Processus ARCH-GARCH Applications

85 Pages·2012·1.29 MB·French

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

UNIVERSITE ABOU BEKR BELKAID - TLEMCEN -
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques

Mémoire de fin d’études
pour l'obtention du diplôme de Master en mathématiques
Option : probabilités statistiques

Thème

Processus ARCH-GARCH
Applications

Présenté par
Kamila BERHOUNE

Soutenue le : 10 juin2013
Composition du jury

Président : Tahar. MOURID Professeur à l’université Abou Bekr Belkaid Tlemcen

Examinateur : Abdelaziz. ALLAM Maitre de conférences à l’université Abou Bekr Belkaid

Encadreur : Wafaa. BENYELLES Maitre de conférences à l’université Abou Bekr Belkaid
Résumé
Les prévisions sont encore et toujours vitales pour le monde des
entreprises désireuses d’anticiper leurs activités, leurs besoins et les moyens á
mettre en œuvre pour satisfaire la demande des clients. L’approche ARCH-
GARCH est introduit pour éviter la lacune majeur des modèles ARMA. Cette
approche est un outil puissant pour traiter les phénomènes non linéaires et les
mouvements imprévisibles ou volatils du marché financier. Plus précisément,
elles permettent de présenter et modéliser les séries financières.
Engle inventé la généralisation du «Modèle ARCH» pour résoudre des
problèmes de prévision statistique dans le domaine de la finance.

Abstract
Forecasts are still and always vital to the business community eager to
anticipate their activities, their needs and ways to implement to meet customer
demand. The approach ARCH_GARCH is introduced to avoid the gap major of
the models ARMA. This approach is a powerful tool to treat the nonlinear
phenomena and movements unpredictable or volatile financial market. More
precisely, they permitted to presenting and modeling the financial series.
Engle invented the generalization of "ARCH model" for solving problems
of statistical prediction in the field of finance.

