Sémantique des jeux asynchrones et réécriture 2-dimensionnelle

305 Pages·2017·3.74 MB·French

by  Samuel Mimram

Sémantique des jeux asynchrones et réécriture
2-dimensionnelle
Samuel Mimram
To cite this version:
Samuel Mimram. Sémantique des jeux asynchrones et réécriture 2-dimensionnelle. Informatique [cs].
Université Paris-Diderot - Paris VII, 2008. Français. ￿NNT: ￿. ￿tel-00338643v2￿
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abroad, or from public or private research centers. publics ou privés.
Universit´e Paris Diderot (Paris 7)
UFR d’Informatique
The`se
pour l’obtention du diplˆome de
Docteur de l’Universit´e Paris Diderot, sp´ecialit´e informatique
Se´mantique des jeux
asynchrones et re´e´criture
2-dimensionnelle
pr´esent´ee et soutenue publiquement par
Samuel Mimram
le 1er d´ecembre 2008
devant le jury compos´e de
M. Pierre-Louis Curien pr´esident
M. E´ric Goubault
M. Andr´e Hirschowitz rapporteur
M. Martin Hyland rapporteur
M. Paul-Andr´e Mellie`s directeur de th`ese
M. Dale Miller
Mlle Nobuko Yoshida
ii
Merki
Cette th`ese n’aurait jamais pu voir le jour sans les innombrables personnes
que j’ai eu la chance de rencontrer et avec qui j’ai pu discuter. Je tiens ici `a
les remercier. Si ces trois ann´ees ont ´et´e un v´eritable plaisir pour moi, c’est en
particulier grˆace `a elles. En premier lieu, je tiens ´evidemment `a exprimer toute
ma gratitude `a mon directeur de th`ese, Paul-Andr´e Melli`es, qui m’a introduit
aux th´ematiques d´evelopp´ees au sein de cette th`ese, ainsi qu’au monde de la
recherche.Jamaisavareendiscussionsetenid´ees,quecesoit`aproposdescience
ou du reste, il a su `a la fois me guider dans mon travail et m’ouvrir `a des
pans nouveaux de l’informatique et des math´ematiques. Merci pour ces heures
joyeuses pass´ees au tableau ou ailleurs.
Je tiens aussi `a remercier les membres de mon jury de me faire l’honneur de
leur pr´esence pour juger de mon travail. Merci `a Pierre-Louis Curien sans qui
notre formidable laboratoire ne serait sans doute pas aussi formidable. Merci
`a E´ric Goubault avec qui j’ai d´ecouvert que les programmes vivent dans un
univers g´eom´etrique. Merci `a Andr´e Hirschowitz d’avoir accept´e d’ˆetre mon
rapporteur ainsi que pour les travaux novateurs en s´emantique des jeux de la
dynastie Hirschowitz. Merci aussi `a Martin Hyland d’avoir bien vouluˆetre mon
rapporteur, ainsi que pour les longues discussions au cours desquelles il m’a
expliqu´e tant de choses subtiles. Merci `a Dale Miller dont les travaux sur les
jeux et la focalisation affinent notre compr´ehension des preuves. Merci enfin `a
Nobuko tant pour sa pr´esence dans mon jury que pour m’avoir accueilli trois
mois `a Londres ou` j’ai beaucoup appris.
Merciaussi`aYvesLafontquin’amalheureusementpaspufairepartiedece
jury.Cetteth`esedoit´enorm´ementauxpontsqu’ilasubˆatirentrel’informatique
et l’alg`ebre. Qu’il continue encore longtemps `a les consolider et `a en inventer
d’autres.
