Solving Network Design Problems via Decomposition, Aggregation and Approximation

206 Pages·2016·4.43 MB·English

by  Andreas Bärmann (auth.)

Andreas Bärmann
Solving Network Design
Problems via Decomposition,
Aggregation and Approximation
Solving Network Design Problems
via Decomposition, Aggregation and
Approximation
Andreas Bärmann
Solving Network
Design Problems via
Decomposition, Aggregation
and Approximation
With an Application to the Optimal Expansion
of Railway Infrastructure
Andreas Bärmann
Erlangen, Germany
[email protected]
Dissertation der Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg, 2015
ISBN 978-3-658-13912-4 ISBN 978-3-658-13913-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-658-13913-1
Library of Congress Control Number: 2016937515
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Danksagung
VomoptimalenAufbauundAusbauvonNetzwerkenhandeltdieseArbeit,undinderTat
hatte ich in den Jahren, in denen sie entstand, die M(cid:246)glichkeit mir ein bemerkenswertes
Netzwerk von pers(cid:246)nlichen Kontakten aufzubauen. Daf(cid:252)r, dass er mir diese M(cid:246)glichkeit
gegebenhat,m(cid:246)chteichvorallemmeinemDoktorvater,Prof.Dr.AlexanderMartin,dan-
ken,dervonAnfanganmeineF(cid:228)higkeitengeglaubthat,undmichdabeiunterst(cid:252)tzthat,
sie bestm(cid:246)glich einzusetzen. Die Arbeitsatmosph(cid:228)re an seinem Lehrstuhl ist gepr(cid:228)gt von
Hilfsbereitschaft und einem sehr freundschaftlichen Umgang aller miteinander, der sehr
motivierend wirkt und es erm(cid:246)glicht, sich mit jedweder fachlichen Frage oder Bitte an
seineKollegenzuwenden(cid:21)eineSachevonderichsehroftundgerneGebrauchmache.
So ist es ganz nat(cid:252)rlich, mich als n(cid:228)chstes bei meinen Kollegen zu bedanken, die mir
auf vielerlei Art und Weise geholfen haben, und denen ich ho(cid:27)entlich auch etwas davon
wiedergebenkonnte.ZuvorderstdankeichmeinemB(cid:252)rogenossenChristophThurner,dem
bestendenesgibt,f(cid:252)ralldievielenGespr(cid:228)cheundDiskussionen,diewirhatten,unddie
nichtnurdasArbeitenkurzweiliggemachthaben,sondernauchinbislangzweigemeinsame
Ver(cid:246)(cid:27)entlichungengem(cid:252)ndethaben.
AuchmeinenweiterenKoautorenm(cid:246)chteichdanken:MaximilianMerkertf(cid:252)rdasgemein-
same Knobeln an der besten Umsetzung f(cid:252)r unseren Netzwerk-Aggregationsalgorithmus,
Dieter Weninger f(cid:252)r seinen Einsatz, den entstandenen Code zu optimieren, und nicht zu-
letztProf.Dr.FraukeLiers,meinerDoktormutter,daf(cid:252)r,dasssieihregro(cid:255)eErfahrungmit
Netzwerkalgorithmeneingebrachthat,unddasssieunswertvolleTippszumAufschreiben
wissenschaftlicherErgebnissegegebenhat.WeiterhindankeichAndreasHeidtf(cid:252)rdasge-
meinsame Einarbeiten in die Welt der Robusten Optimierung und Prof. Dr. Sebastian
Pokuttaf(cid:252)rseinevielenTippsunddieForschungsthemen,dieerunsdabeier(cid:246)(cid:27)nethat.
Einem Grenzg(cid:228)nger zwischen wissenschaftlicher Forschung und praktischer Umsetzung,
Hanno Sch(cid:252)lldorf, m(cid:246)chte ich danken f(cid:252)r die Expertise mit der er uns versorgt hat, als
es darum ging, die beste Modellierung f(cid:252)r den Ausbau des deutschen Eisenbahnnetzes zu
(cid:28)nden,dieProblemstellung,diedieMotivationf(cid:252)rdieseArbeitgelieferthat.
UnserenRechnerbetreuern,Dr.AntonioMorsi,Dr.Bj(cid:246)rnGei(cid:255)ler,DenisA(cid:255)mannundvor
allem Thorsten Gellermann danke ich f(cid:252)r die M(cid:246)glichkeit, jederzeit bei Ihnen vorbeizu-
kommen, und Hilfe bei Hard- und Softwarefragen zu bekommen. Bei dieser Gelegenheit
danke ich auch der Optimierungsgruppe von Prof. Dr. Michael J(cid:252)nger an der Universit(cid:228)t
zu K(cid:246)ln daf(cid:252)r, dass wir ihre Rechnerressourcen dort mitnutzen durften, und vor allem
ThomasLangef(cid:252)rseinetechnischeUnterst(cid:252)tzungdabei.
Meinem Kollegen Dr. Lars Schewe m(cid:246)chte ich daf(cid:252)r danken, dass er immer ein o(cid:27)enes
Ohr f(cid:252)r komplizierte Optimierungs-Fragestellungen hat, und auf jede dieser Fragen eine
Antwortwei(cid:255).
