Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler: Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium

818 Pages·2000·30.78 MB·German

by  Lothar Papula (auth.)

Lothar Papula
Mathematik für Ingenieure
und Naturwissenschaftler
Band 2
Die drei Bände Mathematik für Ingenieure
und Naturwissenschaftler werden durch eine
Formelsammlung und ein Übungsbuch zu einem
Lehr-und Lernsystem ergänzt:
Lothar Papula
Mathematische Formelsammlung
für Ingenieure und Naturwissenschaftler
Mit zahlreichen Abbildungen und Rechenbeispielen
und einer ausführlichen Integraltafel
Mathematik für Ingenieure
und Naturwissenschaftler - Übungen
Anwendungsorientierte Übungsaufgaben
aus Naturwissenschaft und Technik
mit ausführlichen Lösungen
Lothar Papula
Mathematik
für Ingenieure und
Naturwissenschaftler
Band 2
Ein Lehr- und Arbeitsbuch
für das Grundstudium
9., verbesserte Auflage
Mit zahlreichen Beispielen
aus Naturwissenschaft und Technik,
377 Abbildungen und 310 Übungsaufgaben
mit ausführlichen Lösungen
11
vleweg
1. Auflage 1983
2., durchgesehene Auflage 1984
3., durchgesehene Auflage 1986
4., durchgesehene und erweiterte Auflage 1988
5., verbesserte Auflage 1990
6., verbesserte Auflage 1991
7., überarbeitete und erweiterte Auflage 1994
8., verbesserte Auflage 1997
9., verbesserte Auflage 2000
Alle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, BraunschweigjWiesbaden, 2000
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Gedruckt auf säurefreiem Papier
ISBN 978-3-528-84237-6 ISBN 978-3-322-93586-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-93586-1
v
Vorwort
Das dreibändige Werk Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler ist ein Lehr
und Arbeitsbuch für das Grund- und Hauptstudium der naturwissenschaftlich-tech
nischen Disziplinen im Hochschulbereich. Es wird durch eine mathematische Formel
sammlung und ein Übungsbuch mit ausschließlich anwendungsorientierten Aufgaben zu
einem kompakten Lehr- und Lernsystem ergänzt. Die Bände 1 und 2 lass,en sich dem
Grundstudium zuordnen, während der dritte Band spezielle Themen aus dem Haupt
studium behandelt.
Zur Stoffauswahl des zweiten Bandes
Aufbauend auf den im ersten Band dargestellten Grundlagen (Gleichungen und lineare
Gleichungssysteme, Vektoralgebra, Funktionen und Kurven, Differential- und Integral
rechnung für Funktionen von einer Variablen, Potenzreihenentwicklungen) werden in
dem vorliegenden zweiten Band folgende Stoffgebiete behandelt:
• Lineare Algebra: Reelle und komplexe Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungs
systeme, Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix
• Fourier-Reihen
• Komplexe Zahlen und Funktionen: Komplexe Rechnung, Anwendungen auf Schwin
gungen und Wechselstromkreise, Ortskurven
• Differential- und Integralrechnung für Funktionen von mehreren Variablen: Partielle
Ableitungen, totales Differential, Anwendung~n (relative Extremwerte, Extremwert
aufgaben mit Nebenbedingungen, "lineare Fehlerfortpflanzung"), Doppel- und Drei
fach integrale mit Anwendungen
• Gewöhnliche Differentialgleichungen: Lineare Differentialgleichungen 1., 2. und n-ter
Ordnung, Anwendungen insbesondere in der Schwingungslehre, numerische Integra
tion gewöhnlicher Differentialgleichungen, Systeme linearer Differentialgleichungen
• Laplace-Transformationen
Zur Darstellung des Stoffes
Auch in diesem Band wird eine anschauliche, anwendungsorientierte und leicht verständ
liche Darstellungsform des mathematischen Stoffes gewählt. Begriffe, Zusammenhänge,
Sätze und Formeln werden durch zahlreiche Beispiele aus Naturwissenschaft und Tech
nik und anhand vieler Abbildungen näher erläutert.