Le laboratoire PPS a ´et´e un environnement incroyablement riche et stimu-
lant. A` toute heure, on peut y trouver quelqu’un pour parler, boire un caf´e ou
faire des mots crois´es. Les nombreux th´esards ont en particulier contribu´e `a sa
bonneambiance:merci`aNicolaspourlesdiscussionspardessusnos´ecranstou-
jours en musique, merci `a mes amis S´everine (et docteur Pasquale), Christine
(qui coiffe au poteau), Sylvain, Gim, Gr´egoire, Pierre, Mehdi (ouaf), Fabien,
St´ephane, Barbara et Jaap. Sans oublier les vieux Joachim, Caroline, Fabien,
Sam et Manu, et la bande d’italiens Michele, Damiano, Pietro, Giulio, Paolo et
Stefano.Etboncourage`aJonas`aquijepasseleflambeau.Merciaussipourles
´echanges tr`es enrichissants avec ceux qui ont d´ej`a pass´e leur th`ese depuis plus
longtemps, en particulier Olivier Laurent (comme quoi on peut faire des jeux
iv
et avoir des cheveux), Russ Harmer (bio-man), Vincent Balat (euh, il est plus
th´esard lui?), Claudia Faggian, Boris Yakobowski, Juliusz Chroboczek,Daniele
Varacca, Pierre Letouzey, Alexandre Miquel, Samy Abbes, Ralf Treinen et Ro-
berto Di Cosmo. Merci `a Odile qui fait tourner c¸a rond. Merci aussi `a Albert
Burroni et Franc¸ois M´etayer du canal cat´egorique, pour qui les polygraphes
n’ont presque aucun secret.
Mais les th´esards ne sont pas qu’`a PPS. Il y en a aussi au LIAFA, en face :
merci `a Marie, `a Julien, `a Claire et aux autres. Il y en a aussi `a l’X : un
grand merci `a David et `a Romain avec qui on s’amuse bien et on fait mˆeme de
l’informatique sur des ordinateurs, merci aussi `a Alexis, `a Olivier et aux autres.
Il y en a mˆeme `a Marseille via Lyon : merci `a Marc et `a E´tienne. Ou encore `a
Lille : merci `a Emmanuel avec qui on a fait de la zik et surtout du bis, voire
pire. Merci aussi aux th´esards qui sont rest´es `a l’ENS Lyon. Et pour finir sur
Paris d’ou` on est parti : merci `a Martin. Bon courage aux th´esards de PPS et
d’ailleurs pour la fin.
Mon premier contact avec la recherche s’est fait durant le stage que j’ai ef-
fectu´e avec monsieur Daniel papa-du-MIM Hirschkoff, merci pour son soutien,
son humour au niveau des blagues et ses douches froides; merci aussi `a E´tienne
Lozesdem’avoiraid´edurantcestage.Merciaussi`aThierryCoquandpourmon
deuxi`eme contact. J’ai eu par la suite la grande chance de rencontrer des gens
de partout, toujours sympathiques et ouverts, grˆace `a qui j’ai pu beaucoup ap-
prendre. Merci `a Laurent R´egnier, merci aux fr`eres Michel et Tom Hirschowitz,
merci `a Emmanuel Haucourt, merci `a Yves Guiraud, merci `a Pierre Hyvernat
etmerci`aDanieldeCarvalho.Merciaussi`aJohnBaezpourlescat´egoriesetle
caf´e. J’ai eu la chance de passer trois mois `a Londres et de rencontrer Nobuko
Yoshida, Martin Berger et Kohei Honda, un grand merci `a eux ainsi qu’`a ceux
avec qui j’ai pu boire des bi`eres (anglaises).
Mais la science n’est pas tout. Merci `a Alexis, `a Benjamin, `a David, `a Gr´e-
gory, `a Henri et `a Louis avec qui j’ai charg´e les instrus dans la voiture. La
Gouaille est immortelle.
Merci `a mes amis avec qui on a bien rigol´e pendant ce temps.
Merci`amafamille,`amam`ereIsabelle,`amonp`ereMarc,a`masœurElsa,`a
monfr`ereL´eo,`amesgrands-parentsPapyetMamy,ainsiqu’auxautresmembres
pour leur soutien ind´efectible.
Merci `a ceux que j’aurais oubli´e de citer ici.
Merci Caroline, ma vie est toujours comme dans un film de cin´ema grˆace `a toi.
A` Papou et Nona.

