Theorie und Praxis der linearen Integralgleichungen 4

705 Pages·1984·30.18 MB·German

by  S. Fenyö, H. W. Stolle (auth.)

LMW/MA 77:
Lehrbücher und Monographien
aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften
Mathematische Reihe
Band 77
Birkhäuser Verlag
Basel . Boston . Stuttgart
S. Fenyö - H. W. Stolle
Theorie und Praxis
der linearen
Integralgleichungen
4
1984 Birkhäuser Verlag
Basel· Boston· Stuttgart
(JIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Fenri, Stele:
Theorie und Praxis der linearen Integral
gleichungen I S. Fenyö ; H. W. Stolle. -
Basel; Boston; Stuttgart : Birkhäuser.
NE: Stolle, Hans W.:
4 (1984).
(Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete
der exakten Wissenschaften : Math. Reihe ;
Bd.77)
NE: Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete
der exakten Wissenschaften I Mathematische Reihe
Library 01 Congress Cataloging in Publication Data
Fenyö, Istvan, 1917-
Theorie und Praxis der linearen Integralgleichungen.
(Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der
exakten Wissenschaften. Mathematische Reihe: Bd.
74, )
Includes bibliogrEq>hies and indexes.
1. Inj;egral equations. I. Stolle, H. W.
(Hans-Wolfgang, 1927- ). 11. Title. 111. Series.
QA431.F46 515.4'5 81-12275
ISBN 978-3-0348-7659-9 ISBN 978-3-0348-7658-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-7658-2
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@ 1984, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin
Lizenzausgabe für alle nichtBOzialistischen Länder
Birkhäuser Verlag, Basel 1984
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1984
Inhaltsverzeichnis
V. NUllIERISCHE lUETHODEN ZUR LÖSUNG LINEARER
INTEGRALGLEICHUNGEN
Einleitende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . 11
17. Approximation von Kernen durch ausgeartete Kerne 15
17.1. Approximation von L2(A X ,1)- und C(A X A)-Kernen 15
17.2. Fehlerabsehätzungen 24
17.3. Kernersatz nach BATEMAN 33
17.4. Die beste Approximation eines Kernes durch einen ausgearteten Kern 38
18. Iterationsverfahren für Fredholmsche Gleichungen zweiter Art 43
18.1. Die Neumannsche Reihe. . . . . 43
18.2. Ein allgemeines Iterationsverfahren 55
18.3. Die Verfahren von WIARDA, BÜCKNER und WAGNER. 64
18.4. Die Methode von LANczos 76
18.5. Die Momentenmethode . . 85
18.6. Ein Gradientenverfahren . 95
18.7. Die Methode des stärksten Abstiegs und die Methode der konjugierten Rich-
tungen ................................ 103
19. Quadraturformelmethoden für Fredholmsche Integralgleichungen zweiter Art 122
19.1. Allgemeine Bemerkungen zur Anwendung von Quadraturformeln für die Lösung
von Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
19.2. Die Berücksichtigung des Quadraturfehlers bei Anwendung der Gregory-For-
mein zur Lösung von Integralgleichungen . . . . . . 126
19.3. Die Quadraturformelmethode mit iterativer Korrektur. . . . . . . . . . . 134
19.4. Fehlerabschätzung mittels Quadraturformeln und Konvergenzfragen bei Qua
draturformelverfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
19.5. Anwendung von Produktintegrationsformeln zur Lösung von Integralgleichun-
gen ................................. 153
19.6. Doppelapproximation durch Kernersatz und Quadraturformein . . . . . . . 163
19.7. Spezielle Quadraturformein für Kerne mit stückweise stetigen partiellen Ab-
leitungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
20. Variationsmethoden und Projektionsverfahren 171
20.1. Die energetische Methode und das Ritz-Verfahren. 171
6 Inhaltsverzeichnis
20.2. Das Bubnow-Galerkin-Verfahren und die Methode der kleinsten Quadrate 185
20.3. Allgemeine Bemerkungen zu Projektionsverfahren. Die Kollokationsmethode 192
21. Weitere numerische Verfahren für Fredholmsche und Volterrasche Integral-
gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
21.1. Das Eingrenzen der Lösungen von Integralgleichungen. . . . . . . . . . . 200
21.2. Die Methode der monoton zerlegbaren Operatoren 204
21.3. Ein Quadraturformelverfahren für Volterrasche Integralgleichungen zweiter Art 214
21.4. Numerische Verfahren für Volterrasche Integralgleichungen erster Art und
Abelsche Gleichungen ................... - 221
21.5. Lösung Fredholmscher Gleichungen durch Volterrafaktorisierung 228
21.6. Störungsrechnung für lineare Integralgleichungen • . . . . . . 235
21. 7. Numerische Lösung von Integralgleichungen erster Art durch Zurückführung
auf ein Anfangswertproblem . . . . . . . . . . . . 242
22. Lösung von Integralgleichungen mit Splinefunktionen 245
22.1. Polynomsplines und "p-SpIines . . . . . . . . . . . 245
22.2. Die Anwendung der Splinefunktionen auf Integralgleichungen. 250
22.3. Approximation durch intervallw eise Hermiteinterpolation 257
22.4. Die Lösung mehrdimensionaler Integralgleichungen mittels der Finite-Element-
Methode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 269
28. Einige Lösungsverfahren für Integralgleichungen mit singulären Kernen 273
