Quantenmechanik: Eine Einführung mit Anwendungen auf Atome, Moleküle und Festkörper

671 Pages·1999·14.87 MB·German

by  Prof. Dr. rer. nat. Udo Scherz (auth.)

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Prof. Dr. rer. nat. Udo Scherz
Geboren 1934 in Neuruppin, Mark Brandenburg. Von 1955 bis 1962
Physikstudium an der Freien Universităt Berlin, 1962 Diplom. Von
1962 bis 1965 Assistent am Institut fUr Theoretische Meteorologie,
1965 Promotion an der Freien Universităt Berlin und von 1965 bis
bis 1970 Assistent am III. Physikalischen Institut der Technischen
Universităt Berlin, 1970 Habilitation fUr Physik. Von 1970 bis 1976
Professor fUr Physik am III. Physikalischen Institut der Technischen
Universităt Berlin, von 1970 bis 1971 Austauschprofessor am Mas
sachusetts Institute ofTechnology, Cambridge, USA. Se it 1976 Pro
fessor fUr Physik am Institut fUr Theoretische Physik der Techni
schen Universităt Berlin, 1985/1986 Gastwissenschaftler an der
Physikalisch-Technischen Bundesanstalt, Braunschweig. Se it 1994
GeschăftsfUhrender Direktor des Institutes fUr Theoretische Physik.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Scherz, Udo:
Quantenmechanik : eine EinfUhrung mit Anwendungen auf Atome,
MolekOle und Festk6rper / von Udo Scherz. - Stuttgart ; Leipzig:
Teubner, 1999
(Teubner-StudienbOcher: Physik)
ISBN 978-3-519-03246-5 ISBN 978-3-322-96702-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-96702-2
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© 1999 B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig
VVoorrwwoorrtt
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IInnhhaalltt
11 EEiinntteeiillcchheennqquuaanntteennmmeecchhaanniikk 1133
11..11 SScchhrrooddiinnggeerr--GGlleeiicchhuunngg.................................................................................... 1133
11..22 SSttaattiissttiisscchhee DDeeuuttuunngg .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1166
11..22..11 KKoonnttiinnuuiitt11ll..ttssgglleeiicchhuunngg.... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1166
11..22..22 AAuusseeiinnaannddeerrfflliieeBBeenn eeiinneess WWeelllleennppaakkeetteess.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1177
11..22..33 AAuuffeenntthhaallttsswwaahhrrsscchheeiinnlliicchhkkeeiitt .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1199
11..22..44 EErrwwaarrttuunnggsswweerrttee vvoonn OObbsseerrvvaabblleenn.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 2200
11..22..55 HHiillbbeerrtt--RRaauumm.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 2244
11..33 UUnnbbeessttiimmmmtthheeiittssrreellaattiioonneenn ........................................................................ .. 2266
11..44 EErrwwaarrttuunnggsswweerrttee ............................................................................................ .. 2299
11..44..11 EErrhhaallttuunnggssssaattzzee .................................................................................. .. 3300
11..44..22 EEhhrreennffeesstt--GGlleeiicchhuunnggeenn .................................................................... .. 3311
11..44..33 SSttaattiioonn11ii..rree ZZuusstt11ii..nnddee .......................................................................... .. 3322
11..44..44 SSeellbbssttaaddjjuunnggiieerrttee OOppeerraattoorreenn ........................................................ .. 3344
11..55 TTuunnnneelleeff££eekktt ...................................................................................................... .. 3377
22 SSppeezziieellllee EEiinntteeiillcchheennssyysstteemmee 4411
22..11 HHaarrmmoonniisscchheerr OOsszziillllaattoorr................................................................................ 4411
22..11..11 EEiiggeennwweerrttee.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4422
22..11..22 EEiiggeennffuunnkkttiioonneenn .................................................................................. 4455
22..11..33 DDrreeiiddiimmeennssiioonnaalleerr hhaarrmmoonniisscchheerr OOsszziillllaattoorr...................... .......... 4488
22..11..44 NNuullllppuunnkkttsssscchhwwiinngguunngg ...................................................................... 4488
22..11..55 VVeerrgglleeiicchh mmiitt ddeerr kkllaassssiisscchheenn MMeecchhaanniikk...................................... 5500
22..22 BBaahhnnddrreehhiimmppuullss.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5522
22..22..11 VVeerrttaauusscchhuunnggssrreellaattiioonneenn.................................................................... 5522
22..22..22 EErrhhaallttuunnggssssaattzzee.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5544
22..22..33 EEiiggeennwweerrttgglleeiicchhuunnggeenn .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5555
22..33 WWaasssseerrssttooffffaattoomm................................................................................................ 5577
22..33..11 SScchhwweerrppuunnkktt--uunndd RReellaattiivvkkoooorrddiinnaatteenn.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5577
22..33..22 EEnneerrggiieenniivveeaauuss .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 6600
22..33..33 EEiiggeennffuunnkkttiioonneenn .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 6633
