Probabilità : Un’introduzione attraverso modelli e applicazioni

404 Pages·2013·2.103 MB·Italian

by  Francesco Caravenna, Paolo Dai Pra (auth.)

Francesco Caravenna
Paolo Dai Pra
Probabilità
Un’introduzione attraverso
modelli e applicazioni
TT
XX
EE
TT
II
NN
ABC
UU
UNITEXT – La Matematica per il 3+2
Volume 67
Forfurthervolumes:
http://www.springer.com/series/5418
Francesco Caravenna · Paolo Dai Pra
Probabilità
Un’introduzione attraverso
modelli e applicazioni
Springer
FrancescoCaravenna PaoloDaiPra
DipartimentoMatematicaeApplicazioni DipartimentoMatematicaPuraeApplicata
UniversitàdegliStudidiMilano-Bicocca UniversitàdegliStudidiPadova
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Password:978-88-470-2594-3
UNITEXT–LaMatematicaperil3+2
ISSNversionecartacea:2038-5722 ISSNversioneelettronica:2038-5757
ISBN978-88-470-2594-3 ISBN978-88-470-2595-0(eBook)
DOI10.1007/978-88-470-2595-0
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©Springer-VerlagItalia2013
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9 8 7 6 5 4 3 2 1
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Prefazione
L’obiettivodiquestolibroèdifornireun’introduzioneallateoriadellaprobabilitàe
allesueapplicazioni,senzafarericorsoallateoriadellamisura,perstudentideicorsi
dilaureascientifici(inparticolarmododimatematica,fisicaeingegneria).Lascel-
ta degli argomenti e l’approccio adottato sono il frutto di alcuni anni di esperienza
conicorsidanoitenutiperlalaureatriennaleinmatematica,pressoleuniversitàdi
PadovaediMilano-Bicocca.
Si è deciso di porre grande enfasi sulla probabilità discreta, vale a dire su spazi
finitionumerabili,acuiiprimiquattrocapitolisonodedicati.Laprimaragioneèche,
inquestocontesto,sonosufficientipochistrumentianaliticiperpresentarelateoria
inmodocompleto erigoroso(bastanosostanzialmente successioni eserie).Questo
permettediintrodurreillinguaggioelenozionibasilaridiprobabilitàsenzaeccessive
complicazionitecniche,concentrandol’attenzionesulledifficoltàsostanzialichegli
studenti incontrano nella fase iniziale dello studio di questa disciplina. La seconda
ragioneèchepochenozionidiprobabilitàdiscretasonopiùchesufficientiperdiscu-
tereproblemiemodelliestremamenteinteressanti,alcunituttoraoggettodiricerca.
UnaselezionediesempiinquestadirezioneèpresentatanelCapitolo2,mentrepro-
blemipiùavanzati,checoinvolgonovariabilialeatorie,sonodescrittinelCapitolo4.
Riteniamochelatrattazionediunoopiùditaliesempigiànellaprimapartedelcorso
costituiscaunottimoelementoformativo.
Latrattazionedeglispazidiprobabilitàgenerali,nelCapitolo5,èpiuttostosuccin-
taeprincipalmentefocalizzataalladiscussionedellevariabilialeatorieassolutamen-
te continue, oggetto del Capitolo 6. In queste parti del testo diverse dimostrazioni
sono omesse, ma si è cercato di dare sempre definizioni matematicamente precise,
esplicitandolequestionitecnichechenonpossonoessererisolteconglistrumentia
disposizione.Iprerequisitisonoallivellodiunprimocorsodianalisimatematica(li-
miti,derivate,integralediRiemann),adeccezionedeiparagraficonclusivisuivettori
aleatori,segnalaticonunasterisco*,periqualièrichiestalaconoscenzadiunpo’
dianalisimultivariata(integralediRiemannmultidimensionale).
