Microéconomie & licence Annales corrigées

60 Pages·2005·0.35 MB·French

MicroØconomie - licence
Annales corrigØes
Philippe Bernard
EURIsCO, Paris IX
Ces Annales ne sont qu(cid:146)une sØlection des exercices et des questions qui ont ØtØ posØes en contr(cid:244)le continu,
enpartielou(cid:224)l(cid:146)examendeseptembredepuis1998.CertainsexercicesouquestionsontØtØØliminØescarilssont
dØsormais hors programme. D(cid:146)autres exercices ont ØtØ Øgalement ØliminØs en raison de leurs similaritØs avec des
exercices dØj(cid:224) corrigØs. N.B. : Certaines erreurs et coquilles peuvent encore Œtre prØsentes dans les
pages qui suivent.
1 Contr(cid:244)le continu 1998
1.1 IntitulØ
1.1.1 Cours
1. L(cid:146)aversion (absolue) au risque de Arrow-Pratt (dØ(cid:133)nition, logique Øconomique) (2 points)
1.1.2 Exercice I
(6 points) On considŁre une Øconomie (cid:224) deux pØriodes (t = 0, 1), deux Øtats du monde (s = 1,2), une action
dont le prix est v =30 et dont les revenus sont d=[20;40] et dont le taux d(cid:146)intØrŒt est de 25%.
1. On introduit un contrat d(cid:146)option de vente dont le sous-jascent est l(cid:146)action, dont le prix d(cid:146)exercice est Øgal
(cid:224) 30. Calculez le prix d(cid:146)Øquilibre de cet actif. (3 points)
2. On introduit une autre action dont les revenus sont d = [60;10] et dont le prix proposØ est 15. Ce prix
0
peut-il Œtre un prix d(cid:146)Øquilibre? (1 point)
3. Si le prix proposØ n(cid:146)est pas un prix d(cid:146)Øquilibre, construisez un portefeuille d(cid:146)arbitrage (comprenant les
deux actions et l(cid:146)actif sßr) vous permettant de dØgager un pro(cid:133)t d(cid:146)arbitrage immØdiat. (2 points)
1.1.3 Exercice II
(8 points) On considŁre une Øconomie (cid:224) deux pØriodes (t = 0, 1), trois Øtats du monde (s = 1,2,3) dont les
probabilitØs sont 1, 1, 1, un unique bien contingent (cid:224) chaque date-ØvØnement, trois actifs (cid:133)nanciers a=1,2,3
4 2 4
(deux actions + 1 actif certain) dont la matrice des revenus sont :
5 2 1
d= 5 2 5
2 3
1 2 5
4 5
L(cid:146)Øconomie comprend Øgalement deux agents A et B possØdant les dotations suivantes :
0 1 2 3
A 0 50 100 70
B 100 100 0 80
Les prØfØrences de l(cid:146)agent A sont reprØsentØes par la fonction d(cid:146)utilitØ suivante :
1 1 1
U = cA cA 4 cA 2 cA 4
A 0 1 2 3
Celles de l(cid:146)agent B suivent l(cid:146)axiomatique de l(cid:146)u(cid:0)tilit(cid:1)Ø(cid:0)esp(cid:1)ØrØ(cid:0)e. L(cid:1)a(cid:0)fonc(cid:1)tion d(cid:146)utilitØ ØlØmentaire est :
u =ln(c(0))+ln(c(1))
B
1. Si les agents peuvent acheter et vendre les trois actifs sur des marchØs (cid:133)nanciers parfaits (en CPP),
dØterminez les contraintes budgØtaires du mØnage A aux quatres dates-ØvØnements. (1 point)
2. Ce systŁme de marchØs (cid:133)nanciers est-il complet? (1 point)
3. Pourquoi existe-t-il un agent reprØsentatif dont la fonction d(cid:146)utilitØ est :
1 1 1 1
U =(c0)2 (c1)8 (c2)4 (c3)8
(2 points)
4. En exploitant le rØsultat de la derniŁre question, dØterminez les prix d(cid:146)Øquilibre des trois actifs. (2 points)
5. Quel est le taux d(cid:146)actualisation de l(cid:146)Øconomie? (1 point)
1
1.2 ElØments de correction
(I) On considŁre une Øconomie (cid:224) deux pØriodes (t = 0;1), deux Øtats du monde (s = 1;2), une action dont
le prix est v =30 et dont les revenus sont d=[20;40] et dont le taux d(cid:146)intØrŒt est de 25%.
