Stellenwertverständnis im Zahlenraum bis 100: Theoretische und empirische Analysen

251 Pages·2017·5.43 MB·German

by  Marina Fromme

Marina Fromme
Stellenwertverständnis
im Zahlenraum bis 100
Theoretische und empirische Analysen
Mit einem Geleitwort von Prof. Dr. Christiane Benz
und Prof. Dr. Sebastian Wartha
Marina Fromme
Gütersloh, Deutschland
Dissertation der Pädagogischen Hochschule Karlsruhe, 2015
ISBN 978-3-658-14774-7 ISBN 978-3-658-14775-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-658-14775-4
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Geleitwort

Das vorliegende Buch thematisiert ein zugleich zentrales und vergleichsweise
wenig erforschtes Konstrukt der Mathematikdidaktik: Das Stellenwertverständnis.
Zahlreiche Veröffentlichungen, auch Lehrpläne und Curricula nehmen darauf
Bezug, indem sie entweder ein tragfähiges Stellenwertverständnis als notwendige
Voraussetzung für den Aufbau von flexiblen Zahlvorstellungen und
Rechenstrategien oder ein mangelndes Stellenwertverständnis als Symptom für
besondere Schwierigkeiten beim Rechnen nennen. Während mathematisch klar
definiert ist, was unter dem (dezimalen) Stellenwertsystem verstanden werden
kann, liegt keine eindeutige Beschreibung von „Stellenwert- verständnis“ vor. Die
Autorin Marina Fromme nähert sich dieser äußerst anspruchsvollen Aufgabe von
zwei Seiten: Einerseits analysiert sie die Literatur der letzten Jahrzehnte und
systematisiert theoretische und empirische Forschungsergebnisse, um hieraus ein
theoretisches Modell zu generieren. Andererseits entwickelt sie auf der Grundlage
des Modelles ein diagnostisches Instrumentarium, das sie an 93 Kindern der 2. und
3. Jahrgangsstufe in Form von halbstandardisierten Interviews einsetzt. Über
umfassende Analysen zu allen relevanten Teilaspekten stellt sie Bearbeitungs-
prozesse und Fehler präzise und umfassend dar. Die Forschungsfragen, die auch in
Form von theoretisch begründeten Hypothesen formuliert sind, werden mit Hilfe
der Analysen und daraus stringent abgeleiteten Interpretationen untersucht. Mit
einer Definition von Stellenwertverständnis, einer Ausschärfung der theoretischen
Fundierung von „Verstehen“ und einem für weitere Forschungs- und
Entwicklungsarbeiten sehr gut nutzbarem Überblick über falsche, informelle und
elaborierte Prozesse zu Teilkompetenzen von Stellenwertverständnis schließt die
Arbeit.
Das vorliegende Buch richtet sich einerseits an die fachdidaktische Forschungs-
und Entwicklungsarbeit, da umfangreiche Detailanalysen zu Teilaspekten eines
Stellenwertverständnisses vorgestellt und interpretiert werden, andererseits an alle,
die an mathematischen Denkprozessen interessiert sind. Die vorgestellten
Analysen geben einen vertieften Einblick in arithmetische Denkprozesse und
Hürden beim Aufbau von Zahlvorstellungen.