Table des mati`eres
Introduction 1
0 Th´eorie des cat´egories 15
0.1 Cat´egories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
0.2 2-cat´egories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
0.3 Diagrammes de corde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
0.4 Adjonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
0.5 Cat´egories mono¨ıdales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
0.6 Cat´egories mono¨ıdales ferm´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
0.7 Bicat´egories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
0.8 Monades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
I Causalit´e dans les jeux asynchrones 45
1 Graphes asynchrones cubiques 47
1.1 Graphes asynchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.2 Structures d’´ev´enements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.3 La Propri´et´e du Cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.4 Caract´erisation des graphes de transitions . . . . . . . . . . . . . 58
1.4.1 E´v´enements initiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.4.2 R´esidu d’un chemin apr`es un ´ev´enement . . . . . . . . . . 61
1.4.3 La cat´egorie des chemins modulo homotopie . . . . . . . . 64
1.4.4 La cat´egorie de factorisations . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.4.5 Un treillis distributif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.4.6 Repr´esentation des classes d’homotopie . . . . . . . . . . 74
2 S´emantique des jeux asynchrones 77
2.1 Jeux et strat´egies monochromes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.1.1 Une cat´egorie de jeux monochromes . . . . . . . . . . . . 83
2.1.2 Strat´egies positionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.1.3 Strat´egies pr´eservant la compatibilit´e. . . . . . . . . . . . 90
2.2 Une cat´egorie de strat´egies `a deux joueurs . . . . . . . . . . . . . 97
2.2.1 Strat´egies ing´enues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.2.2 La cat´egorie des strat´egies ing´enues . . . . . . . . . . . . 99
2.3 Strat´egies courtoises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.3.1 Caract´erisation des positions d’arrˆet . . . . . . . . . . . . 104
viii Table des mati`eres
2.3.2 Strat´egies concurrentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.4 Strat´egies s´equentiellement innocentes . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.4.1 Strat´egies altern´ees innocentes . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.4.2 Strat´egies s´equentiellement innocentes . . . . . . . . . . . 116
2.4.3 Mod´elisation d’un λ-calcul affine parall`ele . . . . . . . . . 125
2.5 Strat´egies ordonnanc´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.5.1 Vers le mod`ele relationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.5.2 Jeux avec tests d’ordonnancement . . . . . . . . . . . . . 131
2.5.3 Strat´egies avec positions d’interaction . . . . . . . . . . . 133
2.5.4 Orthogonalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
2.5.5 Jeu ordonnanc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.5.6 Strat´egies ordonnan¸cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.5.7 Interpr´etation de la logique lin´eaire . . . . . . . . . . . . . 141
2.5.8 Jeux asynchrones et L-r´eseaux . . . . . . . . . . . . . . . 145
II Causalit´e dans les diagrammes de corde 149
3 Pr´esentations de cat´egories mono¨ıdales 151
3.1 La cat´egorie simpliciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.2 Polygraphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.3 Une pr´esentation de la cat´egorie simpliciale . . . . . . . . . . . . 163
3.4 Mod`eles d’une th´eorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.5 Autres techniques de pr´esentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.6 Structures alg´ebriques cat´egoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.6.1 Objets sym´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.6.2 Mono¨ıdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
3.6.3 Mono¨ıdes commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.6.4 Big`ebres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3.6.5 Paires duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4 Pr´esentation d’une s´emantique de jeux 187
4.1 Pr´esentation de cat´egories de matrices . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.1.1 Pr´esentation des matrices `a coefficients dans N . . . . . . 187
4.1.2 Pr´esentation des relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4.1.3 Pr´esentation des matrices `a coefficients dans Z . . . . . . 202
4.2 Pr´esentation d’une s´emantique de jeux . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.2.1 Logique propositionnelle du premier ordre . . . . . . . . . 203
4.2.2 S´emantique de jeux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.2.3 Pr´esentation de la s´emantique de jeux . . . . . . . . . . . 211
4.2.4 Strat´egies causales et strat´egies asynchrones . . . . . . . . 217
4.3 Pr´esentation des ordres partiels finis . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4.3.1 Pr´esentation des ordres partiels finis . . . . . . . . . . . . 219
4.3.2 Pr´esentation des ordres partiels non stables . . . . . . . . 224
4.3.3 Pr´esentation des fonctions croissantes . . . . . . . . . . . 226
ix
5 Pr´esentations confluentes 233
5.1 Syst`eme de r´e´ecriture mono¨ıdaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.2 Ind´ecidabilit´e de la confluence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.3 Cat´egories de r´eseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.3.1 R´eseaux sym´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5.3.2 R´eseaux non sym´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
5.4 Unification dans les cat´egories mono¨ıdales . . . . . . . . . . . . . 249
5.4.1 Multicat´egories de multicontextes. . . . . . . . . . . . . . 249
5.4.2 Multicat´egories de r´egions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
5.4.3 Multicat´egories de r´egions de r´eseaux . . . . . . . . . . . 260
5.4.4 Un algorithme d’unification . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
5.5 Pr´esentation localement confluente de Mat(N) . . . . . . . . . . 268
A Logique lin´eaire 275
B Strat´egies innocentes 277
Bibliographie 279
Index 287