VengonoquindipresentatinelCapitolo7iteoremilimiteclassicidelcalcolodel-
leprobabilità,ossialalegge(debole)deigrandinumerieilteoremalimitecentrale.
Perquest’ultimo,vienefornitaunadimostrazionecompleta(conl’ipotesidimomen-
vi Prefazione
Capitolo1 Capitolo3 Capitolo5 Capitolo6
Capitolo2 Capitolo4 Capitolo7
7.1Leggedei 7.2Teorema
grandinumeri limitecentrale
Capitolo8
Schemadelledipendenzetraicapitoli.Laviad’accessopiùnaturalealCapitolo7èquellache
provienedalCapitolo6;tuttavia,volendo,laprimametàdelCapitolo7,sullaleggedeigrandi
numeri,èaccessibilegiàdopoilCapitolo3
toterzofinito)evienediscussaindettagliolatecnicadell’approssimazionenormale.
Infine,ilCapitolo8èdedicatoadalcuneapplicazioniallastatisticamatematica.Sopra
èriportatoundiagrammaconipossibiliordinidilettura.
L’esposizioneèarricchitadanumerosiesempi,checostituisconounapartefonda-
mentaledellapresentazione,edaunavastaselezionediesercizi,periqualivienefor-
nitalasoluzionedettagliatasullapaginadelsitoSpringerdedicataalvolume(accessi-
bileall’indirizzohttp://extras.springer.commedianteilcodice978-88-470-2594-3).
Alcunepartipiuttosto tecniche, ocheabbiamo ritenutononessenziali, appaionoin
corpominore,oppuresonocontenutenell’Appendice.
Questolibro,com’èovvio,risentedellanostraformazione,deinostriinteressidi
ricercaedelnostrogusto.Siamostatiispiratieaiutatidaparerieosservazionidivari
colleghi, che ringraziamo di cuore per i loro suggerimenti. Un grazie particolare a
WolfgangJ.RunggaldiereTizianoVargiolu,perlenumeroseeutilidiscussioni.
Siamoinoltredebitorianumerosiautoridiarticolielibri,daiqualiabbiamoimpa-
ratomoltadellamatematicachequipresentiamo.Inparticolarecrediamo,esperia-
mo,diesserestatiinfluenzatidaiduesplendiditestidiWilliamFeller[23]ePatrick
Billingsley[6].
Infine,siamoriconoscentiaglistudentidellalaureatriennaleinmatematicadelle
UniversitàdiPadovaediMilano-Bicoccache,conillorostudio,ilorocommenti,le
loro critiche e segnalazioni di errori,hanno contribuito alla progettazione e costru-
zionediquestolibro.
MilanoePadova,marzo2013 FrancescoCaravenna
PaoloDaiPra
Indice
Nozionipreliminari................................................. 1
Notazioni ...................................................... 1
Alcunirichiamidianalisimatematica .............................. 3
Sommeinfinite ................................................. 3
1 Spazidiprobabilitàdiscreti:teoria............................... 7
1.1 Modelliprobabilisticidiscreti ................................ 7
1.1.1 Considerazioniintroduttive............................ 7
1.1.2 Assiomidellaprobabilità.............................. 10
1.1.3 Probabilitàedensitàdiscreta........................... 12
1.1.4 Proprietàfondamentali................................ 15
1.2 Calcolocombinatorio ....................................... 20
1.2.1 Principibasilari...................................... 20
1.2.2 Disposizioniconripetizione ........................... 21
1.2.3 Ilprincipiofondamentale.............................. 22
1.2.4 Disposizionisempliciepermutazioni ................... 24
1.2.5 Combinazioni ....................................... 28
1.2.6 Estrazionidipallinedaun’urna ........................ 29
1.3 Probabilitàcondizionaleeindipendenza........................ 33
1.3.1 Probabilitàcondizionale .............................. 33
1.3.2 Bayesedintorni ..................................... 36
1.3.3 Indipendenzadieventi................................ 40
1.3.4 Proveripetuteeindipendenti........................... 47
1.3.5 Esempieparadossisulcondizionamento................. 52
1.4 Esercizidiriepilogo ........................................ 61
1.5 Notebibliografiche ......................................... 67
2 Spazidiprobabilitàdiscreti:esempieapplicazioni................. 69
2.1 Permutazionialeatorie ...................................... 69
