Mechanik: Lehrbuch zur Theoretischen Physik I

362 Pages·2009·1.864 MB·German

by  Prof. Dr. Torsten Fließbach (auth.)

Mechanik
Torsten Fließbach
Mechanik
Lehrbuch zur Theoretischen Physik I
6. Auflage
Autor
Prof. Dr. Torsten Fließbach
Universität Siegen
57068 Siegen
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6. Auflage 2009
© Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2009
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Satz: Autorensatz
ISBN 978-3-8274-2148-7
Vorwort
Das vorliegendeBuch istTeil einerVorlesungsausarbeitung[1,2,3,4]des Zyklus
TheoretischePhysikIbisIV.EsgibtdenStoffmeinerVorlesungTheoretischePhy-
sik I über die Mechanik Physik wieder. Diese Vorlesung wird in Siegen für die
Physikstudentenim3.Semesterangeboten.
DieDarstellungbewegtsichaufdemdurchschnittlichenNiveaueinerKursvor-
lesunginTheoretischerPhysik.DerZugangisteherintuitivanstellevondeduktiv;
formaleAbleitungenundBeweisewerdenohnebesonderemathematischeAkribie
durchgeführt.
InengerAnlehnungandenText,teilweiseaberauchzudessenFortführungund
Ergänzungwerdenüber80Übungsaufgabengestellt.DieseAufgabenerfüllenihren
Zweck nurdann, wenn sievom Studenten möglichsteigenständig bearbeitet wer-
den.DieseArbeitsollteunbedingtvorderLektürederMusterlösungenliegen,die
imArbeitsbuchzurTheoretischenPhysik[5]angebotenwerden.NebendenLösun-
genenthältdasArbeitsbucheinkompaktesRepetitoriumdesStoffsderLehrbücher
[1,2,3,4].
Der Umfang des vorliegenden Buchs geht in einigen Teilen etwas über den
Stoffhinaus,der während eines Semesters ineinem Physikstudiumüblicherweise
andeutschenUniversitätenbehandeltwird.DerStoffistinKapitelgegliedert,die
imDurchschnittetwaeinerVorlesungsdoppelstundeentsprechen. Natürlichbauen
verschiedene Kapitel aufeinander auf. Es wurde aber versucht, die einzelnen Ka-
pitel so zu gestalten, dass sie jeweils möglichst abgeschlossen sind. Damit wird
einerseits eine Auswahl von Kapiteln für einen bestimmten Kurs (etwa in einem
Bachelor-Studiengang) erleichtert, in dem der Stoff stärker begrenzt werden soll.
ZumanderenkannderStudentleichterdieKapitelnachlesen,diefürihnvonInter-
essesind.
EsgibtvieleguteDarstellungenderMechanik,diesichfüreinvertiefendesStu-
diumeignen.IchgebehiernureinigewenigeBücheran,dieichselbstbevorzugtzu
RategezogenhabeunddiegelegentlichimTextzitiertwerden.AlsStandardwerk
möchteichzunächstdieKlassischeMechanikvonGoldstein[6]hervorheben.Für
dieeinführendenKapitelwurdeeinähnlicherZuganggewähltwiedieTheoretische
MechanikvonStephaniundKluge[7].SchließlichseinochderBand1desLehr-
gangsvonLandau-Lifschitz[8]erwähnt.FürdierelativistischeMechanikbenutze
ichbevorzugtdieeinleitendenKapitelvonWeinbergsBuch[9]überdieAllgemeine
Relativitätstheorie.
GegenüberderfünftenAuflagediesesBuchswurdeneinigeFehlerbeseitigt,an
zahlreichen Stellenwurden kleinereErgänzungen undVerbesserungenvorgenom-
men.
VI
BeiOliverBurghard,ChristophKandetzki,ArthurRuh,HansWalliserundeini-
genanderenLesernderfrüherenAuflagenbedankeichmichfürwertvolleHinwei-
se.Fehlermeldungen,BemerkungenundsonstigeHinweisesindjederzeitwillkom-
men,etwaüberdenKontaktlinkaufmeinerHomepagewww2.uni-siegen.de/
∼flieba/.AufdieserHomepagefindensichaucheventuelleKorrekturlisten.
