Matematica generale con il calcolatore

535 Pages·2005·31.292 MB·Italian

by  Michele Impedovo (auth.)

Matematica generale
con il calcolatore
M. Impedovo
Matematica generale
con il calcolatore
MICHELEIMPEDOVO
Istituto Metodi Quantitativi
Università Bocconi - Milano
In copertina:definizione con Mathcad della matrice di un’immagine digitale
(Modificata da REVOLVER,The Beatles,1966)
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springer.it
© Springer-Verlag Italia,Milano 2005
ISBN 88-470-0258-3
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Riprodotto da copia camera-ready fornita dall’Autore
Progetto grafico della copertina:Simona Colombo,Milano
Stampato in Italia:New Press,Como
Indice
Introduzione ........................................................................................................ 1
1. Calcolo numerico e calcolo simbolico ............................................................... 3
1.1 Numeri ......................................................................................................... 6
1.1.1 Discreto e continuo...........................................................................
1.2 Variazioni: modello additivo e modello moltiplicativo ............................... 12
1.3 Numeri casuali ............................................................................................. 15
1.4 Algoritmi e simulazioni: il metodo Monte Carlo ........................................ 18
1.5 Campioni da una popolazione ..................................................................... 20
1.5.1 Campioni senza reinserimento ........................................................ 20
1.5.1.1 Campioni ordinati............................................................... 21
1.5.1.2 Permutazioni....................................................................... 21
1.5.1.3 Campioni non ordinati........................................................ 22
1.5.1.4 La distribuzione binomiale................................................. 24
1.5.2 Campioni con reinserimento............................................................ 27
1.5.2.1 L'approssimazione di Stirling............................................. 29
2. Modelli discreti .................................................................................................... 31
2.1 Sequenze e successioni ................................................................................ 32
2.1.1 Legge generale e legge ricorsiva...................................................... 34
2.2 Successioni lineari e successioni esponenziali ............................................ 38
2.2.1 Capitalizzazione semplice e capitalizzazione composta ................. 42
2.2.1.1 Tassi equivalenti................................................................. 43
2.2.2 Ammortamento a quota capitale costante........................................ 44
2.3 Successioni potenza ..................................................................................... 45
2.3.1 Confronto tra potenze ed esponenziali............................................. 47
2.4 Successioni polinomiali ............................................................................... 49
2.5 Successioni convergenti e divergenti ........................................................... 51
2.6 Successioni limitate ..................................................................................... 56
2.6.1 Il numero e....................................................................................... 57
2.7 Confronto tra comportamenti asintotici ....................................................... 60
2.7.1 Confronto tra successioni divergenti................................................ 60
2.7.2 Confronto tra successioni convergenti............................................. 63
3. Somme e serie ...................................................................................................... 65
3.1 Il simbolo di sommatoria ............................................................................. 66
3.1.1 Media e varianza ............................................................................. 67
3.1.2 Variabili statistiche e variabili aleatorie........................................... 71
3.2 Somme di potenze ....................................................................................... 77
VI Indice
3.2.1 La distribuzione geometrica............................................................. 79
3.2.2 Valore attuale netto (VAN) di un'operazione finanziaria................. 80
3.2.3 Ammortamento a rata costante......................................................... 81
3.3 Serie ............................................................................................................. 83
3.4 Serie convergenti e divergenti ..................................................................... 86
3.4.1 La serie armonica............................................................................. 87
3.4.2 La serie delle potenze con esponente negativo................................ 90
3.5 La serie esponenziale (o geometrica) .......................................................... 93
3.5.1 Numeri decimali periodici................................................................ 94
3.5.2 Rendite perpetue............................................................................... 95
3.5.3 La convergenza della serie............................................................... 95
3.5.4 Valore atteso di una variabile aleatoria infinita (discreta)............... 96
3.6 La serie dei fattoriali .................................................................................... 98
4. Modelli continui ..................................................................................................101
4.1 Le funzioni elementari .................................................................................104
4.1.1 Composizione di funzioni................................................................105
4.1.2 Funzioni inverse...............................................................................106
4.1.3 Funzioni circolari.............................................................................109
4.2 Funzioni lineari ............................................................................................114
4.2.1 Interpolazione lineare.......................................................................118
4.2.2 Modelli economici lineari................................................................119
4.2.2.1 Break-even point.................................................................120
4.2.2.2 Punto di inversione delle preferenze..................................121
4.2.2.3 Equilibrio del mercato........................................................121
4.2.3 Funzioni lineari a tratti.....................................................................122
4.2.4 La retta dei minimi quadrati.............................................................125
4.3 Funzioni quadratiche ...................................................................................129
