Statistische Signale: Grundlagen und Anwendungen

506 Pages·1997·12.96 MB·German

by  Universitätsprofessor Dr.-Ing. Eberhard Hänsler (auth.)

Eberhard Hansler
Statistische Signale
Springer
Berlin
Heidelberg
New York
Barcelona
Budapest
Hongkong
London
Mailand
Paris
Santa Clara
Singapur
Tokio
Eberhard RansIer
Statistische Signale
Grundlagen und Anwendungen
Zweite, neu bearbeitete und erweiterte Auflage
Mit 201 Abbildungen
Springer
Universitatsprofessor Dr.-Ing. Eberhard Hansler
Technische Hochschule Darmstadt
Institut fur Netzwerk-und Signaltheorie
MerckstraBe 25
D -64283 Darmstadt
Zum Titelbild:
Seit mehr als 2000 Jahren bedient sich der Mensch Signalen, um Nachrichten auszutauschen. Die Tech
nik, die er dafur benutzt, unterlag dabei einem zunehmend rascheren Wandel. So tTennen den Zeiger
telegraph en und die Satellitenantenne nUT etwa 200 Jahre. Die Signaltheorie aTbeitet mit Signalmodellen,
die technisch sehT verschieden Tealisiert werden kiinnen.
(Die Bildvorlagen wurden freundlicherweise vomlnformations-und Dokumentationszentrum deT Deut
schen Telekom AG und dem Museum flir Post und Kommunikation zur Verfugung gestellt.)
Hansler, Eberhard:
Statistische Signale: Grundlagen und Anwendungen / Eberhard Hansler. -2., neubearb. und erw.
Auflage. -Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Budapest; Honkong; London; Mailand; Paris;
Santa Clara; Singapur; Tokio: Springer 1997
ISBN-I3: 978-3-642-97694-0 e-ISBN-13: 978-3-642-97693-3
001: 10.1007/978-3-642-97693-3
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1997
Softcover reprint of the hardcover 2nd edition 1997
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Einbandentwurf: Struve & Partner, Heidelberg;
Satz: Camera ready Vorlage durch Autor
SPIN: 10548173 62/3020 -543 210 -Gedruckt auf saurefreiem Papier
Vorwort zur zweiten Auflage
Fur diese zweite Auflage wurden die Texte der ersten Auflage uberarbeitet und erganzt.
Neu aufgenommen wurden ein Abschnitt uber Momente h6herer Ordnung und Kapitel
uber Schatz- und Entscheidungsverfahren.
Die Anwendung von Verfahren, die Momente h6her als die Ordnung zwei benutzen,
scheitert derzeit meist noch an den erforderlichen sehr hohen Prozessorleistungen. Die
Weiterentwicklung der Mikroelektronik laBt jedoch erwarten, daB dieses Hindernis bald
uberwunden sein wird. Schatz- und Entscheidungsverfahren sind dagegen bereits jetzt
feste Grundlage nachrichten- und regelungstechnischer Produkte.
Vorlesungen an der Technischen Hochschule Darmstadt bildeten wieder den Ausgangs
punkt fur die Aufbereitung des Stoffes.
Auch hier gilt es wieder Dank zu sagen: Die Mitarbeiter meines Fachgebietes haben viel
dazu beigetragen, den Text verstiindlicher und fehlerfreier zu machen. Ulrike Hansler
hat das Manuskript abgeschrieben und ist dabei selbst an langen Formeln nicht ver
zweifelt. Der FernUniversitat Hagen danke ich fur die Freigabe der Texte der Vorlesung
"Signaltheorie I und II" fur dieses Buch.
Der Springer-Verlag ist wieder bereitwillig auf meine Wunsche eingegangen. Auch ihm
gilt mein Dank.
Darmstadt, im Herbst 1996 E. Hansler
Vorwort
Dieses Bueh ist entstanden aus Vorlesungen, die ieh seit 1974 an der Teehnisehen Hoeh
sehule Darmstadt halte, aus Weiterbildungsveranstaltungen und einer Vorlesung "Si
gnaltheorie I" fUr die FernUniversitat Hagen. In Darmstadt ist die Vorlesung "Grundla
gen der Statistisehen Signaltheorie" Ptliehtvorlesung fUr die Studenten der Naehriehten
und Regelungsteehnik. Es wird empfohlen, sie unmittelbar naeh AbsehluB der Diplom
Vorpriifung zu horen.
Der Inhalt des Buehes besehrankt sieh auf die Besehreibung statistiseher Signale dureh
deren Wahrseheinliehkeitsdiehten, insbesondere aber dureh deren Mittelwerte erster und
zweiter Ordnung. 1m Zentrum der Betraehtungen stehen Korrelationsfunktionen und
Leistungsdiehtespektren. Gegeniiber den "Grundlagen der Theorie statistiseher Signale"
[43] wurde der Teil, der sieh mit der Optimierung von Systemen besehaftigt, wesentlieh
erweitert. Dies hat zu einer Gliederung in "Grundlagen" und "Anwendungen" gefUhrt.
