TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ´ALGEBRA Y SUS DIFERENTES DEMOSTRACIONES LAURA ...

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TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA Y SUS DIFERENTES
DEMOSTRACIONES
LAURA MARCELA SALAZAR CRUZ
TRABAJO DE GRADO
Presentado como requisito parcial
Para optar por el t´ıtulo de
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MATEMATICO
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
FACULTAD DE CIENCIAS
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CARRERA DE MATEMATICAS
Bogota´, D.C.
Octubre de 2009
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Nota de Advertencia
Art´ıculo 23 de la Resolucio´n N◦ 13 de Julio de 1946
“La Universidad no se hace responsable por los conceptos emitidos por sus
alumnos en sus trabajos de tesis. Solo velara´ por que no se publique na-
da contrario al dogma y a la moral cato´lica y por que las tesis no contengan
ataques personales contra persona alguna, antes bien se vea en ellas el anhelo
de buscar la verdad y la justicia”.
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iv NOTA DE ADVERTENCIA
Nota Aclaratoria
Art´ıculo 23 de la Resolucio´n N◦ 13 de Julio de 1946
“A pesar de que los teoremas presentados en esta monograf´ıa fueron aborda-
dos por la autora de la misma, su enunciado y demostracio´n fueron encontra-
dos en las referencias citadas en la bibliograf´ıa. Esto significa que ninguno de
estos teoremas es propiedad intelectual de la autora de este trabajo de grado.
Adema´s, cualquier error conceptual o tipogra´fico de dichas demostraciones
en este escrito es responsabilidad exclusiva de la autora de la monograf´ıa.”.
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vi NOTA ACLARATORIA
Resumen
El presente trabajo presenta una recopilacio´n de informacio´n variada so-
bre el Teorema Fundamental del A´ lgebra despu´es de haberse investigado a
trav´es de escritos en revistas, libros y monograf´ıas sobre el tema; se pudieron
observar algunas caracter´ısticas del problema que me permiti´o poder clasi-
ficar las distintas demostraciones que encontr´e de este teorema por a´reas de
la matema´tica, ya que dependiendo de los recursos que fueron necesarios uti-
lizar en sus demostraciones podr´ıamos caracterizar el tipo de demostracio´n.
Es as´ı como encontr´e demostraciones del Teorema Fundamental del A´ lgebra
a partir de las siguientes a´reas de la matema´tica:
1.A´ lgebra.
2.Variable Compleja.
3.Ana´lisis Matem´atico.
4.Geometr´ıa.
5.Topolog´ıa.
La matema´tica es como toda construccio´n humana, producto del trabajo
social del hombre, de ah´ı la necesidad de ubicar historicamente sus resulta-
dos, es por eso que no solamente se presentaron los tipos de demostracio´n del
Teorema Fundamental del A´ lgebra, sino que tambi´en se presentaron algunas
referencias hist´oricas de los art´ıfices de dichas pruebas porque se pretende
que el lector de este trabajo no solo est´e en condiciones de entender los pro-
cesos l´ogicos deductivos que encierran dichas demostraciones sino tambi´en
pueda formarse una cultura sobre el tema.
El trabajo esta´ dividido en 8 cap´ıtulos iniciando con una introduccio´n histo´ri-
ca del problema, pasando a continuacio´n a la presentacio´n de las ecuaciones
de tercer y cuarto grado, y las soluciones de las mismas, de ah´ı surge la pre-
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viii RESUMEN
gunta de si todo nu´mero complejo es ra´ız de un polinomio con coeficientes
racionales, lo cual me llevo´ a introducirme en la teor´ıa de nu´meros trascen-
dentales para probar que existen nu´meros que no son ra´ıces de dicho tipo de
ecuaciones.
Estaban dadas ya las condiciones para abordar el problema del Teorema
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Fundamental del Algebra a partir de las diferentes a´reas. Como hecho sor-
prendente encontr´e en los teoremas cla´sicos de la variable compleja mecanis-
mos valiosos para poder demostrar dicho teorema; segu´n mi punto de vista,
estas demostraciones eran las ma´s asequibles desde el punto de vista de su
dificultad de elaboracio´n.
En seguida pas´e a estudiar este teorema a partir del a´lgebra y encontr´e que
los caminos que me conduc´ıan a la solucio´n de dicho problema eran mucho
ma´s elaborados, y entre los resultados que ma´s me sorprendieron esta´ el haber
encontrado que el nu´mero −1 en un cuerpo es a la larga “el ma´s importante”
ya que su comportamiento en el cuerpo y en las extensiones finitas de dicho
cuerpo nos permiten determinar si el cuerpo obtenido por la adjuncio´n de la
ra´ız cuadrada de −1 a dicho cuerpo es algebraicamente cerrado.
Despu´es de esta interesante aventura me dediqu´e a estudiar el Teorema Fun-
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damental del Algebra a partir del ana´lisis empleando el teorema de Rouch´e y
a partir de la topolog´ıa por medio del lema del punto fijo, observando con
sorpresa y admiracio´n co´mo a partir de estos enfoques tambi´en se pod´ıa re-
solver un problema del a´lgebra.
Como es obvio, no pod´ıa dejar de abordar dicho teorema sin tener en cuenta
el enfoque hist´orico a trav´es de las pruebas de Gauss y de ah´ı que termin´e con
el esquema de las diferentes pruebas de Gauss.
Sin pretender afirmar que se ha oscultado todo lo que hay al respecto, creo
que este trabajo puede servir a quien est´e interesado en estudiar este tema
como un instrumento u´til que le allana el camino para el logro del objetivo
que se propone.
Objetivos
Objetivo general
Hacer una investigacio´n que permita recopilar, clasificar y organizar la
mayor parte de la literatura existente relativa al Teorema Fundamental del
A´ lgebra que pueda servir de ejemplo acerca de co´mo puede ser tratado un
mismo problema trascendental desde diferentes a´reas de la matema´tica.
Objetivos espec´ıficos
Mostrar co´mo se pueden abordar problemas en matema´ticas desde
diferentes enfoques.
Contribuir y enriquecer el bagaje cultural que se desprende de todo lo
que se ha hecho alrededor del tema.
Dar a trav´es de este problema un ejemplo significativo de co´mo la
ciencia es una construcci´on social del hombre.
Mostrar que lo importante de la matema´tica no es el obtener resultados
sino los caminos que conducen a estos.
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x OBJETIVOS