Partielle Differentialgleichungen und ihre Anwendungen auf physikalische Fragen

336 Pages·1938·13.37 MB·German

by  Bernhard Riemann (auth.)

PARTIELLE
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
und ihre Anwendungen auf physikalisme Fragen
Vorlesungen
von
Bernhard Riemann
Herausgegeben von Karl Hattendorff
mit einem Vorwort von Prof. DrAng. e.h. Fritz Emde-Stuttgart
SPRINGER FACHMEDIEN WIESBADEN GMBH
Unveränderter Abdru<k der dritten Auflage (1882)
Mit 46 Abbildungen
ISBN 978-3-663-06635-4 ISBN 978-3-663-07548-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-07548-6
Alle Rechte vorbehalten
Softcover reprint ofthe hardcover 3rd edition 1882
Geleitwort.
Aus Riemanns Vorlesungen über partielle Differentialgleichungen
ist im Laufe der Zeit ein umfassendes zweibändiges Werk hervor
gegangen, an dem viele Bearbeiter mitgewirkt haben. Die ursprüng
liche Ausgabe dieser Vorlesungen nimmt sich daneben recht be
scheiden aus. Dennoch haben Ingenieure und Physiker immer wieder
nach dem längst vergriffenen Buche verlangt, mit Recht, denn es
ist ein Werk, in dem R i e man n seine Hörer in vortrefflicher Weise
in die mathematischen Kerngedanken einführt und mit den Lösungs
methoden vertraut macht. Dem Anfänger bietet sich auch heute
kaum ein bequemerer Zugang in das Gebiet.
So mögen Riemanns Vorlesungen aufs neue ihre alte Kraft
bewähren. Sie werden eine Zierde jeder Büchersammlung sein.
Fritz Emde.
Vorrede zur ersten Auflage.
Die Vorlesungen über partielle Differentialgleichungen, welche ich
hiermit der Oeffentlichkeit übergebe, sind von Riemann während
seiner akademischen Thätigkeit in Göttingen gehalten, und zwar
im Winter 1854/55, im Winter 1860/61 und im Sommer 1862. Ueber
den grössten Theil derselben findet sich neben einer Reihe kürzerer
Notizen eine zusammenhängende Ausarbeitung von Riemann's
eigener Hand vor. Dieselbe ist allerdings in der Form, in welcher
sie vorliegt, nicht zur Veröffentlichung bestimmt gewesen. Man
hat sie vielmehr als sorgfältige Vorbereitung für den mündlichen
Vortrag anzusehen. Danach würde man durchaus gegen Riemann's
Absicht gehandelt haben, wenn man seine Ausarbeitung wörtlich
hätte zum Abdruck bringen wollen. Doch ist dieselbe für die Heraus
gabe von grosser Wichtigkeit, insofern der Gedankengang und die
Entwicklung der Formeln fast durchweg beibehalten werden konnte
und musste. Dass ich bei der Redaction mir freie Hand gehalten
habe, rechne ich mir nicht als besonderes Verdienst an, aber ich muss
es erwähnen, weil in dieser Beziehung ich allein die Verantwortung
zu tragen habe. Die Einleitung ist wörtlich abgedruckt. Sie trägt
im Manuscripte die Bezeichnung: Michaelis 54. Die zusammen
hängende Bearbeitung enthält von dieser Einleitung nur den ersten
Satz und fängt dann sofort mit den bestimmten Integralen (§. 2) an.
Ausser Riemann's eigenem Manuscript habe ich die in der
Wintervorlesung 1860/61 von mir gemachten Aufzeichnungen und
das danach ausgearbeitete Heft zu Grunde gelegt. Diese enthalten,
was Gedankengang und Formeln betrifft, dasselbe wie das Manuscript,
VI Vorrede zur ersten Auflage.
sie gehen aber an verschiedenen Stellen über den Inhalt des letztern
hinaus. So sind die §§. 36 bis 40 etwas ausführlicher behandelt als
in Riemann's Handschrift. Die §§.71 bis 73, 79 bis 97, 101, 107
bis 113 sind in der Wintervorlesung 1860/61 neu hinzugekommen.
Am Schlusse des Semesters hat Riemann auch noch die Bewegung
eines Ringes in einer unendlichen Flüssigkeit, analog der Dirichlet -
sehen Aufgabe von der Kugel, behandelt. Er hat sich jedoch darauf
beschränkt, in die partielle Differentialgleichung Ringcoordinaten
einzuführen und für die Lösung den Weg im Grossen vorzuschreiben.
