Trainingsbuch zur Analysis 1: Tutorium, Aufgaben und Lösungen

342 Pages·2013·2.207 MB·German

by  Klaus Fritzsche (auth.)

Trainingsbuch zur Analysis 1
Klaus Fritzsche
Trainingsbuch zur Analysis 1
Tutorium, Aufgaben und Lösungen
Prof. Dr. Klaus Fritzsche
Fachbereich C Mathematik und Naturwissenschaft en
Bergische Universität Wuppertal
Wuppertal, Deutschland
ISBN 978-3-642-37795-2 ISBN 978-3-642-37796-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-37796-9
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Vorwort
Selber rechnen macht dick, das seht Ihr ja an mir“ war der Running Gag meines
”
durchaus wohlbeleibten Mathematiklehrers am Gymnasium. Was er eigentlich da-
mit meinte, blieb mir zeitlebens im Bewusstsein und best¨atigte sich in der Praxis
immerwiedervonNeuem.Mathematikkannmannurlernen,indemmansieselbst
aktiv betreibt. Am Anfang steht die Theorie, entweder nach V¨ater Art im H¨orsaal
vom Ordinarius vorgetragen und vom Studierenden passiv erduldet, oder in einem
guten Buch – wom¨oglich mit einem Textmarker in der Hand – nachgelesen oder
ganz modern interaktiv am Computer erarbeitet. Aber der Regensburger Trichter,
der einem die Weisheit direkt in den Kopf bef¨ordert, wurde noch immer nicht er-
funden.DieStundederWahrheitschl¨agt,wenndasersteU¨bungsblattverteiltwird
und bearbeitet werden muss. Dann ist Hilfe gefragt, und da soll dieses Buch zum
Einsatz kommen.
DerAufbaudesBuchesorientiertsichan[GkA1],aberimLiteraturverzeichniswird
eine Auswahl der g¨angigsten Lehrbu¨cher so detailliert vorgestellt, dass der Leser
auch mit seinem Lieblingslehrbuch oder seiner Lieblings-Vorlesungsmitschrift pro-
blemlosarbeitenkann.InderAnalysisvoneinerVer¨anderlichengehtesumdieerste
Begegnung mit infinitesimalen Prozessen, insbesondere um eine Einfu¨hrung in die
Differential- und Integralrechnung. Die meisten Lehrbu¨cher zu diesem Thema sind
nach dem gleichen Schema aufgebaut: Einfu¨hrung der reellen Zahlen, Konvergenz
von Folgen und Reihen, stetige Funktionen, Differenzierbarkeit und Integrierbar-
keit,letztereh¨aufigimSinneRiemanns.EnthaltenindiesemCurriculumistinder
Regel eine logisch saubere Definition der elementaren Funktionen, und als H¨ohe-
punkt werden Funktionenfolgen, Taylorreihen und Erweiterungen des Integralbe-
griffs betrachtet.
HierwirddiesesProgrammfolgendermaßeninvierKapitelnentwickelt:InKapitel1
(DieSprachederAnalysis)gehtesumGrundbegriffeundSprachregelungen.Logik
und Mengenlehre werden behandelt, die Zahlensysteme N, Z, Q, R und schließlich
auch die Menge C der komplexen Zahlen, der Funktionsbegriff und Beispiele da-
zu, insbesondere Polynome und rationale Funktionen. Vieles davon greift Themen
der Schulmathematik auf, vertieft und pr¨azisiert sie, und schafft so die gemein-
same sprachliche Grundlage fu¨r das Verst¨andnis der weiteren Kapitel. Die gr¨oßte
Herausforderung fu¨r den Anf¨anger ist dabei sicherlich das Hineinfinden in mathe-
matischeBeweistechnikenunddasVerstehendesVollst¨andigkeitsaxiomsderreellen
Zahlen und seiner Konsequenzen. Diese beiden Themen werden in den Tutorien,
Beispielen und L¨osungshinweisen besonders intensiv behandelt. Kapitel 2 enth¨alt
alleszumGrenzwertbegriff:Folgen,Reihen,Stetigkeit,Potenzreihenundelementa-
reFunktionen,undschließlichdenriemannschenIntegralbegriffalsM¨oglichkeitder
Fl¨achenberechnung. Der Titel Calculus“ des dritten Kapitels bezieht sich auf den
”
harten Kern der Differential- und Integralrechnung, der seinen Ursprung in den
Untersuchungen von Newton und Leibniz hat und bis heute in der von Richard
vi
Courant beeinflussten englischsprachigen Literatur als Calculus bezeichnet wird.
