Springer-Handbuch der Mathematik II: Begründet von I.N. Bronstein und K.A. Semendjaew Weitergeführt von G. Grosche, V. Ziegler und D. Ziegler Herausgegeben von E. Zeidler

343 Pages·2012·3.04 MB·German

by  Eberhard Zeidler

Springer-Handbuch der Mathematik II
Herausgeber und Autor:
Prof.Dr.EberhardZeidler,Max-Planck-InstitutfürMathematikinden Naturwissen-
schaften,Leipzig,Deutschland
Springer-Handbuch der
Mathematik II
Begründet vonI.N.Bronstein undK.A.Semendjaew
WeitergeführtvonG.Grosche,V.ZieglerundD.Ziegler
Herausgegeben vonE.Zeidler
Herausgeber
Prof.Dr.EberhardZeidler
Max-Planck-InstitutfürMathematikindenNaturwissenschaften
Leipzig
Deutschland
ISBN978-3-658-00296-1 ISBN978-3-658-00297-8(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-00297-8
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Vorwort
Theoriacumpraxi
GottfriedWilhelmLeibniz(1646–1716)
DieMathematikspielteinewichtigeRolleinvielenBereichenunserermodernenGesellschaft.
Sie ist eine Querschnittswissenschaft und zugleich eine Schlüsseltechnologie mit vielfältigen
engen Verbindungen zu anderen Wissenschaften. Das betrifft die Naturwissenschaften, die
Ingenieurwissenschaften, die Informatik und Informationstechnologie, die Wirtschafts- und
Finanzwissenschaft,dieSozialwissenschaftensowiedieMedizin.Mathematikistabstraktund
zugleichsehrpraktisch.Dasvorliegende
SPRINGER-HANDBUCHDERMATHEMATIK,
das sich um einen breit angelegten Brückenschlag zwischen der Mathematik und ihren An-
wendungenbemüht,stellteinewesentlicheErweiterungdesSPRINGER-TASCHENBUCHES
DERMATHEMATIKdar,das2012imVerlagSpringerSpektrumerschienenist.DasSpringer-
HandbuchumfasstdiefolgendenvierTeile:
– TEILI:Analysis.
– TEILII:Algebra,Geometrie,GrundlagenderMathematik.
– TEILIII:VariationsrechnungundPhysik,Wahrscheinlichkeitsrechnungundmathematische
Statistik,NumerikundWissenschaftlichesRechnen,Wirtschafts-undFinanzmathematik,
AlgorithmikundInformatik.
– TEILIV:Funktionalanalysis,DynamischeSysteme,Mannigfaltigkeiten,Topologie,Mathe-
matischePhysik.
AlsmehrbändigesNachschlagewerkistdasSpringer-HandbuchinersterLiniefürwissenschaft-
licheBibliothekengedacht,dieihrenLeserinnenundLesernparallelzumSpringer-Taschenbuch
derMathematikdasumfangreichereMaterialdesSpringer-Handbuches(inelektronischerForm
und Papierform) zur Verfügung stellen wollen. Für individuell interessierte Leserinnen und
Leserseiauffolgendeshingewiesen.DieTeileIbisIIIdesSpringer-HandbuchesderMathematik
enthaltendieentsprechendenKapiteldesSpringer-TaschenbuchesderMathematik,diedurch
wichtigeszusätzlichesMaterialergänztwerden.DagegensinddieneunKapitelvonTeilIVnicht
imSpringer-TaschenbuchderMathematikenthalten.
TeilIenthältnebendemeinführendenKapitelunddemKapitel1desSpringer-Taschenbuches
der Mathematik zusätzliches Material zur höheren komplexen Funktionentheorie und zur
allgemeinenTheoriederpartiellenDifferentialgleichungen.
TeilIIenthältnebendenKapiteln2–4desSpringer-TaschenbuchesderMathematikzusätz-
lichesMaterialzufolgendenGebieten:multilineareAlgebra,höhereZahlentheorie,projektive
Geometrie,algebraischeGeometrieundGeometriendermodernenPhysik.
TeilIIIenthältnebendenKapiteln5–9desSpringer-TaschenbuchesderMathematikzusätzli-
chesMaterialzustochastischenProzessen.
vi Vorwort
TeilIVenthältdiefolgendenZusatzkapitelzumSpringer-TaschenbuchderMathematik:
– Kapitel10:HöhereAnalysis(TensoranalysisundspezielleRelativitätstheorie,Integralglei-
chungen,DistributionenundlinearepartielleDifferentialgleichungendermathematischen
Physik,moderneMaß-undIntegrationstheorie).
