tingkat adalah analitik yang tertutup dan C (j=1,2,…n) adalah j pada titik tersebut. sejumlah hingga kontour‐kontour Bukti : sederhana tertutup didalam C, Bila fungsi f(z) = u(x,y) + i ν(x,y) sehingga daerah‐daerah didalam C j adalah analitik pada titik z= (x,y), masing‐masing tidak mempunyai maka karena f’ analitik, maka f’ titik‐titik yang sama. Misal R daerah kontinu pada titik tersebut. tertentu yang terdiri dari titik‐titik Kemudian karena f’(z) = u (xy) + d a l a m C. C – B adalah batas dari R x , j iv (x,y) = v (x,y) – iu (x,y) yang terdiri dari C dan setiap Contour x y y Maka didapat turunan‐turunan C, sehingga titik dalam R terletak j parsial dari u dan v untuk tiap tingkat disebelah kiri R. Bila f analitik pada R, kontinu pada titik dimana f analitik. maka ∫ f(z) dz = 0………. (5) c fʺ(z) = u (x,y) + i v (x,y) = xx xx Bukti : v (x,y) – iu (x,y) , dan yx yx Misal path poligonal L terdiri dari 1 seterusnya. sejumlah berhingga segmen garis Bila f (0) (z) adalah f(z) dan 0! = 1, maka yang dihubungkan ujung‐ujungnya dapat digunakan induksi matematika yang menghubungkan kontour C untuk membuktikan rumus dengan kontour dalam C . Selain itu 1 n f(s) ds f (n)(z) = !∫ , (n =0,1,2,.(4)B 2ηi (s-z)n=1 misal path poligonal L2 c menghubungkan C dengan C dan ila n = 0, maka didapat rumus Integral 1 2 seterusnya terbukti L yang Conechs. Bila rumus benar untuk, n+1 menghubungkan C dengan C, maka bilangan bulat tidak negatif n=m, n dapat dibentuk dua kontour tertutup maka dapat dilanjutkan untuk n=m +1 254 SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2006 M – 9 : Turunan-Turunan dari Fungsi-Fungsi Periodik yang sederhana Γ , Γ yang masing‐ paling sedikit 1 titik dalam 1 2 masing mengandung path poligonal lingkungan z L serta potongan‐potongan dari C Ψ ⏐f(z)⏐>⏐f(z ⏐ ………….. (7) j 0 dan C serta masing‐masing Misalkan ⏐f(z) ⏐mempunyai nilai j berorientasi sehingga titik‐titik dalam maksimum pada titik z dalam D, 0 Γ dan Γ berada disebelah kiri. maka ⏐f(z) ⏐<⏐ f(z ) ⏐ untuk setiap z 1 2 0 Karena integral pada L dilakukan dua dalam lingkungan ⏐z‐z ⏐< ε yang j 0 kali dalam arah berlawanan, maka termasuk dalam D. Tetap hal ini jika dijumlahkan sama dengan 0. bertentangan dengan (7), karena f Teorema C. (Churchill, 1984) analitik dan tidak konstan dalam Bila f analitik dan tidak konstan pada lingkungan tersebut. Jadi terbukti.Bila domain, maka ⏐ f(z) ⏐ tidak fungsi f analitik pada tiap titik dalam mempunyai nilai maksimum dalam suatu daerah yang tertutup dan domain terseΨbut. Jadi tidak ada z terbatas, maka f kontunu pada R. 0 dalam domain tersebut⏐f(z)⏐<⎥f(z ) ⏐, Bila modulus ⎥f(z)⎥mempunyai nilai 0 z dalam domain……(6) maksimum dalam R, maka ada Bukti : bilangan M≥0 sehingga f(z) ≤M , Untuk membuktikan ini diperlukan untuk setiap z anggota R. Tetapi bila f dalil bantu yang berbunyi : Bila f tidak kontinu pada daerah R yang tertutup konstan pada domain D, maka fungsi dan terbatas serta f analitik dalam R tersebut tidak konstan pada dan bukan kontanta, maka modulus⎥ lingkungan⏐z‐z ⏐< ∈ dalam D. f(z)⎥ mencapai nilai maksimumnya 0 Jika f konstan pada ⏐z‐z ⏐ < ∈ atau pada batas‐batas R dan bukan pada 0 bila fungsi f analitik dan tidak konstan titik dalamnya. pada lingkungan dari z , maka ada 0 Matematika 255 Budiono DAFTAR PUSTAKA⏐ Churchill. R.V., Brohen, J.W., 1984 Complex Variables and Applications, Mc Graw – Hill, Japan, 111−118. Koplan, W., 1984, Advanced Calculus, 3d ed, Addison – Wesley Publishing Company, Inc. Krezyg..J.G., 1971, Problem in Complex Variable Theory, american Elservier Publishing Company, Inc., New York. Saff,E.,Snider, A.D, 2002, Fundamentals of Complex Analysis, Third Edition, Prentice Hall. 256 SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2006 Dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2006 dengan tema “ Trend Penelitian dan Pembelajaran Matematika di Era ICT “ yang diselenggarakan pada tanggal 24 Nopember 2006 Indah EW, Robert W 258 SEMNAS Matamatika dan Pend. Matematika 2006 M – 10 : Fully Prime and Fully Coprime Modules Matematika 259 Indah EW, Robert W 260 SEMNAS Matamatika dan Pend. Matematika 2006
Description:The list of books you might like
