LAGACETADELA RSME,Vol. 5.1 (2002), Pa(cid:19)gs. 73{106 73 IN MEMORIAM LLU(cid:19)IS SANTALO(cid:19) Llu(cid:19)(cid:16)s Antoni Santalo(cid:19) i Sors por A. Revento(cid:19)s Tarrida El d(cid:19)(cid:16)a 22 de noviembre, a los 90 an~os de edad, murio(cid:19) en Argentina el gran matema(cid:19)tico Llu(cid:19)(cid:16)s Antoni Santalo(cid:19) i Sors, ma(cid:19)ximo exponente de la Geometr(cid:19)(cid:16)a Integral, gran pedagogo y divulgador cient(cid:19)(cid:16)(cid:12)co, personalidad degranvalorhumano,conma(cid:19)sde250publicaciones,entreelloslibroscon gran in(cid:13)uencia en nuestra comunidad matema(cid:19)tica, como su Geometr(cid:19)(cid:16)a Proyectiva. Vayan estas l(cid:19)(cid:16)neas como pequen~o anticipo a los homenajes que merece.1 GIRONA Llu(cid:19)(cid:16)s Santalo(cid:19) nace en Girona, el 9 de octubre de 1911. Concretamente en el nu(cid:19)mero 15 de la plaza de Sant Pere. Es el cuarto hijo de Silvestre Santalo(cid:19) Pavorell y Consol Sors Llach. Por orden de edad sus tres her- manos mayores son: Neus, Marcel y Joan y los tres menores Dolors, Xavier y Mar(cid:19)(cid:16)a. HacepocoMar(cid:19)(cid:16)ameexplicabaqueyadepequen~o, y obviamente en plan de broma, le pasaban la mano por la cabeza para que les inspirara su ciencia, pues era reconocida su capacidad para los estudios. Llu(cid:19)(cid:16)s Santalo(cid:19) empieza a estudiar en el \Grup Es- colar", donde su padre era maestro. Pasa despu(cid:19)es al 1Agradecimientos: Agradezco a La Gaceta de la RSME el haber pensado en m(cid:19)(cid:16) para esteart(cid:19)(cid:16)culo. Cuandosemepropusopens(cid:19)eenseguidaenellibrodeXavierDura(cid:19)n[D]queyo hab(cid:19)(cid:16)a le(cid:19)(cid:16)do recientemente. Habl(cid:19)e con (cid:19)el, uno de los ma(cid:19)s reconocidos periodistas cient(cid:19)(cid:16)(cid:12)cos de nuestro pa(cid:19)(cid:16)s y casualmente ex-alumno m(cid:19)(cid:16)o en su licenciatura de qu(cid:19)(cid:16)micas, quien me dio todo tipo de facilidades para usar su libro. Agradezco tambi(cid:19)en la colaboracio(cid:19)n de los Profesores ClaudiAlsina,EduardoGallego, AntonioMart(cid:19)(cid:16)nezNaveirayGilSolanesqueme han ayudado en diversos aspectos del art(cid:19)(cid:16)culo. Tambi(cid:19)en mi agradecimiento a los profesores Sebastia(cid:18)Xambo(cid:19)yJoanJosepCarmonaquehanhechounarevisio(cid:19)ndetalladadeunaprimera versio(cid:19)n delmismo. 74 LLU(cid:19)IS ANTONI SANTALO(cid:19) I SORS Instituto del que guardo(cid:19) siempre un profundo recuerdo. Xavier Dura(cid:19)n [D] co- menta una conversacio(cid:19)n con Santalo(cid:19) en la que (cid:19)este recuerda las pra(cid:19)cticas de meteorolog(cid:19)(cid:16)a que realizaban en el propio Instituto con el profesor de F(cid:19)(cid:16)sica, sen~or Camps, y en la que tambi(cid:19)en recuerda con agrado a su primer profesor de matema(cid:19)ticas, Lorenzo Gonza(cid:19)lez Calzada. Coincide entre otros con los futuros grandes historiadores Jaume Vicens Vives y Santiago Sobrequ(cid:19)es Vidal. Alos16an~osmarchaaestudiaraMadrid.Parecequein(cid:13)uyeenladecisio(cid:19)n su padre, pensando que para doctorarse o hacer oposiciones tendra(cid:19) que ir a Madrid y lo mejor es que conozca el entorno. Se aloja en la famosa Residencia de Estudiantes, en la calle Pinar, en la que ya hab(cid:19)(cid:16)an estado anteriormente su t(cid:19)(cid:16)o Miquel y su hermano Marcel, que realizo(cid:19) la carrera de Matema(cid:19)ticas. La idea de Llu(cid:19)(cid:16)s Santalo(cid:19) era estudiar Ingenier(cid:19)(cid:16)a de Caminos, pero pronto decide estudiar tambi(cid:19)en Matema(cid:19)ticas. En la Facultad de Matema(cid:19)ticas tiene profesores que in(cid:13)uira(cid:19)n decisivamente en (cid:19)el, principalmente Julio Rey Pastor y Esteve Terradas. Dos grandes intelectuales. Dos grandes matema(cid:19)ticos. Los dos han sido profesores