Lezioni di topologia. Dagli insiemi alle compattificazioni PDF
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A01 152 Paolo Vitolo LEZIONI DI TOPOLOG IA DAGLI INSIEMI ALLE COMPATTIFICAZIONI Copyright © MMX ARACNEeditrice S.r.l. www.aracneeditrice.it [email protected] via Raffaele Garofalo, 133/A–B 00173 Roma (06) 93781065 ISBN 978–88–548–3189–6 I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell’Editore. I edizione: aprile 2010 Indice Introduzione 1 Parte I. Teoria degli Insiemi 3 Capitolo 1. Insiemi 5 Gli assiomi di Zermelo–Fraenkel 5 Filtri e basi di filtro 10 Capitolo 2. Relazioni e Funzioni 13 Relazioni 13 Relazioni di ordine 14 Composizione di relazioni 16 Funzioni 17 Insiemi equipotenti 18 Famiglie di insiemi 19 Prodotto cartesiano di una famiglia 20 Capitolo 3. Numeri ordinali e pricipio di induzione 23 Numeri ordinali 23 Somma e prodotto ordinale 26 L’insieme dei numeri naturali 27 Principio di induzione e definizioni per ricorrenza 28 Capitolo 4. Numeri cardinali e assioma della scelta 31 Numeri cardinali 31 L’assioma della scelta 32 Confronto di cardinalità 34 Somma, prodotto ed esponenziazione cardinale 35 L’ipotesi del continuo 37 Parte II. Topologia 39 v vi INDICE Capitolo 5. Spazi topologici 41 Insiemi aperti e funzioni continue 41 Basi e sottobasi 43 Intorni 44 Assiomi di numerabilità 45 Insiemi chiusi e chiusura 46 Continuità in un punto 47 Funzioni aperte e funzioni chiuse 48 Insiemi densi e spazi separabili 49 Capitolo 6. Costruzione di topologie 51 Topologia generata da una collezione di insiemi 51 Spazi totalmente ordinati 52 Sottospazi 53 Topologia iniziale 54 Prodotto topologico 55 Topologia generata da un sistema di intorni 58 Spazi metrici 59 Topologia generata dai chiusi; operatori di chiusura 61 Topologia finale: quozienti e somma topologica 63 Capitolo 7. Convergenza 65 Filtri e reti convergenti 65 Sottoreti 67 Punti di compattezza 68 Caratterizzazione della chiusura e della continuità 70 Capitolo 8. Assiomi di separazione 73 Spazi T e spazi T 73 0 1 Spazi di Hausdorff 77 Spazi regolari 79 Spazi normali 81 Spazi di Tychonoff 90 Capitolo 9. Compattezza 95 Spazi compatti 95 Convergenza negli spazi compatti 98 Il teorema di Heine–Borel 99 Punti di completa accumulazione 101 INDICE vii Il teorema di Tychonoff 102 Compattezza negli spazi metrici 104 Capitolo 10. Compattificazioni 107 Spazi localmente compatti 107 Compattificazione di Alexandroff 110 Confronto di compattificazioni 112 Compattificazione di Stone–Čech 114 Bibliografia 117 Indice analitico 119 Introduzione Questo testo è stato scritto con lo scopo di organizzare in forma compiuta il materiale per le lezioni del corso da me tenuto all’Università della Basilicata per la laurea specialistica in Matematica nel secondo semestre dell’anno accademico 2009–2010. L’intento è stato dunque quello di fornire un sussidio agli studenti del mio corso, ma anche di proporre un testo che possa essere consigliato o adottato in altre università da altri corsi che abbiano finalità e contenuti analoghi. La decisione di intraprendere il lavoro di elaborazione di queste lezioni nasce infatti dalla constatazione di una carenza, nel panorama editoriale italiano, di testi sugli argomenti di Topologia e Teoria degli Insiemi, nonché dalla esigenza di facilitare lo studio individuale, met- tendo a disposizione degli studenti la raccolta completa degli argomenti affrontati in aula, ordinati e svolti allo stesso modo. Trattandosi di un corso semestrale, è stato inevitabile operare una serie di scelte, per evitare che il programma fosse troppo ampio. Tali scelte sono innegabilmente personali, dettate principalmente dai miei gusti e dalle mie preferenze, ma anche influenzate da motivazioni di natura squisitamente didattica. Vorrei inoltre precisare alcune linee metodologiche cui mi sono strettamente attenuto: anzitutto ho tenuto a privilegiare il rigore e la precisione, anche costo di sembrare pedante nella forma; inoltre ho cercato di esporre dettagliatamente e nel modo più completo possibile i ragionamenti e i passaggi logici; infine ho trattato i vari argomen- ti in maniera sufficientemente esauriente da non trascurare nessuna dimostrazione, ad eccezione di alcuni teoremi nella prima parte. Dunque, poiché nulla o quasi viene dato per scontato, per affrontare queste lezioni non sono necessari prerequisiti. Tutto il testo è corredato di esercizi, che vanno dalla semplice 1 2 INTRODUZIONE applicazione dei teoremi agli approfondimenti, spesso essenziali alla teoria. Per gli esercizi meno facili, viene dato sempre un suggerimento. Il piano di lavoro è il seguente. Vi è una prima parte che tratta di teoria degli insiemi, a cominciare dagli assiomi di Zermelo–Fraenkel e fino ad una introduzione alla teoria degli ordinali e dei cardinali. La seconda parte, che va dal Capitolo 5 al Capitolo 10, verte sulla topologia generale vera e propria: dopo due capitoli introduttivi, si parla di convergenza di filtri e reti; poi viene un corposo capitolo sugli assiomi di separazione; il Capitolo 9 parla di compattezza negli spazi topologici e negli spazi metrici; l’ultimo capitolo riguarda le compattificazioni, e termina con la compattificazione di Stone–Čech. Alla fine è riportata una breve lista di riferimenti bibliografici: essa include sia i libri da me impiegati come fonti per i vari argomenti trattati, sia testi più avanzati che gli studenti interessati possono usare per ulteriori approfondimenti. Per altri libri o articoli di topologia generale, non inclusi nella mia lista, raccomando di consultare l’estesissima bibliografia di [2].
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