Dieser Abschnitt bildet einen besonderen Schwerpunkt des Trainings. Im vierten
Kapitel (Vertauschung von Grenzprozessen) versammeln sich die etwas schwierige-
ren Themen, vom Begriff der gleichm¨aßigen Konvergenz von Funktionenfolgen bis
hin zu endlichen und uneigentlichen Parameterintegralen. Dazwischen geht es um
die Taylorentwicklung und um numerische Verfahren.
Zur besseren Orientierung wird zum Anfang jedes Abschnittes – und manchmal
auch mittendrin – in einem (wie hier) grau unterlegten Kasten kurz zusammenge-
fasst, welche Inhalte vorausgesetzt werden.
Die wichtigsten Definitionen und S¨atze werden bei dieser Gelegenheit zitiert. Das
ist als Anregung zu verstehen, sich noch einmal mit dem relevanten Vorlesungs-
stoff zu besch¨aftigen, so wie es jeder Student tun sollte, bevor er sich um die
L¨osung der f¨alligen U¨bungsaufgaben bemu¨ht. Es wird aber in diesem Augenblick
nicht erwartet, dass man schon alles verstanden hat, denn dann w¨are das Folgende
ja u¨berflu¨ssig. Vielmehr wartet nun auf den Leser ein Tutorium zu ausgew¨ahlten
wichtigenInhalten.SchwerpunktebildenzumBeispieldiePraxisderGrenzwertbe-
stimmung, die Einsch¨atzung des Verhaltens unendlicher Reihen, eine Analyse des
Ableitungsbegriffes und der Bedeutung des Mittelwertsatzes oder die Tricks zur
AuswertungkomplizierterIntegrale.IneinemBuchdiesesUmfangesistesnatu¨rlich
nicht m¨oglich, auf alle Themen der Analysis so detailliert einzugehen. Wer schon
zu Anfang große Probleme mit Logik, Mengenlehre und Axiomatik hat, sei etwa
auf das Buch Mathematik fu¨r Einsteiger“ ([MfE]) hingewiesen, das gerade dabei
”
Hilfestellungbietet.UndwerumgekehrtalleshierBehandeltenochsehreinfachfin-
detundausfu¨hrlichereUnterstu¨tzungeherbeiRandthemenwiederApproximation
stetigerFunktionen,DifferentialgleichungenzweiterOrdnung,derGammafunktion
oder der Variationsrechnung sucht, der wird sicher in einem der im Literaturver-
zeichnis angegebenen Werke Hilfe finden, vielleicht bei Gu¨nter K¨ohler ([GKoe])
oder Konrad K¨onigsberger ([KKoe]).
ImRahmenderTutorienfindensichallerdingsaucheinpaarweiterfu¨hrendetheore-
tischeUntersuchungen.Dazugeh¨orenzumBeispielDetailszumVollst¨andigkeitsaxi-
om,BeweisezuRegelfunktionenundderKlassederRiemann-integrierbarenFunk-
tionen, zum Rechnen mit Potenzreihen und andere Dinge. Soweit dafu¨r S¨atze ge-
braucht werden, die ein wenig anspruchsvoller sind und deren Verst¨andnis fu¨r das
Nachfolgende nicht unbedingt erforderlich ist, werden deren Beweise mit einem
∗
Stern gekennzeichnet. Sie beginnen also mit Beweis: “ und enden (wie alle Be-
”
weise)mitdemSymbol .Eswirdnatu¨rlichempfohlen,auchdieseBeweisedurchzu-
arbeiten.Aberwemdaszun¨achstzumu¨hsamist,derkannsieerstmalu¨berspringen
und sp¨ater darauf zuru¨ckkommen.
Erg¨anztwerdendieTutoriendurchzahlreicheBeispiele,vonkleinenMini-Beweisen
bishinzuanspruchsvollerenRechnungen,wieetwaderReihenentwicklungdesTan-
gens, der Auswertung uneigentlicher Integrale mit Hilfe von Parameterintegralen
oder der L¨osung des Brachystochronen-Problems.
vii
Am Ende jedes Abschnittes stehen U¨bungsaufgaben, die so gut wie alle dem Buch
[GkA1] entnommen wurden. Neu ist allerdings, dass hier die Aufgaben durch
Hinweise, L¨osungshilfen oder Hintergrundinformationen erg¨anzt werden, natu¨rlich
abh¨angigvomSchwierigkeitsgradderjeweiligenAufgabe.IneinemAnhangwerden
schließlich dievollst¨andigdurchgerechneten L¨osungendieserAufgabenzusammen-
gefasst.