en Argentina y esto in(cid:13)uira(cid:19) decisivamente en la vida de Santalo(cid:19). Compaginando los estudios con el servicio militar obtiene la Licenciatura en 1934. Rey Pastor y Terradas le aconsejan ir a Hamburgo hacia donde parte aquel mismo an~o 1934 con una beca de la Junta. Para ello debe renunciar a su reci(cid:19)en encontrado trabajo como profesor de Instituto. Alla(cid:19) le recibira(cid:19) un conocido de Rey Pastor, el geo(cid:19)metra Wilhelm Blaschke. MeimpresionapensarenaquelreducidogrupodeestudiantesdeBlaschke, no ma(cid:19)s de 10, pero entre ellos <Santalo(cid:19) y Chern! Por aquel entonces Blaschke empiezaaestudiarlasprobabilidadesgeom(cid:19)etricasiniciandoas(cid:19)(cid:16)loque(cid:19)elmismo llamar(cid:19)(cid:16)a Geometr(cid:19)(cid:16)a Integral. Recoge los resultados en una serie de art(cid:19)(cid:16)culos numerados con el t(cid:19)(cid:16)tulo comu(cid:19)n de Integral Geometrie. El nu(cid:19)mero 4 es de Santalo(cid:19). En 1936 publica su tesis doctoral sobre este tema [S9] apadrinada por Pedro Pineda. Estando de vacaciones en Madrid empieza la Guerra Civil. Como en tantos casos, unas perspectivas largamente deseadas que quedaban rotas para siempre. Santalo(cid:19) volvio(cid:19) a Girona y de all(cid:19)(cid:16) fue destinado a aviacio(cid:19)n, en el ej(cid:19)ercito republicano,concretamente enLosAlca(cid:19)zares,cercadeCartagena.Delasnotas que toma nacera(cid:19) su primer libro [S157] y un inter(cid:19)es por la aviacio(cid:19)n que se plasma en [S182], [S184] y [S192]. Pasa otro per(cid:19)(cid:16)ododela guerraen la Escuela deAviacio(cid:19)n Militar deBarce- lona,dirigidaporJosepCanudas,yacon el gradodecapita(cid:19)n. De all(cid:19)(cid:16) suunidad se retirar(cid:19)(cid:16)a, pasando brevemente por Girona y Navata, hacia el exilio. Una de estas casualidades curiosas de la vida, segu(cid:19)n explica Xavier Dura(cid:19)n en su libro [D], citando al propio Canudas, es que siendo Consejero Primero de la Generalitat el t(cid:19)(cid:16)o de Santalo(cid:19), Miquel Santalo(cid:19), se crearon por decreto que (cid:19)el mismo (cid:12)rmo(cid:19) en 1933, los Servicios de Aerona(cid:19)utica, no disponiendo dicho servicio de ningu(cid:19)n avio(cid:19)n. Posteriormente se compro(cid:19) una avioneta y se LAGACETA 75 encargo(cid:19) al citado Josep Canudas la direccio(cid:19)n de la escuela por la que pasar(cid:19)(cid:16)a posteriormente el sobrino de Miquel, Llu(cid:19)(cid:16)s Santalo(cid:19). Cofundador de Esquerra Republicana de Catalunya, Alcalde de Girona, Consejero de la Generalitat, Ministro, Diputado, Vicepresidente de la Cortes, Miquel Santalo(cid:19) no tuvo ma(cid:19)s remedio que exilarse. Murio(cid:19) en M(cid:19)exico. No es de extran~ar, pues, que hoy podamos encontrar en Girona la calle Miquel Santalo(cid:19) y la calle Llu(cid:19)(cid:16)s Santalo(cid:19). Una vez en Francia, Santalo(cid:19) es ingresado en el campo de concentracio(cid:19)n de Argelers. Segu(cid:19)n Xavier Dura(cid:19)n [D] Santalo(cid:19) no recuerda co(cid:19)mo escapo(cid:19) de este campo.DesdeColliureescribeaReyPastoryaBlaschke pidiendoayuda.Sabe por su familia que a Girona no puede volver. A pesar del acogimiento de Blaschke y debido a la situacio(cid:19)n pol(cid:19)(cid:16)tica en Alemania, noparecelo ma(cid:19)ssensato volver aHamburgo.Pero el propioBlasch- ke escribe a E(cid:19)lie Cartan, que invita inmediatamente a Santalo(cid:19) a impartir unas conferencias en el Instituto Henri Poincar(cid:19)e de Par(cid:19)(cid:16)s. Una vez en Par(cid:19)(cid:16)s es de- tenido y es el propio Cartan quien acude a la ca(cid:19)rcel para liberarlo. Las con- ferencias se celebran los d(cid:19)(cid:16)as 25, 28 y 30 de marzo de 1939, en el nu(cid:19)mero 11 de la calle Pierre Curie. El tema era obviamente la geometr(cid:19)(cid:16)a integral