2.2 Lapasseggiataaleatoriasemplice ............................. 77
2.3 Statisticheclassicheequantistiche ............................ 84
viii Indice
2.4 IlmodellodiIsinginmeccanicastatistica ...................... 90
2.5 IlmodellodiHardy-Weinbergingenetica ...................... 98
2.6 Notebibliografiche ......................................... 101
3 Variabilialeatoriediscrete:teoria................................ 103
3.1 Variabilialeatorieedistribuzioni ............................. 103
3.1.1 Considerazioniintroduttive............................ 103
3.1.2 Definizioni.......................................... 104
3.1.3 Probabilitàdiscretesuspazigenerali .................... 106
3.1.4 Distribuzioneedensitàdiscreta ........................ 107
3.1.5 Osservazioniedesempi ............................... 111
3.1.6 Costruzionecanonicadiunavariabilealeatoria ........... 115
3.2 Indipendenzadivariabilialeatorie............................. 117
3.2.1 Distribuzionicongiunteemarginali..................... 117
3.2.2 Indipendenzadivariabilialeatorie ...................... 120
3.2.3 Rivisitazionedelleproveripetuteeindipendenti .......... 124
3.2.4 Proprietàdell’indipendenza............................ 125
3.2.5 Costruzionedivariabilialeatorieindipendenti ............ 127
3.2.6 Dallospaziodiprobabilitàallevariabilialeatorie.......... 128
3.3 Valormedioedisuguaglianze ................................ 130
3.3.1 Definizione ......................................... 130
3.3.2 Proprietàdelvalormedio ............................. 134
3.3.3 Momenti,varianzaecovarianza........................ 139
3.3.4 Valormedioeindipendenza ........................... 146
3.3.5 Disuguaglianze...................................... 147
3.3.6 Coefficientedicorrelazione............................ 151
3.4 Lavorareconledistribuzioni ................................. 154
3.4.1 Sommadivariabilialeatorie ........................... 154
3.4.2 Funzionediripartizione............................... 155
3.4.3 Massimoeminimodivariabilialeatorieindipendenti ...... 158
3.4.4 Funzionegeneratricedeimomenti ...................... 159
3.5 Classinotevolidivariabilialeatoriediscrete .................... 164
3.5.1 Uniformediscreta.................................... 164
3.5.2 Bernoulli ........................................... 166
3.5.3 Binomiale .......................................... 167
3.5.4 Ipergeometrica ...................................... 171
3.5.5 Poisson ............................................ 172
3.5.6 Geometrica ......................................... 176
3.6 Esercizidiriepilogo ........................................ 182
3.7 Notebibliografiche ......................................... 187
4 Variabilialeatoriediscrete:esempieapplicazioni .................. 189
4.1 Sullaleggedeipiccolinumeri ................................ 189
4.2 Un’applicazioneallafinanza:ilmodellobinomiale............... 193
4.3 Ilproblemadelcollezionistadifigurine ........................ 200
Indice ix
4.4 Mescolareunmazzodicarte ................................. 204
4.5 Rivisitazionedellepasseggiatealeatorie........................ 211
4.6 LacondensazionediBose-Einstein............................ 218
4.7 Notebibliografiche ......................................... 229
5 Spazidiprobabilitàevariabilialeatoriegenerali................... 231
5.1 σ-algebreemisurediprobabilità ............................. 231
5.2 Variabilialeatoriegenerali................................... 235
5.3 Indipendenzaevalormedio .................................. 238
5.4 Costruzionedimodelliprobabilistici .......................... 241
5.5 Notebibliografiche ......................................... 242
6 Variabilialeatorieassolutamentecontinue ........................ 243
6.1 Richiamisull’integralediRiemann............................ 243