22..33..44 EEnnttaarrttuunngg .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 6655
22..33..55 VVeerrgglleeiicchh mmiitt ddeerr kkllaassssiisscchheenn MMeecchhaanniikk.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 6666
22..44 PPootteennttiiaallttooppff.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 6688
22..44..11 GGrreennzzbbeeddiinngguunnggeenn.............................................................................. 6688
22..44..22 KKuuggeellff66rrmmiiggeerr PPootteennttiiaallttooppff.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 6699
22..44..33 EEiinnddiimmeennssiioonnaalleerr PPootteennttiiaallttooppff.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 7755
66 IInnhhaalltt
22..55 EElleekkttrroonn iimm ZZeennttrraallffeelldd.. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7788
22..55..11 NNuummeerriisscchhee IInntteeggrraattiioonn.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 7799
22..55..22 NNuullllsstteelllleennssaattzz .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 8811
22..55..33 NNuummeerroovv--VVeerrffaahhrreenn .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 8844
22..66 SSppiinn...................................................................................................................... 8877
22..66..11 DDrreehhiimmppuullssqquuaanntteennzzaahhlleenn .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 8888
22..66..22 BBoossoonneenn uunndd FFeerrmmiioonneenn.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 9911
22..66..33 SSppiinnaabbhhiiiinnggiiggee EEnneerrggiieenniinneeaauuss.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 9922
22..66..44 SSppiinnmmaattrriizzeenn uunndd SSppiinnoorreenn.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 9933
33 RReellaattiivviissttiisscchhee QQuuaanntteennmmeecchhaanniikk 9988
33..11 KKlleeiinn--GGoorrddoonn--GGlleeiicchhuunngg...... .... .... .......... ...... ...... .......... ................ .. .... .. ........ .. 9988
33..22 SSppeezziieellllee RReellaattiivviittaattsstthheeoorriiee .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... 110000
33..33 DDiirraacc--GGlleeiicchhuunngg........ .... ........ .... .... .... ...... .... ...... .... ...... ...... .... .... .... .... .. ...... ........ 110022
33..33..11 VViieerreerrssppiinnoorreenn ...................................................................................... 110044
33..33..22 LLoorreennttzz--iinnvvaarriiaannttee FFoorrmm.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... 110066
33..33..33 TTrraannssffoorrmmaattiioonnssvveerrhhaalltteenn .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... 110077
33..44 FFrreeiieess TTeeiillcchheenn .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... 111100
33..55 PPuunnkkttllaadduunngg iimm eelleekkttrroommaaggnneettiisscchheenn FFeelldd .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... 111133
33..55..11 MMaaxxwweellll--GGlleeiicchhuunnggeenn .......................................................................... 111133
33..55..22 DDiirraacc--GGlleeiicchhuunngg mmiitt eelleekkttrroommaaggnneettiisscchheemm FFeelldd ...................... 111144
33..66 PPaauullii--GGlleeiicchhuunngg .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... 111177
33..77 KKuuggeellssyymmmmeettrriisscchheess PPootteennttiiaall.................................................................... 112222
44 MMeehhrrtteeiillcchheennqquuaanntteennmmeecchhaanniikk 113300
44..11 UUnntteerrsscchheeiiddbbaarree TTeeiillcchheenn .............................................................................. 113311
44..11..11 VVeerrttaauusscchhuunnggssrreellaattiioonneenn ddeerr OObbsseerrvvaabblleenn .................................. 113322
44..11..22 HHiillbbeerrtt--RRaauumm ........................................................................................ 113333
44..22 MMeeBBpprroozzeeBB .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... 113344
44..22..11 SSttaattiissttiisscchheerr OOppeerraattoorr.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... 113355
44..22..22 RReeiinneerr ZZuussttaanndd uunndd GGeemmiisscchh.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... 113366
44..33 ZZeeiittaabbhhiiiinnggiiggkkeeiitt ddeerr EErrwwaarrttuunnggsswweerrttee .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... 113399
44..33..11 EEhhrreennffeesstt--GGlleeiicchhuunnggeenn ...................................................................... 114422
44..33..22 SScchhrrooddiinnggeerr--BBiilldd uunndd HHeeiisseennbbeerrgg--BBiilldd........................................ 114433
44..33..33 WWeecchhsseellwwiirrkkuunnggssbbiilldd .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... 114444
44..44 KKaannoonniisscchhee GGeessaammtthheeiitt.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... 114466
44..55 PPaauullii--PPrriinnzziipp.... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... 115500
44..55..11 WWeecchhsseellwwiirrkkuunnggssffrreeiiee TTeeiillcchheenn ........................................................ 115555
44..66 SSllaatteerr--DDeetteerrmmiinnaannttee.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... 115566