Vorlesungen und ein Bueh entstehen nieht ohne das kritisehe Interesse von Kollegen,
Mitarbeitern und Studenten. Allen sei an dieser Stelle gedankt. Mein besonderer Dank
aber gilt den Mitarbeitern des Faehgebietes Theorie der Signale an der Teehnisehen
Hoehsehule Darmstadt. Sie haben dureh konstruktive Kritik die Entwieklung der Vor
lesungen und damit aueh den Inhalt dieses Buehes beeintluBt. Dariiber hinaus haben
sie die miihevolle Aufgabe des Korrekturlesens iibernommen und mit wertvollen Anre
gungen zur Verbesserung des Textes beigetragen. SehlieBlieh muBten sie mithelfen, die
zahlreiehen groBen und die noeh zahlreieheren klein en Probleme zu losen, die entstehen,
wenn ein derartiger Text mit Reehnerhilfe erstellt wird.
Zu danken habe ieh aueh der FernUniversitat Hagen, die die Texte einer Vorlesung
"Signaltheorie I" fiir dieses Bueh freigegeben hat.
Das Manuskript haben meine Toehter Ute Hansler und Ulrike Hansler mit viel Gesehiek
abgesehrieben. Beiden gilt mein besonders herzlieher Dank. Ohne ihre Hilfe ware es nieht
moglieh gewesen, dem Verlag die Vorlage zu diesem Bueh druekfertig zu iibergeben.
SehlieBlieh habe ieh dem Springer-Verlag zu danken, der bereitwillig aufmeine Wiinsehe
bei der Herausgabe des Buehes eingegangen ist.
Darmstadt, im Sommer 1991 E. Hansler
Inhaltsverzeichnis
I Grundlagen 1
1 Einfiihrung 3
1.1 Zum Inhalt dieses Buches 3
1.2 Warum statistische Signalmodelle? 4
1.3 Kurzer historischer Uberblick 4
1.4 Modellbildung 6
1.5 Vorkenntnisse . 9
1.6 Formelzeichen. 10
2 Wahrscheinlichkeit - Zufallsvariablen 13
2.1 Wahrscheinlichkeit . . . . 13
2.1.1 Wahrscheinlichkeitsraum . 13
2.1.1.1 Ergebnismenge . . . . . . 13
2.1.1.2 Ereignisfeld . . . . . . . . 14
2.1.1.3 Definition der Wahrscheinlichkeit 16
2.2 Zufallsvariablen. . . . . . . . . . 19
2.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Wahrscheinlichkeitsverteilung und Wahrscheinlichkeitsdichte . 21
2.2.3 .G emeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung und gemeinsame Wahr-
scheinlichkeitsdichte . 25
2.2.4 Erwartungswert. . . . . 33
2.2.5 Momente, Korrelation . 36
2.2.6 Erzeugende Funktionen 43
2.2.6.1 Momenterzeugende Funktion 43
2.2.6.2 Charakteristische Funktion . 44
2.2.6.3 Kumulantenerzeugende Funktion 47
2.2.7 Schatzwert fUr eine Zufallsvariable 49
3 Zufallsprozesse 52
3.1 Definition und Beispiele 52
3.2 Wahrscheinlichkeitsverteilung und Wahrscheinlichkeitsdichte . 56
3.3 Schar- und Zeitmittelwerte 58
3.4 Stationarit at 65
3.5 Ergodizitat 69
3.6 Korrelation . 73
VIII Inhaltsverzeichnis
3.6.1 Komplexe Zufallsprozesse ........... 74
3.6.2 Eigenschaften der Au tokorrelationsfunktion 74
3.6.3 Eigenschaften der Kreuzkorrelationsfunktion . 79
3.6.4 Messung von Korrelationsfunktionen 79
3.6.5 Anwendungen. . . . . . . 82
3.7 Spektrale Leistungsdichte 85
3.7.1 Stationare Zufallsprozesse 86
3.7.2 Instationiire Zufallsprozesse 92
3.8 Spezielle Zufallsprozesse 94
3.8.1 GauBprozeB . 95
3.8.1.1 GauBdichte 95
3.8.1.2 ZufallsprozeB 100
3.8.2 PoissonprozeB . 101
3.8.3 ErlangprozeB 108
3.8.4 Markovketten . 110
3.8.5 ARMA-Prozesse 118
3.8.6 Bandbegrenzte Zufallsprozesse 122
4 Transformation von Zufallsprozessen durch Systeme 127
4.1 Begriff des Systems. . . . . . . . . . . 127
4.2 Einige Begriffe aus der Systemtheorie. . . . . . . . . . . . . 128
4.3 Zeitinvariante gedachtnisfreie Systeme . . . . . . . . . . . . 132
4.3.1 Transformation der Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion . 132
4.3.2 Transformation der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion 135
4.3.3 Transformation der Momente . . . . . . . . 140
4.4 Zeitinvariante lineare dynamische Systeme . 141
4.4.1 Transformation des linearen Mittelwertes .. 142
