Notas de mecânica quântica do Prof. Abraham Cohen

249 Pages·2002·1.8 MB·Portuguese

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Contents
1 Problemas que deram origem à mecânica quântica 3
1.1 Radiação de corpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Teoria de troca de Prevost. . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Leis de Kirchoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Lei de Stefan-Boltzman . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4 Leis de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.5 Lei de Rayleigh-Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.6 Lei de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Efeito fotoelétrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Radiação eletromagnética de átomos . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 O átomo de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Postulados de Bohr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Calor específico dos sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.1 Modelo de Dulong e Petit . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.2 Modelo de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.3 Modelo de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Mecânica ondulatória 33
2.1 Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Dualidade onda-partícula: hipótese de de Broglie . . . . . . 34
2.3 Princípio da incerteza de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Pacotes de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Equação de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Interpretação da função de onda Ψ(x,t) . . . . . . . . . . . 44
ii Contents
2.7 Revisão dos conceitos de probabilidade . . . . . . . . . . . . 48
2.8 Valores esperados de variávels dinâmicas. Operadores. . . . 50
2.8.1 Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.8.2 Definição de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.8.3 Equação de autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.8.4 Relações de comutação . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3 Equação de Schrödinger independente do tempo 63
3.1 Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Estados estacionários em uma dimensão . . . . . . . . . . . 65
3.3 Estados estacionários de uma partícula numa caixa: o poço
quadrado infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4 Outros potenciais unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.1 O potencial degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.2 A barreira de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4.3 O poço de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.5 O oscilador harmônico simples . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6 Outro método de solução do problema do oscilador . . . . . 108
3.6.1 Normalização das funções de onda do oscilador har-
mônico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.6.2 Ortogonalidade das funções de onda . . . . . . . . . 119
4 A equação de Schrödinger em três dimensões 121
4.1 O potencial central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.1.1 Momento angular. Relações de comutação . . . . . . 125
4.1.2 Equações de autovalores para L2 e L . . . . . . . . 129
z
4.2 Funções associadas de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2.1 Método das séries de potência . . . . . . . . . . . . . 131
4.2.2 Método de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.3 Solução da equação radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.3.1 ApartículalivreemtrêsDimensões:coordenadases-
féricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.3.2 Expansão de ondas planas em harmônicos esféricos . 160
4.4 Outros potenciais tridimensionais . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.4.1 Poço quadrado de potencial . . . . . . . . . . . . . . 162
4.4.2 O oscilador harmônico tridimensional isotrópico. . . 167
5 O átomo de hidrogênio 181
5.1 Sistema de duas partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.2 Estados ligados do átomo de hidrogênio (E <0) . . . . . . 183
5.2.1 ExemplosdefunçõesR (r)paraoátomodehidrogênio191
n,l
5.3 Observações sobre as soluções para o átomo de hidrogênio . 193
5.3.1 Níveis de energia e a notação espectroscópica . . . . 193
5.3.2 Distribuição de probabilidades . . . . . . . . . . . . 194
Contents 1
6 Interação de elétrons com campo eletromagnético 199
6.1 Sistema clássico sujeito a um potencial eletromagnético . . 200
6.2 Sistema quântico sujeito a um potencial eletromagnético . 203
6.2.1 Efeito Zeeman normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7 Adição de momentos angulares. Coeficientes de Clebsch-
Gordan 209
7.1 Análise clássica de um sistema de partículas não-interagentes 210
7.2 Análise clássica de um sistema de partículas interagentes . . 211
7.3 Adição de dois spins 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.3.1 Autovalores de S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
z
7.3.2 Autovalores de S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.4 Adição de dois momentos angulares arbitrários . . . . . . . 217
7.5 Coeficientes de Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8 Teoria de perturbação 227
8.1 Teoria de perturbação independente do tempo . . . . . . . . 228
8.1.1 Estados não-degenerados . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.1.2 Aplicaçõesdateoriadeperturbaçãodeprimeiraordem234
8.1.3 Estados degenerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.1.4 Efeito Stark no átomo de hidrogênio . . . . . . . . . 240
Index 246
2 Contents
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1
Problemas que deram origem à
mecânica quântica
No final do século passado, os físicos se depararam com alguns problemas
quenãotinhamrespostasdentrodaFísicaClássica,cujasbasesjáestavam
bem estabelecidas naquela época. São eles:
Radiação do corpo negro
•
Efeito fotoelétrico
•
Radiação eletromagnética dos átomos
•
Calor específico dos sólidos
•
Atualmente esses problemas são comumente relacionados com a origem
da Mecânica Quântica:
4 1. Problemas que deram origem à mecânica quântica
1.1 Radiação de corpo negro
Neste capítulo, vamos estudar a radiação de corpo negro. Com base em
resultados experimentais, podemos dizer que:
a) Todos os corpos emitemradiaçãoeletromagnética quandoaquecidos.