Sebastian Wartha & Christiane Benz
Inhaltsverzeichnis
Geleitwort .................................................................................................................. V
Danksagung ............................................................................................................ VII
Abbildungsverzeichnis .......................................................................................... XIII
Tabellenverzeichnis ................................................................................................ XV
1. Einleitung ............................................................................................................... 1
2. Begriffsklärung: Stellenwert – Verständnis ........................................................... 3
2.1 Mathematische Definition von dezimalem Stellenwertsystem ........................... 3
2.2 Ausgewählte Theorien zur Klärung von Verständnis in der
mathematikdidaktischen Forschung ................................................................... 4
2.2.1 Netzwerk von Informationsbestandteilen................................................ 5
2.2.2 Grundvorstellungen ................................................................................ 6
2.2.3 Subjektive Erfahrungsbereiche ............................................................... 8
2.2.4 Zwischenfazit und Ausblick ................................................................. 10
3. Stellenwertverständnis als Gegenstand empirischer Forschung .......................... 11
3.1 Studien zur Beschreibung und Entwicklung von Stellenwertverständnis ......... 11
3.1.1 Research and Development Related to Learning About Numerals for
Whole Numbers, Ashlock (1978) ......................................................... 12
3.1.2 Encouraging thinking in mathematics, Kamii (1982) ............................ 15
3.1.3 A developmental theory of number understanding, Resnick (1983) ...... 17
3.1.4 Understanding of Numeration in Primary School, Bednarz & Janvier
(1982)................................................................................................... 20
3.1.5 Parts, Wholes, and Place Value: A Developmental View, Ross (1989)
& Ergänzung durch Ross (1985) .......................................................... 23
3.1.6 Children's Conceptual Structures for Multidigit Numbers and Methods
of Multidigit Addition and Subtraction, Fuson, Wearne, Hiebert,
Murray, Human, Oliver, Carpenter & Fennema (1997) ........................ 25
3.1.7 Zwischenfazit ....................................................................................... 28
3.2 Studien zu Auswirkungen von Stellenwertverständnis und Zusammenhängen 30
3.2.1 Instruction, Understanding, and Skill in Multidigit Addition and
Subtraction, Hiebert & Wearne (1996) ................................................. 31
3.2.2 An investigation of the relationship between young children’s
understanding of the concept of place value and their competence at
mental addition, Thompson & Bramald (2002) .................................... 33
3.2.3 Training in Place-Value Concepts Improves Children’s Addition
Skills, Ho & Cheng (1997) ................................................................... 35
X Inhaltsverzeichnis
3.2.4 Zwischenfazit ....................................................................................... 36
3.3 Studien zum Einfluss von Zahlwortsystemen auf Stellenwertverständnis ........ 36
3.3.1 Comparisons of children’s cognitive representation of number: China,
France, Japan, Korea, Sweden, and the United States, Miura,
Okamoto, Kim, Chang, Steere, & Fayol (1994) .................................... 37
3.3.2 Whorf reloaded – Language effects on non-verbal number processing
in 1st grade – a trilingual study, Pixner, Möller, Hermanova, Nürk und
Kaufmann (2011) ................................................................................. 39
3.3.3 Zwischenfazit ....................................................................................... 39
3.4 Zusammenfassung und Übersicht ...................................................................... 40
4. Theoretische Darstellung der arithmetischen Inhalte zur Beschreibung von
Stellenwertverständnis .......................................................................................... 43
4.1 Arithmetische Inhalte als Bestandteile zum Stellenwertverständnis ................. 43
4.1.1 Zahlrepräsentation: Zahlzeichen ........................................................... 44
4.1.2 Zahlrepräsentation: Zahlwort................................................................ 45