– Kapitel11:LineareFunktionalanalysisundihreAnwendungen.
– Kapitel12:NichtlineareFunktionalanalysisundihreAnwendungen.
– Kapitel13:DynamischeSysteme–MathematikderZeit.
– Kapitel14:NichtlinearepartielleDifferentialgleichungenindenNaturwissenschaften.
– Kapitel15:Mannigfaltigkeiten.
– Kapitel16:RiemannscheGeometrieundallgemeineRelativitätstheorie.
– Kapitel17:Liegruppen,LiealgebrenundElementarteilchen-MathematikderSymmetrie.
– Kapitel18:Topologie-MathematikdesqualitativenVerhaltens.
– Kapitel19:Krümmung,TopologieundAnalysis(EichheorieinMathematikundPhysik).
Hier werden im Rahmen der mathematischen Physik die Bedürfnisse der modernen Physik
berücksichtigt. Am Ende von Teil IV findet man eine Tafel zur Geschichte der Mathematik.
DiesorgfältigzusammengestelltenLiteraturangabenamEndejedesKapitelssollendemLeser
helfen, bei auftretenden Fragen geeignete moderne Bücher zu konsultieren, wobei zwischen
einführenderLiteraturundanspruchsvollenStandardwerkengewähltwerdenkann.
DasvorliegendeSpringer-HandbuchderMathematikwendetsichan:
– FortgeschritteneStudierendederMathematikundangrenzendernaturwissenschaftlicher,
technischer,wirtschaftswissenschaftlicherFachrichtungen,Graduierte,Doktoranden
– Mathematiker,Physiker,Ingenieure,Informatiker,WirtschaftsmathematikerinForschung,
LehreundPraxis
– wissenschaftlicheBibliotheken,akademischeInstitutionenundFirmen.
DieBedürfnisseeinesderartbreitenLeserkreiseswerdenberücksichtigt,indemderBogenvon
elementaren Kenntnissen bis hin zu anspruchsvollen mathematischen Resultaten sehr weit
gespanntwirdunddasWerkeinbreitesSpektrummathematischerGebieteüberdeckt.Großer
WertwirddabeiauffolgendeAspektegelegt:
– ausführlicheMotivationundErläuterungderGrundideen,
– leichteFasslichkeit,Anschaulichkeit,undÜbersichtlichkeit,
– dieVerbindungzwischenreinerundangewandterMathematik,
– vielseitigeAnwendungenderMathematikundPraxisnähe,sowie
– dieDiskussiondeshistorischenHintergrunds.
Es wird gezeigt, dass die Mathematik mehr ist als eine trockene Ansammlung von Formeln,
Definitionen,TheoremenundRechenrezepten.SieisteinunverzichtbarerPartnerdermodernen
Technik,undsiehilftwesentlichbeideroptimalenGestaltungvonIndustrie-undWirtschaftspro-
zessen.GleichzeitigistdieMathematikeinwichtigerBestandteilunserermenschlichenKultur
undeinwundervollesErkenntnisorgandesMenschen,dasihnetwainderHochtechnologie,der
ElementarteilchenphysikundderKosmologieinBereichevorstoßenlässt,dieohneMathematik
nichtzuverstehensind,weilsievonunserertäglichenErfahrungsweltextremweitentferntsind.
Während das Springer-Taschenbuch der Mathematik den Anforderungen des Bachelor-
Studiumsangepasstist,beziehtsichdasSpringer-HandbuchderMathematiksowohlaufdas
Bachelor-StudiumalsauchaufdasweiterführendeMaster-Studium.