Mai2009 TorstenFließbach
Literaturangaben
[1] T.Fließbach,Mechanik,6.Auflage,SpektrumAkademischerVerlag,Heidel-
berg2009(diesesBuch)
[2] T. Fließbach, Elektrodynamik, 5. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag,
Heidelberg2008
[3] T.Fließbach,Quantenmechanik,5.Auflage,SpektrumAkademischerVerlag,
Heidelberg2008
[4] T.Fließbach,StatistischePhysik,4.Auflage,Elsevier–SpektrumAkademi-
scherVerlag,Heidelberg2006
[5] T.FließbachundH.Walliser,ArbeitsbuchzurTheoretischenPhysik–Repeti-
toriumundÜbungsbuch,2.Auflage,SpektrumAkademischerVerlag,Heidel-
berg2008
[6] H.Goldstein,KlassischeMechanik,11.Auflage,AulaVerlag,Wiebelsheim
1991
[7] H.Stephani,G.Kluge,TheoretischeMechanik,SpektrumAkademischerVer-
lag,Heidelberg1995
[8] L. D. Landau, E. M. Lifschitz, Lehrbuch der theoretischen Physik, Band I,
Mechanik,14.Auflage,Deutsch(Harri),FrankfurtamMain1997
[9] S. Weinberg, Gravitation and Cosmology, John Wiley & Sons, New York
1972
Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
I ElementareNewtonscheMechanik 3
1 Bahnkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 NewtonsAxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 SystemvonMassenpunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Inertialsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6 BeschleunigteBezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
II Lagrangeformalismus 49
7 Lagrangegleichungen1.Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8 AnwendungenI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
9 Lagrangegleichungen2.Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
10 AnwendungenII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
11 Raum-Zeit-Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
III Variationsprinzipien 95
12 VariationohneNebenbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
13 VariationmitNebenbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
14 HamiltonschesPrinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
15 Noethertheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
IV Zentralpotenzial 131
16 Zweikörperproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
17 Keplerproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
18 Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
V StarrerKörper 165
19 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
20 Trägheitstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
VIII Inhaltsverzeichnis
21 Tensoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
22 EulerscheGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
23 SchwererKreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
VI KleineSchwingungen 209
24 ErzwungeneSchwingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
25 SystemmitvielenFreiheitsgraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
26 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
VII Hamiltonformalismus 235
27 KanonischeGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
28 KanonischeTransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
29 Hamilton-Jacobi-Gleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
VIII Kontinuumsmechanik 255
30 Saitenschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
31 Balkenbiegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
32 Hydrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
33 Feldtheorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
IX RelativistischeMechanik 289
34 Relativitätsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
35 Längen-undZeitmessung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
36 Lorentzgruppe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
37 Lorentztensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
38 Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
39 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
40 Lagrangefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
Register 353
Einleitung
DieMechanikuntersuchtdieGesetzmäßigkeiten,nachdenendieBewegungmate-
riellerKörperverläuft.UnterBewegungverstehtmandieÄnderungdes Ortes als
FunktionderZeit.DieBewegungerfolgtunterdemEinflussvonKräften,dieinder
Mechanikalsbekanntvorausgesetztwerden.
Im vorigen Jahrhundert war die Meinung verbreitet, dass physikalische Vor-
gängeerstdannverstandensind,wennsiemechanischerklärtwerdenkönnen(me-
chanistisches Weltbild).So kann etwa dieWärme auf die ungeordneteBewegung
derAtomezurückgeführtwerden.Heutewissenwir,dassdieseReduktionfürviele
Phänomene(Elektromagnetismus,Quanteneffekte)nichtmöglichist.