y las probabilidades geom(cid:19)etricas. Con todo ello tambi(cid:19)en hab(cid:19)(cid:16)a contestado asu carta Rey Pastor, envia(cid:19)ndole dinero para el pasaje hacia Argentina. Pero problemas con el visado le im- ped(cid:19)(cid:16)an marchar. Segu(cid:19)n Dura(cid:19)n [D] fue Terradas quienintercedio(cid:19) con un obispo para que el visado fuese expedido. Finalmente se embarca en Burdeos. ARGENTINA El 12 de octubre de 1939, Santalo(cid:19) llega a Buenos Aires. Alla(cid:19) lo recibe, en representacio(cid:19)n de Rey Pastor, Manuel Balanzat, posteriormente coautor y buen amigo de Santalo(cid:19), [S161] y [S172]. Rey Pastor se ocupa de todo y le obtiene una plaza en Rosario, provincia de Santa Fe. En aquel momento se crea el Instituto de Matema(cid:19)ticas de la Universidad del Litoral, dirigido por Beppo Levi, ver [S206], y con Santalo(cid:19) como subdirector. Se integra ra(cid:19)pidamente en los c(cid:19)(cid:16)rculos de exilados y emigrantes, llegando asersecretario del CentreCatala(cid:18) de Rosario. En 1945 se casa con Hilda Rossi, personaque le apoyara(cid:19) durante toda su vida,nacionaliza(cid:19)ndose posteriormente argentino. En 1947 nace su primera hija Mar(cid:19)(cid:16)a In(cid:19)es, Tessi. Me viene ahora a la memoria una de mis primeras conversaciones con Santalo(cid:19), cuando le pregunt(cid:19)e por alla(cid:19) el an~o 1985 estando (cid:19)el impartiendo un cursoenlaUniversidaddeBarcelona,sobrelaposibilidaddevolveraCatalun~a. Me contesto(cid:19) que su vida estaba en Argentina, sus hijos, sus nietos,... Pero un sentimiento de an~oranza se adivinaba en sus palabras. Fue por entonces cuando me pregunto(cid:19) que texto de Geometr(cid:19)(cid:16)a Proyectiva recomendar(cid:19)(cid:16)a yo a mis alumnos. Yo le dije: el \Santalo(cid:19)", y supongo que penso(cid:19) que quer(cid:19)(cid:16)a quedar 76 LLU(cid:19)IS ANTONI SANTALO(cid:19) I SORS bien con (cid:19)el, pero era verdad y ha pasado mucho tiempo y sigo pensando lo mismo. Los an~os 1948-49 los pasa, con Hilda y Tessi en Princeton, con una beca de la fundacio(cid:19)n Guggenheim. Tambi(cid:19)en imparte un curso en Chicago, invitado por M.H. Stone, quien hab(cid:19)(cid:16)a estado previamente con Santalo(cid:19) en Argentina. Como constato(cid:19) Claudi Alsina muchos an~os despu(cid:19)es, Santalo(cid:19) dejo(cid:19) una huella imborrable a su paso por Chicago. En el Institute for Advanced Studies de Princeton coincide con Einstein. DeregresoaArgentina,en1949,seincorporaalaUniversidaddeLaPlata, capital de la provincia de Buenos Aires. Nace su segundahija Alicia. Dirige su primeratesis:Propiedades in(cid:12)nitesimalesdecurvasysuper(cid:12)ciesenespaciosde curvatura constante.Autora:LeticiaVarela.ParticipaenlaComisio(cid:19)nNacional de Energ(cid:19)(cid:16)a Ato(cid:19)mica (CNEA), da clases en la Escuela Superior T(cid:19)ecnica del Ej(cid:19)ercito, investiga, viaja,... manteniendo siempre un ritmo de trabajo intenso por no decir fren(cid:19)etico. Nace su tercera hija Claudia. El hecho de pertenecer a la CNEA le permite viajar a Par(cid:19)(cid:16)s y de paso acercarse, por primera vez desde el exilio, a Girona. Deb(cid:19)(cid:16)a ser hacia el 1955, ya que pertenecio(cid:19) a la CNEA en el per(cid:19)(cid:16)odo 1952-57. Lamentablemente no volvio(cid:19) a ver a su madre, que hab(cid:19)(cid:16)a muerto en 1947. En 1957 es nombrado profesor Titular de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires. Empiezan los primeros reconocimientos pu(cid:19)blicos a su trayectoria: Primer PremioNacionaldeCultura,1954;PremiodelaSociedadCient(cid:19)(cid:16)(cid:12)caArgentina, 1959; Ingreso en la Academia Nacional de Ciencias Exactas y Naturales, 1960. En Buenos Aires se consolida la fama de Santalo(cid:19) como gran docente. Dedica muchos esfuerzos en pensar sobre la ensen~anza