Lineare Algebra: Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen

375 Pages·2014·3.6 MB·German

by  Albrecht Beutelspacher (auth.)

Albrecht Beutelspacher
Lineare
Algebra
Eine Einführung in die Wissenschaft
der Vektoren, Abbildungen und Matrizen
8. Aufl age
Lineare Algebra
Albrecht Beutelspacher
Lineare Algebra
Eine Einführung in die Wissenschaft der
Vektoren, Abbildungen und Matrizen
8., aktualisierte Auflage
Prof.Dr.AlbrechtBeutelspacher
Justus-Liebig-UniversitätGießen
Gießen,Deutschland
ISBN978-3-658-02412-3 ISBN978-3-658-02413-0(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-02413-0
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Mathematik – eine Mutprobe?
MeinstolzesBeginnenliefdaraufhinaus:Allerkleinstes–auchProsaischesnichtausgeschlos-
sen–exaktundminutiöszuschildernunddurchscheinbareinfachste,abergeradedeshalb
schwierigsteMittel:Simplizität,DurchsichtigkeitimeinzelnenundÜbersichtlichkeitimgan-
zen, auf eine gewisse künstlerische Höhe zu heben, ja, es dadurch sogar interessant oder
wenigstenslesensmöglichzumachen.
TheodorFontane
DiesisteinBuchfürAnfängerderMathematik.EswillsichvonallseinenVorgängernund
Konkurrentenvorallemdadurchunterscheiden,dassesbewusstunddirektaufdieStudie-
rendenzugeht.Ja,unterdenvielenBüchernüberlineareAlgebra,dieSieinderBibliothek
odereinerBuchhandlungfinden,eignetsichdiesesbesondersdafür,IhrerstesMathema-
tikbuchzusein.DerTitelhätteauchlautenkönnen„MeineersteLineareAlgebra“.
DiesesBuchsollIhnenMutmachen,dieMathematikzumeistern,undSienichtdurch
Unverständlichkeiteinschüchtern.BeimSchreibenhabeichmichdahervonfolgendenIde-
enleitenlassen:
KeineabgehobeneSprache! AnfängerhabenesschwermitderMathematik.Sietunsich
besondersschwermitdermathematischenSprache.DieserkalteFormalismus!Dieseun-
barmherzige Präzision!Diese unendliche Distanz!Diese Schwindel erregende Abstrakt-
heit!
Ja,dieMathematikisteineWissenschaft,dieaufformalenSchlüssenbasiert–dasistihre
Stärke.DiemathematischeSpracheistpräziseunddadurchgegenIrrtümergefeit.Durch
Abstraktheit(wasnichtsanderesals„Vereinfachung“bedeutet)wirdErkenntnisfortschritt
ofterstmöglich.AberdieTatsachebleibt:DiemathematischeSprachelädtAnfängerinder
RegelnichtzumLesenoderzumMitmachenein.
Mit diesem Buch versuche ich eine Quadratur des Kreises, nämlich einerseits, wo es
nurgeht,dieseSprachbarriereabzubauen,andererseitsSie,liebeLeserin,lieberLeser,vom
NutzenderpräzisenSprachederMathematikzuüberzeugen.InsbesonderewerdenSieer-
fahren,dassPräzisionnichtunbedingtetwasmitFormalismus–undschongarnichtmit
trockenemStilzutunhat.
V
VI Mathematik–eineMutprobe?
DerStilistfüreinMathematikbuchganzunüblich:locker,lustig,leichtundunterhalt-
sam.Undvorallemhabeichversucht,dieüblichenk.o.-Schlägewieetwa„wiemanleicht
sieht“,„trivialerweisefolgt“,„mansiehtunmittelbar“zuvermeiden.
KeineunnötigabstrakteTheorie! WasistdasZieleinerVorlesungodereinesBuchesüber
lineareAlgebra?IhnensollendiewichtigstenGrundkonzeptealgebraischenDenkens,alge-
braischeKenntnisseundFertigkeiten sowieAnwendungenvermitteltwerden.(Indiesem
BuchfindenSieAnwendungeninGeometrie,beimLösenvonGleichungssystemenundin
derCodierungstheorie.)
Wir werden Themen wie Äquivalenzrelationen,Faktorräume, Polynomringe undna-
türlichdieHauptthemenderlinearenAlgebra,nämlichVektorräume,lineareAbbildungen
undDiagonalisierbarkeitausführlichbehandeln.
Mirgehtesnichtdarum,dielineareAlgebramitallenFinessenundinvollerAllgemein-
heitzupräsentieren–inderHoffnung,dassKenneranerkennendmitdemKopfnicken,
abermitdemEffekt,dassdieStudierendendenWälzerwütendandieWandwerfen.