Le sous-jascent de l(cid:146)option de vente Øtant l(cid:146)action et son prix d(cid:146)exercice Øtant de 30, ses revenus sont :
max(30 d(1);0) 10
P (d;30)= (cid:0) =
max(30 d(2);0) 0
(cid:20) (cid:0) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
Pour Øvaluer cette option de vente, on dispose des (cid:148)prix(cid:148)de deux actifs : l(cid:146)action et le taux d(cid:146)intØrŒt. Comme
il existe seulement deux Øtats du monde, que les (vecteurs de) revenus des deux actifs ne sont pas colinØaires,
il existe un seul couple de (cid:147)prix des Øtats(cid:148)(cid:12)(1) et (cid:12)(2) donnØ par les Øquations de valorisation suivante :
30=20(cid:12)(1)+40(cid:12)(2)
1= 5((cid:12)(1)+(cid:12)(2))
(cid:26) 4
oø 5=4 est le rendement brut (1 + taux d(cid:146)intØrŒt). L(cid:146)unique solution de ce systŁme est : (cid:12)(1) = 1=10, (cid:12)(2) =
7=10. Tout autre actif (et donc l(cid:146)option de vente) peut Œtre ØvaluØ (cid:224) l(cid:146)aide de ce systŁme de prix. La valeur de
l(cid:146)option de vente est donc :
1 7
10+ 0=1
10 (cid:2) 10 (cid:2)
TantqueleprixdemarchØestdi⁄Ørentdecettevaleur,ilestpossiblederØaliserdespro(cid:133)tsd(cid:146)arbitrage.Ceux-ci
Øtant incompatibles avec l(cid:146)Øquilibre, nØcessairement (cid:224) celui-ci le prix de l(cid:146)option de vente sera Øgal (cid:224) 1.
La seconde action a pour vecteur de revenus d = [60;10] et le prix proposØ est 15. Pour dØterminer si ce
0
prix peut-Œtre un prix d(cid:146)Øquilibre, on dØtermine la valeur de cette seconde action (cid:224) l(cid:146)aide des prix des Øtats :
1 7
60+ 10=13
10 (cid:2) 10 (cid:2)
LavaleurØtantinfØrieureauprix,ilexistedesopportunitØsd(cid:146)arbitrage:leprixnepeutŒtreunprixd(cid:146)Øquilibre.
5 2 1
(II) 2eme question - Le marchØ est complet car les vecteurs colonnes de la matrice d = 5 2 5 sont
2 3
1 2 5
linØairement indØpendants. Ceci se montre notamment en calculant le dØterminant de cette m4atrice : 5
5 2 1
det 5 2 5 = 32=0 noncoline(cid:19)arite(cid:19)
2 3 (cid:0) 6 )
1 2 5
4 5
3Łme question - L(cid:146)utilitØ de l(cid:146)agent B est :
1 1 1
U =ln cB + ln cB + ln cB + ln cB
B 0 4 1 2 2 4 3
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
Le calcul des Tms des deux agents montre que leurs formes fonctionnelles sont identiques :
1ci 1ci 1ci
Tmsi = 0; Tmsi = 0; Tmsi = 0
0 1 4ci 0 2 2ci 0 3 4ci
! 1 ! 2 ! 3
Les fonctions Tms sont identiques et homogŁnes de degrØ 0. Par consØquent, si l(cid:146)Øquilibre amŁne l(cid:146)Øgalisation
des Tms, il existera un agent reprØsentatif dont les prØfØrences dØ(cid:133)nissent les Tms suivants :
1cAR 1cAR 1cAR
TmsAR = 0 ; TmsAR = 0 ; TmsAR = 0
0!1 4cA1R 0!2 2cA2R 0!3 4cA3R
On vØri(cid:133)e que la fonction d(cid:146)utilitØ :
1 1 1 1
U = cAR 2 cAR 8 cAR 4 cAR 8
AR 0 1 2 3
donne bien ces Tms. (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
Remarque : En fait, on vØri(cid:133)e que les trois fonctions d(cid:146)utilitØ caractØrisent les mŒmes prØfØrences car elles
sont des transformations croissantes des deux autres :
U = U = exp(U )
AR A B
p p
2
4Łmequestion:LesmarchØsdecetteØconomied(cid:146)ØchangeØtantcomplets,lesprixsontdØterminØsparlesvaleurs
des Tms de l(cid:146)agent reprØsentatif. Or ceux-ci sont :
1cAR 1!A+!B 1 0+100 1
TmsAR = 0 = 0 0 = =
0!1 4cA1R 4!A1 +!B1 450+100 6
1cAR 1!A+!B 10+100 1
TmsAR = 0 = 0 0 = =
0!1 2cA2R 2!A2 +!B2 2100+0 2
1cAR 1!A+!B 10+100 1
TmsAR = 0 = 0 0 = =
0!3 4cA3R 4!A3 +!B3 470+80 6
La valeur de ces Tms dØtemine les prix des actifs ainsi que le taux d(cid:146)intØrŒt :
q = 5:TmsAR +5:TmsAR +1:TmsAR
1 0 1 0 2 0 3
1 ! 1 !1 !