WiemanmitdiesemBuchumgeht,istnatu¨rlichjedemLeserselbstu¨berlassen.Ich
appelliereabereindringlichanSie,dieReihenfolgeeinzuhalten:EinwenigTheorie,
ausfu¨hrlichesNacharbeitenderBeispieleunddannranandieU¨bungsaufgaben!Sie
sollten immer zuerst versuchen, die Aufgaben ohne Hilfe zu l¨osen. Geht das nicht,
solesenSiedieHinweise.OftmalshelfendieeinganzesStu¨ckweiter.Underst,wenn
es dann immer noch nicht klappt, k¨onnen Sie sich die L¨osung im Anhang ansehen.
Ich wu¨nscheIhnenGlu¨ckundvielErfolgdabeiundversprecheIhnen,dassSiesich
mit zunehmendem Erfolg auch zunehmend fu¨r die Mathematik begeistern werden.
Herzlich bedanken m¨ochte ich mich auch diesmal fu¨r die gute und bew¨ahrte Zu-
sammenarbeitmitBarbaraLu¨hkerundAndreasRu¨dingervonSpringerSpektrum,
ohne deren Hilfe dieses Buch nie entstanden w¨are.
Wuppertal, im M¨arz 2013 Klaus Fritzsche
Inhaltsverzeichnis
1 Die Sprache der Analysis 1
1.1 Mengen von Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Vollst¨andigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Vektoren und komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6 Polynome und rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Der Grenzwertbegriff 45
2.1 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.4 Potenzreihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.5 Fl¨achen als Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3 Der Calculus 109
3.1 Differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.2 Der Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.3 Stammfunktionen und Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.4 Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.5 Bogenl¨ange und Kru¨mmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.6 Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4 Vertauschung von Grenzprozessen 183
4.1 Gleichm¨aßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.2 Die Taylorentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
4.3 Numerische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4.4 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4.5 Parameterintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5 Anhang: L¨osungen 247
Literaturverzeichnis 327
Stichwortverzeichnis 335
1 Die Sprache der Analysis
IndiesemKapitelwerdendieInstrumente,Hilfsmittel,MethodenundSprechweisen
bereitgestellt, die man fu¨r die Analysis braucht. Dazu geh¨oren Logik, Mengen und
Abbildungen,Beweismethoden,einbisschenAxiomatikundeineEinfu¨hrungindie
Welt der Zahlen und Vektoren, sowie der Umgang mit Polynomen.
1.1 Mengen von Zahlen
Es gibt eine axiomatische Mengentheorie, die beliebig schwierig werden und einen
an den Rand unu¨berschaubarer logischer Abgru¨nde fu¨hren kann. Diese Theorie ist
Anf¨angern kaum zuzumuten, deshalb gibt es die naive Mengenlehre“, die am An-
”
fang jedes Mathematikstudiums steht, die wichtigsten Grundbegriffe aus der Welt
der Mengen vorstellt und die ernsthaften logischen Probleme und ihre (partiellen)
L¨osungen schamhaft verschweigt. Hier in diesem Abschnitt wird eine besonders
naive Mengenlehre betrieben, die sich im Wesentlichen auf die Vorstellung der
Symbolik beschr¨ankt. Fu¨r einen Analysis-Kurs reicht das aus, denn man wird ja
diesenneuenBegriffenindennachfolgendenAbschnittenimmerundimmerwieder
in konkreten Situationen begegnen, so dass sich durch den praktischen Umgang
mit ihnen allm¨ahlich ein Gew¨ohnungseffekt einstellt.