NichtRechnen.Denken! Diesistkeine„LineareAlgebralight“,keineAusgabe„fürklei-
neHände“.EskommtmirmindestenssosehraufbegrifflicheKlarheitwieauftechnische
Fertigkeitenan:
• Vektorräumewerden„allgemein“behandeltundnichtvonvornhereinaufKn,Rn(oder
gar R3) beschränkt. Dadurch wird die Sacheeinfacher! Dennein allgemeiner Vektor-
raumisteineinfacheresObjektalseinVektorraum,beidemmansichimmernochmit
einerfestenBasisherumschlagen(oder-ärgern)muss.
• DieberüchtigtenFaktorräumewerdenausführlichbehandelt–obwohlmanFaktorräu-
meinderLinearenAlgebrajazurNotvermeidenkönnte.IchhalteaberdasKonzeptdes
Faktorraumsbzw.derQuotientenstrukturenfürsowichtig,dassmandasschonimers-
tenSemesterkennenlernensollte.(Außerdemhabeichdassoguterklärt,dassesjeder
verstehenkann!)
• AuchwirdindiesemBuchdieTheoriederlinearenAbbildungennichtaufMatrizenbol-
zereireduziert.Schwierigkeitenwerdenwederausgespartnochwirdübersiehinwegge-
mogelt.
VieleÜbungsaufgaben! SiefindendreiSortenvonÜbungsaufgaben.Zunächstganzein-
facheKästchenaufgaben,dieinderRegelauseiner„ganzdummen“Fragebestehen.Diese
dienenzurunmittelbarenSelbstkontrolle,obSiedenStoffverstandenhaben.Lösungenzu
diesenAufgabenfindenSieamEndedesBuches.
DieeigentlichenÜbungsaufgabengehenetwastiefer –aberauchdiesesind(fast)alle
leicht zulösen.Ich habemich bemüht, keine unnötigen Tricks einzubauen, sondernIh-
nenErfolgserlebnissezuermöglichen!HinweisezurLösungdieserAufgabenfindenSiein
einemExtra-Kapitel.
Mathematik–eineMutprobe? VII
Schließlichgibtes„Projekte“;dasisteineMengezusammengehörigerÜbungsaufgaben,
mitdenenSieeingeladenwerden,einneues,abermitdemStoffdesjeweiligenKapitelseng
zusammenhängendesThemaselbständigzuerarbeiten.
Allesinallemüber300Übungsaufgaben!
Vor kurzem ist übrigens Lineare Algebra interaktiv erschienen, eine Übungs-CD zur
LinearenAlgebra,dienochviel,vielmehrÜbungsaufgabenmitLösungenenthält.
WennineinerVorlesunganeinerUniversitäteineStudentinodereinStudentdenStoff
nichtbeherrschtunddeswegenkeinenScheinerhält,soliegtdies–soglaubenLehrende
undLernendeübereinstimmend–unzweifelhaftanderUnfähigkeitderStudentinbzw.des
Studenten.GanzandersbeiprofessionellenKursenimBereichderWirtschaftundIndus-
trie. DortherrschenandereVerhältnisse:WenneinTeilnehmereinesKursesetwasnicht
versteht,istdieseindeutigdieSchulddesDozenten!
MitdiesemBuchstelleichmichbewusstaufdie„professionelle“Seite:WennSieetwas
nichtverstehen,trageichdieSchulddaran.FallsSieKritikodersogarVerbesserungsvor-
schlägehaben,bitteichSie,mirohneHemmungenzuschreiben.
EinigeHinweisezumAufbaudesBuches:IchhabemitvielerleiMittelnversucht,einen
lesbarenTextzuverfassen.EinigedieserMittelsindäußerlichzuerkennen:
• Die Aussagender Sätze sind farbig unterlegt. Die Sätze sind nicht durchnummeriert,
dafürhat(fast)jederSatzeinenNamen;sokönnenSieihnüberdasStichwortverzeichnis
finden.
• EineDefinitionerkenntmannichtdaran,dassdavor„Definition“steht,sonderndaran,
dassderzudefinierendeBegrifffettgedrucktist.
• DasEndeeinesjedenBeweiseswirddurchdasBeweisabschlusszeichenangezeigt.Aber
auchdasEndeeinesSatzes,der(meinerAnsichtnach)keinesBeweisesbedarf,wirdso
gekennzeichnet:
ObwohldieseinBuchfürAnfängerist,setzeichgewisseDingevoraus.Sowerdenetwa
Mengenlehre undBeweisprinzipienzwar behandelt–aber nicht sehrausführlich,damit
wirbaldzum„eigentlichen“Stoffkommen.
MeinDankgehtanviele,diemichbeimEntstehendiesesBuchesunterstützt,ermutigt
undberatenhaben.ZuallererstdankeichdenHörerinnenundHörernmeinerVorlesung
überLineareAlgebra;fürsiehatteicheinSkriptumgeschrieben,dasdieGrundlagefürdie-
sesBuchwurde.UndwenndasSkriptumbeidenStudierendennichtsogutangekommen
wäre,wäreichnieaufdenGedankengekommen,diesesBuchzuschreiben.
