Mathematik fur Informatik und BioInformatik

528 Pages·2004·6.12 MB·German

by  Professor Dr. Manfred Wolff

Wolff • Hauck • Küchlin
Mathematik für Informatik und BioInformatik
Springer
Berlin
Heidelberg
New York
Hongkong
London
Mailand
Paris
Tokio
M.P.H. Wolff • P. Hauck • W. Küchlin
Mathematik für
Informatik
und BioInformatik
123
Professor Dr. Manfred Wolff
Universität Tübingen
Mathematisches Institut
Arbeitsbereich Mathematik in den Naturwissenschaften
Auf der Morgenstelle 10
72076 Tübingen
DEUTSCHLAND
e-mail: [email protected]
http://www.uni-tuebingen.de/mandfred.wolff/
Professor Dr. Peter Hauck
Universität Tübingen
Wilhelm-Schickard-Institut für Informatik
Arbeitsbereich Diskrete Mathematik
Sand 14
72076 Tübingen
DEUTSCHLAND
e-mail: [email protected]
http://www-dm.informatik.uni-tuebingen.de
Professor Dr. Wolfgang Küchlin
Universität Tübingen
Wilhelm-Schickard-Institut für Informatik
Arbeitsbereich Symbolisches Rechnen
Sand 14
72076 Tübingen
DEUTSCHLAND
e-mail: [email protected]
http://www-sr.informatik.uni-tuebingen.de
Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
ISBN 3-540-20521-7 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Überset-
zung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funk-sendung, der
Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungs-
anlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes
oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des
Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden
Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestim-
mungen des Urheberrechtsgesetzes.
Springer-Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media
www. springer.de
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2004
Printed in Germany
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berech-
tigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzei-
chen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt
werden dürften.
Einbandgestaltung: design & production GmbH, Heidelberg
Satz: Datenerstellung durch die Autoren unter Verwendung eines Springer LATEX Makropakets
Druck- und Bindearbeiten: Fa. Strauss, Mörlenbach
Gedruckt auf säurefreiem Papier 44/3142AT-5 4 3 2 1 0
UnserenFamiliengewidmet
MW, PH,WK
Vorwort
Die Informatik ist erwachsen geworden und benötigt ihre eigene Mathematik.
Dieses Buch enthält eine speziell auf das Informatik-Studium an Universitäten
und Technischen Hochschulen zugeschnittene Einführung, die im Informatik- und
BioInformatik-StudiumderUniversitätTübingendieersten3–4Semesterabdeckt.
WelcheMathematikbenötigtdieInformatik?DietraditionellausdemMathematik-
und Physikstudium übernommene Analysis und Lineare Algebra sind für die Mo-
dellierungundBerechnungderphysikalischenNaturwichtig.GrundlegendeKennt-
nisseindiesenGebietensindauchfürdieInformatikunabdingbar,dadieentspre-
chendenRechenverfahrenheutenatürlichaufComputernausgeführtwerden.Über-
all dort, wo zufällige Erscheinungen modelliert werden, benötigt man die Stocha-
stik.DiesistinsbesondereinderBioInformatikderFall,etwawennesumdasAuf-
tretenvonMutationengeht.FürdiegesamteInformatikistdieDiskreteMathematik
vonbesondererBedeutung,daebenderComputerselbsteinediskret(alsoingenau
unterscheidbarenZuständen)arbeitendeMaschineist.DiskreteMathematik,zuder
GebietewieGraphentheorie,KombinatorikundTeilederabstraktenAlgebragehö-
ren, sowie die mathematische Logik stellen die Grundlagen für die Konstruktion
derSprachenundDatenstrukturenderInformatikzurVerfügung.Insbesonderedie
mathematische Logik geht in alle Teilgebiete der Informatik ein, also in Theorie,
Technik,Software-KonstruktionundAnwendungen.
WiesolldieMathematikfürInformatikervermitteltwerden?NatürlichmitHilfedes
Computers und anhand von Beispielen aus der Informatik. Unser Gesamtkonzept
ruhtnebenderVorlesungaufdendreiSäulen:
– Lehrbuch,
– VisualisierungenundÜbungenimInternet,
– VerfilmungderVorlesungimInternet.
BegleitendzudiesemBuchexistiertdieWeb-Site
min.informatik.uni-tuebingen.de
mitinteraktivenVisualisierungenmathematischerGegenständeundVerfahren,wie
z.B. Graphen von Funktionen, Grenzwertprozessen oder Interpolationsverfahren.
Durch den Einsatz dynamischer Programme statt statischer Textseiten wird Ma-
thematik interaktiv erfahrbar, daman die entsprechenden Programme nun auch an
selbstgewählten Beispielen ausprobieren kann. Außerdem bekommen algorithmi-
scheVerfahreneingrößeresGewicht,dasiedirektzuProgrammenführen,mitde-
nen auch größere und realistischere Beispiele gerechnet werden können, die von
Handschlichtnichtzubewältigenwären.