= 5 +5 +1
(cid:2) 6 (cid:2) 2 (cid:2) 6
= 3:5
q = 2 TmsAR +2 TmsAR +2 TmsAR
2 (cid:2) 1 0!11 (cid:2) 1 0!2 (cid:2) 0!3
= 2 +2 +2
(cid:2) 6 (cid:2) 2 (cid:2) 6
= 1:666
q = 1 TmsAR +5 TmsAR +5 TmsAR
3 (cid:2) 1 0!11 (cid:2) 1 0!2 (cid:2) 0!3
= 1 +5 +5
(cid:2) 6 (cid:2) 2 (cid:2) 6
= 3:5
5Łme question - Comme l(cid:146)actif 2 donne un revenu de 2 unitØs de numØraire dans chaque Øtats du monde
pour un prix Øgal (cid:224) q , le coßt pour obtenir un revenu de 1 dans chaque Øtat du monde est naturellement q =2.
2 2
Ce coßt (cid:224) l(cid:146)Øquilibre des marchØs doit Œtre Øgal (cid:224) 1=1+r. Le taux d(cid:146)intØrŒt de l(cid:146)Øconomie est dØterminØ par la
relation d(cid:146)arbitrage :
1 q
= 2
1+r 2
et donc :
2
r = 1
q (cid:0)
2
6 1
r = 1= =20%
5 (cid:0) 5
2 Contr(cid:244)le continu, dØcembre 1999
2.1 IntitulØ
2.1.1 Exercice
(14 points) [L(cid:146)intitulØ a ØtØ modi(cid:133)Ø pour supprimer les rØfØrences aux marchØs de zØro-coupons en Øquilibre
gØnØral - dØsormais hors programme]
On considŁre une Øconomie comprenant trois pØriodes t=0;1;2, peuplØe de deux agents i=r;v : Robinson
et Vendredi). Leurs prØfØrences sont identiques et rØsumØes par la fonction U :
U =ln ci +0:8ln ci +0:64ln ci
0 1 2
Chaque agent possŁde un arbre qui lui donn(cid:0)e (cid:224)(cid:1) chaque(cid:0)pØr(cid:1)iode une c(cid:0)erta(cid:1)ines quantitØs de fruits, sa dotation.
LesfruitssontdesbienspØrissablesetnonstockables.Robinson(r)rØcoltesuccessivement!r fruits(cid:224)lapØriode
0
0,!r (cid:224) la pØriode 1, !r (cid:224) la pØriode 2. Vendredi (l(cid:146)agent v) re(cid:231)oit lui successivement !v, !v, !v. Pour rØaliser
1 2 0 1 2
des Øchanges mutuellement avantageux et rØaliser une allocation optimale de leurs rØcoltes de fruits, nos deux
ingØnieux hØros se lancent dans l(cid:146)innovation (cid:133)nanciŁre en construisant un systŁme (cid:133)nancier. Aussi, (cid:224) la pØriode
0,lebiendelapØriode0estpriscommenumØraireetunmarchØdesfondsprŒtablesestmisenplacepermettant
de prŒter ou d(cid:146)emprunter pour une pØriode au taux r . A la pØriode 1, de mŒme, un nouveau marchØ des fonds
1
prŒtables est mis en place permettant pour une pØriode de prŒter ou d(cid:146)emprunter au taux r . On notera Si et
2 0
Si les sommes placØes (ou empruntØes si Si <0) par l(cid:146)agent i aux pØriodes 0 et 1.