44..66..11 MMaattrriixxeelleemmeennttee mmiitt SSllaatteerr--DDeetteerrmmiinnaanntteenn .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... 115577
IInnhhaalltt 77
55 TTeeiillcchheennzzaahhllffoorrmmaalliissmmuuss 116622
55..11 EErrzzeeuugguunnggss-- uunndd VVeerrnniicchhttuunnggssooppeerraattoorreenn ............................................ .. 116622
55..11..11 BBoossoonneenn ................................................................................................ .. 116655
55..11..22 FFeerrmmiioonneenn ............................................................................................ .. 116699
55..22 FFeellddooppeerraattoorreenn ................................................................................................ .. 117711
55..22..11 ZZuussttaannddee .............................................................................................. .. 117733
55..22..22 ZZeeiittaabbhhaannggiiggee FFeellddooppeerraattoorreenn ...................................................... .. 117755
55..33 EElleekkttrroonneennggaass .................................................................................................. .. 117788
55..44 ZZwweeiittee QQuuaannttiissiieerruunngg .................................................................................... .. 118833
66 NNaahheerruunnggssvveerrffaahhrreenn 119900
66..11 VVaarriiaattiioonnssvveerrffaahhrreenn ........................................................................................ .. 119900
66..11..11 BBeeiissppiieell:: GGrruunnddzzuussttaannddsseenneerrggiiee ddeess WWaasssseerrssttooffffaattoommss ........ .. 119933
66..11..22 BBeeiissppiieell:: IIoonniissiieerruunnggsseenneerrggiiee ddeess HHeelliiuummaattoommss ...................... .. 119944
66..22 VVaarriiaattiioonnsspprriinnzziipp vvoonn FFttiittzz .......................................................................... .. 119977
66..33 SSttoorruunnggsstthheeoorriiee .............................................................................................. .. 220000
66..33..11 NNuullllttee NNaahheerruunngg ................................................................................ .. 220022
66..33..22 EErrssttee NNaahheerruunngg .................................................................................. .. 220033
66..33..33 ZZwweeiittee NNaahheerruunngg ................................................................................ .. 220055
66..33..44 HHoohheerree NNaahheerruunnggeenn .......................................................................... .. 220066
66..33..55 BBeeiissppiieell:: AAnnhhaarrmmoonniisscchheerr OOsszziillllaattoorr .......................................... .. 220099
66..33..66 BBeeiissppiieell:: FFeeiinnssttrruukkttuurr ddeess WWaasssseerrssttooffffssppeekkttrruummss .................. .. 221111
66..44 ZZeeiittaabbhhaannggiiggee SSttoorruunnggsstthheeoorriiee .................................................................. .. 221144
66..44..11 GGoollddeennee RReeggeell ddeerr QQuuaanntteennmmeecchhaanniikk ........................................ .. 221177
66..55 GGrreeeennsscchhee FFuunnkkttiioonn ...................................................................................... .. 221199
66..55..11 GGrreeeennsscchheerr OOppeerraattoorr ........................................................................ .. 221199
66..55..22 NNaahheerruunnggssvveerrffaahhrreenn .......................................................................... .. 222222
66..55..33 ZZuussttaannddssddiicchhttee .................................................................................... .. 222266
66..55..44 EElleekkttrroonneennddiicchhttee ................................................................................ .. 222277
66..55..55 FFrreeiiee EElleekkttrroonneenn ................................................................................ .. 222288
66..55..66 DDyyssoonn--GGlleeiicchhuunngg ................................................................................ .. 222299
66..55..77 AAnnddeerruunngg ddeerr ZZuussttaannddssddiicchhttee ...................................................... .. 223322
77 HHaarrttrreeee--FFoocckk--VVeerrffaahhrreenn 223355
77..11 HHaarrttrreeee--FFoocckk--GGlleeiicchhuunnggeenn .......................................................................... .. 223377
77..22 KKooooppmmaannss--TThheeoorreemm ...................................................................................... .. 224444
77..33 NNiicchhttllookkaalleess AAuussttaauusscchhppootteennttiiaall .............................................................. .. 224466
77..44 LLookkaallee--DDiicchhttee--NNaahheerruunngg .............................................................................. .. 224488
88 EElleekkttrroonneennggaass 225500
88..11 FFrreeiieess TTeeiillcchheenn ................................................................................................ .. 225500
8 Inhalt
8.2 Freie Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 252
8.2.1 Zweidimensionales Elektronengas ......................... 256
8.2.2 Eindimensionales Elektronengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 258
8.2.3 Freie Elektronen bei endlicher Temperatur. . . . . . . . . . . . . . .. 259