de la matema(cid:19)tica. Une un conocimiento profundo del tema con la capacidad de explicar las cosas de manerasencilla. Consiguehacerfa(cid:19)cil lo dif(cid:19)(cid:16)cil.Tieneuncuidadoespecialhacia los alumnos. Intenta modi(cid:12)car la manera tradicional de explicar. \Inventa" los tutores, para relacionar la ensen~anza de la matema(cid:19)tica con aspectos de la personalidad del alumno, deseos, vocacio(cid:19)n, formacio(cid:19)n, etc. RECONOCIMIENTOS MA(cid:19)S IMPORTANTESEN ESPAN~A Este apartado deber(cid:19)(cid:16)a empezar con aquellas palabras de que ma(cid:19)s vale tarde que nunca. Acad(cid:19)emico Correspondiente de la Real Academia de Ciencias Exactas, (cid:15) F(cid:19)(cid:16)sicas y Naturales de Madrid, 1955. Acad(cid:19)emico Correspondiente de la Real Academia de Ciencias y Artes de (cid:15) Barcelona, 1970. Miembro del Comit(cid:19)e Cient(cid:19)(cid:16)(cid:12)co de la revista Stochastica de la UPC. (cid:15) LAGACETA 77 Doctor Honoris Causa por la Universitat Polit(cid:18)ecnica de Catalunya, 14 (cid:15) de julio de 1977. Presentado por Enric Trillas. MiembroCorrespondientedel’Institutd’EstudisCatalans,21dediciem- (cid:15) bre de 1977. Premio Pr(cid:19)(cid:16)ncipe de Asturias de Investigacio(cid:19)n Cient(cid:19)(cid:16)(cid:12)ca. 1983. (cid:15) MedallaNarc(cid:19)(cid:16)sMonturiolalaCi(cid:18)enciayalaTecnologia delaGeneralitat (cid:15) de Catalunya, 1984. Doctor Honoris Causa por la Universitat Auto(cid:18)noma de Barcelona, 13 de (cid:15) junio de 1986. Presentado por Joan Girbau, celebra(cid:19)ndose el acto en el Ayuntamiento de Girona. Doctor Honoris Causa por la Universidad de Sevilla, 1990. Presentado (cid:15) por Jos(cid:19)e Luis Vicente. Promovido por Gonzalo Sa(cid:19)nchez Va(cid:19)zquez, presi- dente de la Federacio(cid:19)n de Sociedades de Profesores de Matema(cid:19)ticas de Espan~a, amigo personal de Santalo(cid:19). Condecorado con la Medalla de la Universidad de Valencia, 23 de sep- (cid:15) tiembre de 1993. Recogida por su hija Tessi. Creu de Sant Jordi, de la Generalitat de Catalunya, 1994. (cid:15) EncomiendadeAlfonsoX(ElSabio)concedidaporelReyJuanCarlosy (cid:15) entregada por el Embajadorde Espan~a en Argentina. Dicha encomienda fue una propuesta de Enric Trillas. 1996. Socio de honor de la Real Sociedad Matema(cid:19)tica Espan~ola, 22 de enero (cid:15) de 1999. La Universitat de Girona crea el 27 de julio de 2000 la Ca(cid:19)tedra Santalo(cid:19). (cid:15) DirigidaporCarlesBarcelo(cid:19) iVidal.Lohacepu(cid:19)blicoelRectordelaUdG, Josep Maria Nadal, ante una de las hijas de Santalo(cid:19), el 21 de septiembre de2000 en la Facultad deCienciasExactas, Ingenier(cid:19)(cid:16)a yAgrimensurade la UniversidadNacional de Rosario (Argentina), con motivo de la Sesio(cid:19)n Conmemorativa del 60 Aniversario del Instituto de Matema(cid:18)tica \Beppo Levi". Socio de honor de la Societat Catalana de Matema(cid:18)tiques, 19 diciembre (cid:15) 2000. GEOMETR(cid:19)IA INTEGRAL Unaspocaspalabrasparadescribirelcampodelamatema(cid:19)ticaquecautivo(cid:19) a Santalo(cid:19). 78 LLU(cid:19)IS ANTONI SANTALO(cid:19) I SORS La Geometr(cid:19)(cid:16)a Integral proviene de las probabilidades geom(cid:19)etricas. Tiene sus ra(cid:19)(cid:16)ces pues en el famoso problema de la aguja de Bu(cid:11)on, que aparece en Essai d’arithm(cid:19)etique morale, 1777, y en las fo(cid:19)rmulas de Crofton, de aproxima- damente 1868, en On the theory of local probability. Simpli(cid:12)cando un poco, el problema aparece cuando al intentar escribir el cociente entre casos favorables y casos posibles nos encontramos con que hay in(cid:12)nitas posibilidades, por ejemplo in(cid:12)nitas posiciones de la aguja de Bu(cid:11)on sobre le plano. Estas posiciones se pueden parametrizar e identi(cid:12)car nuevamente como