1 t
3
1. Les rØcoltes (=dotations) des agents sont les suivantes :
!r = 750; !r =500; !r =250
0 1 2
!v = 250; !v =500; !v =750
0 1 2
(a) DØterminez pour chaque agent, les di⁄Ørentes contraintes budgØtaires. Quelles sont les contraintes
budgØtaires intertemporelles des agents? (2 points)
(b) Calculez les valeurs (cid:224) l(cid:146)Øquilibre de r et r . (2 points)
1 2
(c) DØduisez-en rapidement les consommations (cid:224) l(cid:146)Øquilibre de chaque agent. Commentez. (2 points)
(d) Si les agents disposaient d(cid:146)une technologie de production donnant pour chaque unitØ de bien de
la pØriode 0 investie 1.2 unitØs de biens de la pØriode 1, utiliseraient-ils cette technologie? MŒme
question pour une technique transformant chaque unitØ de bien de la pØriode 0 en 1.4 unitØs de la
pØriode 2. (2 points)
(e) Evaluez par arbitrage l(cid:146)arbre de Robinson, celui de Vendredi. (2 points)
2. Malheureusement,avantquel(cid:146)ØquilibreprØcØdentpuissecommencer(cid:224)serØaliser,en0,uncyclonetropical
dØvaste l(cid:146)(cid:238)le de Robinson et Vendredi; les arbres de nos deux personnages trØpassent dans l(cid:146)a⁄aire. Heu-
reusement, nos deux hØros arrivent (cid:224) sauver leur rØcolte initiale : !r =750 et !v =250. NØcessitØ faisant
0 0
loi, pour survivre, ils abandonnent donc l(cid:146)Øconomie de la cueillette pour l(cid:146)Øconomie industrielle. Puisant
dans leurs imaginations, nos deux hØros inventent deux technologies produisant des biens futurs. Ainsi,
Vendredi(v)dØcouvrecommentproduiredubiendedemain(pØriode1)enutilisantdubiend(cid:146)aujourd(cid:146)hui
(pØriode 0); il fonde l(cid:146)entreprise (cid:147)Vendredi & Co(cid:148)dont il est l(cid:146)unique actionnaire et dont la technique est
rØsumØe par la fonction de production suivante :
q = k
v v
p
Robinson, lui, dØcouvre le moyen de produire du bien de la pØriode 2 (cid:224) l(cid:146)aide du bien d(cid:146)aujourd(cid:146)hui
(pØriode0).Aussifonde-t-ilaussiuneentreprise(cid:147)Robinson & Co(cid:148)dontilestl(cid:146)uniqueactionnaireetdont
la fonction de production est :
5
q = k
r r
4
r
(a) Donnez les fonctions de pro(cid:133)t (cid:5) et (cid:5) des deux entreprises, les nouvelles contraintes budgØtaires
r v
intertemporelles des deux agents (1 point)
(b) DØ(cid:133)nissez les conditions de l(cid:146)Øquilibre gØnØral de cette Øconomie. (1 point)
(c) Calculez l(cid:146)Øquilibre gØnØral (3 points).
(d) Evaluez chaque entreprise. (1 point)
2.2 ElØments de correction
ConsidØrons d(cid:146)abord l(cid:146)Øconomie d(cid:146)Øchanges.
Les contraintes budgØtaires sØquentielles de chaque agent i sont donnØes par les di⁄Ørentes contraintes
emplois ressources. A la pØriode 0, la seule ressource de chaque agent est sa dotation !i qu(cid:146)il utilise pour sa
0
consommation (ci) ou pour Øpargner (Si). Aussi, sa contrainte budgØtaire de la pØriode 0 s(cid:146)Øcrit :
0
ci +Si =!i
0 0 0
A la seconde pØriode (t=1), chaque i per(cid:231)oit sa dotation exogŁne !i et le revenu de son Øpargne (1+r )Si et
1 1 0
les utilisent pour (cid:133)nancer sa consommation ci ainsi que son Øpargne Si, d(cid:146)om la contrainte budgØtaire :
1 1
ci +Si =!i +(1+r )Si
1 1 1 1 0
A la pØriode 2, celle-ci Øtant sa derniŁre pØriode, l(cid:146)agent utilise la totalitØ de ses revenus (cid:224) consommer, et donc
sa contrainte budgØtaire s(cid:146)Øcrit :
ci =!i +(1+r )Si
2 2 2 1
En utilisant les contraintes budgØtaires (cid:224) rebours, on peut donc dØterminer l(cid:146)Øpargne en fonction des consom-
mations et des taux d(cid:146)intØrŒt :
ci !i
t=2:Si = 2(cid:0) 2
1 1+r
2
4
ci !i Si ci !i ci !i
t=1:Si = 1(cid:0) 1 + 1 Si = 1(cid:0) 1 + 2(cid:0) 2
0 1+r 1+r ) 0 1+r (1+r )(1+r )
1 1 1 1 2
En substituant dans la contrainte budgØtaire de la premiŁre pØriode t = 0 (cid:224) S son expression, on obtient la
0
contrainte budgØtaire intertemporelle dØcrivant les consommations (cid:133)nanciŁrement possibles pour l(cid:146)agent i :
ci !i ci !i
ci +Si =!i ci + 1(cid:0) 1 + 2(cid:0) 2 =!i