DergrößteTeildiesesBuchesbeschäftigtsichmitzuMassenpunktenidealisier-
ten Körpern und mit Systemen von Massenpunkten. Teil I stellt die Mechanik
solcher Systeme auf der Basis von Newtons Axiomen dar; dabei werden die
grundlegendenKonzeptewieMassenpunkt,Bahnkurve,Bezugs-undKoordinaten-
system,OrtundZeit,Impuls,Drehimpuls,kinetischeundpotenzielleEnergieein-
geführtunddiskutiert.EinezentraleStellungnimmtdieFormulierungderMecha-
nik im Rahmen des Lagrangeformalismus (Teil II) ein. Der relativ ausführliche
Teil III über Variationsprinzipien führt schließlich zu einer allgemeinen Darstel-
lung des Zusammenhangs zwischen Symmetrien und Erhaltungsgrößen des Sys-
tems (Noethertheorem). Die anschließenden Teile IV–VI untersuchen die wich-
tigstenAnwendungsbereiche,undzwardieBewegungimZentralpotenzial,dieDy-
namikeinesstarrenKörpersundharmonischeSchwingungen.
DeralternativeHamiltonscheFormalismus(Teil VII)spielt fürAnwendungen
eineuntergeordneteRolle.ErwirdaberbeiderEinführungderQuantenmechanik
benötigt;außerdem ist erder AusgangspunktfürdieDiskussionderBeziehungen
zwischen Mechanik und Quantenmechanik. Neben den erwähnten Anwendungen
umfasstdieMechanikdiegroßenGebietederElastomechanik(etwaSaitenschwin-
gung, Balkenbiegung)und der Hydrodynamik.Diese Gebiete enthalten genügend
Stoff für eigene Vorlesungen; in Teil VIII werden nur die einfachsten Grundglei-
chungenvorgestellt.AlsweiterführendeErgänzungstelltKapitel33einenZusam-
menhangherzwischendemLagrangeformalismusderPunktmechanikunddemin
anderenFeldtheorien.
DerletzteTeilIXgibteine(gemessenamGesamtumfang)relativausführliche
Einführung in die Spezielle Relativitätstheorie. In der resultierenden relativisti-
schenMechanikwerden unteranderemdieErzeugungschwererTeilchenunddas
Zwillingsparadoxondiskutiert.
1
I Elementare Newtonsche Mechanik
1 Bahnkurve
DieBahnkurveeinesMassenpunktsisteinzentralerBegriffinderMechanik,ver-
gleichbaretwamitdemelektromagnetischenFeldinderElektrodynamikoderder
WellenfunktioninderQuantenmechanik.IndiesemKapitelführenwirdieBahn-
kurveundeineReihedamitzusammenhängenderBegriffe(Massenpunkt,Bezugs-
system,RaumundZeit)einunderläuternsie.
DiesesKapitelbeschränktsichaufdieKinematik,alsoaufdiebloßeBeschrei-
bungderBewegungeinesMassenpunkts.AbdemnächstenKapitelbefassenwir
unsmitderDynamik,alsomitderUntersuchungderphysikalischenGesetze,nach
denendieseBewegungabläuft.
DieBewegungeinesKörperskönnenwirnuralsBewegungrelativzuetwasande-
rembeschreiben,etwarelativzuunsselbstoderrelativzuanderen Gegenständen.
Gäbe es außer dem betrachteten Körper nichts anderes, so könnten wir seine Be-
wegung nicht wahrnehmen oder beschreiben. Vorzugsweise werden wir zunächst
bestimmteGegenständealsBezugspunktezurBeschreibungderBewegungwählen
(und nichtuns selbst),damitdieBewegungunabhängigvomspeziellen Beobach-
terbeschriebenwird.EinnaheliegendesBezugssystem(BS)istderLaborraumoder
auch der Hörsaal. In einem solchen BS führen wir Ortskoordinaten ein (etwa die
Abständex,y,zvondenWändeneinesquaderförmigenRaums),diegeeignetsind,
alle interessierenden Punkte des Raums zu benennen. In dem Bezugssystem soll
außerdem die Zeit t durch eine geeignete Uhr angezeigt werden; wir bezeichnen
t als Zeitkoordinate. Ein Bezugssystem mit bestimmten Koordinaten nennen wir
Koordinatensystem(KS).
Die Bewegungsgesetze werden von der Wahl des Bezugssystems abhängen.