puntosdelplanodemaneraquetenemostantasposicionescomopuntos,y>qu(cid:19)e ma(cid:19)s natural que usar el a(cid:19)rea para medir, o \contar", el nu(cid:19)mero de puntos? ComodiceSantalo(cid:19)en[S171]:para aplicar la idea de probabilidad a elemen- tos dados al azar que son objetos geom(cid:19)etricos (como puntos, l(cid:19)(cid:16)neas, geod(cid:19)esicas, conjuntos congruentes, movimientos o a(cid:12)nidades), es necesario primeramente de(cid:12)nir una medida para tales conjuntos de elementos. Parece que Santalo(cid:19) tenga en la cabeza las paradojas de Bertrand (cu(cid:19)al es la probabilidad de que una cuerda trazada al azar sobre el c(cid:19)(cid:16)rculo de radio 1 sea mayor que p3), que provienen de utilizar, de manera algo escondida, dife- rentes maneras de medir. Diferentes maneras de interpretar la palabra \azar". Poincar(cid:19)e fue el primero en aclarar expl(cid:19)(cid:16)citamente este punto (H. Poincar(cid:19)e, Calcul des probabilit(cid:19)es, Gauthier-Villars, 1912). El geo(cid:19)metra se siente atra(cid:19)(cid:16)do por el inter(cid:19)es geom(cid:19)etrico en s(cid:19)(cid:16) mismo de las preguntasqueplanteanlasprobabilidadesgeom(cid:19)etricas,yabordalosproblemas olvidando o prescindiendo de si detra(cid:19)s hay o no un concepto de probabilidad. La discusio(cid:19)n de qu(cid:19)e medida hay que elegir esta(cid:19) relacionada con el gru- po que determina la geometr(cid:19)(cid:16)a del problema en el sentido del programa de Erlangen de Klein. Por esto en los trabajos de Santalo(cid:19) hay tantos grupos de Lie. Dice Santalo(cid:19) que la basede la Geometr(cid:19)(cid:16)a Integral esta(cid:19) formadaporcuatro palabras: probabilidades, medida, grupos y geometr(cid:19)(cid:16)a. De hecho algunos de los resultados ma(cid:19)s importantes de Santalo(cid:19) provie- nen de medir directamente en el grupo. Hablando de manera imprecisa, ser(cid:19)(cid:16)a como identi(cid:12)car todas las posiciones de una (cid:12)gura en el plano con los movi- mientos que llevan una (cid:12)gura inicial (cid:12)jada a cada una de las posiciones. Las fo(cid:19)rmulas que entonces aparecen se llaman fo(cid:19)rmulas cinema(cid:19)ticas, para recoger esta idea de movimiento, aunque el grupo no sea espec(cid:19)(cid:16)(cid:12)camente el grupo de movimientos. Santalo(cid:19), au(cid:19)n en Hamburgo, obtuvo en dimensio(cid:19)n dos unos primeros resul- tados que dar(cid:19)(cid:16)an lugar a la llamada fo(cid:19)rmula cinema(cid:19)tica. En Rn la fo(cid:19)rmula cinema(cid:19)tica se debe a S.S. Chern (S.S. Chern; On the kinematic formula in the Euclidean space of n dimensions, Amer. J. Math. 45, 1944, 744-752). Pararecordarla fo(cid:19)rmulacinema(cid:19)tica fundamentaldeSantalo(cid:19)paraespacios no euclidianos daremos la expresio(cid:19)n en dimensiones 2 y 3 ya que la fo(cid:19)rmula LAGACETA 79 general es algo distinta segu(cid:19)n la dimensio(cid:19)n sea par o impar [S171] (obs(cid:19)ervese la belleza de las siguientes fo(cid:19)rmulas): Para n= 2: (cid:31)(D0 D1)dK1 = ((cid:15)K)F0F1 +2(cid:25)(F1(cid:31)0+F0(cid:31)1)+L0L1 Z \ (cid:0) D0\D16=; Para n= 3: 2 (cid:31)(D0 D1)dK1 = 8(cid:25) (V1(cid:31)0+V0(cid:31)1)+2(cid:25)(F0M1 +F1M0) Z \ D0\D16=; donde D0;D1 son dominios con borde regular en el espacio no euclidiano de curvatura(cid:15)K; (cid:15)= 0; 1;L;F;V;M denotanlongitud,a(cid:19)rea,volumeneintegral (cid:6) de la curvatura media respectivamente, y (cid:31) es la caracter(cid:19)(cid:16)stica de Euler. Sorprendentemente el caso n= 3 es el u(cid:19)nico en que la fo(cid:19)rmula cinema(cid:19)tica no depende de la curvatura del espacio. Me gustar(cid:19)(cid:16)a destacar tambi(cid:19)en la fo(cid:19)rmula de Santalo(cid:19) sobre la medida de rectas hiperbo(cid:19)licas. En [S36] demuestra dG =coshpdp d(cid:18) donde p es la distancia de la geod(cid:19)esica, o recta