23.1. Integralgleichungen mit einem schwach singulären Kern . . . . 273
23.2. Integralgleichungen erster Art mit einem Kern vom Cauchytyp • 282
23.3. Integralgleichungen zweiter Art mit einem Kern vom Cauchytyp 292
23.4. Integralgleichungen zweiter Art mit einem Kern vom Hilberttyp 295
24. Spezielle Methoden zur Eigenwertberechnung . . . 301
24.1. Eigenwertberechnung mittels der Fredholmschen Determinante und der
Spuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 301
24.2. Bestimmung des größten Eigenwertes einer Integralgleichung mit positivem
Kern ................................ 309
24.3. Schranken für Eigenwerte und Eigenfunktionen durch Lösung inhomogener
Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
24.4. Bestimmung der Eigenwerte von Faltungsgleichungen mit Fourierintegralkern 319
24.5. Bestimmung der Eigenwerte von Integralgleichungen mit Integralkernen 329
24.6. Einschließungssätze für Eigenwerte hermitescher Integraloperatoren . .. 335
24.7. Einschließungspolynome und weitere Einschließungsaussagen für Eigenwerte
hermitescher Integraloperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 346
24.8. Konvergenzaussagen bei der näherungsweisen Berechnung von Eigenwerten . 357
21). Fehlerschranken, Konvergenz und Stabilität der Näherungslösungen von
Operatorgleichungen zweiter Art 364
25.1. Die Theorie von ANsELoNE 364
Inhaltsverzeichnis 7
25.2. Die Theorie von KANTOROWITSCH • 377
25.3. Die Theorie von VA INIKKO • • • • 388
25.4. Die Anwendung der Theorie monotoner Operatoren auf Fredholmsche Integral-
gleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
25.5. Die Stabilitä.t der Lösung von Operatorgleichungen . . . . . . . . . . . . 403
VI. EINIGE ANWENDUNGEN VON INTEGRALGLEICHUNGEN
26. Anwendung der Theorie der Integralgleichungen zur Lösung von Differential
gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
26.1. Die Lösung von Anfangswertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen
mit Hilfe von Volterraschen Integralgleichungen ............. 411
26.2. Die Lösung von Randwertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen mit
Hilfe von Integralgleichungen . . . . • . . . . . . . . . . . . .. 415
26.2.1. Lineare Randwertaufgaben und ihre Adjungierten . . . . . . . . . .. 415
26.2.2. Umkehrung eines linearen Differentialoperators. Die Greensche Funktion. 419
26.2.3. Beispiele und Gegenbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., 424
26.2.4. Der Zusammenhang von Randwertaufgaben und Integralgleichungen .. 428
26.3. Die Anwendung der Integralgleichungen zur Lösung der Grundaufgaben der
Potentialtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
26.3.1. Das Potential einer einfachen Schicht und einer Doppelschicht . . . . . . . 430
26.3.2. Die Integralgleichungen der Randwertaufgaben der Potentialtheorie im drei
dimensionalen Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
26.3.3. Die potentialtheoretischen Randwertaufgaben in der Ebene . . . . . . . . 440
26.3.4. Die Greensche Funktion für partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung
von zwei unabhängigen Veränderlichen. . . . . . . . . . 443
26.3.5. Ein Beispiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
26.3.6. Die Greensche Funktion für den rä.umlichen Laplaceoperator . . . . . . . . 453
26.4. Ein Anwendungsbeispiel der Wiener-Hopfschen Integralgleichung zur Lösung
einer Randwertaufgabe . . . . . . . . . . . 456
27. Integralgleichungen und konforme Abbildungen 463
27.1. Die Integralgleichungen der konformen Abbildung 463
27.2. Die Lösung der Gerschgorinschen Integralgleichung 472
28. Einige Probleme der Elastizitätstheorie . . . . . 485
28.1. Die Schwingungen linearer elastischer Gebilde und die statische und kinetische
Stabilität von Stäben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
28.2. Die Randwertaufgaben der linearen Scheiben-und Plattentheorie und ihre Dar
stellung im Komplexen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
28.3. Die Integralgleichungen der ebenen Elastizitätstheorie im Komplexen . . . . 512
28.4. Die Integralgleichungen der ebenen Elastizitätstheorie bei Benutzung der kon-
formen Abbildung .......................... 526
28.5. Eine reelle Integralgleichungsmethode für gemischte Probleme der Platten-
biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
28.6. Eine Integralgleichung für das Torsionsproblem . 537
28.7. Weitere Literaturhinweise . . . . . . . . . . 544
8 Inhaltsverzeichnis
29. Einige Probleme der Strömungsmechanik 547
29.1. Ebene Potentialströmungen • . . . . . 547
29.2. Die Zirkulationsgleichung für Einzelprofile und Schaufelgitter 549
29.3. Lösung der Zirkulationsgleichungen durch Reihenentwicklungen . 554
29.4. Die Prandtlsche Gleichung der tragenden Linie . . . . . . . . 559
29.5. Die Schubertsche Gleichung für den freifahrenden, schwach belasteten Propeller 563
29.6. Äquivalente Regularisierung einer linearen singulären Integrodifferentialglei.