0 0 0 ) 0 1+r (1+r )(1+r ) 0
1 1 2
ou encore aprŁs regroupement des consommations (cid:224) gauche de l(cid:146)ØgalitØ, des dotations (cid:224) droite :
ci ci !i !i
ci + 1 + 2 =!i + 1 + 2
0 1+r (1+r )(1+r ) 0 1+r (1+r )(1+r )
1 1 2 1 1 2
Chaque agent en 0 sØlectionne le plan de consommation ci;ci;ci et le plan d(cid:146)Øpargne Si;Si qui est le
0 1 2 0 1
meilleur pour lui sous diگrentes contraintes. Son programme est donc :
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
max ln ci +0:8ln ci +0:64ln ci
(ci;ci;ci);(Si;Si) 0 1 2
0 1 2 0 1
s:c::
8 (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
>>>>< cci0i1++SS01ii ==!!i0i1+(1+r1)S0i
ci =!i +(1+r )Si
2 2 2 1
lequel est Øquivalent (cid:224) rØsou>>>>:dre :
max ln ci +0:8ln ci +0:64ln ci
(ci;ci;ci) 0 1 2
0 1 2
s:c::
8 (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
>< ci0+ 1+ci1r1 + (1+r1c)i2(1+r2) =!i0+ 1+!i1r1 + (1+r1!)(i21+r2)
les montants d(cid:146)Øpargne Si e>:t Si Øtant dØterminØs par les consommations solutions de ce programme d(cid:146)aprŁs les
0 1
Øquations :
ci !i ci !i
Si = 1(cid:0) 1 + 2(cid:0) 2
0 1+r (1+r )(1+r )
1 1 2
ci !i
Si = 2(cid:0) 2
1 1+r
2
Les consommations optimales (pour i) sont les solutions du systŁme suivant :
Tmsi = 1
Tmsi0!1 = 1+r1 1
8>< ci0+01!+ci1r21 +((11++rr11)c)(i2(11++rr22)) =!i0+ 1+!i1r1 + (1+r1!)(i21+r2)
L(cid:146)expression des Tms est : >:
ci ci
Tmsi =0:8 0 ; Tmsi =(0:8)2 0
0 1 ci 0 2 ci
! (cid:18) 1(cid:19) ! (cid:18) 2(cid:19)
LesprØfØrencessontidentiques,lesTmssonthomogŁnesdedegrØ0parrapportauxconsommations,lesystŁme
complet de marchØs de fonds prŒtables assure que chaque agent Øgalise ses Tms aux prix des actifs, et donc (cid:224)
l(cid:146)Øquilibre les Tms sont ØgalisØs :
Tmsr = Tmsv
0 1 0 1
! !
Tmsr = Tmsv
0 2 0 2
! !
Il existe donc un agent reprØsentatif dont la fonction d(cid:146)utilitØ est la mŒme que celles des agents :
ln(c )+0:8ln(c )+0:64ln(c )
0 1 2
dont la consommation (cid:224) l(cid:146)Øquilibre est la consommation globale des agents :
c =cr+cv
0 0 0
c =cr+cv
8 1 1 1
c =cr+cv
< 2 2 2
:
5
dont le Tms est Øgal aux prix d(cid:146)Øquilibre :
c 1
Tms =0:8 0 =
0!1 (cid:18)c1(cid:19) 1+r1
c 1
Tms =(0:8)2 0 =
0!2 (cid:18)c2(cid:19) (1+r1)(1+r2)
Cette derniŁre relation peut se rØØcrire d(cid:146)une maniŁre plus simple. En e⁄et, comme
1
Tms =Tms Tms = Tms
0!2 0!1(cid:2) 1!2 1+r1 (cid:2) 1!2
elle peut Œtre remplacØe par la condition :
c 1
Tms =0:8 1 =
1!2 (cid:18)c2(cid:19) 1+r2
Comme, dans notre Øconomie d(cid:146)Øchanges, (cid:224) l(cid:146)Øquilibre, la consommation de l(cid:146)agent reprØsentatif est Øgal (cid:224) la
dotation totale de l(cid:146)Øconomie, les prix d(cid:146)Øquilibre sont donc :
1 c !r+!v 750+250 4
= 0:8 0 =0:8 0 0 =0:8 =0:8=
1+r c !r+!v 500+500 5
1 (cid:18) 1(cid:19) (cid:18) 1 1(cid:19) (cid:18) (cid:19)
1 c 500+500 4
= 0:8 1 =0:8 =0:8=
1+r c 250+750 5
2 (cid:18) 2(cid:19) (cid:18) (cid:19)
et donc les taux d(cid:146)intØrŒt sont :
5 1
r = 1=
1
4 (cid:0) 4
5 1
r = 1=
2
4 (cid:0) 4
Comme (cid:224) l(cid:146)Øquilibre chaque agent i Øgalise ses Tms (cid:224) ces prix, on a nØcessairement :
Tmsi0!1 =0:8 cci0i1 =0:8 ci0 =ci1
Tmsi0!2 =(0:8(cid:16))2 (cid:17)cci0i2 =(0:8)2 9=)(cid:26) ci0 =ci2
(cid:16) (cid:17)
Autrement dit, les consommations lissent complŁtement leurs co;nsommations (cid:224) l(cid:146)Øquilibre. Aussi, la valeur des
consommations est directement donnØe par la contrainte budgØtaire puisque l(cid:146)on a :
ci ci !i !i
ci + 1 + 2 =!i + 1 + 2
0 1+r (1+r )(1+r ) 0 1+r (1+r )(1+r )
1 1 2 1 1 2
Les consommations sont donc :
ci =ci =ci = !i0+ 1+!i1r1 + (1+r1!)(i21+r2) = !i0+0:8!i1+0:64!i2
0 1 2 1+ 1 + 1 1+0:8+0:64
1+r1 (1+r1)(1+r2)
et donc numØriquement :
750+0:8(500)+0:64(250)
cr =cr =cr = 536:89
0 1 2 1+0:8+0:64 ’
250+0:8(500)+0:64(750)
cr =cr =cr = 463:11
0 1 2 1+0:8+0:64 ’
LelissagedesconsommationsestladoubleconsØquencedelaprØfØrencedesagentspourlastabilisationdeleurs
consommation et de la stationnaritØ de la dotation globale ((cid:224) 500).