JörgEisfeld,UdoHeim,AlexanderPott,UteRosenbaumundJohannesUeberbergha-
ben nicht nur das Manuskriptmit Akribie undEinfühlunggelesen, sondernmir immer
wiederMutgemacht,dasBuchdochsozuschreiben,wieesmirvorschwebte.FrauSusan-
neHunsdorferhatdaseinfühlsameSchlussbildgemalt.AllengiltmeinherzlicherDank.
VIII Mathematik–eineMutprobe?
AlsichmichschoninderHoffnungwiegte,dasBuchseifertig,habeichesaufAnregung
desVerlagsnochmalseinerGruppejungerStudierenderzumLesengegeben.Undsowurde
einebislangunentdeckte SchichtvonFehlernundVerbesserungsmöglichkeitenansLicht
befördert.Schandeüber mein HauptundTausendDankandieStudierenden! (Unddas
heißtimmerhinmehralseinDankproentdecktemFehler.)
Studierende,dieesmitderMathematikwagenwollen,brauchenMut.AucheinAutor
brauchtMut–jedesneueBuchisteinneuesWagnis.AberaucheinVerlagbrauchtMutfür
einsolchesBuch.DaherdankeichdemVerlagVieweg,undganzbesondersFrauDöbert
undFrauSchmickler-Hirzebruchsehr,dasssiediesesBuchwagten.
Vorwort zur 8. Auflage
SchonbaldnachErscheinendiesesBucheserlebteicheineÜberraschung:IcherhieltFan-
post.Nichtgeradewäschekörbeweise,aberimmerhineinpaarBriefeproSemester.Darin
schilderten Studierende, dass ihnen dieses Buch geholfen habe, in der ersten Krise des
Mathematikstudiumsnichtzuverzweifeln,sonderndurchzuhalten.EtwasSchönereskann
einemAutornichtpassieren.DenngenaufürsiehatteichdasBuchgeschrieben.FürStudie-
rendeamAnfangdesStudiums;fürsolche,dieanderrigorosenmathematischenSprache
zu scheitern drohen;für solche,die in Gefahrsind,unter der Unbarmherzigkeit mathe-
matischerBeweisführungzusammenzubrechen.Ichfreuemichsehrdarüber,dassdieses
KonzepteinegroßeZahlvonStudierendendarinbestärkthat,beiderMathematikzublei-
benundihrStudiumerfolgreichzubeenden.
AlsdieersteAuflagedieserLinearenAlgebraerschien,sprachnochniemandvonBa-
chelor und Master. Aber im Grunde war dieses Buch mit seiner Konzentration auf das
Wesentliche,mitdenzahlreichenÜbungsaufgabenundLernhilfenschoneinVorgriffauf
dieBachelor-Ausbildung.FürdieNeuauflagehabeichzahlreiche„kleine“Änderungenrea-
lisiert.SowirddiesesBuchauchinZukunftdenBachelor-undLehramtsstudierendenin
dererstenPhasedesStudiumsnützlich,hilfreichundanregendsein.Dieshoffeichjeden-
falls.
KurzvorFertigstellungdieserNeuausgabehattemeineLektorin,FrauUlrikeSchmickler-
Hirzebruch, eine wunderbare Idee. Sie hatte die Ausstellung „Mathe macht lustig!“ mit
Mathe-Karikaturen im Mathematikum in Gießen gesehen und schlug vor, jedes Kapitel
mit einer Karikatur aus dieser Ausstellung abzuschließen. In der Tat eröffnen diese Bil-
der ganz neue Blicke auf die Mathematik. Die Karikaturisten haben freundlicherweise
zugesagt, und so geht mein Dank an Martin Zak, Til Mette, Erich Rauschenbach, Mi-
riam Wurster, Phil Hube, NEL, Leonard Riegel, F.W. Bernstein, Rudi Hurzlmeier und,
lastbutnotleast,anUlrikeSchmickler-Hirzebruch fürihremittlerweile jahrzehntelange
hervorragendeUnterstützung.
Gießen,imNovember2013 AlbrechtBeutelspacher
IX
Inhaltsverzeichnis
1 Waswirwissenmüssen,bevorwiranfangenkönnen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Äquivalenzrelationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Abbildungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 WannhabenzweiMengengleichvieleElemente? . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 DieΣ-Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Beweisprinzipien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Verständnisfragen,ÜbungenundTipps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1 DieDefinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 GesetzederAddition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 GesetzederMultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.3 Distributivgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 BeispielevonKörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1 DerKörperderkomplexenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.2 DerQuaternionenschiefkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.3 EinigeendlicheKörper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.4 KonstruktioneinesKörpersmitvierElementen. . . . . . . . . . . . . 44
2.3 AutomorphismenvonKörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.1 DieDefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.2 DerKörperderrationalenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.3 DerKörperderreellenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.4 Konjugiert-komplexeZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4 Verständnisfragen,ÜbungenundTipps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1 DieDefinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 BeispielevonVektorräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.1 VektorräumemitHilfevonGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.2 DerVektorraumKn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
XI