hiperbo(cid:19)lica, a un origen pre(cid:12)- jado y (cid:18) es el a(cid:19)ngulo que (cid:19)esta distancia forma con una direccio(cid:19)n pre(cid:12)jada. La notacio(cid:19)n dG proviene de \diferencial de geod(cid:19)esicas". Es lo que debemos inte- grar para obtener la medida de geod(cid:19)esicas. Dejo como ejercicio demostrar que la anterior expresio(cid:19)n es invariante por isometr(cid:19)(cid:16)as hiperbo(cid:19)licas. Por ejemplo los ca(cid:19)lculos anteriores en el modelo de Poincar(cid:19)e son bastante complicados. Pero Santalo(cid:19) no trabaja en el modeloysiempresuastucia le permitesalirairoso sin demasiados ca(cid:19)lculos. Un d(cid:19)(cid:16)a me dijo: Libra(cid:19)me del matema(cid:19)tico que no calcula. Y es que para tener habilidad para esquivar ca(cid:19)lculos primeramente se debe haber calculado. A partir de aqu(cid:19)(cid:16) demuestra que en el caso hiperbo(cid:19)lico se tiene la siguiente fo(cid:19)rmula, formalmente igual al caso euclidiano: (cid:27)dG = (cid:25)F Z G(cid:1)C6=; do(cid:19)nde (cid:27) es la longitud de una cuerda arbitraria de un cuerpo convexo C de a(cid:19)rea F, y la integral esta(cid:19) extendida a las geod(cid:19)esicas que cortan el convexo. Santalo(cid:19) dirigio(cid:19) doce tesis doctorales en la Facultad de ciencias Exactas y NaturalesdelaUniversidaddeBuenosAires:L.Varela(1952),A.Ayub(1955), R. Luccioni(1963), C.Conton (1973), R. Noriega (1976), G. Keilhauer(1980), G. Birman (1980), F. Guti(cid:19)errez (1985), V. Molter (1985), L. Gysin (1987), F. A(cid:11)entranger (1988) y A. Berenice (1988), todas ellas en el a(cid:19)rea de Geometr(cid:19)(cid:16)a y especialmente en Geometr(cid:19)(cid:16)a Integral. 80 LLU(cid:19)IS ANTONI SANTALO(cid:19) I SORS INFLUENCIA EN ESPAN~A Pido disculpas anticipadas por las posibles omisiones en este apartado de autores espan~oles. Agradecer(cid:19)e puntualizaciones. El primero que siguio(cid:19) de una forma directa a Santalo(cid:19) fue el profesor E. Vidal Abascal, en Santiago de Compostela, en las d(cid:19)ecadas 50-60, resaltando su trabajo sobre la fo(cid:19)rmula de Steiner en espacios de curvatura constante [7]. Destaquemos tambi(cid:19)en [6], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15], [16], [17]. De hecho, segu(cid:19)n comenta A.M. Naveira, la relacio(cid:19)n entre Santalo(cid:19) y Vidal provienedelosan~ostreinta cuandocoincideenMadridconelhermanodeSan- talo(cid:19), probablemente Marcel, qui(cid:19)en los presenta. En 1967, Santalo(cid:19) asiste al II Coloquio Internacional de Geometr(cid:19)(cid:16)a Diferencial de Santiago de Compostela, dando all(cid:19)(cid:16) la de(cid:12)nicio(cid:19)n de curvaturas totales absolutas que tanta importancia tuvieron posteriormente en estereolog(cid:19)(cid:16)a. En 1978 asiste tambi(cid:19)en en Santiago al homenaje a E. Vidal en motivo de su jubilacio(cid:19)n, impartiendo la conferencia inaugural del IV International Colloquium on Di(cid:11)erential Geometry. Volviendo a la d(cid:19)ecada de los 50 encontramos la aportacio(cid:19)n del profesor J. Sancho de San Roma(cid:19)n, que trabaja en temas de Geometr(cid:19)(cid:16)a Integral antes de dedicarse al a(cid:19)lgebra, [1], [2], [3], [4], [5], as(cid:19)(cid:16) como E.G. Rodeja [14]. Para hacernos una idea destaquemos la fo(cid:19)rmula de Vidal que generaliza la fo(cid:19)rmula de Steiner: sen((cid:26)pk) L = 2(cid:25) Fpksen((cid:26)pk)+Lcos((cid:26)pk) (cid:26) pk (cid:0) donde L;F son respectivamente la longitud y a(cid:19)rea de una curva sobre una super(cid:12)ciedecurvaturaconstantekyL eslalongituddeotracurvaadistancia (cid:26) (cid:26) de la anterior. Tambi(cid:19)en el profesor A.M. Naveira, en su etapa en Valencia, continua los problemasdegeometr(cid:19)(cid:16)aintegraldeSantalo(cid:19)obteniendoimportantesresultados. Destaquemos por ejemplo [27], [28], [53], [54], [55], [56], o los resultados obtenidos con A. Tarr(cid:19)(cid:16)o, profesora de la Universidad de A Corun~a, en [57], [58] y [59]. Por ejemplo, se estudian las densidades de subespacios lineales de Cn. Se obtienen fo(cid:19)rmulas del tipo dP dP1 dP2r = n(cid:0)rdP(Lr) dP1(Lr) dP2r(Lr) dLr ^ ^(cid:1)(cid:1)(cid:1)^ 4 ^ ^(cid:1)(cid:1)(cid:1)^ ^ do(cid:19)nde P;P1;:::;P2r son 2r +1 puntos del subespacio holomorfo Lr, que ge- neralizan fo(cid:19)rmulas de Blaschke al caso de subespacios holomorfos. A su estela, tenemos los trabajos de S. Segura Gomis y M.A. Herna(cid:19)ndez Cifresobreconjuntos completos dedesigualdadesenlos quecierranconjeturas anteriores de Santalo(cid:19), establecidas en [S106]. Ver por ejemplo [48], [49], [50], [52] y la solucio(cid:19)n a las conjeturas de [S106] en [51]. LAGACETA 81 Concretamente, si tenemos un cuerpo convexo del espacio y llamamos V al volumen, F al a(cid:19)rea, y M la curvatura media total entonces se cumple 2 2 M 4(cid:25)F; F 3VM: (cid:21) (cid:21) El problema que plantea Santalo(cid:19) en [S106], y que llamamos sistemas comple- tos de desigualdades, consiste en saber si dados tres nu(cid:19)meros reales V;F;M cumpliendo las anteriores desigualdades, existe un cuerpo convexo que los tie- ne como volumen, a(cid:19)rea y curvatura media total respectivamente. De hecho en (cid:19)este caso falta otra desigualdad y el problema general sigue abierto. En [S106] Santalo(cid:19) estudia este tipo de problemas en el plano. En [51] Segura y Herna(cid:19)ndez demuestran por ejemplo que 2 2 4 2 4 (4R d )d 4! R (cid:0) (cid:20) y dan un sistema completo de desigualdades que involucran d;! y R (d = dia(cid:19)metro, ! = amplitud, R = circunradio). Au(cid:19)nenValenciadestaquemoslaaportacio(cid:19)ndeVicente Miquelquienjunto con A. Borisenko estudia la curvatura total de hipersuper(cid:12)cies convexas en el espacio hiperbo(cid:19)lico, [33]. La relacio(cid:19)n con los geo(cid:19)metras de Barcelona proviene de la conferencia que imparte en el First International Symposium on Statistics en Noviembre de 1983, [S147]. Me plantea en una servilleta la conjetura sobre los convexos hiperbo(cid:19)licos [26]. El hecho de que Santalo(cid:19) asistiese a este Symposium en Barcelona, organi- zado por E. Bonet, M. Mart(cid:19)(cid:16) y A. Prat, proviene probablemente de la buena relacio(cid:19)n que tuvo con la Universitat Polit(cid:18)ecnica de Catalunya, en la que es- taba Pere Pi Calleja, matema(cid:19)tico muy relacionado con Rey Pastor, y de la iniciativa demostrada por los tambi(cid:19)en matema(cid:19)ticos E. Bonet y E. Trillas, a la postre buenos amigos de Santalo(cid:19). De hecho, C. Alsina, E. Bonet y E. Tri- llas, junto con Miguel de Guzman, mantuvieron desde los an~os 70 un contacto permanente con Santalo(cid:19). En 1977 Santalo(cid:19) ya hab(cid:19)(cid:16)a estado en Barcelona presidiendo el Comit(cid:19)e Cient(cid:19)(cid:16)(cid:12)co y como conferenciante en el Primer Congreso Internacional de Ma- tema(cid:19)ticas al servicio del Hombre. EnOctubrede1984seinauguraelCentredeRecercaMatema(cid:18)tica(C.R.M.) con un curso de Santalo(cid:19) sobre Geometr(cid:19)(cid:16)a Integral en el plano af(cid:19)(cid:16)n, realizado en la Universidad de Barcelona, del que distribuye una notas [S145]. Mientras tanto Eduardo Gallego y el autor de (cid:19)este art(cid:19)(cid:16)culo cierran la conjetura de Santalo(cid:19) y Ya(cid:19)n~ez, expuesta en [S126], sobre convexos hiperbo(cid:19)licos [26].Vertambi(cid:19)en [25],[35],[34].Actualmente Gil Solaneshaobtenidotambi(cid:19)en interesantes resultados [36]. Destaquemos por ejemplo que en contraste con la situacio(cid:19)n euclidiana se demuestra en [36] que el comportamiento asinto(cid:19)tico del cociente (dia(cid:19)metro=longitud) para convexos que tienden a llenar