Si les agents disposaient de technologies de production, ils ne les utiliseraient que si aux prix initiaux
d(cid:146)Øquilibre, elles dØgageraient un pro(cid:133)t positif. Or, le pro(cid:133)t par unitØ produite est avec la premiŁre technique
nØgatif puisqu(cid:146)Øgal (cid:224)
1 64 1
(1:2) 1= 1= <0
1+r (cid:0) 55 (cid:0) (cid:0)25
1
6
De mŒme, le pro(cid:133)t actualisØ (par unitØ investie) avec la deuxiŁme technique est nØgatif :
1 7 4 2 13
(1:4) 1= 1= <0
(1+r )(1+r ) (cid:0) 5 5 (cid:0) (cid:0)125
1 2 (cid:18) (cid:19)
Donc, si les agents disposaient de ces techniques, ils ne les utiliseraient pas (cid:224) l(cid:146)Øquilibre.
Lesdeuxarbressontdesbiensdurablesengendrantdes(cid:135)uxderevenus(numØraires).Commetoutactif,tout
bien durable, sa valeur est donnØe par la valeur actualisØe des revenus qu(cid:146)il donne. Aussi, l(cid:146)arbre de Robinson
aura comme valeur V :
r
1 1
V = !r+ !r+ !r
r 0 1+r 1 (1+r )(1+r ) 2
1 1 2
= 750+0:8(500)+(0:8)2250=1310:0
Celui de Vendredi vaudra lui :
1 1
V = !v+ !v+ !v
v 0 1+r 1 (1+r )(1+r ) 2
1 1 2
= 250+0:8(500)+(0:8)2750=1130:0
(2) AprŁs le passage de l(cid:146)ouragan, Vendredi dispose donc de la technique courte :
q = k
v v
Robinson dispose de la technique longue : p
5
q = k
r r
4
r
Le pro(cid:133)ts de l(cid:146)entreprise (cid:147)Vendredi & Co(cid:148)s(cid:146)Øcrit donc en fonction du capital investi :
1
(cid:5) (k ;r )= k k
v v 1 1+r v(cid:0) v
1
p
LesystŁmedemarchØsØtantcomplet,chaqueactionnaire(i.e.iciuniquementVendredi)dØsirequelepro(cid:133)tsoit
maximisØ. Ceci est rØalisØ lorsque l(cid:146)entreprise sØlectionne l(cid:146)investissement annulant la dØrivØe du pro(cid:133)t :
@ 1 0:5 2
(cid:5) (k ;r )= 1=0 k (r )=
@k v v 1 2(1+r )pk (cid:0) ) v 1 1+r
v 1 v (cid:18) 1(cid:19)
Le pro(cid:133)t maximum pour chaque r est donc :
1
1 0:5 2 0:5 2 1 1
(cid:5)max(r )= =
v 1 1+r1s(cid:18)1+r1(cid:19) (cid:0)(cid:18)1+r1(cid:19) 4(1+r1)2
De mŒme, pour l(cid:146)autre entreprise (cid:147)Robinson & Co(cid:148), sa fonction de pro(cid:133)t s(cid:146)Øcrit en fonction du capital investi :
1 5
(cid:5) (k ;r ;r )= k k
r r 1 2 (1+r )(1+r ) 4 r(cid:0) r
1 2 r
LesystŁmedemarchØsØtantcomplet,chaqueactionnaire(i.e.iciuniquementRobinson)dØsirequelepro(cid:133)tsoit
maximisØ. Ceci est rØalisØ lorsque l(cid:146)entreprise sØlectionne l(cid:146)investissement annulant la dØrivØe du pro(cid:133)t :
2
@ 1 p5 p5 1
(cid:5) (k ;r ;r )= 1=0 k (r ;r )=
@kr r r 1 2 (1+r1)(1+r2)4pkr (cid:0) ) r 1 2 4 (1+r1)(1+r2)!