Einen wesentlichen Bestandteil dieses Werkes bilden die Übungsaujgaben am Ende eines
jeden Kapitels (nach Abschnitten geordnet). Sie dienen zum Einüben und Vertiefen des
Stoffes. Die im Anhang dargestellten und ausführlich kommentierten Lösungen ermög
lichen dem Leser eine ständige Selbstkontrolle.
VI Vorwort
Zur äußeren Form
Zentrale Inhalte wie Definitionen, Sätze, Formeln, Tabellen, Zusammenfassungen und
Beispiele sind besonders hervorgehoben:
• Definitionen und Sätze, Formeln und Zusammenfassungen sind gerahmt und grau
unterlegt.
• Tabellen sind gerahmt und teilweise grau unterlegt.
• Anfang und Ende eines Beispiels sind durch das Symbol _ gekennzeichnet.
Bei der (bildlichen) Darstellung von Flächen und räumlichen Körpern werden Grau
raster unterschiedlicher Helligkeit verwendet, um besonders anschauliche und aussage
kräftige Bilder zu erhalten.
Zum Einsatz von Computeralgebra-Programmen
In zunehmendem Maße werden leistungsfähige Computeralgebra-Programme wie z. B.
DERIVE, MATHCAD oder MATHEMATICA bei der mathematischen Lösung kom
pakter naturwissenschaftlich-technischer Probleme in Praxis und Wissenschaft erfolg
reich eingesetzt. Solche Programme können bereits im Grundstudium ein nützliches und
sinnvolles Hilf.~mittel sein und so z. B. als eine Art "Kontrollinstanz " beim Lösen von
Übungsaufgaben verwendet werden (Überprüfung der von Hand ermittelten Lösungen
mit Hilfe eines Computeralgebra-Programms auf einem PC). Die meisten der in diesem
Werk gestellten Aufgaben lassen sich auf diese Weise problemlos lösen.
Eine Bitte des Autors
Für Hinweise und Anregungen - insbesondere auch aus dem Kreis der Studenten - bin
ich stets sehr dankbar. Sie sind eine unverzichtbare Voraussetzung und Hilfe für die
stetige Verbesserung des Lehrwerkes.
Ein Wort des Dankes ...
... an alle Fachkollegen und Studenten, die durch Anregungen und Hinweise zur Verbes
serung dieses Werkes beigetragen haben,
· .. an die Mitarbeiter des Verlages, ganz besonders aber an Herrn Wolfgang Nieger und
Herrn Ewald Schmitt, für die hervorragende Zusammenarbeit während der Entstehung
und Drucklegung dieses Werkes.
Wiesbaden, im Sommer 1999 Lothar Papula
VII
Inhaltsverzeichnis
I Lineare Algebra ................................................... .
1 Reelle Matrizen ..................................................... 1
1.1 Ein einführendes Beispiel ......................................... 1
1.2 Definition einer reellen Matrix ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Transponierte einer Matrix ........................................ 6
1.4 Spezielle quadratische Matrizen .................................... 7
1.4.1 Diagonalmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.2 Einheitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.3 Dreiecksmatrix ............................................. 8
1.4.4 Symmetrische Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.5 Schiefsymmetrische Matrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Gleichheit von Matrizen .......................................... 11
1.6 Rechenoperationen für Matrizen ................................... 11
1.6.1 Addition und Subtraktion von Matrizen ....................... 12
1.6.2 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.3 Multiplikation von Matrizen ................................. 14
2 Determinanten ...................................................... 19
2.1 Ein einführendes Beispiel ......................................... 19
2.2 Zweireihige Determinanten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Definition einer zweireihigen Determinante ..................... 21
2.2.2 Eigenschaften zweireihiger Determinanten ...................... 22
2.3 Dreireihige Determinanten ........................................ 30
2.3.1 Definition einer dreireihigen Determinante ..................... 30
2.3.2 Entwicklung einer dreireihigen Determinante nach Unterdeter-
minanten (Laplacescher Entwicklungssatz) ..................... 33
2.4 Determinanten höherer Ordnung. . . . . . . . .. . . ...... . . . . . . . . . . .. . . . . . 37
2.4.1 Definition einer n-reihigen Determinante ....................... 37
2.4.2 Laplacescher Entwicklungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.3 Rechenregeln für n-reihige Determinanten ...................... 43
2.4.4 Regeln zur praktischen Berechnung einer n-reihigen Determinante. 46
3 Ergänzungen ........................................................ 50