Bei der Durchführung der Rechnung bleibt mir noch ein Punkt
aufzuklären, und ich möchte deshalb das Problem für eine besondere
Bearbeitung vorbehalten.
Unter den Mathematikern, welche die Theorie der partiellen
Differentialgleichungen erheblich gefördert haben, nimmt Dirich let
eine hervorragende Stellung ein. Er hat aber nicht nur an der Aus
bildung der Theorie gearbeitet, er hat sie, wie die Lehre vom Potential,
zuerst auf deutschen Universitäten zum Gegenstande besonderer
Vorlesungen gemacht. Dasgrosse Verdienst, das er sich damit
um das Studium der Mathematik erworben, wird gewiss auch durch
den Umstand ins rechte Licht gesetzt, dass Männer wie Riemann
es für werth gehalten haben, seinem Beispiele zu folgen, und dass
gegenwärtig die partiellen Differentialgleichungen und das Potential
zu stehenden Lehrgegenständen geworden sind. Bei der Ueber
einstimmung des behandelten Gegenstandes ist es natürlich, dass
Riemann's Vorlesungen über partielle Differentialgleichungen mit
den Vorlesungen Dirichlet's in der Anlage und in der Ausführung
manches gemein haben. Es war eine schöne und liebenswürdige
Seite in R i e ma n n 's Charakter, dass er die Leistungen Anderer
gern anerkannte, und ich handle in seinem Geiste, wenn ich hier
ausdrücklich seines Vorgängers gedenke. Auf der andern Seite bieten
diese Vorlesungen eine Fülle des' Eigenthümlichen. Die Verdienste
grosser Männer werden nicht dadurch geschmälert, dass man jedem
seinen Theil des wohlerworbenen Ruhmes gern und willig gönnt.
KerstIingerode bei Göttingen, 13. Juli 1869.
K. Hattendorff.
I N H ALT.
Ein lei tun g.
Seite
§. 1. Die partiellen Differentialgleichungen und ihre Anwendung in
der Physik . . . . . . . . . . . .. .......... 1
Erster Abschnitt.
E e s tim m tel n t e g ra 1e .
§. 2. Grundbegriffe. Das einfache bestimmte Integral . 5
§. 3. Beispiel von W a lli s . . . . . . . . . . . . . . 10
§. 4. Vorzeichen der Bestandtheile des bestimmten Integrals. 11
§. 5. Eigenschaften des bestimmten Integrals . . . . . . . . 12
§. 6. Einschliessung zwischen Grenzen, wenn die Function unter dem
Integralzeichen ein Product ist .... . . . . . . . . . . 13
§. 7. Zerlegung des Intervalls. Differentiation des bestimmten Integrals 15
§. 8. Unendlichwerdell der Function unter dem Integral. . . . . . 17
§. 9. Unendlichwerden der Grenzen . . . . . . • . . . . . . . . . 19
§. 10. Das Doppelintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§. 11. Herleitung des bestimmten Integrals aus dem unbestimmten;
Benutzung des Doppelintegrals zur Werthermittlung des ein
fachen Integrals. . • . . 23
j 1
Xh-1_Xg-1
§. 12. Beispiel: --Z----/h: . . • . . . . . . . • 24
Of] X
<l
§. 13. BeiSPiele:]e -ax cos b x d x und]e -lI$ sin b x rl x 26
o 0
jScoi n. 1
§. 14 . BeJ· SP.J eI : Stn{ Jy Y d y 27
o
Inhalt.
VIII
Seite
§.15. BeiSPiel:]Si;Y cos'Yydy. 29
o
§• 16 • EI· n fU" h rung neuer Va rl.a b el n . Be'lB p. leI:j "'XSinbXk2+ +kC x2O SbXd X • 31
o
§. 17. BeiBPiel:]e-xxdx 35
o
§. 18. BeiSPiel:]e -"XX cos p x d x 37
o
Zweiter Abschnitt.
Une n d 1 ich e R e i h e n.
§. 19. Definition der convcrgenten unendlichen Reihe. 39
§. 20. Eintheilung der convergenten Reihen in zwei Klassen 41
+ + + . . .