Beispielsweise funktioniert Billard im Hörsaal anders als auf einem Karussell, es
unterliegt also anderen Bewegungsgesetzen. Für die Formulierung dieser Gesetze
(Kapitel2)mussdasBSdaherspezifiziertwerden.
Wir betrachten nun einen Massenpunkt. Ein Massenpunkt ist ein Körper, für
dessenBewegungnurseinOrtrelevantodervonInteresseist.IndiesemSinnwird
seineBewegungvollständigbeschriebendurchdieAngabedesOrtesrzujederZeit
t,dasheißtdurchdieBahnkurve
r(t)=x(t)e +y(t)e +z(t)e (1.1)
x y z
3
4 TeilI ElementareNewtonscheMechanik
FolgendeObjektekönntenzumBeispielalsMassenpunktebetrachtetwerden:Teil-
chen(wieElektronenoderProtonen)ineinemStreuvorgang,AtomeineinemGas,
Billardkugeln, Planeten im Sonnensystem, Galaxien in Galaxiehaufen. Alle diese
Objektesindtatsächlichausgedehnt.DieModellvorstellung„Massenpunkt“isteine
Idealisierung,dieannimmt,dassdieBahnkurveohneBerücksichtigungderanderen
Freiheitsgrade behandelt werden kann; dabei bezieht sich r auf den Schwerpunkt
desKörpers.SokannfürdieBerechnungderErdbahnumdieSonneinsehrguter
NäherungvonderErddrehung(undallenanderenVorgängenaufderErde)abgese-
hen werden. Dagegen kann die Drehung einer Billardkugel wesentlichen Einfluss
auf die Bahn haben; die Anwendung des Modells Massenpunkt kann also auch
fehlerhaft sein. Im Allgemeinen wird eine notwendige Voraussetzung für die Be-
handlung als Massenpunktsein, dass die Größe des Körpers klein gegenüberden
anderenrelevantenAbmessungendesSystemsist;soistderRadiusderErdeklein
gegenüber den Halbachsen ihrer Bahnellipse. In diesem Sinn ist die Verwendung
desBegriffs„Punkt“inMassenpunktzuverstehen.
Bereits in die vertrauteBeschreibung (1.1) einer Bahnkurvegehen eine Reihe
nichttrivialerVoraussetzungenein.InsbesonderemusseinBezugssystemmitkarte-
sischenKoordinatenundeinerZeitkoordinatefestgelegtsein;diekonkreteAngabe
von x, y, z und t setzt die Definition der Längen- und Zeitmessung voraus. Die
ZeitmessungwirdimFolgendendiskutiert;eineMessvorschriftfürdieLängeset-
zenwirvoraus.KartesischeKoordinatenimplizieren,dassunserdreidimensionaler
Raumebenist;diesephysikalischeAnnahmeüberdieStrukturunseresRaumswird
anschließenddiskutiert.
Zeitmessung
DieDefinitionderZeiterfolgtdurchdieFestlegungeinesVerfahrenszurMessung
derZeitkoordinatet durcheineUhr.EineUhristeinInstrument,dasdiePerioden-
zahl einesperiodischen,kontinuierlichenVorgangsanzeigt.AlsperiodischenVor-
gangkönntemanzumBeispielwählen:
• PulsschlagdesamerikanischenPräsidenten
• Pendeluhr
• Erdrotation(Tag-Nacht-Periode)
• Atomfrequenz
Als Zeiteinheit wird ein Vielfaches einer bestimmten Periode definiert, zum Bei-
spiel eine Sekunde als der 86400ste Teil einer Tag-Nacht-Periode oder als das
9191631770fachederPeriodendauerdesÜbergangszwischendenbeidenHyper-
feinstrukturniveausdesGrundzustandsvonCäsium133.
DieGesetzefürdieBahnkurver(t)undanderephysikalischeGesetzewerden
vonderDefinitionvont abhängen.WirwerdendiejenigeZeitdefinitionalsdiebes-
tevorziehen,fürdiediephysikalischenGesetzeameinfachstensind.Daheristdie