ZusätzlichwerdenaufderWeb-SiteimRahmendesTübingerInternetMulti-Media
ServersTIMMSVorlesungsmitschnittealsdigitaleVideo-Strömebereitgestellt.Die
VideossindmitSchlagwortenversehen,sodassmangezieltnachThemenbereichen
suchenundkompakteAusschnitteansehenkann.
VIII Vorwort
Im Buch schlägt sich unser Konzept einer “Mathematik für Informatik und Bio-
Informatik”invielerleiHinsichtnieder,soz.B.durch:
– MotivationenausderInformatik,
– AnwendungsbeispieleausderInformatik,
– AngabekonkreterAlgorithmeninPseudocode,
– RechenbeispielezudenAlgorithmen,
– QuerverweiseaufImplementierungenineinemLehrbuchderInformatik[21],
– VerweiseaufdiebegleitendenAppletsimInternet.
MathematischesDenkenundBeweistechnikenübenwirgleichzuBeginndiesesBu-
chesexplizitimRahmendermathematischenLogikundderDiskretenMathematik
ein.WirversuchendiewesentlichenmathematischenIdeendeutlichzumachen,die
zumVerständnisdesStoffsnotwendigsindundverzichtendannhäufigaufDetails
der Beweise. Das Layout ist so gestaltet, dass die wichtigsten Begriffe und Sätze
besondershervorgehobensind.Beweiseundanderes,wasbeimerstenLesennicht
unbedingtsofortintensivdurchgearbeitetwerdenmuss,sindkleinergedruckt.Ge-
nerell stehen Übungsaufgaben sofortanden Stellen, wosie sinnvoll zum besseren
Verständnis des Textes beitragen und nicht erst am Ende eines Abschnittes oder
Kapitels. Zahlreiche Beispiele im Text und die begleitenden Applets im Internet
förderndasVerständniswesentlich.
Insgesamt eröffnet sich damit für die Lernenden die völlig neuartige Möglichkeit,
ein Thema im Buch zu studieren, dazu den entsprechenden Vorlesungsausschnitt
einesderAutorenanzusehenundimInternetinteraktivVisualisierungenundÜbun-
genzudemThemazunutzen.DiesdürfteinsbesonderefürStudierendevonNutzen
sein,diedurchÜberschneidungenimStundenplanoderdurcheineberuflicheTätig-
keitgelegentlichVorlesungenversäumen.
HinweisfürDozenten
DiesesLehrbucheignetsichzurVerwendungmitjederStandardvorlesungderInfor-
matikindenersten3–4Semestern.ImerstenStudienjahrersetztunsereMathematik
fürInformatikundBioInformatikdietraditionellenparallellaufendenVorlesungen
AnalysisundLineareAlgebra.DadurchwirddieBelastungdurchdieMathematik
reduziert und das Gewicht des Studiums kann stärker auf die Informatik verlagert
werden.EineausführlicheDiskussionfindetsichinKapitel1.
Danksagung
DiesesBuchentstandauslangjährigenBemühungen,diefürdieInformatikwesent-
lichen Gebiete der Mathematik zu identifizieren, in ihrer Bedeutung einzuordnen
und in einer für Informatiker angemessenen Weise zu präsentieren. Wir sind allen
Vorwort IX
zuDankverpflichtet,dieunshierbeiinirgendeinerFormgeholfenhaben,auchwenn
wirsienichtallenamentlichnennenkönnen.
Einer der Autoren (PH) hat als Leiter des Deutschen Instituts für Fernstudienfor-
schung(DIFF)langjährigeErfahrunginderComputer-basiertenLehre.Einanderer
Autor(WK)hatbereits1985aufAnregungvonE.EngelerundunterAnleitungvon
U. Stammbach an der ETH Zürich Visualisierungen mathematischer Gegenstände
mitdemComputerfürdieVorlesung“AnalysisfürIngenieure”entwickelt;derErst-
autor(MW)hatähnlicheVorarbeitenfürdie“MathematikfürPhysiker”entworfen.
Mitte der 1990er Jahre wurden diese Vorarbeiten (von MW und WK) wieder auf-
gegriffen mit dem Ziel, die Mathematik mit Computerhilfe leichter studierbar zu
machen. Das Konzept wurde 1995 vom Stifterverband für die deutsche Wissen-
schaft als “modellhafte Initiative zur Studienreform” ausgezeichnet, mit Hilfe des
Computer-AlgebraSystemsMapleverwirklichtundalsBuchdokumentiert[30].
In der Folge wurde mit Förderung des Landes Baden-Württemberg im Teilprojekt
“Mathematik für BioInformatiker” des Forschungsverbundes “Multi-Media Bio-
Informatik” (innerhalb der Landes-Initiative “Virtuelle Hochschule”) ein Grund-
stock neuer Internet-basierter Visualisierungen mit Java Applets hergestellt. Die
Applets laufen nun in gängigen Internet-Browsern ab, und eine Installation von
Spezialsoftware erübrigt sich deshalb. Die TIMMS Software, die die Verfilmung
derVorlesungermöglicht,wurdeebenfallsindieserLandesinitiativegefördert.
