Matrizen, Geometrie, Lineare Algebra

641 Pages·1996·17.689 MB·German

by  Peter Gabriel (auth.)

Birkhauser Advanced Texts
Basler Lehrbucher
Edited by
Herbert Amann, Zurich
Peter Gabriel
Matrizen, Geometrie,
Lineare Algebra
Birkhauser
Basel· Boston· Berlin
Autor:
Peter Gabriel
Institut fiir Mathematik
Universitat Ziirich-Irchel
Winterthurerstrasse 190
8057 Ziirich
Schweiz
Deutsche Bibliothek Cataloging-in-Publication Data
Gabriel, Peter:
Matrizen, Geometrie, Lineare Algebra / Peter Gabriel. -Basel ;
Boston; Berlin: Birkhauser, 1996
(Birkhiiuser advanced texts)
ISBN-13: 978-3-0348-9873-7
Das Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte, insbesondere die der Obersetzung,
des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikro
verfi1mung oder der Vervielfaltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsan1agen,
bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfaltigung dieses Werkes oder von
Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheber
rechtsgesetzes in der jeweils geltenden Fassung zulassig. Sie ist grundsatzlich vergiitungspflichtig.
Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechts.
ISBN-13: 978-3.034&-9873-7 e-ISBN-13: 978-3-0348-9026-7
DOl: 10.1007/978-3-0348-9026-7
© 1996 Birkhauser Verlag, Postfach 133, CH-4010 Basel, Schweiz
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1996
Gedruck auf saurefreiem Papier, hergestellt aus chlorfrei gebleichtem Zellstoff. TCF
00
ISBN-13: 978-3-034&-9873-7
987654321
Inhaltsverzeichnis
Vorwort ............................................................... Vll
Leitfaden ............................................................. x
Allgemeine Bibliographie .............................................. Xll
A. Matrizen .......................................................... 1
AI. Matrizenprodukte................................................ 3
A2. Der Fang-Cheng-Algorithmus .................................... 19
A3. Determinanten................................................... 37
A4. Eigenformen ..................................................... 57
A5. *Reelle Konjugationsklassen ...................................... 77
B. Aufbau der Geometrie ............................................. 95
BI. Grundlagen der Vektorgeometrie ................................. 97
B2. Von Geraden und Ebenen ........................................ 113
B3. Die affine Raumgruppe ........................................... 135
B4. Der Hypothenusensatz ........................................... 163
B5. Zur Geschichte der Geometrie .................................... 181
C. Geometrie und Analysis ........................................... 203
CI. Drehungen und Kreislange ....................................... 205
C2. Winkelfunktionen und Bogenmass ................................ 221
C3. Die Isometrien des Raumes ...................................... 235
C4. Imaginare Zahlen ................................................ 267
C5. Karper und Polynome ........................................... 295
D. Hoherdimensionale Geometrie ..................................... 315
DI. Lineare Raume .................................................. 317
D2. Affine Raume .................................................... 337
D3. Konvexe Polyeder ................................................ 359
D4. Quadriken ....................................................... 391
D5. Lineare Algebra, abstrakt ........................................ 429
E. Anhang ............................................................ 463
EI. Mengen und Zahlen .............................................. 465
E2. Konjugation aus rationaler Sicht ................................. 483
E3. Die Exponentialabbildung ........................................ 499
E4. Eigenwerte hermitescher Matrizen ................................ 509
E5. Kugelfunktionen................................................. 521
Ubungstexte zu den Teilen A - D ..................................... 533
Personen- und Sachregister ........................................... 615
Verzeichnis der Symbole .............................................. 629
Verzeichnis der Bildnisse .............................................. 633
A ma Lorraine, romane et tiche
Minem Lothringe, wiilsch un deitsch
Vorwort
Zwei Stromungen tragen und trennen die Mathematik seit Anbeginn. Die
erste treibt zur Aussenwelt, ist konstruktiv, berechnend, algorithmisch. Die
zweite ist Verinnerlichung, Spiel am Modell, Spekulation. Die erste schwillt an,
stetig und besonnen, in einer Umwelt von Technik und Computern. Die zweite
fiutet frei von ausseren Zwangen, prallte an die Neuzeit und hatte schier die
Schule liberschwemmt.