VI Danksagung
Unseren Projektpartnern Prof. Dr. Ralf Bornd(cid:246)fer, Prof. Dr. Uwe Clausen, Prof. Dr. Ar-
min F(cid:252)genschuh, Prof. Dr. Christoph Helmberg und Prof. Dr. Uwe Zimmermann sowie
Dr.BorisKrostitzundihrenMitarbeiterndankeichf(cid:252)rdenintensivenwissenschaftlichen
AustauschinnerhalbunseresForschungsverbundesKOSMOS,imRahmendessendieseAr-
beitentstandenist.
Oskar Schneider, meinem HiWi, danke ich f(cid:252)r seinen Einsatz bei unserem neuen For-
schungsprojekt E-Motion, der es mir erm(cid:246)glicht hat, mich mit mehr Zeit meiner Doktor-
arbeitzuwidmen.
Prof. Dr. Martin Schmidt m(cid:246)chte ich daf(cid:252)r danken, dass er sich bereiterkl(cid:228)rt hat, mein
2. Pr(cid:252)fer bei der Verteidigung zu sein; genauso danke ich auch Prof. Dr. Johannes Jahn
daf(cid:252)r,dasserdabeidenPr(cid:252)fungsvorsitz(cid:252)bernommenhat.
Sehr herzlich m(cid:246)chte ich unseren Sekret(cid:228)rinnen Christina Weber, Gabriele Bittner und
BeateKirchnerdanken,dendreiDamenvomGrill,dieunsalletatkr(cid:228)ftigdabeiunterst(cid:252)t-
zen,unseret(cid:228)glicheForschungsarbeitdurchzuf(cid:252)hren.
Ich danke auch all meinen (cid:252)brigen Kollegen am Lehrstuhl f(cid:252)r die vielen Aus(cid:29)(cid:252)ge, Spie-
leabende, Theater- und Weihnachtsmarktbesuche und noch viele andere Dinge, die wir
gemeinsamerlebthaben.MiteuchzusammenhatesvielmehrSpa(cid:255)gemacht,dieseArbeit
zuschreiben.
Zu guter Letzt danke ich meiner Familie und meinen Freunden. Durch euch konnte ich
diesenWeg(cid:252)berhauptersteinschlagen.
Abstract
Network design problems are among the most-often studied problems in combinatorial
optimization. Theypossesarichcombinatorialstructurethatmakestheminterestingfrom
a theoretical point of view. On the other hand, they (cid:28)nd a huge variety of applications
in real-world problems settings, including transportation, supply chain management and
telecommunication(cid:21)justtonameafew. Inthisthesis,wedevelopsolutionapproachesfor
large-scalenetworkdesignproblems,focussingondi(cid:27)erentproblemaspects.
Our motivation is a task set by our industry partner DB Mobility Logistics AG, namely
to come up with models and algorithms to determine an optimal capacity expansion of
line capacities in the German railway network until 2030. This aim is persued in Part I,
where we model the expansion of the railway network as a multi-period network design
problem. Itissolvedbyadecompositionofthetimeperiodsalongtheplanninghorizon,for
whichwegiveaheuristicandanexactvariant. Thealgorithmicideaiseasilytransferable
to more general multi-period network design contexts. A dedicated case study for the
German railway network rounds this part o(cid:27). It is based on real-world input data from
our industry partner and shows the practical relevance of our method. It produces very
satisfyingresultsbothfromamathematicalandanapplicationalpointofview.
In Part II, we focus on the spacial structure of network design problems. We develop an
exact algorithm for their solution that is based on aggregation of the underlying graph.
The idea is to solve the problem over a coarse representation of the original network and
to re(cid:28)ne it iteratively where needed. We begin with a simpli(cid:28)ed version of the algorithm
for network design without routing costs. It takes the form of a primal cutting-plane
method whose cutting planes dominate the Benders feasibility cuts. Then we show how
routing costs can be integrated via lifted Benders optimality cuts. This leads to a hybrid
between aggregation and Benders decomposition and to a general idea how to realize a
Benders decomposition where variables are allowed to move from the subproblem to the
masterproblem. Theaggregationschemeistestedonvariousbenchmarksetsindi(cid:27)erent
possible implementations. We are able to demonstrate signi(cid:28)cant savings in computation
timecomparedtoasolutionviaastandardsolver.
Part III is dedicated to robust network design under ellipsoidal uncertainty. We develop
a framework for the approximate solution of the arising robust counterpart that is based
on a polyhedral approximation of the uncertainty sets. As an intermediate result, we
deriveanewinnerapproximationofthesecond-ordercone. Theapproximationframework,
which is in fact applicable to general mixed-integer programs, is again tested on various
benchmark sets. Our computational experiments show that the method is competitive
withtraditionalgradient-basedlinearizationsandinterior-pointalgorithms. Dependingon
thetypeofproblemtosolve,itcanbevastlysuperiortobothofthem.
VIII Abstract
Altogether,ourworkisacontributiontothepracticalsolvabilityofnetworkdesignprob-
lems, spanning the whole range from exact over approximative up to heuristic methods.
