tc süleyman demirel üniversitesi fen bilimleri enstitüsü singüler adi diferansiyel denklemler için sınır d

64 Pages·2008·0.54 MB·Turkish

T.C.
SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

SİNGÜLER ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN SINIR
DEĞER PROBLEMLERİ

Pakize Neval ZEYNELGİL

Danışman: Prof. Dr. Bilender PAŞAOĞLU

YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ISPARTA – 2008
İÇİNDEKİLER
Sayfa
İÇİNDEKİLER………………………………………………………………………i
ÖZET………………………………………………………………………………..iii
ABSTRACT………………………………………………………………………....iv
TEŞEKKÜR………………………………………………………………………….v
SİMGELER DİZİNİ………………………………………………………………....vi
1. GİRİŞ………………………………………………………………………………1
2. TEMEL KAVRAMLAR…...……...………………………………………………3
3.BESSEL DİFERANSİYEL DENKLEMİ VE BESSEL DİFERANSİYEL
DENKLEMİN ÇÖZÜMÜ…………………….……………………………………...6
3.1. Bessel Diferansiyel Denklemi……………………………………………………6
3.2. Bessel Diferansiyel Denkleminin Çözümü………………………………………8
3.3. Bessel Fonksiyonlarının İndirgeme Formülleri………………………………...14
3.4. Hankel Fonksiyonları…………………………………………………………...15
3.5. νTek Tam Sayının Yarısı İken J (x) Bessel fonksiyonu……………………..16
ν
3.6. J (x) ile J (x) in Lineer Bağımsızlığı……………………………………….17
ν −ν
3.7. Değiştirilmiş ( Modifiye ) Bessel Denklemi……………………………………20
3.8. Jacobi Açılımı ve Bessel İntegrali………...……………………………………21
3.9. Bessel Denklemine Dönüşebilen Denklemler………………………………….24
3.10. Bessel-Fourier Açılımı………………………………………………………...27
4. BESSEL KARESİ DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ VE BU DENKLEM İÇİN
LİM-4 DURUMU…………………………………………………………………...28
4.1. Hamilton Sistem Formülü ve Regüler Sınır Koşulları………………………….29
4.2. ‘S’ Dönüşümü ve Plücker Özdeşliği……………………………………………38
4.3. Lim-4 Durumu Genel Teori…………………………………………………….40
  i
4.4. Bessel Karesi Denkleminin Çözümleri…………………………………………44
4.5. Lim-4 Durumunun Bessel Karesi Denklemine Uygulanması………………….52
5. KAYNAKLAR…………………………………………………………………...57
ÖZGEÇMİŞ…………………………………………………………………………59

  ii
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
SİNGÜLER ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN SINIR DEĞER
PROBLEMLERİ

Pakize Neval ZEYNELGİL
Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı

Jüri : Prof. Dr. Bilender PAŞAOĞLU (Danışman)
Prof. Dr. Sadulla JAFAROV
Prof. Dr. A. Ceylan ÇÖKEN

Bu tez dört bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde konunun tarihsel gelişimi verilmiştir.

İkinci bölümde bazı temel kavramlar verilmiştir.

Üçüncü bölümde Laplace denkleminin silindirik koordinatlardaki ifadesinden
yararlanarak Bessel denklemi elde edilmiştir. Bessel denkleminin çözümleri olan
Bessel fonksiyonları ve onların özellikleri üzerinde durulmuştur. Daha sonra Bessel
denklemine dönüşebilen denklemler incelenmiş ve son olarak da Bessel fourier
açılımı verilmiştir.

Dördüncü bölümde Bessel karesi denklemi incelenmiştir. Dördüncü mertebeden
diferansiyel denklem için Hamilton sistem formülü ve regüler sınır koşulları
incelenmiştir. Son olarak da lim-4 durumunun genel teorisi verilerek, Bessel karesi
denklemi çözülmüş ve Bessel karesi denklemi için lim-4 durumu incelenmiştir.