§. 21. Die Reihe (11 sin x (/2 sin 2 x (/3 sin 3 x 44
§. 22. Su~mirung der n - 1 ersten Glieder, Grenzwcrth der Summe
fur n = 00 • • • • • • • • • • • • • • 45
§. 23. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . 51
+ + +
§. 24. Die Reihe ~ 7)0 bl eos x 7/2 cos 2 x 55
§. 25. Die Reihe '12 bo + VI eos x + b2 eos 2 x +
+ + +
(!I+ si n x (12 sin 2 x 59
§. 26. Summirung der 211 1 ersten Glieder 61
n
'2
§.27. Das Integl'alf8in (2·~ + 1) Pr 1 P 63
fJ
8111
o
b
§. 28. Das Integralff(ß) sill (~l~~t l)ß rl P . . . • . . ·67
o
§. 29. Aufhebung der beschränkenden Voraussetzungen 73
§. 30. Summirung von Fourier's Reihe . . . . 78
§. 31. Beispiel. . . . . . . . . . . . • . . . 83
§. 32. Erweiterung des Gültigkeits-Intervalles von Fourier's Reihe,
Fourier's Lehrsatz .•...........•.... 84
§. 33. Beispiele . . . .. ..........•......... 88
§. 34. Einschränkung der Grenzen in Fourier's Lehrsatz, Beispiel " 93
§. 35. Fourier's Reihe und Fourier's Lehrsatz für Functionen von
mehreren VariaheIn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 94
Inhalt.
IX
Dritter Abschnitt.
D i ff er e n t i a 1 gl eie h u n gen.
Seite
§.36. Definition und Eintheilung . • . . . . . . . . . 96
I. Gewöhnliche lineäre Differentialgleichungen.
§. 37. Die willkürlichen Constanten des Integrals, das vollständige In-
tegral. . . . . . . . . . . . • . . . . . . 97
§. 38. Homogene lineäre Differentialgleichungen . . 99
§. 39. Constante Coefficienten . . . . . . . . . . . 100
§. 40. Nichthomogene lineäre Differentialgleichungen 103
H. Partielle Differentialgleichungen.
§. 41. Definition. Lineäre partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung 107
Ciu_ 2Ci2~
§. 42. Beispiel: ;;t-a Cix2 110
§. 43. Beispiel: :~ =a2 ~:~ 113
Vierter Abschnitt.
Bewegung der Wärme in festen Körpern.
I. Ab lei tu ng des Gru nd ge setzes.
§. 44. Wärme, specifische Wärme, Temperatur 117
§. 45. Wärmeaustausch parallel zur x-Axe . . . . . . . . 119
§. 46. Wärmeaustausch parallel zur yz-Ebene . . . . . . 120
§. 47. Wärme austausch überhaupt, Wärmefluss ..... . 121
§. 48.' Grundgesetz der Bewegung der Wärme in festen Körpern:
(Ö
-C;i-ut =a2 ?2;"U; ;:lCli2+U- 2+C-i22U ) •.............. 122
u uX Ciy oZ
H. Die Temperatur ist abhängig von der Zeit und von
einer einzigen Coordinate.
§. 49. Unbegrenzter Körper. Der Körper ist von der yz-Ebene begrenzt.
Zerlegung der Aufgabe . . . . . . . . . . • • . . • . . . 125
= =
§. 50. Nebenbedingungen : U = =f (x) für t 0, u = 0 für x = o. . 126
§. 51. I. Nebenbedingungen : u c für t = 0, u c für x = 0,
ll. Nebenbedingungen: u = - c für t = 0, U = 0 für= x = 0,
UI. Nebenbedingungen: u = 0 für t = 0, U = c für x o •• 128
§§.. 5523.. NNeebbeennbbeeddiinngguunnggeenn:: UU == f0 (fxü)r ftü r= t 0=, U0 , =U =(J! ( t)(J ! f(üt)r füx r =x o=. 0. 113315
§. 54. Anwendung auf die Temperatur der Erde 136
§. 55. Fortsetzung. . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . 142
x Inhalt.