Folgende Begriffe werden ku¨nftig als bekannt vorausgesetzt:
Aussagen und ihre Verneinung, die logischen Verknu¨pfungen ∧, ∨, ¬, =⇒ und
⇐⇒,MengenundihreElemente,Vereinigungs-,Schnitt-undDifferenzmenge,der
Begriff der Teilmenge, eine naive“ Vorstellung von den Mengen N, Z und Q der
”
natu¨rlichen,ganzenundrationalenZahlen.MansollteunteranderemTeilermengen
T (also Mengen aller ganzzahligen Teiler) einer ganzen Zahl n verstehen.
n
Viele,abernichtalleDarstellungenderAnalysisbeginenmitdenAxiomenderreel-
len Zahlen. Deshalb werden diese hier kurz vorgestellt. Es wird aber selten explizit
daraufBezuggenommen,dasRechnenmitreellenZahlenwirdalsbekanntvoraus-
gesetzt.Dasisteinetwashemds¨armligesVorgehen.Werganzgenauverstehenwill,
warum z.B. (−1)·(−1)=1 ist, kommt natu¨rlich um die Axiomatik nicht herum.
In der Wissenschaft ist es genau wie im t¨aglichen Leben u¨blich, Begriffe, Dinge
oder Lebewesen mit gemeinsamen Merkmalen durch Vergabe eines neuen Namens
zu einem neuen Objekt zusammenzufassen:
So werden z.B. unter der Bezeichnung Arachnida oder Spinnentiere ca. 36000
Tierarten zusammengefasst.
Gewisse chemische Elemente, deren Atome keine Elektronen aufnehmen oder ab-
geben k¨onnen, bezeichnet man als Edelgase.
K. Fritzsche, Trainingsbuch zur Analysis 1, DOI 10.1007/978-3-642-37796-9_1,
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
2 1 Die Sprache der Analysis
Das franz¨osische Volk isteinBegrifffu¨rdieGesamtheitallerMenschen,derenPass
die franz¨osische Staatsangeh¨origkeit nachweist.
Auch in der Mathematik hat man schon immer Objekte zu neuen Begriffen zu-
sammengefasst: die Gesamtheit aller Quadratzahlen, das Kontinuum der reellen
Zahlen usw. Wollte man Aussagen u¨ber die Gesamtheit und nicht u¨ber einzelne
Objekte machen, so war man auf nicht einheitlich festgelegte und oft recht ver-
krampft wirkende Sprechweisen angewiesen, es war die Rede vom Inbegriff oder
der Mannigfaltigkeit solcher Objekte. Dem machte Georg Cantor 1895 durch
folgende Festlegung ein Ende.
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimm-
tenwohlunterschiedenenObjektenunsererAnschauungoderunseresDenkens
(welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen.
Diese Formulierung genu¨gt nicht den strengen Anforderungen an eine mathema-
tische Definition. Bei etwas b¨osartiger Interpretation st¨oßt man rasch auf Wider-
spru¨che, die Bildung der Menge M ={x : x(cid:7)∈x} fu¨hrt in eine logische Katastro-
phe.1 Allerdings war das schon Cantor bewusst, er h¨atte eine Konstruktion wie M
nicht als Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte aufgefasst.
Cantor schuf seine Mengenlehre, um mit unendlichen Mengen ad¨aquat arbeiten zu
k¨onnen. Solche Mengen findet man fast ausschließlich im Bereich des abstrakten
Denkens, insbesondere in der Mathematik.
Beispiele
1. In der Euklidischen Geometrie der Ebene besteht eine Gerade aus unendlich
vielen Punkten. W¨are das nicht der Fall, so mu¨sste man auf die Gu¨ltigkeit
aller geometrischen Konstruktionsverfahren verzichten, denn es k¨onnte pas-
sieren, dass sich zwei Geraden durchdringen, ohne sich zu treffen:
(cid:2) (cid:3)
(cid:2) (cid:3)
(cid:2) (cid:3)
(cid:3) (cid:2)
(cid:3) (cid:2)
(cid:3) (cid:2)
(cid:3) (cid:2)
Normale Ansicht stark vergr¨oßert
2. Die wohl einfachste und bekannteste unendliche Menge ist die Menge N der
natu¨rlichenZahlen1, 2, 3, ....Umzusehen,dassNunendlichist,mussman
die Logik dieser Aussage analysieren. Die Grundregeln der Logik wurden im
wesentlichen schon von Aristoteles festgelegt, u¨ber ihreGestaltherrschteun-
ter den großen Philosophen jener Zeit Einvernehmen. Die wichtigste Festle-
gung war dabei die Regel, dass jede vernu¨nftige Aussage entweder wahr oder
1WederdieAussageM ∈M nochdieAussageM (cid:7)∈M kannwahrsein.