Anahtar Kelimeler: Laplace Denklemi, Bessel Denklemi, Dördüncü Mertebeden
Diferansiyel Denklem, Bessel Karesi Denklemi

2008, 59 sayfa
  iii
ABSTRACT
M. Sc. Thesis

BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR SINGULAR ORDINARY
DIFFERENTİAL EQUATİONS

Pakize Neval ZEYNELGİL
Süleyman Demirel University Graduate School of Applied and Natural Sciences
Mathematics Department

Thesis Committee: Prof. Dr. Bilender PAŞAOĞLU (Supervisor)
Prof. Dr. Sadulla JAFAROV
Prof. Dr. A. Ceylan ÇÖKEN

This thesis consists of four chapters.

In the first chapter, the historical progress of the subject is considered.

In the second chapter, some essential definitios is given.

In the third chapters, Bessel equation is obtained through the cylindrical coordinates
of Laplace equation. In addition, Bessel functions which are the solutions of Bessel
equation and their proporties are studied. At the end Fourier-Bessel expansions are
obtained.

In the fourth chapter, Bessel-squared equation is obtained. Hamiltonian system
formulation and regular boundary condiations are studied for fourth order differential
equation. At the end we obtain independent solutions of the Bessel-squared equation
and wish to apply the teory to the Bessel-sqared operator that lim-4 case

Key Words: Laplace Equation, Bessel Equation, Fourth Order Symmetric
Differential Equation, Bessel-Squared Equation

2008, 59 pages
  iv
TEŞEKKÜR
Bu çalışmayı bana öneren, çalışmalarım süresince yakın ilgi ve yardımlarını
esirgemeyen, değerli hocam Sayın Prof. Dr. Bilender PAŞAOĞLU’na teşekkür
ederim.

Ayrıca tezimin her aşamasında maddi ve manevi desteklerini devamlı hissettiğim
aileme en içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım.

Pakize Neval ZEYNELGİL
ISPARTA, 2008
  v
SİMGELER DİZİNİ

R Reel sayılar kümesi
C Kompleks sayılar kümesi
D(A) A’nın tanım kümesi
L Maksimal operatör
∇2 Laplace operatörü
J (x) ν inci basamaktan 1 inci çeşit Bessel fonksiyonu
v
I (x) ν inci basamaktan 1 inci çeşit değiştirilmiş Bessel fonksiyonu
v
γ Euler sabiti
Y (x) ν inci basamaktan 2 inci çeşit Bessel fonksiyonu (Weber Fonksiyonu)
v
H (x) ν inci basamaktan 3 üncü çeşit Bessel fonksiyonu (Hankel)
v
Γ(v) Gamma fonksiyonu
ω(λ) Özdeğer
f(x) Özfonksiyon
G(x,.,λ) Green fonksiyonu

vi
1.GİRİŞ

Doğada gerçekleşen fiziksel olayların incelenmesi, kuantum mekanik ve kuantum
fiziğin konularının oluşmasına yol açmıştır. Fizik alanındaki bu bilimsel gelişmeler
matematik biliminin gelişmesinde büyük ölçüde etkili olmuştur.

Tezde singüler adi diferansiyel denklemlerden biri olan Bessel denklemlerine yer
verilmiştir. Bessel denklemleri ile matematiğin birçok dallarında matematiksel fizik,
temel bilimler ve mühendislik bilimlerinin uğraşlarına giren pek çok problemin
çözümünde karşılaşılır. Bessel fonksiyonlarına göre seri açılımı hem diferansiyel
denklemler teorisi hem de fonksiyonlar ve seriler teorisi gibi dallarda sıkça
kullanılmaktadır. Bessel fonksiyonları üzerindeki çalışmalar 19. yüzyılda Alman
matematikçi Freidrich Wilhelm Bessel (1784-1846) tarafından yapılmıştır.
Astronomik bir problem olan yerkürenin güneş etrafında dönme yörüngesinin
bulunması ile uğraşırken Bessel denklemini ortaya çıkarmıştır. Zaman geçtikçe telin
ve zarın titreşimleri gibi fiziksel olaylarda Bessel denklemine getirilmiştir. 20.
yüzyılda ise bu denklem, kuantum mekanik ve kuantum fizik problemlerinde de sık
sık kullanılmıştır.