b) À medida que a temperatura aumenta, o corpo muda da coloração
vermelha ao branco.
c) À baixa temperatura a radiação está no infravermelho e, por isso,
invisível.
d) Mesmo um corpo estando a uma temperatura mais baixa que o meio
ambiente ele continua a irradiar.
A partir desses resultados nasce a questão: Por que um corpo não se
esfria até o zero absoluto?
A resposta a esta questão pode ser construída com base nas observações
de vários pesquisadores. Cronologicamente, tem-se:
1.1.1 Teoria de troca de Prevost
1809 — Teoria de Troca de Prevost
”Existe um intercâmbio permanente de calor entre os corpos
vizinhos, cada um irradiando como se os outros não estivessem
presentes;noequilíbrio,cadaumabsorveexatamentetantoquanto
emite.”
1.1.2 Leis de Kirchoff
1859 — Lei de Kirchoff
”A razão entre a emitância e absortância de um corpo só de-
pende da frequência da radiação e da temperatura do corpo, e é
independente da sua natureza.”
Definition 1 Emitância (E ) é a energia radiante emitida por um corpo
ν
comfrequênciasnointervaloν eν+dν porunidadedetempoeporunidade
de área.
Definition 2 Absortância (A ) é a fração da energia incidente, dentro do
ν
intervalo de frequência ν e ν+dν, que é absorvida pelo corpo.
1.1 Radiação de corpo negro 5
Placa 1 Placa 2
S, Eν, Aν S, eν, aν
EνS
aνEνS
EνS - aνEνS =EνS (1-aν)
ΑνEνS (1-aν)
EνS (1-aν) (1-Aν)
aνEνS (1-aν)(1-Aν)
•
•
•
FIGURE 1.1.
Para uma frequência ν, podemos calcular a quantidade de radiação ab-
sorvida pela placa 2.
a) Devido à emissão da placa 1:
1 2
7→
= E S+a E S(1 a )(1 A )
ν ν ν ν ν
− −
+a E S(1 a )2(1 A )2+ a
ν ν ν ν ν
− − ···
Escrevendo k = (1 a )(1 A ) < 1 e substituindo na expressão acima,
ν ν
− −
encontra-se
1 2
7→
= a E S+a E Sk+a E Sk2+
ν ν ν ν ν ν
···
= a E S(1+k+k2+ )
ν ν
···
a E S
= ν ν
1 k
−
onde usamos o resultado da soma de uma PG com razão q <1.
b) Devido à emissão da placa 2:
6 1. Problemas que deram origem à mecânica quântica
Placa 1 Placa 2
S, Eν, Aν S, eν, aν
eνS
ΑνeνS
eνS - AνeνS = eνS (1-Αν)
eνaνS (1-Aν)
eνS (1-aν) (1-Aν)
ΑνeνS (1-aν)(1-Aν)
eνS (1-aν) (1-Aν)2
EνS (1-aν) (1-Aν)2
•
•
•
FIGURE 1.2.