4.1.3 Zahlrepräsentation: Zahldarstellung ..................................................... 49
4.1.4 Stellenwertprinzip und Bündelungsprinzip im ZR 100 ......................... 51
4.1.5 Übersetzungen zwischen Zahlrepräsentationen .................................... 53
4.1.6 Zwischenfazit ....................................................................................... 56
4.2 Vorkenntnisse zum Stellenwertverständnis ....................................................... 57
4.2.1 Zählen (bis 9 bzw. 12) .......................................................................... 57
4.2.2 Strukturieren ........................................................................................ 58
4.2.3 Nutzen der Teil-Ganzes-Beziehung ...................................................... 58
4.2.4 Bündeln ................................................................................................ 60
4.3 Modell zur Beschreibung von Stellenwertverständnis und Zwischenfazit ........ 61
4.4 Anwendungsbereiche von Stellenwertverständnis ............................................. 62
5. Typische Fehler, problematische Prozesse und Einflussfaktoren für
Stellenwertverständnis .......................................................................................... 65
5.1 Fehler und problematische Prozesse innerhalb einer Zahlrepräsentation .......... 65
5.1.1 Zahlwort ............................................................................................... 65
5.1.2 Zahlzeichen .......................................................................................... 66
5.2 Fehler und problematische Prozesse beim Übersetzen zwischen
Zahlrepräsentationen ........................................................................................ 67
5.2.1 Materialspezifische Fehler .................................................................... 67
5.2.2 Materialunspezifische Fehler ................................................................ 68
5.3 Fehler repräsentationsübergreifend .................................................................... 70
5.4 Zusammenfassung .............................................................................................. 72
6. Formulierung der Forschungsfragen .................................................................... 75
Inhaltsverzeichnis XI
7. Empirische Untersuchung im Bereich Stellenwertverständnis im
Querschnittdesign ................................................................................................. 79
7.1 Methode .............................................................................................................. 79
7.2 Stichprobe ........................................................................................................... 80
7.3 Durchführung der Interviews ............................................................................. 81
7.4 Auswertung der Interviews ................................................................................ 82
7.5 Auswertungen der empirischen Ergebnisse ....................................................... 83
7.5.1 Empirische Ergebnisse: Anwendungsbereich von SWV ....................... 85
7.5.2 Empirische Ergebnisse: Zahlzeichen .................................................... 96
7.5.3 Empirische Ergebnisse: Zahlwort ....................................................... 102
7.5.4 Empirische Ergebnisse: Zahldarstellung ............................................. 128
7.5.5 Empirische Ergebnisse: Stellenwertprinzip und Bündelungsprinzip ... 132
7.5.6 Empirische Ergebnisse: Übersetzungen zwischen
Zahlrepräsentationen .......................................................................... 155
7.5.7 Empirische Ergebnisse: Vorkenntnisse zum Stellenwertverständnis ... 194
8. Gesamtinterpretation der Ergebnisse.................................................................. 205
8.1 Beschreibung markanter Aspekte zum Stellenwertverständnis ....................... 205
8.1.1 Zahlendreher – repräsentationsübergreifend ....................................... 205
8.1.2 Zehner – als Begriff und in der Zahlvorstellung ................................. 207
8.1.3 Differenzierung semantischer und syntaktischer Ebene ...................... 209
8.1.4 Qualität von Übersetzungen zwischen Zahlrepräsentationen und
dessen Zusammenhang mit der Vorkenntnis Strukturieren ................. 210
8.2 Zuordnung der aufgetretenen Fehler zu möglichen Ursachen ......................... 212
8.3 Mögliche Beschreibung von Stellenwertverständnis für den deutschen