All the algorithms are tested on the network topologies provided by our industry partner
todemonstratetheirapplicabilityinreal-worldproblemsettings.
Zusammenfassung
Netzwerk-Design-Problemegeh(cid:246)renzudenmeist-untersuchtenProblemeninderkombina-
torischenOptimierung.IhrereichhaltigekombinatorischeStrukturunddiegro(cid:255)eBandbrei-
te ihrer Anwendungen lassen sie sowohl aus theoretischer als auch aus praktischer Sicht
interessant werden. In dieser Arbeit entwickeln wir L(cid:246)sungsans(cid:228)tze f(cid:252)r gro(cid:255)e Netzwerk-
Design-Probleme,wobeiwirverschiedeneAspektedesProblemsindenFokusnehmen.
UnsereMotivationisteinForschungsauftragunseresIndustriepartnersDBMobilityLogi-
sticsAG:DieEntwicklungvonModellenundAlgorithmenumeinenoptimalenAusbauder
Streckenkapazit(cid:228)ten im deutschen Schienennetz bis zum Jahr 2030 zu bestimmen. Dieses
ZielverfolgenwirinTeilI,wowirdieErweiterungdesSchienennetzesalsmehrperiodiges
Netzwerk-Design-Problemmodellieren.Wirl(cid:246)senesmittelseinerzeitlichenDekomposition
entlangdesPlanungshorizontes,f(cid:252)rdiewireineheuristischeundeineexakteVarianteent-
wickeln. Die Grundidee l(cid:228)sst sich leicht auf allgemeinere Netzwerk-Design-Probleme (cid:252)ber
mehrere Perioden (cid:252)bertragen. Eine ausf(cid:252)hrliche Fallstudie f(cid:252)r das deutsche Schienennetz
rundet diesen Teil ab. Sie basiert auf realen Daten unseres Industriepartners und zeigt
dieRelevanzunsererMethodef(cid:252)rdiepraktischePlanung.DieErgebnissesindsowohlaus
mathematischerSichtalsauchausSichtdesAnwenderssehrzufriedenstellend.
In Teil II konzentrieren wir uns auf die r(cid:228)umliche Struktur von Netzwerk-Design-Pro-
blemen. Wir entwickeln einen Algorithmus zu ihrer L(cid:246)sung mittels Aggregation des un-
terliegenden Graphen. Dabei wird das Problem zun(cid:228)chst f(cid:252)r eine vergr(cid:246)berte Darstel-
lung des Originalnetzwerkes gel(cid:246)st, und diese dann iterativ verfeinert. Wir zeigen, wie
sich eine vereinfachte Version des Algorithmus f(cid:252)r Netzwerk-Design ohne Routingkosten
als primales Schnittebenenverfahren au(cid:27)assen l(cid:228)sst, dessen Schnittebenen die Benders-
Zul(cid:228)ssigkeitsschnitte dominieren. Im zweiten Schritt integrieren wir die Routingkosten
mit Hilfe von gelifteten Benders-Optimalit(cid:228)tsschnitten. Das f(cid:252)hrt zu einem Hybrid zwi-
schen Aggregation und Benders-Dekomposition, bei dem Variablen vom Subproblem ins
Masterproblem wechseln d(cid:252)rfen. Wir testen das Aggregationsverfahren auf verschiedenen
Datens(cid:228)tzen und in verschiedenen Implementierungsvarianten. Es erm(cid:246)glicht signi(cid:28)kante
EinsparungeninderL(cid:246)sungszeitverglichenmitdenErgebnisseneinesStandardl(cid:246)sers.
TeilIIIwidmetsichrobustemNetzwerk-DesignunterellipsoidalerUnsicherheit.Wirentwi-
ckelneinVerfahrenzurapproximativenL(cid:246)sungdeszugeh(cid:246)rigenrobustenGegenst(cid:252)cks,das
auf einer polyedrischen Approximation der Unsicherheitsmengen basiert. Ein Zwischener-
gebnisdabeiisteineneueinnereApproximationdesKegelszweiterOrdnung.Wirtestendie
Approximationsmethode,welchetats(cid:228)chlichf(cid:252)rallgemeinegemischt-ganzzahligeProbleme
nutzbarist,ebenfallsaufverschiedenenDatens(cid:228)tzen.UnsereErgebnissezeigen,dasssiees
mittraditionellengradienten-basiertenLinearisierungenundInnere-Punkte-Verfahrenauf-
nehmenkann.JenachArtdesProblemskannsiebeidendeutlich(cid:252)berlegensein.
X Zusammenfassung
Insgesamt ist unsere Arbeit ein Beitrag zur praktischen L(cid:246)sbarkeit von Netzwerk-Design-
Problemen, wobei wir die ganze Bandbreite von exakten (cid:252)ber approximative bis hin zu
heuristischenMethodenabdecken.WirtestenalleAlgorithmenaufdenNetzwerktopologien
unseresIndustriepartners,wasunserlaubt,ihreAnwendbarkeitf(cid:252)rrealeProblemstellungen
zudemonstrieren.