صخلم

كلذو مھتاجايتحاو مھتطشنأ عقوت يف نيبغارلا لامعلأا لاجرل ةيويح امئادو لازت لا تاعقوتلا
بلط ةيبلتل يطرش رياغت تاذ يتاذ رادحنا ليثمت لبقت ةروريس لوح لمعلا اذھ روحمتي .ءلامعلا
يف ةقلقلاو ةبلقتملا تاكرحلاو ةيطخلا ريغ رھاوظلا عم لماعتلل ةيوق ةادأ وھ جھنلا اذھ .تباث ريغ
.ةيلاملا ةينمزلا لسلاسلل لولح و جدامن مدقت نأ نكمي اھنإف ،اديدحت رثكأ لكشبو ،ةيلاملا قوسلا
.ليومتلا لاجم يف يئاصحلإا ؤبنتلا لكاشم لحل ميمعتلا اذھ "لجنا "عرتخا
1
Table des MatiŁres
Introduction 1
1 PrØliminaire et dØ(cid:133)nitions. 5
1.1 La kurtosis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 PropriØtØs des sØries (cid:133)nanciŁres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 La volatilitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 La stationnaritØ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Fonctions d(cid:146)autocovariance et d(cid:146)autocorrØlation . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Le processus bruit blanc (white noise process). . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Le processus d(cid:146)innovation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 ModŁle linØaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 OpØrateur de retard L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 ModŁle ARMA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7.1 ModŁle AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7.2 ModŁle MA : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7.3 ModŁle mixte: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8 HØtØroscØdasticitØ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 ModŁles ARCH/GARCH. 14
2.1 ModŁlesAutoRØgressifsConditionnellementHØtØroscØdastiquesARCH(1) 14
2.1.1 ReprØsentation ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 PropriØtØs des processus ARCH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 ModŁle ARCH(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 ModŁle avec erreur ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Les modŒles ARCH gØnØralisØes: GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1 ModŁle GARCH(p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.2 GARCH faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.3 GARCH semi-fort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.4 GARCH fort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 PropriØtØs des processus GARCH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.1 ModŁle GARCH(1;1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2
3 Estimation 34
3.1 La mØthode de maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.1 Estimation des paramŁtres du modŁle GARCH . . . . . . . . . . . . 35
3.1.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 PrØvision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 ModŁle avec erreur ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Simulation 44
4.1 Notions de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 ModŁles d(cid:146)hØtØroscØdasticitØ conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3 ARCH(1) et test d(cid:146)hØtØroscØdasticitØ conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3.1 Simulation d(cid:146)un ARCH(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4 Estimation et diagnostic d(cid:146)ajustement d(cid:146)un GARCH . . . . . . . . . . . . . 56
4.5 Etude de sØries du marchØ parisien autour de la crise de 2007-2008 . . . . . 63
4.5.1 Exploration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5.2 Etude des rendements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.5.3 HØtØroscØdasticitØ conditionnelle des rendements . . . . . . . . . . . 72
4.6 Choix du nombre de paramŁtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5 conclusion 79
Bibliographie 81
1
Introduction
L(cid:146)apparitondesmodŁlesARCH=GARCH doitetreplaceØdansuncontexteparti-
culiŁrement utile qui est l(cid:146)analyse et la prŁvision de la volatilitØ dans les marchŁs (cid:133)nanciers.
L(cid:146)incertitude joue un r(cid:244)le central dans la plupart des problŁmes abordØs par la thØorie
(cid:133)nanciŁre. Les diverses thØories d(cid:146)Øvaluation des actifs (cid:133)nanciers dØ(cid:133)nissent la prime de
risque par la covariance entre le rendement futur de l(cid:146)actif et celui d(cid:146)un ou de plusieurs
portefeuilles de rØfØrences; par exemple le portefeuille de marchØ ou le taux de croissance de
laconsommation. Dansle cadredesproblŁmes d(cid:146)Øvaluation d(cid:146)options, l(cid:146)incertitude associØe
au prix futur de l(cid:146)actif sous-jacent est le dØterminant le plus important dans la formation
des prix. Lorsque l(cid:146)on construit des portefeuilles d(cid:146)arbitrage, on accorde Øgalement un r(cid:244)le
important aux valeurs futures des variances et covariances conditionnelles des diگrents
actifs en prØsence.
Depuis longtemps dØj(cid:224), on sait que l(cid:146)incertitude portant sur les prix spØculatifs
varie au cours du temps (cf. MANDELBROT [1963] et FAMA [1965]). Cependant, ce
n(cid:146)est que depuis peu que les Øtudes appliquØes en (cid:133)nance et en Øconomie monØtaire utilisent
explicitement des modØlisations de sØries temporelles faisant intervenir des moments du
second ordre ou d(cid:146)ordre supØrieur variables. L(cid:146)un des outils les plus intØressants apparu
2
pourcaractØriserdetellesvariancesvariablesaØtØintroduitparENGLE[1982]: ils(cid:146)agitde
l(cid:146)hØtØroscØdasticitØ conditionnelle autorØgressive (ARCH en anglais), et de ses nombreuses