Le pro(cid:133)t maximum pour chaque couple (r ;r ) est donc :
1 2
2 2
1 5 p5 1 p5 1
(cid:5)max(r ;r ) =
r 1 2 (1+r1)(1+r2)vu4 4 (1+r1)(1+r2)! (cid:0) 4 (1+r1)(1+r2)!
u
p5 5 p5t 1 2
=
4 r4 (cid:0) 4 !(cid:18)(1+r1)(1+r2)(cid:19)
5 1
=
16((1+r )(1+r ))2
1 2
7
Chaque mØnage i intŁgre dans sa contrainte budgØtaire le pro(cid:133)t de l(cid:146)entreprise dont il est l(cid:146)unique actionnaire
et donc sa contrainte budgØtaire intertemporelle devient :
ci ci !i !i
ci + 1 + 1 =!i + 1 + 2 +(cid:5)
0 1+r (1+r )(1+r ) 0 (1+r ) (1+r )(1+r ) i
1 1 2 1 1 2
Ses demandes ci (r ;r ), ci (r ;r ), ci (r ;r ) (en fonction des taux r et r ) sont donnØes par les solutions du
0 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
systŁme :
Tmsi = 1
Tms0i!1 = (1+r1)1
8>< ci0+01!+ci1r21 +((11++rr11)c)(i1(11++rr22)) =!i0+ (1+!i1r1) + (1+r1!)(i21+r2) +(cid:5)i
Les conditions d(cid:146)Øquilibr>:e sur les di⁄Ørents marchØs sont donc :
cr(r ;r )+cv(r ;r )+k (r )+k (r ;r )=(cid:10)
0 1 2 0 1 2 v 1 r 1 2 0
cr(r ;r )+cv(r ;r )= k (r )
8 1 1 2 1 1 2 v 1
>< cr2(r1;r2)+cv2(r1;r2)=p54kr(r1;r2)
q
Commel(cid:146)Øquilibreesttoujour>:soptimalausensdePareto,ilesttoujourspossibled(cid:146)utiliserunagentreprØsentatif
pour caractØriser rapidement l(cid:146)Øquilibre. Avec l(cid:146)agent reprØsentatif, les conditions dØterminant les valeurs (cid:224)
l(cid:146)Øquilibre de la consommation globale et de l(cid:146)investissement sont les suivantes :
Tms0!1 =0:8 cc01 =2pkv =TMT0!1
8>>>>>>>< Tcc01m+=si0kp!vk2+v=kr(0=:8(cid:16)(cid:10))20(cid:16)(cid:17)cc20(cid:17)= p45pkr =TMT0!2
c = 5k
puisqu(cid:146)(cid:224) l(cid:146)Øquilibre l(cid:146)agent repr>>>>>>>:Øsen2tatiqf Ø4garlise ses Tms aux prix alors que les entreprises Øgalisent leurs TMT
(l(cid:146)inverse de la productivitØ marginale) (cid:224) ces mŒmes prix pour maximiser leurs pro(cid:133)ts. Par substitution, l(cid:146)Øga-
lisation des Tms aux TMT donne simplement :
Tms0!1 =0:8 (cid:10)0(cid:0)pkkvv(cid:0)kr =2pkv =TMT0!1
8>< Tmsi0!2 =(0:8(cid:16))2(cid:18)(cid:10)0p(cid:0)k54vk(cid:0)(cid:17)rkr(cid:19)= p45pkr =TMT0!2
En rØarrangeant on obtient>::
0:8((cid:10) k k )=2k
0 v r v
(0:8)2((cid:10)(cid:0) (cid:0)k k )=2k
0 v r r
(cid:26) (cid:0) (cid:0)
et donc en faisant le rapport des deux conditions, on obtient immØdiatement que :
k =0:8k
r v
et donc les investissements (cid:224) l(cid:146)Øquilibre sont
4 4 4 4 9
(cid:10) k k =2k (cid:10) k ( )=2k
0 v v v 0 v v
5 (cid:0) (cid:0) 5 ) 5 (cid:0) 5 5
(cid:18) (cid:18) (cid:19)(cid:19)
4 49 20 50+36 10
(cid:10) =k (2+ ) (cid:10) =k k = (cid:10)
0 v 0 v v 0
5 55 ) 25 25 ) 43
NumØriquement :
(cid:10) =1000
0
10000 8000 25000
k = 232:56; k = 186:05; c = 581:4
v r 0
43 ’ 43 ’ 43 ’
10000
q = 15:25
v
43 ’
r
58000
q = 15:25
r
4 43 ’
r
8
LorsquelesquantitØsd(cid:146)ØquilibresontdØterminØes,lestauxd(cid:146)intØrŒtsontdonnØsnotammentparlesvaleursdes
Tms de l(cid:146)agent reprØsentatif :