4.3.1 La pendenza in un punto di una funzione quadratica......................132
4.3.2 Convessità e concavità.....................................................................134
4.3.3 Il modello del monopolista...............................................................135
4.4 Funzioni potenza ..........................................................................................136
4.4.1 Approssimazione della pendenza locale..........................................139
4.4.2 Modelli con le funzioni potenza.......................................................141
4.5 Funzioni esponenziali ..................................................................................145
4.6 Il logaritmo ..................................................................................................149
4.6.1 Cambiamenti di base........................................................................153
4.6.2 Proprietà del logaritmo.....................................................................155
4.6.3 Il logaritmo decimale e l'ordine di grandezza..................................156
4.6.4 Grafici in scala logaritmica..............................................................158
4.6.5 Riconoscimento di funzioni potenza e funzioni esponenziali..........160
4.7 La funzione di Gauss ...................................................................................163
4.8 Trasformazioni lineari ..................................................................................164
4.9 Limiti e comportamenti asintotici ................................................................174
4.9.1 Asintoti ............................................................................................176
4.10 Funzioni continue ........................................................................................177
4.11 Risolvere equazioni .....................................................................................179
4.11.1 Algoritmo di bisezione.....................................................................183
4.11.2 Il tasso interno di un'operazione finanziaria....................................185
Introduzione VII
5. Derivate e integrali .............................................................................................189
5.1 Funzioni derivabili .......................................................................................191
5.1.1 Funzioni non derivabili........................................................................194
5.2 La derivata in un punto ................................................................................197
5.3 La funzione derivata ....................................................................................198
5.3.1 La derivata delle funzioni elementari...............................................201
5.3.1.1 La derivata delle funzioni potenza.....................................201
5.3.1.2 La derivata delle funzioni esponenziali..............................203
5.3.1.3 La derivata della somma e del prodotto di funzioni...........204
5.3.1.4 La derivata delle funzioni composte...................................205
5.3.1.5 La derivata del quoziente di due funzioni..........................206
5.3.1.6 Derivata della funzione inversa..........................................206
5.3.1.7 La derivata delle funzioni circolari.....................................208
5.3.2 Funzioni crescenti e decrescenti.......................................................209
5.3.2.1 Gestione ottima di magazzino............................................211
5.3.3 Interpretazioni della derivata............................................................213
5.3.4 Tasso istantaneo di variazione..........................................................216
5.3.5 Elasticità...........................................................................................220
5.3.5.1 Elasticità della domanda.....................................................222
5.4 Algoritmo di Newton ...................................................................................223
5.5 Il teorema del valor medio ...........................................................................226
5.6 Le derivate di ordine successivo ..................................................................229
5.6.1 Funzioni convesse e concave...........................................................230
5.7 Polinomi di Taylor .......................................................................................234
5.7.1 L'errore dei polinomi di Taylor........................................................243
5.8 Integrali ........................................................................................................246
5.9 La definizione di integrale definito .............................................................249
5.9.1 Confronto tra approssimazioni.........................................................254
5.10 Il teorema fondamentale del calcolo ............................................................256
5.10.1 Calcolo di antiderivate.....................................................................260
5.11 Proprietà degli integrali definiti ...................................................................262
5.12 La media di una funzione su un intervallo ..................................................264
5.13 Integrali impropri .........................................................................................268
5.13.1 Integrali impropri e serie..................................................................272
5.14 Variabili aleatorie continue ..........................................................................274
5.14.1 La distribuzione normale..................................................................275
5.14.2 La distribuzione esponenziale..........................................................279
5.14.3 La distribuzione uniforme................................................................280
5.14.4 Valore atteso e varianza di una variabile aleatoria continua............281
5.14.5 Simulazioni di variabili aleatorie continue......................................283
5.14.6 La media campionaria......................................................................287
5.15 La funzione integrale ...................................................................................289
5.15.1 La funzione di ripartizione di una variabile aleatoria continua.......293
6. Modelli discreti a più dimensioni ......................................................................295
6.1 Vettori ...........................................................................................................296
6.1.1 Combinazioni lineari di vettori........................................................297
6.1.2 Vettori linearmente indipendenti......................................................303
6.1.3 Prodotto scalare tra vettori...............................................................306
VIII Felix Klein
6.2 Matrici .........................................................................................................307
6.2.1 Matrici e immagini digitali...............................................................309