Sprachraum ..................................................................................................... 217
8.3.1 Beschreibung auf empirischer Basis ................................................... 218
8.3.2 Mögliche Definition von Stellenwertverständnis ................................ 221
8.3.3 Begründung der Theoriewahl zum Verständnisbegriff........................ 222
8.3.4 Entwicklung von Stellenwertverständnis ............................................ 224
9. Zusammenfassung und Ausblick........................................................................ 233
10. Literaturverzeichnis .......................................................................................... 237
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 2-1: Grundvorstellungskreislauf ................................................................................. 6
Abbildung 3-1: Unterschiedliche Repräsentationssysteme für Zahlen ....................................... 13
Abbildung 3-2: Zehnersystem, konstruiert auf das Einersystem ................................................ 15
Abbildung 3-3: Frühestes Stadium von dezimalem Wissen ...................................................... 18
Abbildung 3-4: theoretisches Bezugssystem ............................................................................... 21
Abbildung 3-5: Einfluss des Zahlwortsystems auf die Zahlvorstellung ..................................... 37
Abbildung 4-1: Zahlrepräsentationen mit Beispielen für Repräsentationstypen ........................ 44
Abbildung 4-2: Zwei Informationen in einem Zahlzeichen ........................................................ 44
Abbildung 4-3: Äquivalenz unterschiedlicher Bündelungszuständen ........................................ 52
Abbildung 4-4: Zahlrepräsentationen im Zusammenhang zum SW und BP ............................. 53
Abbildung 4-5: Übersetzungen zwischen Zahlrepräsentationen ................................................. 54
Abbildung 4-6: Modell zur Beschreibung von Stellenwertverständnis ...................................... 62
Abbildung 5-1: Beispiel für Fehler an der Stellenwerttafel ........................................................ 69
Abbildung 7-1: Analogienutzung bei schriftlich bestellten Rechenaufgaben ............................. 94
Abbildung 7-2: ausgelassene „Schnapszahlen“ beim Weiterzählen ab 76 (bis 100) ................ 103
Abbildung 7-3: Häufigkeitsverteilung 8 Zehner oder 60 Einer ................................................ 124
Abbildung 7-4: Sophies Verschriftlichung am Zahlenstrahl ..................................................... 128
Abbildung 7-5: Häufigkeiten der Angaben zur Anzahl enthaltener Zehner ............................. 153
Abbildung 7-6: Begriff Zehner im Modell ................................................................................ 154
Abbildung 7-7: Häufigkeitsverteilung der Zweitklässler - Zahlzeichen in Zahlwort ............... 157
Abbildung 7-8: Übersetzung von Zahlzeichen in Zahlwort ...................................................... 160
Abbildung 7-9: Häufigkeitsverteilung - Übersetzung Zahlwort in Zahlzeichen ....................... 162
Abbildung 7-10: Punktefeld ...................................................................................................... 195
Abbildung 7-11: Mögliche Strukturen im Punktefeld ............................................................... 196
Abbildung 7-12: Gesamtüberblick über alle verwendeten Strukturen ...................................... 197
Abbildung 7-13: Häufigkeiten von Strukturfehlern beim Strukturieren am Punktefeld ........... 198
Abbildung 7-14: Bündelung 24 Plättchen (Leon) ..................................................................... 201
Abbildung 7-15: Bündelung 24 Plättchen (Sophie) .................................................................. 201
Abbildung 8-1: Fehlerkategorisierung: Übersetzung kanonische ZD und ZZ .......................... 213
Abbildung 8-2: Fehlerkategorisierung: Übersetzung kanonische ZD und ZW ........................ 214
Abbildung 8-3: Fehlerkategorisierung: Bündelungsprinzip ..................................................... 215
Abbildung 8-4: Fehlerkategorisierung: Stellenwertprinzip ....................................................... 215
Abbildung 8-5: Modell zur Beschreibung von Stellenwertverständnis .................................... 219
Abbildung 8-6: Beschreibung: Sophies Entwicklungszustand von Stellenwertverständnis ..... 227
Abbildung 8-7: Beschreibung: Leons Entwicklungszustand von Stellenwertverständnis ........ 228
Tabellenverzeichnis