1 4 25000 200 p43
= 43 = p43=30:5 r = 1= 0:96721
1+r1 5 10000 43 ) 1 200 (cid:0) (cid:0)
43
q
10000
1 4 43 4 5 1
= = r = 1=
1+r2 (cid:18)5(cid:19)q10000 5 ) 2 4 (cid:0) 4
43
q
Par consØquent, la valeur des deux entreprises (cid:224) l(cid:146)Øquilibre est :
1 1 2 (30:5)2
(cid:5) (30:5)= = 232:56
v
4 1+r 4 ’
(cid:18) 1(cid:19)
5 1 2 5
(cid:5) (24:4)= = (24:4)2 186:05
r
16 (1+r )(1+r ) 16 ’
(cid:18) 1 2 (cid:19)
3 Partiel, fØvrier 2000
3.1 IntitulØ
3.1.1 Cours (5 points)
Au choix, une des deux questions suivantes :
(a) Le thØorŁme de sØparation des dØcisions de production et de consommation
(b) Aversion au risque et assurance
3.1.2 Exercice 2
(10 points) L(cid:146)Øconomie comprend deux pØriodes t = 0;1, trois Øtats futurs du monde s = 1;2;3 dont les
probabilitØs sont : (cid:25)(1) = 1=4 = (cid:25)(3), (cid:25)(2) = 1=2. Elle est composØe deux pays (= deux agents) : madame
Europe et monsieur US. Les prØfØrences de ceux-ci sont identiques et reprØsentØes par la fonction :
3
U =ln ci +0:8 (cid:25)(s):ln ci
i 0 s
s=1
(cid:0) (cid:1) X (cid:0) (cid:1)
Les deux pays disposent de dotations non stockables (cid:224) la pØriode 0; !us(0) = 40 et !eu(0) = 60, les biens
futurs sont produits (sans aucun coßt) par deux entreprises - respectivement(cid:147)Europe & Co(cid:148)et (cid:147)USA & Co(cid:148).
Les quantitØs dØlivrØes sont selon les Øtats de nature :
1 2 3
Europe & Co (y (s)) 80 25 0
eu
USA & Co (y (s)) 0 75 120
us
Chaque entreprise livre (cid:224) ses propriØtaires leurs productions (proportionnellement aux parts possØdØes). Initia-
lement, madame Europe possŁde la totalitØ de l(cid:146)entreprise (cid:147)Europe & Co(cid:148), monsieur US la totalitØ de (cid:147)USA &
Co(cid:148). Le bien de la premiŁre date sera toujours pris comme numØraire.
1. DØterminer les prix de l(cid:146)Øquilibre (cid:224) la Arrow-Debreu de cette Øconomie. (2 points)
2. Calculer le taux d(cid:146)intØrŒt d(cid:146)Øquilibre. (1 point)
Plut(cid:244)t que le prØcØdent systŁme (cid:224) la Arrow-Debreu, les agents choisissent de mettre en place un sys-
tŁme (cid:133)nancier comprenant un marchØ sur lequel on peut prŒter ou emprunter au taux d(cid:146)intØrŒt r, et un
marchØ boursier. Sur ce dernier, sont cotØes les deux entreprises. On note (cid:18)i , (cid:18)i les parts dØtenus par
us eu
l(cid:146)agent i, i.e. si (cid:18)i =1=2 l(cid:146)agent i possŁde la moitiØ de l(cid:146)entreprise USA & Co et re(cid:231)oit en consØquence la
us
moitiØ des quantitØs produites (cid:224) la seconde pØriode. On notera Bi l(cid:146)endettement contractØ par l(cid:146)agent i (cid:224)
la premiŁre pØriode, q la valeur boursiŁre de l(cid:146)entreprise j - j =eu, us.
j
3. Calculer la valeur boursiŁre des deux entreprises et le taux d(cid:146)intØrŒt d(cid:146)Øquilibre. (2points)
4. DØterminer le portefeuille (cid:133)nancier que dØtient (cid:224) l(cid:146)Øquilibre chaque agent. (2 points)
9