Ayrıca fiziğin ve mekaniğin pek çok problemi adi diferansiyel denklemler için sınır
değer problemi ile bağlantılıdır. Bu problemler genellikle kısmi türevli denklemlerde
değişkenleri ayrılması yöntemi (Fourier yöntemi) kullanıldıktan sonra adi
diferansiyel denklemler için sınır değer problemine dönüşmektedir. Bu problemlerin
singüler (tekil) diferansiyel denklemler için daha da önemli olduğu son yıllarda
ortaya çıkmıştır. Tanım kümesi sınırlı ve katsayıları sürekli fonksiyonlar olan
diferansiyel operatörlere regüler; tanım bölgesi sınırsız veya katsayıları (bazıları veya
tamamı) integrallenebilir olmayan (veya her ikisi sağlanacak biçimde) diferansiyel
operatörlere ise singüler denir. Singüler operatörler için spektral teori ilk olarak Weyl
tarafından incelenmiştir. Daha sonra Rietsz, Neumann ve diğer matematikçiler
tarafından simetrik ve self-adjoint operatörlerin genel spektral teorisi
oluşturulmuştur.
1
Dördüncü mertebeden Bessel denklemleri, Bessel denklemlerine ait sınır değer
problemini ve Bessel karesi denklemini Everitt (2006-2007) ve Fulton (1988) yapmış
oldukları çalışmalarında incelemişlerdir.

Bu tezde Bessel karesi denklemi ele alınmış daha sonra bu denklem için özfonksiyon
elde etme noktasına kadar analizler yapılmıştır. Son olarak da Lim-4 durumunun
genel teorisi verilerek Bessel karesi denklemi için Lim-4 durumu incelenmiştir.

2
2.TEMEL KAVRAMLAR

Tanım 2.1: f(x) ve g(x) fonksiyonları bir x−x ≤ a aralığında birinci türevlere
0
sahip olsunlar. Bu durumda W(f,g)= f(x)g′(x)− f ′(x)g(x) ifadesine f(x) ve
g(x) fonksiyonlarının wronskiyeni denir (Marchenko, 1986).

Tanım 2.2: (Hilbert uzayı) x,y,z elemanlarından oluşan herhangi bir cümle H
olsun ve aşağıdaki aksiyomları sağlasın.
1. H lineer kompleks uzay olsun
2. H nin her x,y ikili elemanına karşılık gelen < x,y > kompleks sayısı için
a) < x,y >=< y,x >
b) < x + x ,y >=< x ,y > + < x ,y >, (x ,x ∈H)
1 2 1 2 1 2
c) <λx,y >=λ< x,y > (Her kompleks λsayısı için)
( )
3. d x,y = x− y metriği anlamında H tamdır.
4. Her n doğal sayısı için H de n sayıda lineer bağımsız eleman vardır. Yani
H sonsuz boyutludur. Bu durumda, 1−4 şartlarını sağlayan uzaya Soyut Hilbert
Uzayı, 1−3 şartlarını sağlayan uzaya ise Üniter Hilbert uzayı denir (Liusternik,
1961).

Tanım2.3: (Lineer Operatör) H Hilbert uzayının herhangi bir D ⊆ H lineer alt
uzayı ve bir Aoperatörü için,
A:D ⊆ H → H
dönüşümü verilsin. Eğer α,α ∈Cve her x ,x ∈D için
1 2 1 2
A(αx +α x )=αAx +α Ax
1 1 2 2 1 1 2 2
eşitliği sağlanıyorsa A dönüşümüne lineer operatör, D ye ise A operatörünün tanım
bölgesi denir ve D(A) ile gösterilir. A operatörünün değer kümesi de Im(A) veya
R(A) ile gösterilir (Naimark, 1968).

Tanım2.4: H Hilbert uzayında tanımlanan bir lineer A operatörü için, her
x∈H olmak üzere
3