3.1 Reguläre Matrix ................................................. 50
3.2 Inverse Matrix .................................................. 51
3.3 Orthogonale Matrix .............................................. 54
3.4 Rang einer Matrix ............................................... 59
VIII Inhaltsverzeichnis
4 Lineare Gleichungssysteme 65
4.1 Allgemeine Vorbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Gaußscher Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Lösungsverhalten eines linearen (m,n)-Gleichungssystems .............. 72
4.4 Lösungsverhalten eines quadratischen linearen Gleichungssystems ...... 79
4.4.1 Inhomogenes lineares (n,n)-System ............................ 79
4.4.2 Homogenes lineares (n,n)-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4.3 Cramersche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.5 Berechnung einer inversen Matrix nach dem Gaußschen Algorithmus
(Gauß-Jordan-Verfahren) ......................................... 89
4.6 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren .............................. 91
4.6.1 Ein einführendes Beispiel .................................... 91
4.6.2 Linear unabhängige bzw. abhängige Vektoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.6.3 Kriterien für die lineare Unabhängigkeit von Vektoren ........... 95
4.7 Ein Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes .... 100
5 Komplexe Matrizen .................................................. 101
5.1 Ein einführendes Beispiel ......................................... 102
5.2 Definition einer komplexen Matrix ................................. 103
5.3 Rechenoperationen und Rechenregeln für komplexe Matrizen. . . .. . . . .. 104
5.4 Konjugiert komplexe Matrix, konjugiert transponierte Matrix .......... 106
5.5 Spezielle komplexe Matrizen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 109
5.5.1 Hermitesche Matrix ......................................... 109
5.5.2 Schiefhermitesche Matrix .................................... 112
5.5.3 Unitäre Matrix. . . . . . .. .. . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . .. .. 114
6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . .. 116
6.1 Ein einführendes Beispiel ......................................... 116
6.2 Eigenwerte und Eigenvektoren einer 2-reihigen Matrix ................ 121
6.3 Eigenwerte und Eigenvektoren einer n-reihigen Matrix ................ 128
6.4 Eigenwerte und Eigenvektoren spezieller Matrizen .................... 134
6.4.1 Eigenwerte und Eigenvektoren einer Diagonal- bzw. Dreiecksmatrix 134
6.4.2 Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix ....... 136
6.4.3 Eigenwerte und Eigenvektoren einer hermiteschen Matrix ........ 138
6.5 Ein Anwendungsbeispiel: Normalschwingungen gekoppelter mechanischer
Systeme ........................................................ 140
Übungsaufgaben ....................................................... 142
Zu Abschnitt 1 ...................................................... 142
Zu Abschnitt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 143
Zu Abschnitt 3 ...................................................... 146
Zu Abschnitt 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 149
Zu Abschnitt 5 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 153
Zu Abschnitt 6 ................... .' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 155
Inhaltsverzeichnis IX
II Fourier-Reihen 158
1 Fourier-Reihe einer perodischen Funktion ................................ 158
1.1 Einleitung ...................................................... 158
1.2 Entwicklung einer periodischen Funktion in einer Fourier-Reihe. . . . . . .. 160
2 Anwendungen ....................................................... 171
2.1 Fourier-Zerlegung einer Schwingung (harmonische Analyse) ........... 171
2.2 Zusammenstellung wichtiger Fourier-Reihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 173
2.3 Ein Anwendungsbeispiel : Fourier-Zerlegung einer Kippspannung ....... 174
Übungsaufgaben ....................................................... 178
Zu Abschnitt 1 ...................................................... 178
Zu Abschnitt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 180
III Komplexe Zahlen und Funktionen ................................. 182
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl ......................... 182
1.1 Definition einer komplexen Zahl ................................... 182