Vorwort vii
BeidenAnwendungenderMathematikspielenPhänomeneeinegroßeRolle,dieinNaturund
Technikauftreten.DasmathematischeVerständnisdieserPhänomeneerleichtertdemAnwender
indenNaturwissenschaftenundindenIngenieurwissenschaftendenÜberblicküberdieZusam-
menhängezwischenunterschiedlichenmathematischenDisziplinen.Deshalbwirdindiesem
Springer-HandbuchderMathematikdieSichtaufwichtigePhänomenebesondersbetont.Das
betrifft:
– MathematikderGrenzübergänge(AnalysisundFunktionalanalysis),
– MathematikdesOptimalen(Variationsrechnung,optimaleSteuerung,lineareundnichtli-
neareOptimierung),
– MathematikdesZufalls(Wahrscheinlichkeitsrechnung,mathematischeStatistikundsto-
chastischeProzesse),
– MathematikderZeitunddesChaos(dynamischeSysteme),
– MathematikderStabilitätvonGleichgewichtszuständeninNaturundTechnik,vonzeitab-
hängigenProzessenundvonAlgorithmenaufComputern,
– MathematikderKomplexitätvonAlgorithmenaufComputern,
– MathematikderSymmetrie(Gruppentheorie),
– MathematikderSystememitunendlichvielenFreiheitsgraden(Funktionalanalysis),
– MathematikdesqualitativenVerhaltensvonGleichgewichtszuständenundzeitabhängigen
ProzesseninNaturundTechnik(Topologie),
– MathematikderWechselwirkungskräfteinderNatur(nichtlinearepartielleDifferential-
gleichungenundnichtlineareFunktionalanalysis,DifferentialgeometriederFaserbündel
undEichtheorie),
– MathematikderStrukturen(Kategorientheorie).
InteressantistdieTatsache,dassklassischeErgebnissederMathematikheutzutageimRahmen
neuerTechnologienvölligneueAnwendungenerlauben.DasbetrifftetwadieZahlentheorie,
dielangeZeitalseinreinesVergnügendesmenschlichenGeistesgalt.Beispielsweisewirddie
berühmteRiemannscheZetafunktionderanalytischenZahlentheorie,dieinKapitel2betrachtet
wird,indermodernenQuantenfeldtheoriezurBerechnungvonStreuprozessenvonElementar-
teilchenimRahmenderRenormierungstheorieeingesetzt.DerklassischeSatzvonFermat–Euler
überTeilbarkeitseigenschaftenvonZahlenwirdheutewesentlichbenutzt,umdieÜbermittlung
vonNachrichteninraffinierterWeisezuverschlüsseln.DasfindetmanebenfallsinKapitel2.
Das„Springer-HandbuchderMathematik“knüpftaneinelangeTraditionan.Das„Taschen-
buchderMathematik“vonI.N.BronsteinundK.A.SemendjajewwurdevonDr.ViktorZiegler
ausdemRussischeninsDeutscheübersetzt.Eserschien1958imVerlagB.G.TeubnerinLeipzig,
undbiszumJahre1978lagenbereits18Auflagenvor.UnterderHerausgabevonDr.GünterGro-
scheundDr.ViktorZieglerundunterwesentlicherredaktionellerMitarbeitvonFrauDorothea
Zieglererschien1979dievölligüberarbeitete19.Auflage,anderWissenschaftlerderLeipziger
UniversitätundandererHochschulendesmitteldeutschenRaumesmitwirkten.1 DieseNeubear-
beitungwurdeinsRussischeübersetztunderschien1981imVerlagfürTechnisch-Theoretische
LiteraturinMoskau.FernerwurdeneineenglischeundeinejapanischeÜbersetzungpubliziert.
MotiviertdurchdiestürmischeEntwicklungderMathematikundihrerAnwendungenerschien
in den Jahren 1995 und 1996 ein völlig neuverfasstes, zweibändiges „Teubner-Taschenbuch
der Mathematik“ im Verlag B.G. Teubner, Stuttgart und Leipzig.2 Das daraus entstandene,
vorliegende„Springer-HandbuchderMathematik“enthältzweivölligneugeschriebeneKapitel
überWirtschafts-undFinanzmathematiksowieüberAlgorithmikundInformatik.
1Bis1995erschienensiebenweitereAuflagen.
2DieenglischeÜbersetzungdeserstenBandeserschien2003imVerlagOxfordUniversityPress,NewYork,als„Oxford
Users’GuidetoMathematics“.