Seite
§. 56. Der Körper ist von zwei parallelen Ebenen begrenzt. Zerlegung
der Aufgabe • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
= = = =
§. 57. Nebe=nb edingung=en : u f (x) für t 0, U 0 für x 0,
u 0 für x c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
§.58. Nebenbedingungen: u ~ 0 für t = 0, U = 0 für x=O, u=y
für x = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
§. 59. Nebe=nb edingungen:= u = 0 für t = 0, 1t = 0 für x = 0,
U V (t) für .'1; C • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 146
§. 60. Nebe=nb edingungen: u = 0 für t = 0, U = rp (t) für x = 0,
U 0 für x = c . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . 150
§. 61. Temperatur im Innern einer Kugel, abhängig von der Zeit und
dem Abstande vom Mittelpunkte. . . . . . . . . . . . . . 151
§. 62. Aufstellung der Nebenbedingungen. Reduction auf frühere Auf-
gaben ....... . . . . . . . . . . . . 153
§. 63. Wärmeaustausch mit dem umgebenden Medium . . . . 154
§.64. Nebenbedingungen: j'U = j'F(I') für t = 0,
il\()1l'' U)+(h_.!c. .)nt = 0 für j' = 1:, j'U=O für l' = 0 157
§.65. Die transscendente Gleichung lccoslc+(ch-l)sinlc=O. 158
§. 66. Bestimmung der Coefficienten in der Lösung des §. 64 163
S. 67. Die transscendente Gleichung hat nur reelle Wurzeln IG6
§. 68. Besonderer Fall: c sehr klein 167
§. 69. Besonderer Fall: c sehr gross 169
§. 70. Die Erdtemperatur . . . . . 174
III. Die Temperatur ist abhängig von der Zeit und von
allen drei Coordinaten.
§. 71. Temperatur der Kugel, allgemeinster Fall. Ableitung der par
tiellen Differentialgleichung
2 f3(1.2~ :~) ö(Sino~~) 2U}
ilu et 1 il 176
t +
""ijt= ,.2 er +sinO"O sin(j2 ilrp2
§.72. Nebenbedingungen: u = F(I',fi, rp) fÜr t = 0, u=o für 1·=C.
Die Lösung führt auf Kugelfunctionell 180
§. 73. Lösung der Aufgabe .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Fünftel' Abschnitt.
Schwingungen elastischer fester Körper.
1. Schwingungen einer gespannten Saite.
§. 74. Ableitung der partiellen Differentialgleichungen . . . 190
§. 75. Transversalschwingungen. Lösung von d'Alembert. . 194
§. 76. Besondere Voraussetzungen übel' den Anfangszustand . 199
§. 77. Lösung von Dan. Bernoulli. Schwingungsknoten 201
§. 78. Geschichte des Problems . . . .. ........ 204
Inhalt. XI
H. Allgemeine Theorie der Schwingungen elastischer
fester Körper.
Seite
§. 79. Ableitung der partiellen Differentialgleichungen für das Innere
des Körpers und der Oberflächen-Bedingungen. 207
§. 80. Die elastischen Kräfte 213
§. 81. Hülfssätze aus der Mechanik. Das Potential . . . . 216
~. 82. Das Gesammt-Potential für alle auftretenden Kräfte. 218
§. 83. Die Function rJ>, welche in dem Ausdrucke für das Potential der
elastischen Kräfte auftritt . 222
§. 84. Princip des Lagrange 225
§. 85. Es gibt stets ein System und nur ein System, welches die Va-
riation des Gesammt-Potentials zu Null macht . 228
§. 86. Transformation der Cool'dinaten. Die 22 Relationen der Trans-
formations -Coefficienten . 231
§. 87. Körper von homogener Constitution. . B. esondere Form der
Function rJ> • 234
§. 88. Differentialgleichungen der Bewegung für diesen Fall . 240
m:
Anwendung der allgemeinen Theorie auf besondere Fälle.
§, 89. Beispiel: Auf die Oberfläche eines Körpers wirkt ein constanter
Normaldruck . .• .' •...• ..... . .• 242
§. 00. Beispiel: Auf die Basis eines Cylinders wirkt eine constante
Zugkraft • ••• • 243
§. 91. Beispiel: Auf den Mantel eines Cylinders wirkt eine constante
Zugkraft . ••.•........•...•• 245
§. 92. Beispiel: Einfachster Fall der Torsion eines Cylinders 246
§. 93. Schwingungen einer gespannten Membran • 248
§. 94. Rechteckige Membran. Knotenlinien 250
§. 95. Fortsetzung. Quadratische Membran 253
§. 96. Kreisförmige Mem.bran • 258
(_!..s2r.SV
• <D tm +
§. 97. Die transscendente GleiChung~ ml J') I 0 266
Sechster Abschnitt.
Bewegung der Flüssigkeiten.
J. Allgemeine Gleichungen der Bewegung.
§. 98. Princip der Hydrodynamik. Präcisirung der Aufgabe 271
+ + + =
§. 99. Die Gleichung 3 (> 3 «lU) 3 «(lV) 3 «(lW) 0 272
3t 3x 3y 3z .••
§.100. Die allgemeinen Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . • • 275
§. 101. Vereinfachung beim Vorhandensein einer Potentialfunction .. 278