el plano hiperbo(cid:19)lico 82 LLU(cid:19)IS ANTONI SANTALO(cid:19) I SORS toma cualquier valor del intervalo [0;1=2] ( en el caso euclidiano esta(cid:19) acotado inferiormente por 1=(cid:25)). En Noviembre de 1991 Santalo(cid:19) imparte un curso en Girona invitado por J.M. Terricabras dentro de la Ca(cid:19)tedra Ferrat(cid:19)e Mora, de la Universidad de Girona.AsistimosentreotrosF.A(cid:11)entranger,L.M.Cruz-Orive,A.M.Naveira, E. Gallego, C. Alsina, E. Trillas, Ortiz y X. Gual. De entonces procede la que ser(cid:19)(cid:16)a fruct(cid:19)(cid:16)fera relacio(cid:19)n cient(cid:19)(cid:16)(cid:12)ca entre X. Gual y L.M. Cruz-Orive. FernandoA(cid:11)entrangeresunalumnodeSantalo(cid:19)deorigenHispano-Alema(cid:19)n, que pasaun tiempo en Barcelona, publicandoincluso en la revista la Universi- dad Auto(cid:19)noma [30], aunque su carrera transcurre en Alemania [20], [29], [30], [31]. Una an(cid:19)ecdota curiosa es la siguiente: el primer art(cid:19)(cid:16)culo que dio Santalo(cid:19) a Fernando fue nuestro art(cid:19)(cid:16)culo [26], de manera que en su primer viaje a Bar- celona y estando en casa de sus familiares, pregunto(cid:19) como podr(cid:19)(cid:16)a conectar con matema(cid:19)ticos de Barcelona. Esto era muy fa(cid:19)cil para sus familiares pues un primo suyo que viv(cid:19)(cid:16)a en la casa de al lado, en el mismo jard(cid:19)(cid:16)n,era matema(cid:19)tico y se lo podr(cid:19)(cid:16)a decir. E(cid:19)ste primo era yo, me vinieron a buscar y <cua(cid:19)l no fue la sorpresa de Fernando cuando nos presentaron! En la l(cid:19)(cid:16)nea ma(cid:19)s aplicada de la estereolog(cid:19)(cid:16)a destaca el profesor L.M. Cruz- Orive y su escuela de Berna. Actualmente en Santander y junto con el alumno de A.M. Naveira, Ximo Gual Arnau, continua trabajando intensamente en aplicaciones de la geometr(cid:19)(cid:16)a integral. De X. Gual destaquemos los art(cid:19)(cid:16)culos [37], [38], [39], [40], [41], [42], [43], [44], [45], [46], algunos de ellos conjuntos con A.M. Naveira y A. Tarr(cid:19)(cid:16)o. Actualmente X. Gual desarrolla su labor en la Universidad Jaume I de Castello(cid:19)n. De L.M. Cruz-Orive destaquemos [21], [22], [23], [24], [32]. Para explicar un poco qu(cid:19)e es la estereolog(cid:19)(cid:16)a recurramos al propio San- talo(cid:19). Veamos que dice en [S171], pag. 282, sobre estereolog(cid:19)(cid:16)a: Consideremos part(cid:19)(cid:16)culas convexas distribuidas en E3. La determinacio(cid:19)n de la medida de dis- tribucio(cid:19)n de estas part(cid:19)(cid:16)culas a partir de la medida de distribucio(cid:19)n de sus sec- ciones con (cid:12)guras aleatorias de forma conocida (e.g., un cuerpo convexo, un cilindro, un plano, una banda, o una l(cid:19)(cid:16)nea) es uno de los problemas ba(cid:19)sicos de la llamada estereolog(cid:19)(cid:16)a, la cual es un campo intermedio relacionando disci- plinas tan disparatadamente dispares como biolog(cid:19)(cid:16)a, mineralog(cid:19)(cid:16)a, metalurgia y geometr(cid:19)(cid:16)a. Elias ha propuesto la siguiente de(cid:12)nicio(cid:19)n: La estereolog(cid:19)(cid:16)a trata con un conjunto de m(cid:19)etodos para la exploracio(cid:19)n del espacio tri-dimensional cuando so(cid:19)lo es posible conocer secciones bi-dimensionales a trav(cid:19)es de cuerpos so(cid:19)lidos o sus proyecciones. Los principales m(cid:19)etodos de la estereolog(cid:19)(cid:16)a esta(cid:19)n fuerte- mente relacionados a la geometr(cid:19)(cid:16)a integral, como veremos en este cap(cid:19)(cid:16)tulo con algunos t(cid:19)(cid:16)picos ejemplos. Paracerrarestaseccio(cid:19)nderelacio(cid:19)nconmatema(cid:19)ticosespan~olesrecordemos tambi(cid:19)en su curso sobre Geometr(cid:19)(cid:16)a Integral en la Universidad Complutense de Madrid en febrero de 1982.
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