4.4.2 Transformation der Autokorrelationsfunktion 144
4.4.3 Transformation des Leistungsdichtespektrums 149
4.4.4 Anwendungsbeispiele . 153
4.4.4.1 Systemidentifikation . . . 154
4.4.4.2 Formfilter . . . . . . . . . 156
4.5 Aquivalente Verstiirkung . 166
4.6 Momente hoherer Ordnung . 171
4.6.1 Korrelationsfunktionen und Leistungsdichtespektren hoherer Ordnung 174
4.6.2 Kumulantfunktionen und Kumulantspektren. . . . . . . . . . . . .. 177
4.6.3 Identifizierung linearer Systeme mit Hilfe von Spektren hoherer Ordnung180
Inhal tsverzeichnis IX
II Anwendungen 187
5 Optimale Systeme 189
5.1 Klassifizierung von Schatzwerten 189
5.2 Optimierungskriterien 190
6 Linearer Pradiktor 199
6.1 Problemstellung und Voraussetzungen 199
6.2 Normal-Gleichung .......... . 200
6.3 Pradiktionsfehler . . . . . . . . . . . . 205
6.4 Rekursive Berechnung der Pradiktorkoeffizienten (Durbin-Algorithmus )208
6.5 Pradiktion urn M Schritte . . . . 216
6.6 Rekursion des Pradiktionsfehlers 218
7 SignalangepaBtes Filter 221
7.1 Einfiihrung . . . . . . . . . 221
7.2 Problemstellung .. . . . . 222
7.2.1 Maximierung eines Quotienten 223
7.2.2 Minimierung eines mittleren quadratischen Fehlers 235
7.3 Zeitdiskretes Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7.4 Eigenschaften des Ausgangssignals eines signalangepaBten Filters 239
7.5 Fehlerwahrscheinlichkeit bei biniirer Entscheidung . 245
7.6 Impulse verschiedener Form . . . . . . . . . . . . . 250
8 Optimalfilter nach Wiener und Kolmogoroff 254
8.1 Problemstellung ..... . . . . . . 254
8.2 Integralgleichung nach Wiener-Hopf 255
8.3 Nichtkausales Filter ..... . . . . 259
8.3.1 Optimaler Frequenzgang . . . . . . . 2.59
8.3.2 Minimaler mittlerer quadratischer Fehler . 265
8.4 Kausales Filter . . . . . . . . . . . . . . . 268
8.4.1 Optimaler Frequenzgang . . . . . . . . . . 268
8.4.2 Minimaler mittlerer quadrati scher Fehler . 281
8.5 Optimalfilter fiir pulsamplitudenmodulierte Signale 28.5
8.6 Zeitdiskretes Filter 298
9 Kalman-Filter 304
9.1 Zustandsvariablen 304
9.2 Rekursive Schiitzung - ein Beispiel 316
x Inhaltsverzeichnis
9.3 Der Filteralgorithmus ................. . 319
9.4 Verallgemeinerung der Voraussetzungen .............. . 332
9.4.1 System-und MeBrauschen mit von Null verschiedenem Mittelwert 332
9.4.2 Korreliertes System-und MeBrauschen . 333
9.4.3 Farbiges Systemrauschen . 335
10 Adaptive Filter 337
10.1 Anwendungsbereiche adaptiver Filter. 337
10.2 Allgemeine Voraussetzungen. . . . . . 342
10.3 Verfahren der kleinsten Quadrate ... 344
10.4 Verfahren mit mittlerem quadratischem Fehler . 349
10.5 Analyse des LMS-Algorithmus . . 355
10.5.1 Mittelwerte der Filterkoeffizienten 355
10.5.2 Konvergenz des Verfahrens 355
10.5.3 Geometrische Betrachtung . 363
10.5.4 EinfluJ3 einer Storung. . . . 366
10.6 Ein allgemeiner Ansatz .. 368
10.7 Adaption rekursiver Filter . 370
10.7.1 Minimaler mittlerer quadratischer Gleichungsfehler 376
10.7.2 Stabilitiit . . . . . . . . . 383
10.7.3 Der HARF-Algorithmus ....... . 386
11 Schatzung von Signalparametern 390
11.1 Schiitzung zufiilliger Parameter 391
11.1.1 Fehlerfunktion . . . . . . . . 391
11.1.2 Schiitzwert nach Bayes . . . . 393
11.1.2.1 Quadratische Fehlerfunktion . 395
11.1.2.2 Betrag als Fehlerfunktion . . 396
11.1.2.3 Einheitliche Fehlerbewertung 397
11.1.3 Invarianz von Schiitzwerten 402
11.1.3.1 1. Fall ............ . 402
11.1.3.2 2. Fall ............ . 405
11.1.4 Eine untere Grenze fur die Varianz des Schiitzfehlers 412
11.2 Schiitzung determinierter Parameter 415
11.2.1 Maximum-Likelihood-Schiitzwert 415
11.2.2 Cramer-Rao-Schranke . . . 416
12 Entscheidungsverfahren 426
12.1 Biniire Entscheidung . . . . 426