Tabelle 1: Beispiel für eine dreistellige Zahl im dezimalen Stellenwertsystem ........................ 4
Tabelle 2: Ausgewählte Analyseergebnisse: Ashlock (1978) .................................................. 14
Tabelle 3: Ausgewählte Analyseergebnisse: Kamii (1982) ..................................................... 16
Tabelle 4: Ausgewählte Analyseergebnisse: Resnick (1983) .................................................. 19
Tabelle 5: Bezugsrahmen zur Operationalisierung in Bednarz & Janvier (1982) .................. 22
Tabelle 6: Ausgewählte Analyseergebnisse: Bednarz & Janvier (1982) ................................. 23
Tabelle 7: Entwicklungsmodell von Stellenwertverständnis nach Ross (1985) ..................... 24
Tabelle 8: Ausgewählte Analyseergebnisse: Ross (1985) ....................................................... 25
Tabelle 9: Entwicklungsmodell von Stellenwertverständnis nach Fuson et al. (1997) ........... 26
Tabelle 10: Ausgewählte Analyseergebnisse: Fuson et al. (1997) ........................................... 28
Tabelle 11: Untersuchte arithmetische Inhalte in Studien zum Stellenwertverständnis .......... 29
Tabelle 12: Verständnisbegriff in Studien zum Stellenwertverständnis .................................. 30
Tabelle 13: Ausgewählte Analyseergebnisse: Hiebert & Wearne (1996) ................................ 33
Tabelle 14: Ausgewählte Analyseergebnisse: Thompson & Bramald (2002) ......................... 34
Tabelle 15: Ausgewählte Analyseergebnisse: Ho & Cheng (1997) ......................................... 36
Tabelle 16: Unterschiedliche Darstellungsformen innerhalb des Zahlzeichens ...................... 45
Tabelle 17: Unterschiedliche Sprechweisen des Zahlwortes ................................................... 46
Tabelle 18: Deutsches Zahlwortsystem in strukturorientierter Darstellung ............................. 47
Tabelle 19: Symbolische Zahlnotation im dekadischen Stellenwertsystem ............................ 47
Tabelle 20: Beispiele für materialspezifische Fehler ............................................................... 68
Tabelle 21: Beschreibung von Zahlendrehern im Modell ....................................................... 71
Tabelle 22: Typische Fehler und problematische Prozesse ..................................................... 73
Tabelle 23: Unterscheidung zwischen semantischen und syntaktischen Übersetzungen ........ 74
Tabelle 24: Verteilung des angegebenen Leistungsstands der Stichprobe durch Lehrer ......... 80
Tabelle 25: Verteilung sprachlicher Eigenschaften der Stichprobe ......................................... 81
Tabelle 26: Regionale Verteilung der Stichprobe .................................................................... 81
Tabelle 27: Inter-Coder-Reliabilität ......................................................................................... 83
Tabelle 28: Vergleich zwischen Zahlzeichen (Stellenwertprinzip) ......................................... 97
Tabelle 29: Fehlertypen beim Weiterzählen ab 76 (bis 100) ................................................. 103
Tabelle 30: Erfolgsquoten beim Weiterzählen ab 76 (bis 100) .............................................. 104
Tabelle 31: Fehlertypen beim Rückwärtszählen ab 84 (bis 65) ............................................. 107
Tabelle 32: Fehlerhäufigkeit beim ZÜ beim Rückwärtszählen ab 84 (bis 65) ...................... 107
Tabelle 33: Vorgehen beim Zählen in Zehnerschritten (über 100) ........................................ 109
Tabelle 34: Vorgehen beim Zählen in Zehnerschritten von 6 (unter 100) ............................. 111
Tabelle 35: Vorgehen beim Zählen in Zehnerschritten von 6 (über 100) .............................. 112
Tabelle 36: Zahlwortbildung entspricht nicht den Konventionen (über 100) ........................ 112
Tabelle 37: Erfolgsquoten beim Zählen im Zahlenraum bis 100 ........................................... 114
Tabelle 38: Kanonische Übertragung: 3 Zehner und 7 Einer (korrekte Lösungen) ............... 118
XVI Tabellenverzeichnis
Tabelle 39: Kanonische Übertragung: 3 Zehner und 7 Einer (fehlerhafte Lösungen) ........... 119
Tabelle 40: Nicht-kanonische Übertragung: 4 Z und 13 E (korrekte Lösungen) ................... 120
Tabelle 41: Nicht-kanonische Übertragung: 4 Z und 13 E (fehlerhafte Lösungen) ............... 121
Tabelle 42: Interpretation des Zahlwortes Hundert (Bündelungsprinzip) ............................. 126
Tabelle 43: Interpretation des Zahlwortes Hundert (weitere Lösungen) ............................... 126