1.2 Die Gaußsche Zahlen ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 184
1.3 Weitere Grundbegriffe ............................................ 188
1.4 Darstellungsformen einer komplexen Zahl ........................... 191
1.4.1 Algebraische oder kartesische Form ........................... 191
1.4.2 Trigonometrische Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 191
1.4.3 Exponentialform . . . ...... . . . .. . ....... . . ............... . .. .. 194
1.4.4 Zusammenstellung der verschiedenen Darstellungsformen . . . . . . . .. 196
1.4.5 Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen ............... 197
1.4.5.1 Umrechnung: Polarform -> Kartesische Form ............ 197
1.4.5.2 Umrechnung: Kartesische Form -> Polarform ............ 199
2 Komplexe Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 203
2.1 Die vier Grundrechenarten für komplexe Zahlen ..................... 203
2.1.1 Vorbetrachtungen ........................................... 203
2.1.2 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen ................... 204
2.1.2.1 Definition von Addition und Subtraktion. . . . . . . . . . . . . . .. 204
2.1.2.2 Geometrische Deutung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 205
2.1.3 Multiplikation und Division komplexer Zahlen ................. 206
2.1.3.1 Definition von Multiplikation und Division. . . . . . . . . . . . .. 206
2.1.3.2 Multiplikation und Division in trigonometrischer und
exponentieller Darstellung ............................. 209
2.1.3.3 Geometrische Deutung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 210
2.1.4 Grundgesetze für komplexe Zahlen (Zusammenfassung) .......... 216
x Inhaltsverzeichnis
2.2 Potenzieren ..................................................... 216
2.3 Radizieren (Wurzelziehen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 219
2.4 Natürlicher Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 225
3 Anwendungen der komplexen Rechnung ................................. 227
3.1 Symbolische Darstellung von Schwingungen im Zeigerdiagramm ....... 227
3.1.1 Darstellung einer Schwingung durch einen rotierenden komplexen
Zeiger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 227
3.1.2 Ungestörte Überlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz ... 231
3.1.3 Anwendungsbeispiele aus Mechanik und Elektrotechnik .... . . . . .. 234
3.1.3.1 Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen ........ 234
3.1.3.2 Überlagerung gleichfrequenter Wechselspannungen . . . . . . .. 236
3.2 Symbolische Berechnung eines Wechselstromkreises ................... 237
3.2.1 Das Ohmsche Gesetz der Wechselstromtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . .. 237
3.2.2 Widerstands- und Leitwertoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 239
3.2.3 Ein Anwendungsbeispiel: Der Wechselstromkreis in Reihen-
schaltung .................................................. 244
4 Ortskurven ......................................................... 248
4.1 Ein einführendes Beispiel ......................................... 248
4.2 Ortskurven einer parameterabhängigen komplexen Größe (Zahl) ....... 249
4.3 Anwendungsbeispiele: Einfache Netzwerkfunktionen ... . . . . . . . . . . . . . .. 253
4.3.1 Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer
Induktivität (Widerstandsortskurve) ........................... 253
4.3.2 Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer
Kapazität (Leitwertortskurve) ................................ 254
4.4 Inversion einer Ortskurve ......................................... 255
4.4.1 Inversion einer komplexen Größe (Zahl) ....................... 255
4.4.2 Inversionsregeln ............................................ 257
4.4.3 Ein Anwendungsbeispiel: Inversion einer Widerstandsortskurve ... 259
Übungsaufgaben ...................................................... . 262
Zu Abschnitt 1 ..................................................... . 262
Zu Abschnitt 2 263
Zu Abschnitt 3 265
Zu Abschnitt 4 267
IV Differential- und Integralrechnung für Funktionen von mehreren
Variablen ........................................................ 269
1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung ................... 269
1.1 Definition einer Funktion von mehreren Variablen. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 269
1.2 Darstellungsformen einer Funktion ................................. 272