6.2.2 Il prodotto matrice-vettore...............................................................311
6.2.3 Il prodotto matrice-matrice...............................................................314
6.2.4 Matrice inversa determinante di matrici 2 x 2.................................317
6.2.5 Matrice inversa determinante di matrici n x n.................................322
6.2.6 Rango di una matrice.......................................................................326
6.3 Sistemi lineari ..............................................................................................328
6.3.1 Imposte e donazioni ........................................................................333
6.3.2 Arbitraggi.........................................................................................335
6.3.3 Polinomi di Taylor............................................................................338
6.3.4 Algoritmo di Gauss..........................................................................339
6.3.5 Algoritmo di Cramer........................................................................343
6.3.6 Interpolazione e approssimazione polinomiale................................344
6.3.7 Cubic spline......................................................................................349
6.4 Matrici e funzioni lineari .............................................................................354
6.4.1 Grafica vettoriale..............................................................................356
6.4.2 Il modello input-output di Leontief..................................................360
6.4.3 Catene di Markov.............................................................................363
6.4.4 Matrici di Leslie...............................................................................366
7. Modelli continui a più dimensioni .....................................................................369
7.1 Funzioni reali di un vettore ..........................................................................371
7.2 La derivata prima .........................................................................................376
7.2.1 Derivabilità e differenziabilità..........................................................383
7.2.2 Il vettore gradiente e le curve di livello...........................................388
7.3 La derivata seconda .....................................................................................390
7.4 Ottimizzazione ............................................................................................395
7.4.1 Valutazioni numeriche......................................................................399
7.4.2 Il metodo dei minimi quadrati..........................................................401
7.4.3 Algoritmi di ottimizzazione.............................................................409
7.5 Ottimizzazione con vincoli ..........................................................................413
7.5.1 Funzione di Cobb-Douglas con vincolo lineare...............................415
7.5.2 Il metodo del moltiplicatore di Lagrange.........................................416
8. Modelli dinamici .................................................................................................425
8.1 SDD lineari di dimensione 1 .......................................................................428
8.1.1 Assorbimento di farmaci..................................................................437
8.1.2 Vivere di rendita...............................................................................437
8.1.3 Costituzione di capitale....................................................................438
8.1.4 Modello di Malthus discreto............................................................440
8.1.5 Diagramma di fase...........................................................................441
8.2 SDC lineari di dimensione 1 ........................................................................443
8.2.1 Equivalenza tra modelli discreti e modelli continui........................448
8.2.2 Modello di Malthus continuo...........................................................450
8.2.3 Dinamica del mercato: un modello fisico........................................451
8.2.4 Diagramma di fase...........................................................................452
8.3 SDD non lineari di dimensione 1 ................................................................455
8.3.1 Algoritmo di Newton.......................................................................458
Introduzione IX
8.3.2 Equazione logistica discreta.............................................................461
8.3.3 Crescita logistica con prelievo costante...........................................463
8.3.4 Successioni caotiche.........................................................................465
8.3.5 Modelli di simulazione.....................................................................467
8.3.6 Il gioco di Collatz.............................................................................468
8.4 SDC non lineari di dimensione 1 ................................................................470
8.4.1 Equazioni differenziali a variabili separabili...................................471
8.4.2 Diagramma di fase...........................................................................474
8.4.3 Equazione logistica continua............................................................476
8.4.4 Algoritmo di Eulero.........................................................................480
8.5 SDD di dimensione n ...................................................................................485
8.5.1 Numeri complessi e autovalori di una matrice................................488
8.5.2 Catene di Markov.............................................................................496
8.5.3 Matrici di Leslie...............................................................................499
8.5.4 Epidemia SIR...................................................................................500
8.5.5 Triangolo di Sierpinski.....................................................................502
8.5.6 Insieme di Mandelbrot.....................................................................504
8.6 SDC di dimensione n ...................................................................................507
8.6.1 Teorema di linearizzazione...............................................................513
8.6.2 Il modello preda-predatore...............................................................516
8.6.3 Due marche in competizione............................................................518
Bibliografia..................................................................................................................521
Indice analitico............................................................................................................523
Introduzione
Tradizionalmente un manuale di matematica è caratterizzato da un sistematico e
rigoroso percorso logico-formale.