Tabelle 44: Häufigkeitsverteilung der angegebenen Zahlen .................................................. 130
Tabelle 45: Materialkenntnis und -verwendung ..................................................................... 132
Tabelle 46: Zahlauffassung nicht-kanonischer Zahldarstellung 53 an MSB ......................... 135
Tabelle 47: Zahlauffassung nicht-kanonischer Zahldarstellung 56 an SWT ......................... 135
Tabelle 48: Zahldarstellung nicht-kanonischer Zahldarstellungen 37 an MSB ..................... 138
Tabelle 49: Zahldarstellung nicht-kanonischer Zahldarstellungen 31 an SWT ..................... 139
Tabelle 50: Zuordnung von 7 Einer in 77 zur Zahldarstellung an MSB kanonisch ............... 142
Tabelle 51: Zuordnung von 5Z in 53 zur Zahldarstellung an MSB nicht-kanonisch ............ 145
Tabelle 52: Zuordnung von 5Z in 53 zur Zahldarstellung an SWT nicht-kanonisch ............ 145
Tabelle 53: Bedeutung der 0 an der Einerstelle an SWT ....................................................... 149
Tabelle 54: Bedeutung der 0 an der Einerstelle an MSB ....................................................... 149
Tabelle 55: Häufigkeitsverteilung - Konventionen zwischen ZW und ZZ (56) .................... 158
Tabelle 56: Häufigkeitsverteilung - Konventionen zwischen ZW und ZZ (28) .................... 159
Tabelle 57: Häufigkeitsverteilung - Konventionen zwischen ZW und ZZ (70) .................... 159
Tabelle 58: Häufigkeitsverteilung Zahlendreher und inverse Schreibweise .......................... 163
Tabelle 59: Zusammenhang Zahlendreher und inverse Schreibweise bei Zweitklässlern ..... 163
Tabelle 60: Zahlwort (siebenunddreißig) in Zahldarstellung (an MSB) ................................ 166
Tabelle 61: Zahlwort (sechsundzwanzig) in Zahldarstellung (am RR) ................................. 168
Tabelle 62: Zahlwort (neunundachtzig) in Zahldarstellung (am RR) .................................... 169
Tabelle 63: Zahlwort (zweiundfünfzig) in Zahldarstellung (an SWT) .................................. 171
Tabelle 64: Zahldarstellung (an MSB) in Zahlwort (sechsunddreißig) ................................. 175
Tabelle 65: Zahldarstellung (am RR) in Zahlwort (fünfunddreißig) ..................................... 176
Tabelle 66: Zahldarstellung (an SWT) in Zahlwort (fünfunddreißig) ................................... 178
Tabelle 67: Zahlzeichen (52) in Zahldarstellung (an MSB) .................................................. 181
Tabelle 68: Zahlzeichen (52) in Zahldarstellung (an RR) ..................................................... 183
Tabelle 69: Zahlzeichen (31) in Zahldarstellung (an SWT) .................................................. 184
Tabelle 70: Zahldarstellung (an MSB) in Zahlzeichen (77 & Schreibweise) ........................ 187
Tabelle 71: Zahldarstellung (an MSB) in Zahlzeichen (30 & Schreibweise) ........................ 188
Tabelle 72: Zahldarstellung (am RR) in Zahlzeichen (64 & Schreibweise) .......................... 190
Tabelle 73: Zahldarstellung (am RR) in Zahlzeichen (78 & Schreibweise) .......................... 191
Tabelle 74: Zahldarstellung (an SWT) in Zahlzeichen (30 & Schreibweise) ........................ 192
Tabelle 75: Typenbildung zum Strukturieren am Punktefeld ................................................ 197
Tabelle 76: Angegebene Anzahl der Punkte .......................................................................... 198
Tabelle 77: Häufigkeitsverteilung von der Zahlzerlegung der 7 ............................................ 200
Tabellenverzeichnis XVII
Tabelle 78: Bearbeitungswege zum Bündeln von 24 Elementen ........................................... 203
Tabelle 79: Häufigkeitsverteilung von Zahlendrehern bei Übersetzungen ............................ 206
Tabelle 80: Zahlendreher bei Übersetzungen mit Zahldarstellungen an Materialien ............ 206
Tabelle 81: Sophies Zahldarstellungen .................................................................................. 207
Tabelle 82: Effektive Nutzung des Zahlzeichens bei Aufgaben zum Stellenwertprinzip ...... 209
Tabelle 83: Informelle und elaborierte Strategien bei Übersetzungen .................................. 211
Tabelle 84: Schreibweise von Zahlen über alle Aufgabenstellungen .................................... 216
Tabelle 85: mögliche Fehlerursachen (eigene Darstellung) ................................................... 217
Tabelle 86: Modellbeschreibung zur Entwicklung von Stellenwertverständnis .................... 226
Tabelle 87: typische Fehler zum Stellenwertverständnis im deutschen Sprachraum ............ 229