Ein Einflihrungskurs auf Hochschulebene muss wohl beiden Stromungen
folgen. Wir wenden uns zunachst der algorithmischen zu und lassen ihr den
grosseren Raum. Die Begriffe, die sie flihrt, sind konkret, die angeschwemmte
Materie leicht zu fassen, ihr Kern mal weich mal hart, doch meist gut zu ver
werten. Wer an ihren Ufern watet, entlockt ihr schon manch nlitzlich Gut und
muss daflir nicht Meisterschwimmer werden.
Nur Meisterschwimmer wollen wir jedoch, am Ende dieses Kurses, noch bis
zum Meer abstrakter Spekulationen flihren. Glticklos bliebe in dieser Weite,
wen Gott daflir nicht schuf. Gute Beute erzielt aber dort, wer Talent paart mit
Erfahrung, mit guter Kenntnis strandnaherer Gewasser.
Wir schwimmen also mit den Stromen. Wir schwimmen aber auch gegen
den Strom, zur QueUe der Geometrie. In deren Transparenz liben wir die er
sten Kunstgriffe abstrakten Denkens, libertragen raumliche Begriffe in fremde
Bereiche und entdecken die verborgene Verwandtschaft unterschiedlicher Wis
sensarten.
Doch nur, was vorhanden ist, lasst sich auch libertragen. Leider haben die
elementargeometrischen Vorstellungen, die das Gymnasium verbreitet, aber
nicht die Scharfe, die die Hochschule voraussetzt. Es nlitzt da wenig, dass der
Professor ein ]Ft3 an die Tafel schreibt und ein zweidimensionales Bild des Rau
mes dazu zeichnet. Der Sprung bleibt gross yom konkreten Bild zum abstrakten
]Ft3. Verschwommen sind die konzeptuellen Grenzen, zwischen Punkten etwa
und Vektoren, zu wenig eingeiibt ist das Wechselspiel zwischen Gleichungen
und Gebilden. Zusatzliches Training tut hier not.
Modellierung ~ die Aufstellung mathematischer Modelle zur Beschreibung
aussermathematischer Prozesse ~ will frlih gelibt sein. Die Auseinandersetzung
mit den Grundlagen der Geometrie hat auch diesen Zweck. Sie fiihrt insbeson
dere zur klaren Trennung zwischen dem Raum der Physik und dem Denkmodell
der Mathematik. Beim numerischen Modell ]Ft3 ist die Trennlinie nicht mehr
erkennbar, zu gross ist die Distanz zur Physik. Zur Uberprlifung der logischen
viii Vorwort
Koharenz mag die Konstruktion eines Modells aus der axiomatischen Men
genlehre geeignet sein. Wer aber Beweis und Experiment gegenuberstellt, will
sein Modell von physikalischen Beobachtungen ableiten. Das Unterfangen ist
bekanntlich heikel. Wir hoffen, einen Weg gefunden zu haben, der den Bedurf
nissen eines Einfuhrungskurses einigermassen entspricht.
Die unublich starke Betonung der Elementargeometrie dient schliesslich
auch der Veranschaulichung des zentralen Begriffs dieses Buches, dem der
Transformationsgruppen. Die Elementargeometrie liefert das erforderliche An
schauungsmaterial fur die vielen abstrakten Gruppen und Normalformen der
hoheren Mathematik. Die Hochschule hat auch hier nachzuliefern, was das
Gymnasium nicht bieten kann, weil sein Zuhorerkreis weiter gefasst ist und
Transformationsgruppen ihre Bedeutung erst auf hoherer Stufe offenlegen.
Zur Lockerung des Lehrstoffes haben wir neben der Mathematik auch einige
ihrer Akteure vorgestellt. Mathematik ist keine transzendente Wahrheit, sie ist
das Werk von Menschen, die in einem gewissen historischen Umfeld leben. Wir
skizzieren dieses Umfeld, weil wir fest glauben, dass die Geschichte ein guter
Lehrer ist. Doch nicht nur deshalb. Wir wollen auch ganz einfach Momente der
Entspannung einbauen. Moge auch die von uns ausgesuchte Skurrilitat diesem
Zwecke dienen und uns die grossen Akteure etwas naherbringen.