Questo testo non intende seguire quel percorso. Si è voluto distinguere nettamente
l'aspetto sintattico della teoria matematica dall'aspetto semantico, privilegiando
quest'ultimo e dando maggiore spazio al significato degli oggetti matematici ri-
spetto alla loro sistemazione formale.
Si è voluto evitare il rischio di cadere in un astratto gioco di regole giustificato in
se stesso; accade spesso infatti che lo studente acquisisca una capacità di calcolo
disgiunta dalla conoscenza del significato di ciò che sa calcolare.
Si è voluto privilegiare un percorso sperimentale e induttivo, motivato dall'urgen-
za di fornire fatti matematici rilevanti, dai quali un'esposizione rigidamente logi-
co-matematica rischia di far deviare l'attenzione: molti risultati sono giustificati da
esplorazioni e congetture e a volte enunciati senza dimostrazione.
In questo libro la matematica è interpretata come disciplina di servizio: la tratta-
zione è ricca di esempi, applicazioni, modelli, tratti dal contesto economico ma
anche da quello statistico, fisico, biologico e dalla stessa matematica. L'analisi di
tali modelli costituisce in un certo senso il vero scopo della teoria matematica
svolta.
Per esplorare ed illustrare concetti e proprietà si fa largo uso di strumenti automa-
tici di calcolo (software di Matematica, fogli elettronici) per costruire grafici e ta-
belle, che suggeriscano ipotesi e possibili risoluzioni. In particolare è stato utiliz-
zato:
(cid:120) il software di matematica Mathcad®, sia come strumento di calcolo sia come
semplice ma potente linguaggio di programmazione;
(cid:120) il foglio elettronico Excel® per la costruzione di tabelle.
Largo spazio è dedicato:
(cid:120) alle approssimazioni
(cid:120) agli algoritmi
(cid:120) alla simulazione.
In un percorso sperimentale le approssimazioni sono indispensabili quando si vo-
glia formulare una congettura sensata; fin dal primo capitolo si sottolinea la distin-
zione tra calcolo numerico e calcolo simbolico
L'algoritmo, inteso come una funzione che prende in ingresso alcuni oggetti e ne
fornisce altri in uscita, è sempre stato un formidabile motore di sviluppo nella sto-
ria della matematica. In un certo senso esso costituisce un'armoniosa sintesi tra
2 Introduzione
sintassi (il rispetto del linguaggio di programmazione) e semantica (la ricerca di
un risultato).
La simulazione come possibile approccio alla risoluzione di un problema costitui-
sce un interessante paradigma didattico: utilizzando un generatore di numeri ca-
suali è possibile ripetere un esperimento un gran numero di volte e analizzare i ri-
sultati per formulare congetture. La simulazione al calcolatore costituisce per la
matematica ciò che l'esperimento è per la fisica.
La possibilità di studiare e risolvere problemi di matematica con l'aiuto di un cal-
colatore sancisce una sorta di "democratizzazione" della matematica: risultati an-
che complessi, che hanno sempre richiesto dal punto di vista teorico un ampio re-
troterra di conoscenze (si pensi ad esempio al grafico di una funzione o di una
successione ricorsiva, o al calcolo della matrice inversa), sono ora alla portata di
chiunque conosca il significato degli oggetti matematici e sappia usare la sintassi
di un software di matematica e possono essere trovati in pochi istanti.
Questo libro è nato dall'esperienza del corso di Matematica Generale negli anni
2002-2004 al CLEMIT dell'Università Bocconi (Corso di Laurea in Economia dei
Mercati Internazionali e delle Nuove Tecnologie), un corso nel quale si è adottata
un'ipotesi di fondo che potremmo enunciare nel seguente modo.
Supponiamo che ogni studente abbia a propria disposizione (durante le lezioni,
nello studio a casa o in università, per la risoluzione di problemi e soprattutto per
l'esame), uno strumento di calcolo automatico in grado di
(cid:120) svolgere calcolo numerico e calcolo simbolico
(cid:120) definire una funzione e calcolarne i valori
(cid:120) tracciare ed esplorare grafici
(cid:120) eseguire semplici algoritmi.
Allora come dovrebbe cambiare un corso di matematica? In che modo potrebbero
essere modificati contenuti, metodo di insegnamento, percorsi didattici, problemi,
esercizi, prove di valutazione?
Il libro costituisce implicitamente una risposta a tali domande.