8.2.4 Freie Energie und Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 262
8.3 Homogenes Elektronengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 265
8.3.1 Hartree-Fock-Niiherung.................................. 265
8.3.2 Grundzustandsenergie.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 272
8.4 Inhomogenes Elektronengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 274
8.4.1 Born-Oppenheimer-Niiherung............................ 274
8.4.2 Hellmann-Feynman-Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 281
9 Dichtefunktionaltheorie 283
9.1 Hohenberg-Kohn-Theorem ...................................... 284
9.2 Kohn-Sham-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 288
9.3 Austausch-Korrelations-Funktional............................. 295
9.3.1 Lokale-Dichte-Niiherung.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 295
9.3.2 Austausch-Korrelations-Lochdichte .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 297
9.3.3 Paarkorrelationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 299
9.3.4 Gewichtete-Dichte-Niiherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 302
9.3.5 Gradientenkorrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 302
9.3.6 Verallgemeinerte Gradientenentwicklung. . . . . . . . . . . . . . . . .. 303
9.3.7 Selbstenergiekorrektur .................................... 304
9.4 Niiherung der unveriinderlichen Ionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 304
9.5 Pseudopotentiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 310
9.5.1 Normerhaltung ........................................... 313
9.5.2 Ubertragbarkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 315
9.5.3 Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 316
9.5.4 Separierbarkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 318
9.6 Spindichtefunktional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 322
9.6.1 Relativistische Verallgemeinerungen ....... ..... .. . ....... 322
9.6.2 Spindichtefunktionaltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 323
9.6.2 Austausch-Korrelations-Funktional ....................... 325
9.7 Zeitabhiingige Vorgiinge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 326
9.7.1 Molekulardynamik ....................................... 329
9.7.2 Ruhelagen der Atomkerne ................................ 331
10 Punktladung und Elektromagnetismus 335
10.1 Freie Elektronen im konstanten Magnetfeld .................... 338
10.1.1 Zyklotronniveaus ....................................... 338
10.2 Geladener Massenpunkt im Maxwell-Feld......... .. ... .. ... ... 343
10.2.1 Lagrange-Funktion einer Punktladung ................... 343
10.2.2 Lagrange-Dichte der elektromagnetischen Felder ......... 345
Inhalt 9
10.2.3 Punktladung und elektromagnetisches Feld ............. . 348
10.3 Strahlungsubergange ......................................... . 349
10.3.1 Ubergangswahrscheinlichkeit ........................... . 349
10.3.2 MultipolUbergange ..................................... . 351
10.3.3 Auswahlregeln fUr ein Elektron im Zentralfeld .......... . 355
11 Atome 359
11.1 Zentralfeldmodell ............................................ . 360
11.2 Niiherung der unveranderlichen Ionen ......................... . 365
11.3 Multipletts der Mehrelektronenspektren ...................... . 366
11.3.1 Grobstruktur .......................................... . 367
11.3.2 Berechnung der Energieniveaus ......................... . 372
11.3.3 Feinstruktur ........................................... . 377
11.3.4 Hyperfeinstruktur ...................................... . 382
11.4 Zeeman-Effekt ............................................... . 384
11.5 Stark-Effekt .................................................. . 387
12 Molekiile 389
12.1 Born-Oppenheimer-Niiherung ................................ . 390
12.2 Kinetische Energie der Atomkerne ............................ . 391
12.3 MolekUlschwingungen ........................................ . 395
12.4 Zweiatomiges MolekUl ........................................ . 398
12.4.1 Heitler-London-Niiherung .............................. . 398
12.4.2 Rotation und Schwingung .............................. . 402
12.5 Elektronische Zustande ....................................... . 405
12.5.1 MolekUlorbitale ........................................ . 406
12.5.2 Linearkombination von Atomorbitalen .................. . 408
13 Festkorper 413
13.1 Kristallsymmetrie ............................................ . 413
13.1.1 Translationen .......................................... . 413
13.1.2 Punkttransformationen ................................ . 414
13.1.3 Raumgruppen und Bravais-Gitter ...................... . 415
13.1.4 Spezielle Kristallgitter ................................. . 417
13.2 Elektronen- und Gittereigenschaften .......................... . 418
13.2.1 Born-Oppenheimer-Niiherung .......................... . 421
13.3 Gitterschwingungen .......................................... . 423
13.3.1 Dynamische Matrix .................................... . 425
13.3.2 Phononen .............................................. . 429
13.4 Kristallelektronen ............................................ . 436