Unsere Schrift ist somit Lehr- und Lesebuch. Die historischen Seiten seien
als Lesestucke empfohlen, manche gar als 'Strassenbahnlekture'. Wir gliedern
den mathematischen Text in drei Teile, wobei wir die ersten beiden in zwei
Leitfaden zusammenstellen. Leitfaden I enthalt den 'irreduziblen' Kern einer
Anfangervorlesung in Linearer Algebra. Dieser Kern nimmt etwas mehr als
ein Viertel der Schrift ein, insgesamt etwa 170 Seiten: eine Zahl, die wir wohl
als ausgesprochen menschlich betrachten durfen. Leitfaden II prasentiert den
eingebauten Wiederholungskurs in Geometrie (etwa 100 Seiten). Der Kurs ist
als Stoff fur ein Proseminar gedacht. Die rest lichen 110 Seiten weisen in die
Zukunft.
Das vorliegende Lehrbuch ist das Ergebnis vieler Grundvorlesungen, die ich
innert 33 Jahre in Metz, Strassburg, Bonn und Zurich hielt. Es tragt die Spuren
vieler Einflusse, die mich zu Dank verpflichten. Keinen Dankjedoch will ich dem
Lande zollen, das mich am Fusse einer Zitadelle als einen der wenigen Traumer
gebar, denen Pierre Fourier noch immer Vorbild ist. Mit Krieg gab es mir vier
Jahre Unterricht in der angestammten Heimatsprache, mit Frieden den von
Plucker so sehr bewunderten Schliff franzmannischer Mathematik. Das Land
hat geformt und zerrissen. Ich widme ihm diesen Versuch in der Heimatsprache
als Ausdruck, nicht des Dankes, doch meiner ausweglosen Verbundenheit.
Zwei Landsleute haben grossen indirekten Einfluss auf das Werk genom
men: Der erste, Andre Billmann, Meister mathematischer Prazision, hat mit
deutschem Staatsexamen und franzosischer 'agregation' viele Jahrgange von
Letztkla.sslern am Metzer Lyzeum ausgebildet, das dazumal noch nicht den Na
men eines Generals trug. Dem Weitblick des zweiten, Pierre Cartier, verdanke
Vorwort ix
ich die Sicht hinter Bourbakis Kulisse; einen matriziellen Zugang zur Linearen
Algebra erlernte ich 1961 in seinem Kurs flir die Kadetten der 'Royale'.
Ansonsten zolle ich meinen Dank den zahlreichen Freunden und Schiilern,
die manche Stelle ausbesserten und nach Tippfehlern Ausschau hielten. Die Na
men vieler habe ich vergessen; sie mogen mir verzeihen. Nennen muss ich jeden
falls Herbert Amann, Ursula Ausderau, Markus Brodmann, Thomas Brlistle,
Ernst Dieterich, Patrick Guidotti, Thomas Guidon, Erich Gut, Ernst Gut
knecht, Urs Hassler, Bernhard Keller, Enrico Leuzinger, Erwin Neuenschwan
der, Claudio Ortelli, Markus Petermann, Yuan Shen und Dieter Vossieck. Flir
effiziente Verlagsarbeit und Bereinigung der Druckvorlage geht mein Dank an
Thomas Hintermann und Herrn Stephan Ammann. Speziell danke ich auch
Frederic, der so liebevoll urn meine Deutschkenntnisse besorgt war.
Bitsch, den 1. August 1995.
x Leitfaden I
Mengen und Zahlen
ELl-E1.1D
Karper und Polynome
C5.1-C5.9
Lineare Riiume
D 1.1-D 1.17
Leitfaden I
Quadriken
D4.1-D4.12
Lineare Algebra
Lineare Algebra
D5.1- D5.11
Leitfaden II xi
rKonjugationsklasserj
A5
B3.12-B3.14 B3.15
Hypothenusensatz
B4.1-B4.7
B4.8-B4.9
Leitfaden II
Geometrie
Isometrien
C3