extensions. Depuisl(cid:146)introductiondesmodŁlesARCH,descentainesdetravauxderecherche
sesontattachØs(cid:224)appliquercetypedemodØlisation(cid:224)dessØries(cid:133)nanciŁres. Danscetravail,
nous proposons une revue de la littØrature sur les Øtudes que nous considØrons comme Øtant
les plus importantes et les plus prometteuses pour la formulation des modŁles de type
ARCH
LebutdenotretravailestdefourniruneintroductionauxmodØlesARCH=GARCH
le plus souvant utilisØs dans la modØlisation en temps continu des marchØs (cid:133)nanciers. On
s(cid:146)intØresseraplusparticuliŁrement(cid:224)l(cid:146)estimationet(cid:224)samodØlisationaulogicielR.L(cid:146)objectif
n(cid:146)est pas de fournir toute la thØorie relative (cid:224) ces modŁles mais d(cid:146)insister sur l(cid:146)estimation
et application au logiciel R.
Dans le chapitre 1, nous prØsenterons un rappel des principales dØ(cid:133)nitions, pro-
priØtØs des series (cid:133)nanciØres, des processus ainsi que quelques notions utiles dans notre
travail.
Dans le chapitre 2, nous Øtudierons les modØles ARCH=GARCH ainsi que ses
propriØtØs. En 1982, Engle propose une nouvelle classe de modŁles autorØgressifs condition-
nellement hØtØroscØdastiques (ARCH) apte (cid:224) capter le comportement de la volatilitØ dans
le temps.
Un processus " satisfait une representation ARCH(p) p 1 si
t
(cid:21)
" = (cid:17) h
t t t
3
avec
p
h = (cid:11) + (cid:11) "2
t v 0 i t i
u i=1 (cid:0)
u X
t
oø (cid:17) dØsigne un bruit blanc faible, tel que E[(cid:17) ] = 0
t t
En 1986, le modŁle (GARCH) autorØgressif conditionnellement hØtØroscØdastique
gØnØralisØ est suggØrØ par Bollerslev.
Un processus " satisfait une representation GARCH(p;q) si
t
" = (cid:17) h
t t t
avec
p q
h = (cid:11) + (cid:11) "2 + (cid:12) h2
t v 0 i t i j t j
u i=1 (cid:0) j=1 (cid:0)
u X X
t
oø (cid:17)t v N(0;(cid:27)2) , avec les conditions (cid:11)0 > 0;(cid:11)i > 0, pour i = 1;2;:::p et (cid:12)j > 0; pour
j = 1;2;:::;q satisfaisantes pour garantir la posivitØ de h2:
t
Dans le chapitre 3, on s(cid:146)intØressera (cid:224) la simulation des ARCH/GARCH en util-
isant le logiciel R 2.15.3. Ce chapitre prØsente quelques modŁles utiles pour traiter les
sØries (cid:133)nanciŁres. Nous prØciserons d(cid:146)abord ce qu(cid:146)est le rendement du cours d(cid:146)une action.
Nous rØintroduisons les ARCH et les GARCH, modŁles susceptibles de prendre en compte
l(cid:146)hØtØroscØdasticitØ conditionnelle, ainsi que des tests de prØsence d(cid:146)une telle hØtØroscØdas-
ticitØ. AprŁs avoir ØtudiØ le plus simple de ces modŁles, l(cid:146)ARCH(1), nous montrerons sur
des donnØes simulØes comment estimer ces modŁles dans R. Munis de ces outils, nous ex-
plorerons les rendements du CAC40 de Danone, de la SociØtØ gØnØrale et de L(cid:146)OrØal autour
de la crise de 2007. Nous nous intØresserons ensuite plus particuliŁrement (cid:224) Danone dont
nous modØliserons les rendements. Une sØrie de rendements Øtant le plus souvent un bruit
4
blanc, maiscebruitblancprØsentantunevarianceconditionnelle(cid:224)sonpassØnonconstante,
la prØvision de cette variance permettera de prØciser les intervalles de prØvision; nous les
calculerons pour cette sociØtØ.
5
Chapitre 1
PrØliminaire et dØ(cid:133)nitions.
Nous faisons un petit rappel de quelques notions de bases:
1.1 La kurtosis.
Soit (cid:22) le moment empirique centrØ d(cid:146)ordre k du processus X ;t = 1:::T
k t
(cid:22) = E[X E[X ]]k
k t t
(cid:0)
T
1
= (X X )k
t
T (cid:0)
t=1
X
DØ(cid:133)nition 1.1 La Kurtosis ou le coØ⁄cient d(cid:146)applatissement pour un Øchantillon de taille
T s(cid:146)Øcrit :
(cid:22)
K = 4
u (cid:22)2
2
On peut montrer que :
K 3
u
(cid:0) N(0;1)
T
24 (cid:0)! !1
T
q
6
Remarque 1.1 La Kurtosis mesure le caractŁre pointu ou plat de la distribution de la
sØrie. La Kurtosis de la disribution normale est 3. Si la Kurtosis est superieur (cid:224) 3 (queues
Øpaisses), la distribution est plut(cid:244)t pointue (distribution leptokurtique) ; si la Kurtosis est
infØrieur (cid:224) 3, la distribution est plut(cid:244)t plate (distribution est dite platikurtique).
1.2 PropriØtØs des sØries (cid:133)nanciŁres.
Les sØries de prix d(cid:146)actif et de rendements prØsentent gØnØralement un certain
nombre de propriØtØs similaires suivant leur pØriodicitØ.
Soitp leprixd(cid:146)unactif(cid:224)ladatetetr lelogarithmedurendementcorrespondant:
t t
r = log(p ) log(p ) = log(1+R )
t t t 1 t
(cid:0) (cid:0)
oø R = (p p )=p dØsigne la variation relative des prix.
t t t 1 t 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
1.2.1 La volatilitØ
DØ(cid:133)nition 1.2 La volatilitØ est une mesure de l(cid:146)instabilitØ du cours d(cid:146)un actif (cid:133)nancier.
Elle mesure l(cid:146)amplitude des variations d(cid:146)une action, d(cid:146)un produit dØrivØ ou d(cid:146)un marchØ. Il
s(cid:146)agit d(cid:146)un paramŁtre de quanti(cid:133)cation du risque de rendement et de prix. Les sØries monØ-
taires et (cid:133)nanciŁres sont caractØrisØes par le clustering de volatilitØ, (cid:224) savoir les pØriodes
de forte volatilitØ alternent avec les pØriodes de faible volatilitØ. Ce phØnomŁne, que nous
appelons aussi l(cid:146)hØtØroscØdasticitØ conditionnelle, est particuliŁrement frØquent dans les don-
nØes boursiŁres, les taux de changes ou d(cid:146)autres prix dØterminØs sur les marchØs (cid:133)nanciers.
Nous allons prØsenter quelques mØthodes pour mesurer la volatilitØ. Elles sont groupØes