chung der Tragflügeltheorie . . . . . 568
30. Einige Probleme der Elektrodynamik 575
30.1. Die Grundgleichungen des elektromagnetischen Feldes . 575
30.2. Die Beugung einer Welle an einem Kreiszylinder ... 579
30.3. Die Beugung einer Welle an einem sehr engen Spalt .. 583
30.4. Elektromagnetische Schwingungen im inhomogenen Raum 587
31. Die Integralgleichung der Neutronentransporttheorie 593
32. Die Integralgleichung der Erneuerungstheorie 604
Literaturverzeichnis 615
Inhalt von Band 1 . 691
Inhalt von Band 2 . 692
Inhalt von Band 3 . 694
Bezeichnungen 696
Symbole ... 699
Namen- und Sachverzeichnis. . 700
v.
NUMERISCHE METHODEN
ZUR LÖSUNG
LINEARER INTEGRALGLEICHUNGEN
Einleitende Bemerkungen
Nachdem in Kapitel 5 die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen
linearer Integralgleichungen geklärt und in den danach folgenden Kapiteln allgemeine
Lösungsverfahren für verschiedene Klassen von Integralgleichungen entwickelt
worden sind, wobei auch eine Reihe wichtiger Eigenschaften der Lösungen unter
sucht wurden, soll nunmehr einiges über die genäherte numerische Bestimmung
der Lösungsfunktionen und der zu den Integraloperatoren gehörigen Eigenwerte
. gesagt werden.
Es ist eine Vielzahl von Verfahren zur Auflösung linearer und auch nichtlinearer
Operatorgleichungen mit beschränktem Operator ausgearbeitet worden, die sich auf
die Bestimmung der Lösungen von Integralgleichungen anwenden lassen. Darüber
hinaus gibt es zahlreiche Methoden, die sich in sehr spezieller Weise mit der genäherten
Berechnung der durch die Integralgleichung bestimmten Funktionen befassen. Aber
nicht jedes Verfahren, das im Prinzip die Konstruktion einer Lösung gestattet,
eignet sich für die praktische Ermittlung einer geeigneten Näherung auf einer
Rechenanlage. Folgende Grundsätze müssen beachtet werden:
1. Beim einzusetzenden praktischen Rechenverfahren darf der erforderliche
Rechenaufwand (auch beim Einsatz schnellrechnender elektronischer Daten
verarbeitungsanlagen) nicht zu groß sein.
2. Das Rechenverfahren soll einerseits auf genügend breite Problemklassen an
wendbar sein, erfordert aber andererseits oft eine besondere Anpassung an die
konkret gestellte Aufgabe, damit auf diese Weise die besonderen Bedingungen des
Problems berücksichtigt werden können und gegebenenfalls wertvolle Rechenzeit
eingespart werden kann.
3. Die errechneten Näherungen müssen die wahre Lösung mit einer genügenden
Genauigkeit approximieren, wobei möglichst eine brauchbare Fehlerabschätzung
vorhanden sein soll.
4. Die unvermeidlich auftretenden Rundungsfehler bei numerischen Rechnungen
dürfen bei dem gewählten Rechenverfahren nicht zu einem Verlust der Stabilität
der Lösung führen.
Unabhängig vom Typ der zu untersuchenden Integralgleichungen kann man zu
Näherungslösungen gelangen, indem man entweder den Kern des Integraloperators
in einer geeigneten (vereinfachten) Weise approximiert oder aber bei vorgelegtem
Integraloperator die Lösungsfunktion durch einfachere Funktionen annähert und
anschließend verbessert. Auch der Ersatz des Integraloperators durch einen Summen
operator ist möglich oder aber die gleichzeitige Anwendung mehrerer derartiger
Vorgehensweisen.