METODI ITERATIVI PER I SIST PDF
Preview METODI ITERATIVI PER I SIST
Normeedistanze Autovaloriedautovettori Matriciconvergenti Metodiiterativi Corso diLaurea in Ingegneria Informatica Corso di Analisi Numerica 8 - METODI ITERATIVIPER I SISTEMI LINEARI Lucio Demeio Dipartimento di Scienze Matematiche LucioDemeio DipartimentodiScienzeMatematiche AnalisiNumerica: MetodiIterativi Normeedistanze Autovaloriedautovettori Matriciconvergenti Metodiiterativi 1 Norme e distanze 2 Autovalori ed autovettori 3 Matrici convergenti 4 Metodi iterativi LucioDemeio DipartimentodiScienzeMatematiche AnalisiNumerica: MetodiIterativi Normeedistanze Autovaloriedautovettori Matriciconvergenti Metodiiterativi Norme e distanze Norme Una norma in Rn `e una funzione . :Rn R tale che |||| → x 0 x Rn; || ||≥ ∀ ∈ x =0 x=0; || || ⇐⇒ αx = α x ; || || | ||| || x+y x + y ; || ||≤|| || || || Considereremo due norme notevoli in Rn: La norma l (o norma euclidea): se x=(x ,x ,...,x )T 2 1 2 n x = n x2; || ||2 i=1 i La norma l (norma infinito): x =max x pP∞ || ||∞ 1≤i≤n| i| La norma l rappresenta la (ben nota) distanza euclidea dall’origine. In R2, 2 il luogo dei punti(vettori) per i quali x R`eun cerchio diraggio R, 2 || || ≤ mentre il luogo deipuntiper i quali x R`e un quadratodi lato R. ∞ || || ≤ LucioDemeio DipartimentodiScienzeMatematiche AnalisiNumerica: MetodiIterativi Normeedistanze Autovaloriedautovettori Matriciconvergenti Metodiiterativi Norme e distanze Esempio con le norme Sia x=( 1, 2,0). Allora: x =√5 e x =2. 2 ∞ − − || || || || Verifiche E` facile verificare che le norme l ed l soddisfano le propriet`a elencate 2 ∞ all’inizio. Per esempio, x+y ∞ =max1≤i≤nxi+yi max1≤i≤n(xi + yi) || || | |≤ | | | | max1≤i≤nxi +max1≤i≤nyi = x ∞+ y ∞ ≤ | | | | || || || || ||x+y||22 = X(xi+yi)2 = X(x2i +yi2+2xiyi) i=1,n i=1,n x 2+ y 2+2 x y ≤|| ||2 || ||2 || ||2|| ||2 e quindi x+y x + y 2 2 2 || || ≤|| || || || Nel penultimo passaggio `estata applicata la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: xTy x y . ≤|| |||| || LucioDemeio DipartimentodiScienzeMatematiche AnalisiNumerica: MetodiIterativi Normeedistanze Autovaloriedautovettori Matriciconvergenti Metodiiterativi Norme e distanze Distanza Dati due vettori x,y R2, si definisce distanza tra x e y la norma ∈ del vettore differenza, d(x,y)= x y || − || Ovviamente, ogni norma porta con s´e una distanza. Limiti e convergenza Si dice che una successione di vettori x(k) ∞ Rn converge ad un vettore x Rn rispetto ad una data n{orma}k=.1s∈e, per ogni ε>0, ∈ |||| esiste un intero N(ε) tale che x(k) x <ε per ogni k N(ε). || − || ≥ Theorem La successione x(k) Rn converge ad x Rn rispetto alla norma { }∈ ∈ l se e solo se lim x(k) =x per ogni i=1,2,..,n. ∞ k→∞ i i LucioDemeio DipartimentodiScienzeMatematiche AnalisiNumerica: MetodiIterativi Normeedistanze Autovaloriedautovettori Matriciconvergenti Metodiiterativi Norme e distanze Dimostrazione Supponiamo che x(k) x rispetto a . . Allora, dato ε>0, esiste ∞ { }→ |||| N(ε) t.c., per ogni k≥N(ε), ||x(k)−x||∞ =max1≤i≤n|x(ik)−xi|<ε. Questo implica che|x(ik)−xi|<ε perogni i=1,2,...,n, e quindila tesi. Viceversa, sia limk→∞x(ik) =xi per ogni i=1,2,..,nAllora, datoε>0, esistono Ni(ε) t.c. |x(ik)−xi|<ε per k>Ni(ε). Sia N(ε)=max1≤i≤nNi(ε). Sek>N(ε) allora msuaccxe1s≤sii≤onne|x(ixk)(k−) xai|d=x.