viii Vorwort
DiemoderneKonzeptionundKoordinationdesKapitels8überWirtschafts-undFinanzma-
thematiklagindenerfahrenenHändenvonHerrnProf.Dr.BerndLuderer(TUChemnitz).In
das von Herrn Prof. Dr. Juraj Hromkovicˇ (ETH Zürich) verfasste Kapitel 9 über Algorithmik
undInformatikflossenseinereichenLehrerfahrungenein.ImMittelpunktstehtdaszentrale
ProblemderKomplexitätvonAlgorithmen.Erinnertseidaran,dasseinesderberühmtensieben
Milleniumsprobleme der Mathematik aus dem Jahre 2000 eine tiefe Frage der Komplexitäts-
theoriebetrifft.DasKapitel7überNumerikundWissenschaftlichesRechnenwurdevonHerrn
Prof.Dr.WolfgangHackbusch(Max-Planck-InstitutfürMathematikindenNaturwissenschaften,
Leipzig)wesentlichüberarbeitet,unddieübrigenKapitelwurdenaktualisiert.DerHerausgeber
möchtedenKollegenHackbusch,HromkovicˇundLuderersowieallenseinenKoautorenfürihre
engagierteArbeitsehrherzlichdanken.Dasbetrifft:
– Prof.Dr.Hans-Rudolf Schwarz(7.1–7.6)und
Prof.Dr.WolfgangHackbusch(7.7),
– Prof.Dr.BerndLuderer(8.1,8.13),
Prof.Dr.JochenBlath(8.2,8.3),
Prof.Dr.AlexanderSchied(8.4,8.5),
Prof.Dr.StephanDempe(8.6–8.10)und
Prof.Dr.GertWanka(8.11,8.12),
– Prof.Dr.JurajHromkovicˇ (9.1–9.9)und
Prof.Dr.SiegfriedGottwald(9.10).
EinherzlichesDankeschöngehtauchanFrauMicaelaKrieger-HauwedefürdassorgfältigeAnfer-
tigenvielerAbbildungenindenTeilenIbisIII,dasLesenderKorrekturenunddieeinfühlsame,
ästhetischgelungeneTextgestaltung.FrauKerstinFöltingdankeichsehrherzlichfürdassorgfäl-
tigeAnfertigenderAbbildungenundderLATEX-VersionvonTeilIVsowiefürzahlreicheHinweise
zurVerbesserungderDarstellung.DenMitarbeiterndesLeipzigerMax-Planck-Institutesfür
MathematikindenNaturwissenschaften,RegineLübke(Sekretariat),KatarzynaBaierundIn-
goBrüggemann(Bibliothek),OliverHellerundRainerKleinrensing(EDV-Abteilung)seisehr
herzlichfürdietechnischeUnterstützungbeiderFertigstellungdesSpringer-Handbuchesder
Mathematikgedankt.FernerdankeichsehrherzlichFrauUlrikeSchmickler-Hirzebruchvom
VerlagSpringerSpektrumfürdieKoordinationdesgesamtenProjektsundfürdiekompetente
AktualisierungdesLiteraturverzeichnisses.SchließlichseiallenLeserinnenundLeserngedankt,
dieinderVergangenheitdurchihreHinweisezurVerbesserungderDarstellungbeigetragen
haben.
AlleBeteiligtenhoffen,dassdiesesNachschlagewerkinallenPhasendesStudiumsunddanach
imBerufslebeneinnützlicherBegleiterseinwird,derdieEinheitderMathematikbetont.
Leipzig,imSommer2012 DerHerausgeber
Inhaltsverzeichnis
Vorwort v
2 Algebra 1
2.1 ElementareMethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.1.1 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.1.2 Determinanten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.3 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.4 LineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.5 DasRechnenmitPolynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.6 DerFundamentalsatzderklassischenAlgebravonGauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.7 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Matrizenkalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 DasSpektrumeinerMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2 NormalformenvonMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.3 Matrizenfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 LineareAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 Grundideen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.2 LineareRäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.3 LineareOperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.4 DasRechnenmitlinearenRäumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.5 Dualität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4 MultilineareAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.1 Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.2 DasRechnenmitMultilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.3 UniverselleProdukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4.4 Liealgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4.5 Superalgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.5 AlgebraischeStrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.5.1 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.5.2 Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.5.3 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.6 GaloistheorieundalgebraischeGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.6.1 DiedreiberühmtenProblemederAntike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.6.2 DerHauptsatzderGaloistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.6.3 DerverallgemeinerteFundamentalsatzderAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.6.4 KlassifikationvonKörpererweiterungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.6.5 DerHauptsatzüberGleichungen,diedurchRadikalelösbarsind . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.6.6 KonstruktionenmitZirkelundLineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.7 Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.7.1 Grundideen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.7.2 DerEuklidischeAlgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.7.3 DieVerteilungderPrimzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.7.4 AdditiveZerlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.7.5 DieApproximationirrationalerZahlendurchrationaleZahlenundKettenbrüche . . . . . 102
2.7.6 TranszendenteZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108