2 2
7→
= a e (1 A )S+a e S(1 a )(1 A )2
ν ν ν ν ν ν ν
− − −
= a e S(1 a )2(1 A )3+
ν ν ν ν
− − ···
= a e (1 A )S(1+k+k2+ )
ν ν ν
− ···
a e (1 A )S
= ν ν − ν
1 k
−
Aplicando a lei de troca de Prevost para a placa 2, obtem-se:
a E S a e (1 A )S
e S = ν ν + ν ν − ν
ν 1 k 1 k
− −
e (1 k)S = a E +a e (1 A )
ν ν ν ν ν ν
− −
e [1 (1 a )(1 A )] = a E +a e (1 A )
ν ν ν ν ν ν ν ν
− − − −
e A = a E
ν ν ν ν
e E
ν = ν
a A
ν ν
E
Esteresultadonosdizquearelação ν independedanaturezadoscorpose,
A
ν
portanto,dependemosapenasdafrequênciaνedatemperaturaT.Podemos
então dizer que
1.1 Radiação de corpo negro 7
θ
n
Ω
d
∆
S
u(ν,T)
FIGURE 1.3.
E
ν =f(ν,T),função universal de ν e T.
A
ν
1860 - Kirchoff introduziu o conceito de Corpo Negro (A=1)
A partir desse conceito Kirchoff concluiu que a função de distribuição
f(ν,T) é igual ao poder emissivo de um corpo negro, isto é
E =f(ν,T) poder emissivo de um corpo negro
ν
⇒
A partir desse resultado, estabeleceu também a relação entre a radiação
emitida por um corpo negro e por uma cavidade (um forno, por exemplo),
através do Teorema da Cavidade, cujo enunciado diz que
”A radiação dentro de uma cavidade isotérmica à temper-
atura T é do mesmo tipo que a emitida por um corpo negro.
”
Poresteteorematornou-sepossívelcalcularafunçãouniversalf(ν,T),através
do poder emissivo de uma cavidade. Seja u(ν,T) a densidade de energia
radiantecomfrequênciaentreν eν+dν emitidaporumacavidadequepos-
sui um orifício de área ∆S. A energia contida no volume ∆V = c∆Scosθ
no memso intervalo de frequência é u(ν,T)∆Vdν. Assim, a energia emi-
tida pelo orifício num ângulo sólido dΩ, considerando o espaço isotrópido,
é dΩu(ν,T)c∆Scosθdν. Integrando dΩ (= senθdθdϕ),uma vez que a en-
4π
8 1. Problemas que deram origem à mecânica quântica
ergia não depende da direção, encontra-se
π/2 cosθsinθdθ 2π 1
dϕ=
4π 4
Z0 Z0
Logo, a energia total emitida pelo orifício por unidade de tempo com
frequência no intervalo entre (ν,ν+dν) é
c
∆S u(ν,T)dν
4
Cavidade corpo negro energia emitida é igual a emitância do
• ↔ ⇒
corpo, isto é,
c
E ∆Sdν ∆Sf(ν,T)dν = ∆S u(ν,T)dν
ν
≡ 4
Então:
c
f(ν,T)= u(ν,T)
4
1.1.3 Lei de Stefan-Boltzman
1879 — Lei de Stefan
AsexperiênciasdeTyndallmostraramqueaquantidadetotalderadiação
emitida por um fio de platina, aquecido a 1473 K era11,7 vezes aquela
emitida pelo mesmo fio a uma temperatura de 798 K. Stefan percebeu que
1473 4
= 11,609 e concluiu que a radiação total é proporcional à T4,
798
µ ¶
isto é, u(T)=αT4.
1884 — Boltzman
Após cinco anos, Boltzman dá sustentação teórica à lei de Stefan, com
base nas leis da termodinâmica. De fato, partindo da equação de estado
u
para a radiação, p= , e usando as duas primeiras leis da termodinâmica
3
dQ=dU +pdV,
dQ=T dS (U =uV)
¾
TdS = dU +pdV,
dU = d(uV)=Vdu+udV
TdS = Vdu+(p+u)dV
4
= Vdu+ udV
3