Von2003bis2005wirddieWeiterentwicklungundVervollständigungderApplets
sowiedieVerfilmungderVorlesungimProjekt“MathematikfürInformatik”(MIN)
innerhalb der Programmlinie “Modularisisierung” im “Bündnis für Lehre” durch
dasLandBaden-Württembergerneutgefördert.
Wir danken Herrn Prof. Dr. Kaletta vom ZDV für die Verfilmung im Rahmen des
ProjektsMIN,sowieHerrnProf.Dr.ZellfürdieKoordinationdesForschungsver-
bundes “Multi-Media BioInformatik”. Herr Dr. D. Bühler, Herr Dr. C. Sinz, Frau
C.ChauvinundHerrM.GroßmannvomArbeitsbereichSymbolischesRechnendes
Wilhelm-Schickard-InstitutsfürInformatikhabendenMINWeb-Serveraufgebaut.
EineVielzahlweitererAutorenwarenundsindmitderErstellungvonAppletsbe-
schäftigt.FürdieHilfebeibiologischenFragendankenwirFrauP.Reinhard-Hauck.
DieErstellungdesBuchsselbstwärefürunsohnedieSatzsystemeTEXundLATEX
unmöglich gewesen, die selbst ein schönes Beispiel für die Verbindung von Ma-
thematikundInformatikdarstellen.FürihreBeiträgezurErfassungdesTextes,zur
ErstellungvonBildernundDiagrammen,zurEndredaktionundzurKlärungkniffli-
gerLATEX-FragendankenwirganzbesondersFrauE.-M.Dieringer,HerrnM.Geyer,
HerrnM.HauckundFrauM.Rümmele.OhneihrefreundlicheundengagierteUn-
terstützungwäreesnichtgegangen.
Tübingen,imMärz2004 ManfredWolff PeterHauck WolfgangKüchlin
Inhaltsverzeichnis
1. EinleitungundÜberblick..................................... 1
1.1 ZieleundEntstehungdesBuchs .............................. 1
1.2 WozudientdieMathematikinderInformatik? .................. 3
1.3 UnseremathematischeAuswahl .............................. 10
2. Grundlagen ................................................ 11
2.1 EinführungindasmathematischeArgumentieren................ 11
2.2 Mengen................................................... 19
2.2.1 Einführung ......................................... 19
2.2.2 MengenundMengenrelationen ........................ 21
2.2.3 KartesischesProduktundAbbildungen.................. 22
2.2.4 Potenzmenge,VerallgemeinerungderMengenoperationen.. 28
2.2.5 Endliche,abzählbareundüberabzählbareMengen......... 30
2.2.6 Relationen.......................................... 33
2.3 NatürlicheZahlenundKombinatorik .......................... 38
2.3.1 DienatürlichenZahlenunddasInduktionsprinzip......... 38
2.3.2 EinführungindieKombinatorik........................ 42
2.4 EinführungindieGraphentheorie............................. 51
2.4.1 BegriffeundeinfacheErgebnisse....................... 51
2.4.2 EulerscheGraphen................................... 56
2.4.3 Bäume ............................................. 58
2.5 FormaleAussagenlogik ..................................... 61
2.5.1 AufbauderSprache .................................. 61
XII Inhaltsverzeichnis
2.5.2 SemantikvonAusdrücken............................. 63
2.5.3 AussagenlogischeÄquivalenz.......................... 65
2.5.4 LogischeFolgerung .................................. 67
2.5.5 DerResolutionskalkül ................................ 68
3. EinführungindieelementareZahlentheorie..................... 73
3.1 TeilbarkeitundKongruenzen................................. 73
3.2 Primfaktorzerlegung ........................................ 84
4. EinführungindieAlgebra .................................... 87
4.1 Halbgruppen,MonoideundGruppen .......................... 88
4.1.1 Halbgruppen ........................................ 89
4.1.2 Monoide ........................................... 94
4.1.3 Gruppen............................................ 95
4.1.4 DieGruppenordnungundderSatzvonLagrange.......... 97
4.1.5 FaktorgruppenundHomomorphismen................... 98
4.1.6 ZyklischeGruppen...................................101
4.1.7 DirektesProduktvonMonoidenundGruppen ............103
4.2 RingeundKörper ..........................................105
4.2.1 Grundbegriffe .......................................105
4.2.2 Polynomringe .......................................108
4.2.3 HomomorphismenundUnterringe......................111
4.2.4 FaktorringeundIdeale................................114
4.2.5 DieRingeZundZ ..................................119
n
4.3 TeilbarkeitslehreinPolynomringen............................123
4.3.1 TeilbarkeitinkommutativenRingen ....................123
4.3.2 TeilbarkeitinPolynomringen ..........................124
4.3.3 EinRepräsentantensystemfürK[x]/fK[x] ..............126
4.3.4 GrößtergemeinsamerTeilerinPolynomringen ...........127
4.3.5 PrimelementeinRingen ..............................129
4.3.6 PrimfaktorzerlegunginPolynomringen..................131