13.4.1 Bloch-Funktionen ...................................... . 437
13.4.2 Energiebander ......................................... . 444
10 Inhalt
13.4.3 Optische Ubergiinge ..................................... 447
13.4.4 Effektive-Masse-Niiherung ............................... 449
13.4.5 Elektronengeschwindigkeit und Elektronendichte. . . . . . . .. 454
13.4.6 Landau-Niveaus ......................................... 460
13.4.7 Exzitonen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 463
13.4.8 Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 464
13.5 Temperaturabhiingige Eigenschaften. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 467
13.5.1 Thermodynamische Potentiale .......................... 468
13.5.2 Kristallstruktur und Bindungsenergie .................... 473
13.5.3 Wiirmekapazitat ........................................ 474
13.5.4 Kompressionsmodul und thermische Ausdehnung ........ 478
13.6 Storstellen in Halbleitern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 480
13.6.1 Storstellenkonzentration ................................. 481
13.6.2 Flache Storstellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 487
13.6.3 Umladungsniveaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 493
13.6.4 Leerstelle in Silicium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 494
13.6.5 Ubergangsmetalle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 497
14 Symmetrie 501
14.1 Darstellung einer Gruppe im Hilbert-Raum. ... .. .. .. .. ... ... .. 502
14.2 Aufspaltung von Spektrallinien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 504
14.2.1 Elektron im Zentralfeld ................................. 505
14.3 Invariante Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 507
14.3.1 Kreuzungsregel......................................... 509
14.3.2 Auswahlregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 510
14.4 Diagonalisierung von Matrizen ................................ 511
14.5 Symmetrieadaptierte Molekiilzustiinde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 513
14.6 Molekiilschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 516
14.7 Einbeziehung des Elektronenspins ............................. 519
15 Quantenstatistik 521
15.1 Thermodynamisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 521
15.2 Mikrokanonische Gesamtheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 525
15.3 Kanonische Gesamtheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 526
15.3.1 Beispiel: Zweiatomiges ideales Gas ...................... 529
15.3.2 AuBere Arbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 536
15.3.3 Beispiel: Paramagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 537
15.4 GroBkanonische Gesamtheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 540
15.5 Gleichgewichtsverteilungen freier Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 543
15.5.1 Bose-Einstein-Statistik.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 544
15.5.2 Fermi-Dirac-Statistik .................................... 545
15.6 Massenwirkungsgesetz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 546
Inhalt 11
Anhang
A Hilbert-Raum 553
A.! Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 553
A.2 Orthonormalsystem.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 555
A.3 Spezielle Hilbert-Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 558
A.3.! Komplexe Zahlenfolgen .................................. 558
A.3.2 Quadratisch integrierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 558
A.4 Lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 559
A.4.! Matrizendarstellung ..................................... 560
A.4.2 Spezielle Operatoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 562
B Kugelfunktionen 564
B.! Komplexe Kugelfunktionen .................................... 564
B.2 Reelle Kugelfunktionen ........................................ 568
B.3 Theoreme mit Kugelfunktionen ................................ 569
B.4 Integrale mit Kugelfunktionen .................................. 571
C Drehimpulse 576
C.! Definition ...................................................... 576
C.2 Quantisierung von Drehimpulsen ............................... 577
C.3 Addition von Drehimpulsen .................................... 58!
C.4 Addition von zwei Drehimpulsen ............................... 582
C.5 Clebsch-Gordan-Koeffizienten .................................. 586
C.6 Beispiele ....................................................... 586
D Greensche Funktion freier Teilchen 588
E Fourier-Entwicklung 590
E.! Entwicklung einer periodischen Funktion ....................... 590
E.!.! Entwicklung im reziproken Raum ........................ 593
E.!.2 Entwicklung bezuglich des Grundgebietes . .. .... .. ... .... 593
E.2 Entwicklung einer Bloch-Funktion .............................. 594
E.3 Entwicklung einer Atomfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 599
E.4 Coulomb-Potential ............................................. 600
F Fermi-Integral 602
G Integrale mit GauB-Funktionen 604
G.! Coulomb-IntegraL ............................................. 604
G.2 Hartree-Integral ............................................... 605