6.1.1 L’integraleinsensoproprio ........................... 243
6.1.2 L’integraleinsensoimproprio ......................... 244
6.1.3 Alcuniesempi....................................... 246
6.1.4 Approfondimentisull’integrabilità...................... 248
6.1.5 Proprietàdell’integrale ............................... 250
6.2 Variabilialeatorierealiassolutamentecontinue.................. 251
6.2.1 Definizioneeprimeproprietà .......................... 252
6.2.2 Determinareladensità................................ 254
6.2.3 Ilcalcolodelvalormedio ............................. 257
6.2.4 Calcoliconvariabilialeatorieindipendenti............... 259
6.3 Classinotevolidivariabilialeatorierealiassolutamentecontinue... 261
6.3.1 Uniformecontinua ................................... 261
6.3.2 Gamma ............................................ 263
6.3.3 Esponenziale........................................ 266
6.3.4 Normale............................................ 267
6.4 Vettorialeatoriassolutamentecontinui* ....................... 271
6.4.1 Definizioneeprimeproprietà*......................... 273
6.4.2 Densitàcongiuntaemarginali* ........................ 275
6.4.3 Calcolicondensità*.................................. 278
6.5 Esempieapplicazioni....................................... 282
6.5.1 Levariabilialeatoriechi-quadro........................ 282
6.5.2 Statistiched’ordineevariabilialeatorieBeta ............. 283
6.5.3 IlprocessodiPoisson(parteI) ......................... 286
6.5.4 IlprocessodiPoisson(parteII)* ....................... 289
6.5.5 IvettorialeatoriuniformieilparadossodiBertrand*...... 292
6.6 Vettorialeatorinormali* .................................... 294
6.6.1 Matricedicovarianza* ............................... 294
6.6.2 Definizioneeproprietàprincipali* ..................... 296
6.6.3 Proiezioniortogonalidivettorinormali* ................ 300
6.7 Esercizidiriepilogo ........................................ 303
6.8 Notebibliografiche ......................................... 311
x Indice
7 Teoremilimite ................................................. 313
7.1 Laleggedeigrandinumeri................................... 313
7.1.1 Enunciato,dimostrazioneediscussione.................. 314
7.1.2 IlmetodoMonteCarloperilcalcolodiintegrali .......... 317
7.1.3 IlteoremadiapprossimazionediWeierstrass............. 319
7.1.4 Unesempioconvariabilialeatoriecorrelate .............. 321
7.2 Ilteoremalimitecentrale .................................... 324
7.2.1 Enunciatoediscussione............................... 324
7.2.2 Ilmetododell’approssimazionenormale................. 327
7.2.3 Dimostrazionedelteoremalimitecentrale ............... 333
7.2.4 Unteoremalimitelocalepervariabiliesponenziali ........ 338
7.3 Esercizidiriepilogo ........................................ 340
7.4 Notebibliografiche ......................................... 343
8 Applicazioniallastatisticamatematica ........................... 345
8.1 Modellistatisticiparametrici ................................. 345
8.2 Intervallidiconfidenzapercampioninormali ................... 350
8.3 Proprietàasintotiche ........................................ 354
8.4 Stimatoridimassimaverosimiglianza ......................... 358
8.5 Notebibliografiche ......................................... 372
Appendice......................................................... 373
A.1 Sommeinfinite ............................................ 373
A.2 Unamisurafinitamenteadditiva(manonσ-additiva)suN ........ 378
A.3 Ilprincipiofondamentaledelcalcolocombinatorio .............. 382
Tavoladelladistribuzionenormale ................................... 385
PrincipalidistribuzioninotevolisuRRR ................................. 387
Riferimentibibliografici............................................. 389
Indiceanalitico..................................................... 393