||x(k)−x||∞ <ε, cheimplica la convergenza della { } Norme equivalenti(senza dimostrazione) Tuttele normein Rn sono equivalenti rispetto alle propriet`a di convergenza: se unasuccessione x(k) x rispetto a . , allora converge rispetto a qualunquealtra norma{ . ′}. P→er le norme vis||te||qui,vale la |||| relazione . . √n . . ∞ 2 ∞ |||| ≤|||| ≤ |||| LucioDemeio DipartimentodiScienzeMatematiche AnalisiNumerica: MetodiIterativi Normeedistanze Autovaloriedautovettori Matriciconvergenti Metodiiterativi Norme e distanze Convergenza: esempio Sia T 1 3 x(k) = 1,2+ , ,e−k sink { } k k2 (cid:18) (cid:19) Abbiamo 1 lim 2+ =2 k→∞ k 3 lim =0 k→∞k2 lim e−k sink =0 k→∞ e quindi x(k) (1,2,0,0)T. { }→ LucioDemeio DipartimentodiScienzeMatematiche AnalisiNumerica: MetodiIterativi Normeedistanze Autovaloriedautovettori Matriciconvergenti Metodiiterativi Norme e distanze Norme delle matrici Sia M lo spazio vettoriale delle matrici reali n n. Una norma su n M `e una funzione . :M R tale che × n n |||| → A 0 A M ; n || ||≥ ∀ ∈ A =0 A=0; || || ⇐⇒ αA = α A ; || || | ||| || A+B A + B ; || ||≤|| || || || AB A B ; || ||≤|| |||| || Distanza Si definisce distanza tra due matrici A e B la norma della differenza A B: − d(A,B)= A B || − || LucioDemeio DipartimentodiScienzeMatematiche AnalisiNumerica: MetodiIterativi Normeedistanze Autovaloriedautovettori Matriciconvergenti Metodiiterativi Norme e distanze Norme delle matrici (teorema) Se . `e unanorma sui vettori in Rn, allora |||| Az ||A||=max||x||=1||Ax||=max||z||=6 0|| z || || || `e unanorma su Mn, chevienedetta norma naturale o indotta. Da qui in poi, salvo eccezioni, useremo sempre questa norma matriciale. L’ultima uguaglianza segue dal fatto che, se z ha norma non nulla, allora z/ z ha || || norma unitaria. Corollario Dal teorema precedente,segue che,per ogni z=0, per ogni A Mn e per 6 ∈ ogni norma naturale su Mn abbiamo che Az A z . || ||≤|| |||| || LucioDemeio DipartimentodiScienzeMatematiche AnalisiNumerica: MetodiIterativi Normeedistanze Autovaloriedautovettori Matriciconvergenti Metodiiterativi Norme e distanze Norme delle matrici Le norme naturali che considereremo sono quelle indotte dalle norme gi`a viste per i vettori: ||A||∞ =max||x||∞=1||Ax||∞ ||A||2 =max||x||2=1||Ax||2, dette rispettivamente norma l e norma l . ∞ 2 Theorem (Norma infinito) Sia A= a una matrice n n. Si ha allora ij { } × n A =max a ∞ 1≤i≤n ij || || | | j=1 X LucioDemeio DipartimentodiScienzeMatematiche AnalisiNumerica: MetodiIterativi
Description:The list of books you might like
